Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Шпоры по теории случайных процессов - файл 1.doc


Шпоры по теории случайных процессов
скачать (5048.5 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc5049kb.19.11.2011 12:27скачать

содержание
Загрузка...

1.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...
Вопросы для подготовки к экзамену по дисциплине

«Теория случайных процессов»
Теорией случайных процессов называется математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений в динамике их развития.


  1. +Понятие случайного процесса. Примеры. Определение случайного процесса.

Случайным процессом X(t) называется процесс, значение которого при любом фиксированном t = t0 является случайной величиной X(t0).

При изучении явлений окружающего мира мы часто сталкиваемся с процессами, течение которых заранее предсказать в точности невозможно. Эта неопределенность (непредсказуемость) вызвана влиянием случайных факторов, воздействующих на ход

процесса.

Например, частица, совершающая броуновское движение в поле зрения микроскопа, меняет свое положение случайным образом в результате соударений с молекулами жидкости.

Однако существуют и такие процессы, где случайность играет основную роль (пример: вышерассмотренный процесс броуновского движения частицы).

^ Случайный процесс, протекающий в любой физической системе S, представляет собой случайные переходы системы из состояния в состояние. Состояние системы может быть охарактеризовано с помощью каких-то численных переменных; в простейшем случае — одной, а в более сложных — нескольких.

^ В нашем примере: состояние частицы характеризуется уже не одной,

а двумя случайными функциями X(t) и Y(t)— координатами частицы в поле зрения микроскопа. Такой случайный процесс называется векторным, он описывается переменным случайным вектором, составляющие которого X(t), Y{t) меняются с течением времени. Для фиксированного значения аргумента t случайный процесс превращается в систему двух случайных величин X{t), Y(t), изображаемую случайной точкой (случайным вектором Q(t)) на плоскости х0у (рис. 0.2). При изменении аргумента t точка Q(t) будет перемещаться («блуждать») по плоскости х0у так, как показано, например, на рис. 0.3 для моментов времени t1, t2, t3 ...





  1. +Сечение случайного процесса. Примеры.

Случайным процессом X(t) называется процесс,

значение которого при любом фиксированном t = to является случайной величиной X(t0).

Случайная величина X(to), в которую обращается с. п. при t = t0, называется сечением случайного процесса, соответствующим данному значению аргумента t.




  1. +Реализация случайного процесса. Примеры.

Реализацией случайного процесса X(t) называется неслучайная функция x(t), в которую превращается случайный процесс X(t) в результате опыта; другими словами, называют конкретный вид случайного процесса, который наблюдался на каком-то отрезке времени от 0 до τ



Реализации с. п. на каждом шагу встречаются на практике. Любая реализация случайного процесса x(t) принадлежит множеству возможных значений

случайного процесса

Например, записывая с помощью какого-то прибора напряжение V питания ЭВМ в зависимости от времени t на участке , получим реализацию u(t) c.п. U(t) (см. рис. 1.1.2, где U0— номинальное напряжение питания). Записывая температуру воздуха в в зависимости от времени t в течение суток, получим реализацию (рис. 1.1.3). Вообще, любая запись прибора-самописца представляет собой реализацию того или другого с. п.






  1. +Классификация случайных процессов.

В теории случайных процессов принято классифицировать их по тем или другим признакам, учитывая плавность или скачкообразность реализации, фиксированность или случайность моментов, в которые могут происходить скачки и т. д., вид закона распределения отдельного сечения процесса или совокупности его сечений и т. д.

В зависимости от характера множества Т значений аргумента /, в которые возможны переходы системы из состояния в состояние, а также

множества S самих состояний все случайные процессы можно разделить на четыре класса:

^ 1а. Процессы с дискретными состояниями и дискретным временем.

Пример

Некто купил m билетов выигрышного займа, которые могут выигрывать и погашаться в заранее известные моменты тиражей t1, t2, ... Случайный процесс X(t)—число билетов, выигравших до момента t.

^ 1б. Процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем.

Пример

техническое устройство может под действием случайных факторов находиться в одном из состояний: S1— работает исправно; S2 — работает с перебоями; S3—остановлено, ведется поиск неисправности; S4—ремонтируется; S5 — окончательно вышло из строя, списано. Сечение такого процесса представляет собой, как для каждого процесса с «качественными состояниями», обобщенную случайную величину дискретного типа, «возможные значения» которой описываются не численно, а словесно.

^ 2а. Процессы с непрерывными состояниями и дискретным временем.

Пример

В определенные моменты времени регистрируется температура воздуха в заданной точке пространства. Последовательность значений этой величины — случайный процесс с непрерывными состояниями и дискретным временем.

^ 2б. Процессы с непрерывными состояниями и непрерывным временем.

Пример

Процесс изменения напряжения U(t) в электросети питания ЭВМ представляет собой случайный процесс с непрерывными состояниями и непрерывным временем.


  1. + Случайный процесс с дискретным временем и дискретным состоянием. Примеры.

Процесс называется процессом с дискретными состояниями , если его возможные состояния S1, S2, S3, … можно заранее перенумеровать, и переход системы из состояния в состояние происходит практически мгновенно. В случае дискретного времени переходы из состояния в состояние могут происходить в строго определенные моменты времени.

Примеры:

1) процесс обстрела цели А моменты .... в ходе которого цель может менять свои состояния (не повреждена, частично выведена из строя, перестала функционировать, полностью разрушена и т. п.). Если рассматривается одномерный случайный процесс X(t) с дискретным временем (моменты ,...), то его сечения в эти моменты образуют последовательность случайных величин: ... В качестве аргумента последовательности может быть выбран номер значения момента перехода: ...


  1. + Случайный процесс с непрерывным временем и дискретным состоянием. Примеры.

Случайный процесс X(t) называется процессом с непрерывным временем, если переходы системы из состояния в состояние могут происходить в любой момент t наблюдаемого периода (тета).

Для процесса с непрерывным временем множество Т моментов, когда система меняет свое состояние, несчетно (они непрерывно заполняют рассматриваемый участок оси абсцисс). Примеры случайных процессов с непрерывным временем: 1) X(t) — число отказов технического устройства от начала работы до момента t; 2) броуновское движение частицы в поле зрения микроскопа; 3) число N(t) заболевших в данном городе в ходе развития эпидемии к моменту t.


  1. + Случайный процесс с дискретным временем и непрерывным состоянием. Примеры.

Случайный процесс, протекающий в системе, называется процессом с дискретным временем, если переходы системы из одного состояния могут осуществляться только в заранее определенные моменты времени называемые шагами этого процесса. В промежутках между соседними шагами система сохраняет свои состояния. Не исключается возможность, что на некоторых шагах система не изменит своего состояния.

Одномерный случайный процесс X(t) называется процессом с непрерывными состояниями, если его сечение в любой момент t представляет собой не дискретную, а непрерывную (или смешанную) случайную величину и, значит, множество ее значений S несчетно. Аналогично, многомерный (векторный) случайный процесс называется процессом с непрерывными состояниями, если при любом t множество возможных значений случайного вектора, oпределяющего состояние системы S, в которой протекает процесс, несчетно. Примеры с. п. с непрерывными состояниями: 1) напряжение U(t) питания ЭВМ в момент t; 2) давление газа P(t) в заданном резервуаре в момент t; 3) координаты частицы, совершающей броуновское движение X(t), Y(t), в момент t (двумерный случайный процесс с непрерывными состояниями); 4) параметры, характеризующие в момент t состояние космической ракеты, выводимой на орбиту (многомерный случайный процесс с непрерывными состояниями).


  1. + Случайный процесс с непрерывными состояниями и непрерывным временем.

Случайный процесс называется процессом с непрерывным временем, если переход системы из состояния в состояние возможен в любой, наперед неизвестный, случайный момент t.


  1. +Понятие потока событий.

Потоком событий называется последовательность однородных событий, появляющихся одно за другим в случайные моменты времени. Примеры: поток вызовов на телефонной станции, поток автомашин, подъезжающих на заправочную станцию, поток заболеваний гриппом в зимний сезон, поток забитых шайб при игре в хоккей, поток заявок на ремонт, поступающих в ремонтную организацию, поток отказов (сбоев) ЭВМ в ходе ее работы, поток электронов, вылетающих с катода радиолампы, поток электрических импульсов, поступающих от мозга в мышцу для ее возбуждения, и т. п.

События, образующие ноток, в общем случае могут быть и неоднородными, например если в потоке автомашин, прибывающих на заправку, различать легковые и грузовые.


  1. + Новый смысл термина «событие» в понятии «поток событий» по сравнению с вероятностным смыслом.

Термин «событие» в понятии поток событий совершенно отличен по смыслу от широко применяемого в теории вероятностей понятия случайное событие, под которым разумеется «всякий факт, который в опыте со случайным исходом может произойти или не произойти». О событиях, образующих поток, так говорить нельзя. В частности, не имеет смысла говорить о вероятностях событий, образующих поток (например, о вероятности вызова на телефонной станции; ясно, что рано или поздно вызов придет, и не один).

С потоком событий можно связывать различные случайные события, например: Л={в течение времени от to до to + (тета) придет хотя бы один вызов на телефонную станцию) или В={в течение того же времени придет ровно два вызова на телефонную станцию) и т. д. Вероятности таких событий можно вычислять.

«Поток событий» представляет собой в общем случае просто последовательность случайных точек ... на оси времени 0t (рис.) с разделяющими их случайными интервалами .... так что










  1. +Регулярный поток событий.

Поток событий, в котором интервалы между событиями строго одинаковы и равны определенной неслучайной величине т (рис). Такой поток событий называется регулярным. Примеры регулярных (вернее, практически регулярных) потоков представляют собой поток изменений минутной цифры на вокзальных электронных часах, поток изменений состояний ЭВМ, определяемый тактом ее работы, и т. п.




  1. +Некоторые свойства потоков событий.

  1. Ординарность. Поток событий называется ординарным, если события в нем появляются поодиночке, а не «пачками» по 2, 3 и т. д.


Дадим этому свойству математическую формулировку. Рассмотрим элементарный участок , примыкающий к точке t (рис.). Ординарность потока означает, что вероятность попадания на участок двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания на него ровно одного события, т. е. при эта вероятность представляет собой бесконечно малую высшего порядка.

  1. ^ Отсутствие последействия. Поток событий называется потоком без последействия, если для любых неперекрывающихся участков времени (рис.) числа событий

попадающих на эти участки, представляют собой независимые случайные величины, т. е. вероятность попадания любого числа событий на один из участков не зависит от того, сколько их попало на другие.



3. Стационарность. Поток событий называется стационарным, если все его вероятностные характеристики не меняются со временем. В частности, для стационарного потока событий вероятность попадания того или иного числа событий на участок длины



зависит только от длины этого участка и не зависит

от того, где именно на оси времени 0t этот участок

расположен.

  1. Интенсивность. Интенсивностью (t) потока событий называют среднее число событий приходящихся на единицу времени.

λ (t)=1/время




  1. + Ординарность потока событий. Примеры.

Поток событий называется ординарным, если события в нем появляются поодиночке, а не «пачками» по 2, 3 и т. д.


Дадим этому свойству математическую формулировку. Рассмотрим элементарный участок , примыкающий к точке t (рис.). Ординарность потока означает, что вероятность попадания на участок двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания на него ровно одного события, т. е. при эта вероятность представляет собой бесконечно малую высшего порядка.

Условие ординарности означает, что заявки на систему приходят по одному, а не парами, тройками и т.д. Однако, если заявки поступают только парами, только тройками и т.д., то такой поток легко свести к ординарному.


  1. +Интенсивность потока событий.

интенсивности λ (t) потока событий -— это среднее число событий, приходящееся на единицу времени, для элементарного участка Δt, примыкающего к t.



Интенсивность потока событий λ (t) может быть

любой неотрицательной функцией времени: λ (t) ≥0 и

имеет размерность .

Очевидно, среднее число событий ординарного по-

потока, приходящееся на интервал времени τ, примыкающий к точке t (рис.), равно



В частности, при постоянной интенсивности потока




  1. + Отсутствие последействия в потоке событий. Примеры.

Поток событий называется потоком без последействия, если для любых неперекрывающихся участков времени (рис.) числа событий

попадающих на эти участки, представляют собой независимые случайные величины, т. е. вероятность попадания любого числа событий на один из участков не зависит от того, сколько их попало на другие.



Отсутствие последействия в потоке означает, что для любого момента

времени t0 будущие моменты наступления событий потока (при )

не зависят от того, в какие моменты наступали события в прошлом (при , см. рис.). Если поток без последействия, ординарен и имеет постоянную интенсивность λ, то число событий X(t, τ), попадающих на участок времени длины τ (рис.),



имеет распределение Пуассона с параметром а = λ τ






  1. +Стационарность потока событий. Примеры.


Поток событий называется стационарным, если все его вероятностные характеристики не меняются со временем. В частности, для стационарного потока событий вероятность попадания того или иного числа событий на участок длины



зависит только от длины этого участка и не зависит

от того, где именно на оси времени 0t этот участок

расположен.

Это значит, что числа событий X1 (t1, τ )и X2 (t2, τ ), попадающих на два участка одинаковой длины τ (рис.), будут иметь одинаковое распределение. Отсюда следует, в частности, что для с т а -

ционарногопотока событий его интенсивность λ(t) постоянна:




  1. +Определение простейшего потока событий. Примеры.

Поток событий, обладающий всеми тремя свойствами, т. е. ординарный, стационарный и без последействия, называется простейшим (или стационарным пуассоновским) потоком. Для простейшего потока событий вероятность того, что на участке времени длины τ наступит ровно k событий, определяется по формуле





Где а = λ τ —интенсивность потока.


  1. +Поток событий с ограниченным последействием.

Будем так называть поток, у которого случайные интервалы Т12, ...Тn… (рис) между соседними по времени событиями представляют собой независимые случайные величины. Иногда поток с ограниченным последействием называют рекуррентным; это связано с тем, что при его моделировании применяется рекуррентная (последовательная) процедура: сначала разыгрывается величина Т1, затем Т2 и т.д.




  1. -Распределение промежутков времени между соседними событиями в потоке событий.



  1. +Распределение Пуассона.

Одним из наиболее распространенных дискретных распределения является распределение Пуссона, которое представляет распределение дискретной вероятности случайной переменной, представляющей число явлений, происходящих случайно и независимо с фиксированной средней частотой.

Распределение Пуассона используется, когда речь идет о событиях, появляющихся в промежутке времени или пространства.

Например:

- число машин, прибывших на автомойку в течение часа;

- число дефектов на новом отрезке шоссе длиной в 10 км;

- число мест утечки воды на 100 км водопровода;

- число остановок станков в неделю;

- число дорожных происшествий.


  1. +Граф состояний. Принципы построения.

Имеется две основные разновидности графов: неориентированные и ориентированные.

^ Неориентированный граф — совокупность точек (вершин графа) с соединяющими некоторые из них отрезками (ребрами графа).

Ориентированный граф — это совокупность точек (вершин) с соединяющими некоторые из них ориентированными отрезками (стрелками).

Вершины графа будут соответствовать состояниям системы. Вершину будем изображать прямоугольником, в который вписано обозначение состояния; стрелка, ведущая из вершины si в вершину sj, будет обозначать возможность перехода системы S из состояния si, в состояние sj непосредственно, минуя другие состояния. Стрелки графа могут изображаться не только прямолинейными, но и криволинейными отрезками (рис.). Сам граф системы S будем обозначать буквой G.

При нахождении вероятностей состояний марковской цепи на k-м шаге pi(k) (k = 1, 2, ...) удобно бывает пользоваться так называемым размеченным графом состояний системы S, где возле каждой стрелки, ведущей из состояния si в состояние sj, проставлена переходная вероятность pij; вероятности задержки на размеченном графе не проставляются, а просто получаются дополнением до единицы суммы вероятностей, стоящих у всех стрелок, ведущих из данного состояния si. Образец такого размеченного графа состояний показан на рис. 3.2.3.



Для этого графа состояний вероятности задержек равны:



Если состояние si является поглощающим (на графе из него не идет ни одной стрелки), то вероятность задержки в этом состоянии рij = 1. Теперь покажем, как найти для однородной цепи Маркова безусловную вероятность нахождения системы S на k-м шаге в состоянии sj (j = = 1,2 …n):



если задана матрица переходных вероятностей (или, что равнозначно, размеченный граф состояний) и начальное распределение вероятностей





  1. +Классификация состояний.

1. Состояние si называется источником, если система S может выйти из этого состояния, но попасть в него обратно уже не может, т. е, на графе G состояний в состояние si - не ведет ни одна стрелка. На рис.1 состояния s1 и s2 являются источниками.

рис.1.

2. Состояние si называется концевым (или поглощающим), если система S может попасть в это состояние, но выйти из него уже не может. Для графа состояний это означает, что из состояния si не ведет ни одна стрелка (для графа, изображенного на рис.2, состояния s4 и s7 — поглощающие; у графа, построенного на рис.1, поглощающих состояний нет).

рис.2.
3. Если система S может непосредственно перейти из состояния si в состояние sj, то состояние sj называется соседним по отношению к состоянию si. Если система S может непосредственно перейти из состояния si в состояние sj и из состояния sj в состояние si то состояния si, sj называются соседними.

Для графа состояний (рис.3) состояние s3 является соседним по отношению к состоянию s2, а состояния sj , S4 — нет, так как на графе нет стрелок, непосредственно связывающих эти состояния с состоянием s2.

На этом же графе состояния S1и s7 являются соседними.

^ 4. Состояние si называется транзитивным, если система S может войти в это состояние и выйти из него, т. е. на графе состояний есть хотя бы одна стрелка, ведущая в si, и хотя бы одна стрелка, ведущая из si. На рис. 4

все состояния, кроме источников s1, s5 и поглощающих s4, s7, транзитивны.

Рис.4.




  1. +Граф состояний процессов гибели и размножения.

si sj

Системы, состояния в которых образуется цепь (рис.), в которой каждое состояние si (кроме двух крайних s0 и sn) связано прямой и обратной связью с двумя соседними (перерисовать в одну линию)







, а каждое из двух крайних связано прямой и обратной связью только с одним соседним. Такая схема случайного процесса называется схемой гибели и размножения, а сам процесс — процессом гибели и размножения.

Термин «процесс гибели и размножения» ведет начало от биологических задач, где такими процессами описывается изменение численности биологических популяций; стрелки, ведущие слева направо, соответствуют увеличению численности (размножению) популяции, а справа налево—гибели входящих в нее особей. Однако применение схемы гибели и размножения далеко выходит за пределы биологических задач.

Если на графе состояний системы S стрелки, ведущие справа налево, отсутствуют, то говорят о процессе «чистого размножения»



в противоположном случае — о процессе «чистой гибели»




  1. +Марковский случайный процесс с дискретным временем и дискретными состояниями (цепи Маркова). Примеры.

Пусть имеется некоторая система S, которая в процессе функционирования может принимать различные состояния Si, i=1..n. Если состояния системы меняются случайным образом, то последовательность состояний системы образует случайный процесс.

Случайный процесс, протекающий в системе S, называется марковским, если для любого момента времени t0 вероятность любого состояния системы при t>t0 зависит только от ее состояния при t=t0 и не зависит от того, как и когда система пришла в это состояние. Если число состояний Si, которые система может принимать, конечно, то такие системы описывает марковский случайный процесс с дискретными состояниями, или марковская цепь .

Если переходы системы из одного состояния в другое возможны в строго определенные, заранее фиксированные моменты времени tj, то такую систему описывает марковский случайный процесс с дискретным временем. Марковский случайный процесс с диcкретными состояниями и дискретным временем называют дискретной марковской цепью.

Обычно марковскую цепь изображают в виде графа, вершины которого соответствуют возможным состояниям системы Si, а дуги - возможным переходам системы из состояния Si -> Sj. Каждой дуге соответствует переходная вероятность Pij(k)=P[Sj(k)/Si(k-1)] - это условная вероятность перехода системы на К-ом шаге в состояние Sj при условии, что на предыдущем (К-1)-ом этапе система находилась в состоянии Si.

Марковская цепь называется однородной, если переходные вероятности не зависят от номера шага. Если переходные вероятности меняются от шага к шагу, марковская цепь называется неоднородной.

Полным описанием однородной марковской цепи служит матрица переходных вероятностей





Для неоднородной марковской цепи требуется К матриц, где К- число шагов.

Определим для однородной марковской цепи вероятности всех состояний системы на каждом шаге по заданной матрице переходных вероятностей |Pij|, причем известно начальное состояние системы.

Пусть в начальный момент t0 система находится в состоянии Si.

Тогда Pi(0)=1, Pj(0)=0, j=1,2,..,n, j=/=i. Найдем вероятности состояний после 1-го шага P1(1)=Pi1, P2(1)=Pi2, ..., Pj(1)=Pij, ...,Pn(1)=Pin. Найдем вероятность состояний после 2-го шага, рассматривая следующий набор гипотез:

- после 1-го шага система была в состоянии S1;

- после 1-го шага система была в состоянии S2;

.............................................

- после 1-го шага система была в состоянии Sn.

Вероятности гипотез известны и равны вероятностям состояний системы после 1-го шага.

Тогда по формуле полной вероятности:

P1(2)=P1(1)*P11+P2(1)*P21+...+Pn(1)*Pn1

P2(2)=P1(1)*P12+P2(1)*P22+...+Pn(1)*Pn2

.......................................

n

Pi(2)= ∑ [Pj(1)*Pji] i=1,n

j=1

Аналогично после 3-го шага вероятности определяются выражением

n

Pi(3) = ∑ [Pj(2)*Pji] i=1,n

j=1

После К-го шага

n

Pi(k)= ∑ [Pj(k-1)*Pji i=1,n

j=1
Аналогично для неоднородной марковской цепи

n

Pi(k)= ∑ [Pj(k-1)*Pji(k)] (2)

j=1


  1. +Вероятности состояний, переходные вероятности.

При анализе случайных процессов, протекающих в системах с дискретными состояниями, важную роль играют вероятности состояний.

Обозначим S(t) состояние системы S в момент t.

Вероятностью i-го состояния в момент t называется вероятность события, состоящего в том, что в момент t система S будет в состоянии si обозначим ее



где S(t) — случайное состояние системы S в момент t.

Очевидно, что для системы с дискретными состояниями s1, s2, .... si, ... в любой момент t сумма вероятностей состояний равна единице:



как сумма вероятностей полной группы несовместных событий.

Вероятности называются переходными вероятностями марковской цепи на k-м шаге. Вероятность есть вероятность того, что на k -м шаге система задержится (останется) в состоянии si.

Переходные вероятности можно записать в виде квадратной таблицы (матрицы) размерности



Где

По главной диагонали матрицы стоят вероятности задержки системы в данном состоянии на k-м шаге.



(писать в одну строку)

Так как на каждом шаге система S может находиться только в одном из взаимно исключающих состояний, то для любой i-й строки матрицы сумма всех стоящих в ней вероятностей равна единице:




  1. +Вероятности задержки системы в i –том состоянии.

Вероятность есть вероятность того, что на k -м шаге система задержится (останется) в состоянии si.

Переходные вероятности можно записать в виде квадратной таблицы (матрицы) размерности



Где

По главной диагонали матрицы стоят вероятности задержки системы в данном состоянии на k-м шаге.



(писать в одну строку)

Так как на каждом шаге система S может находиться только в одном из взаимно исключающих состояний, то для любой i-й строки матрицы сумма всех стоящих в ней вероятностей равна единице:




  1. +Финальные (предельные) вероятности. Стационарный режим цепи Маркова.

При некоторых условиях в цепи Маркова с возрастанием k (номера шага) устанавливается стационарный режим, в котором система S продолжает блуждать по состояниям, но вероятности этих состояний уже от номера шага не зависят.

В некоторых случайных процессах прошествии достаточно большого времени τ устанавливается стационарный режим, во время которого состояния системы хотя и меняются случайным образом, но их вероятности

остаются постоянными. Обозначим эти постоянные вероятности рi:



Вероятности , если они существуют, называются финальными (предельными) вероятностями состояний.

Финальную вероятность pi можно истолковать как среднюю долю времени, которую в стационарном режиме проводит система S в состоянии si.
Такие вероятности называются предельными (или финальными) вероятностями цепи Маркова.

Например, если рассматривать ЭВМ в двух состояниях: s1 — исправна, s2 — не исправна (размеченный граф ЭВМ показан на рис.),



то имеет место следующая динамика изменения вероятностей (при начальных условиях p1(0) = 1, p2(0) = 0: p1 (l) = 0,7;

p1(2) = 0,61; p1(3) = 0,583; p1(4) = 0,5749.

В этом случае

=0,4/(0,4+0,3) = 0,5714. Таким образом, в рассматриваемой системе стационарный режим наступит практически через четыре шага.


  1. +Матрица переходных вероятностей. Принципы построения.

Матрицей переходных вероятностей цепи Маркова с конечным числом состояний k называется стохастическая матрица порядка k,

в которой строки соответствуют текущему состоянию цепи, столбцы — состоянию на следующем шаге, а на пересечении i-й строки j-го столбца стоит вероятность соответствующего перехода.

Переходные вероятности можно записать в виде квадратной таблицы (матрицы) размерности







По главной диагонали матрицы C.2.4) стоят вероятности задержки системы в данном состоянии на k-м шаге.



Так как на каждом шаге система S может находиться только в одном из взаимно исключающих состояний, то для любой i-и строки матрицы сумма всех стоящих в ней вероятностей равна единице:



Матрица, обладающая таким свойством, называется стохастической. Естественно, что все элементы стохастической матрицы отвечают условию




  1. ^ Дискретная цепь Маркова. Система линейных уравнений для нахождения вероятностей состояний.

Марковская цепь называется дискретной, если переход из одного состояния в другое происходит в строго фиксированные промежутки времени, отделенные друг от друга равными интервалами.

  1. Дискретная цепь Маркова. Нормировочное условие.



  1. Система с двумя возможными состояниями. Формула финальных вероятностей.

Вероятности , если они существуют, называются финальными (предельными) вероятностями состояний. Финальную вероятность pi можно истолковать как среднюю долю времени, которую в стационарном режиме проводит система S в состоянии si.

Введем очень важное для дальнейшего понятие марковского случайного процесса.

Случайный процесс, протекающий в системе S с дискретными состояниями s1, s2, ..., s3, ..., называется марковским, если для любого момента времени t0 вероятность каждого из состояний системы в будущем (при t > t0) зависит только от ее состояния в настоящем (при t = t0) и не зависит от того, когда и как она пришла в это состояние; т. е. не зависит от ее поведения в прошлом (при t < t0).


  1. ^ Дискретная цепь Маркова. Постановка задачи нахождения вероятностей состояний.




  1. +Непрерывная цепь Маркова. Определение, примеры.

Марковская цепь называется дискретной, если переход из одного состояния в другое происходит в строго фиксированные промежутки времени, отделенные друг от друга равными интервалами. Если же эти переходы возможны в любой момент времени t, то соответствующая марковская цепь называется непрерывной . Переход из одного состояния в другое может быть отображен графом состояний, в котором вершины представляют собой возможные состояния системы, а дуги графа отражают переходы из одного состояния в другое. Если две вершины i и j соединяются дугой (i,j), то это означает, что возможен непосредственный переход из состояния i в состояние j. Марковская цепь может, таким образом, быть представлена как случайное блуждание на графе состояний системы.

Непрерывные марковские цепи описывают функционирование систем, принимающих в процессе работы конечное число состояний

Si (i = 1, n)

и осуществляющих переходы из одного состояния в другое

(Si --> Sj, i, j = 1, n)

случайным образом в произвольный момент времени t. Иначе говоря, время пребывания системы в любом состоянии представляет непрерывную случайную величину.

Случайный процесс с непрерывным временем называется непрерывной марковской цепью, если поведение системы после произвольного момента времени t0 зависит только от состояния процесса в момент времени t0 и не зависит от предыстории процесса, предшествующей моменту времени t0.

Определим для непрерывной марковской цепи вероятности всех состояний системы для любого момента времени Pi(t), i = 1,n. Так как для любого момента времени t все состояния системы образуют полную группу событий, то

n

Pi(t) = 1

i=1


  1. Поток вероятности непрерывной цепи Маркова.

Случайный процесс с непрерывным временем называется непрерывной марковской цепью, если поведение системы после произвольного момента времени t0 зависит только от состояния процесса в момент времени t0 и не зависит от предыстории процесса, предшествующей моменту времени t0.

Определим для непрерывной марковской цепи вероятности всех состояний системы для любого момента времени Pi(t), i = 1,n. Так как для любого момента времени t все состояния системы образуют полную группу событий, то

n

Pi(t) = 1

i=1


  1. ?++Мнемоническое правило непрерывной цепи Маркова.

производная вероятности любого состояния равна сумме потоков вероятности, переводящих систему в это состояние, минус сумма всех потоков вероятности, выводящих систему из этого состояния.

По мнемоническому правилу составляются уравнения Колмогорова (4.1.6)




  1. ++Размеченный граф состояний для непрерывной цепи Маркова.

Дана матрица








  1. ++Система дифференциальных уравнений Колмогорова для непрерывной цепи Маркова.









  1. ++Нормировочное условие для непрерывной цепи Маркова.







  1. --Постановка задачи нахождения вероятностей состояний в непрерывной цепи Маркова.




  1. ++Стационарный режим непрерывной цепи Маркова. Случай двух состояний. Формулы для финальных вероятностей.






  1. ++ Матрица интенсивностей. Правила построения.

Уравнения Колмогорова (4.1.6) составляются по

следующему мнемоническому правилу: производная

вероятности любого состояния равна сумме потоков

вероятности, переводящих систему в это состояние,

минус сумма всех потоков вероятности, выводящих

систему из этого состояния.






  1. ++Связь между матрицей интенсивностей и графом состояний.







  1. ?++Мнемоническое правило непрерывной цепи Маркова.

производная вероятности любого состояния равна сумме потоков вероятности, переводящих систему в это состояние, минус сумма всех потоков вероятности, выводящих систему из этого состояния.

По мнемоническому правилу составляются уравнения Колмогорова (4.1.6)




  1. ++Размеченный граф состояний для непрерывной цепи Маркова.

Дана матрица






  1. ++Система дифференциальных уравнений Колмогорова для непрерывной цепи Маркова.









  1. ++Нормировочное условие для непрерывной цепи Маркова.







  1. --Постановка задачи нахождения вероятностей состояний в непрерывной цепи Маркова.




  1. ++Стационарный режим непрерывной цепи Маркова. Случай двух состояний. Формулы для финальных вероятностей.






  1. ++ Матрица интенсивностей. Правила построения.

Уравнения Колмогорова (4.1.6) составляются по

следующему мнемоническому правилу: производная

вероятности любого состояния равна сумме потоков

вероятности, переводящих систему в это состояние,

минус сумма всех потоков вероятности, выводящих

систему из этого состояния.







  1. ++Связь между матрицей интенсивностей и графом состояний.






  1. Понятие случайного процесса. Примеры. Определение случайного процесса.

  2. Сечение случайного процесса. Примеры.

  3. Реализация случайного процесса. Примеры.

  4. Классификация случайныхъ процессов.

  5. Случайный процесс с дискретным временем и дискретным состоянием. Примеры.

  6. Случайный процесс с непрерывным временем и дискретным состоянием. Примеры.

  7. Случайный процесс с дискретным временем и непрерывным состоянием. Примеры.

  8. Случайный процесс с непрерывными состояниями и непрерывным временем.

  9. Понятие потока событий.

  10. Новый смысл термина «событие» в понятии «поток событий» по сравнению с вероятностным смыслом.

  11. Регулярный поток событий.

  12. Некоторые свойства потоков событий.

  13. Ординарность потока событий. Примеры.

  14. Интенсивность потока событий.

  15. Отсутствие последействия в потоке событий. Примеры.

  16. Стационарность потока событий. Примеры.

  17. Определение простейшего потока событий. Примеры.

  18. Поток событий с ограниченным последействием.

  19. Распределение промежутков времени между соседними событиями в потоке событий.

  20. Распределение Пуассона.

  21. Граф состояний. Принципы построения.

  22. Классификация состояний.

  23. Граф состояний процессов гибели и размножения.

  24. Марковский случайный процесс с дискретным временем и дискретными состояниями(цепи Маркова). Примеры.

  25. Вероятности состоягний, переходные вероятности.

  26. Вероятности задержки системы в i –том состоянии.

  27. Финальные (предельные) вероятности. Стационарный режим цепи Маркова.

  28. Матрица переходных вероятностей. Принципы построения.

  29. Дискретная цепь Маркова. Система линейных уравнений для нахождения вероятностей состояний.

  30. Дискретная цепь Маркова. Нормировочное условие.

  31. Система с двумя возможными состояниями. Формула финальных вероятностей.

  32. Дискретная цепь Маркова. Постановка задачи нахождения вероятностей состояний.

  33. Непрерывная цепь Маркова. Определение, примеры.

  34. Поток вероятности непрерывной цепи Маркова.

  35. Мнемоническое правило непрерывной цепи Маркова.

  36. Размеченный граф состояний для непрерывной цепи Маркова.

  37. Система дифференциальных уравнений Колмогорова для непрерывной цепи Маркова.

  38. Нормировочное условие для непреывной цепи Маркова.

  39. Постановка задачи нахождения вероятностей состояний в непрерывной цепи Маркова.

  40. Стационарный режим непрерывной цепи Маркова. Случай двух состояний. Формулы для финальных вероятностей.

  41. Матрица интенсивностей. Правила построения.

  42. Связь между матрицей интенсивностей и графом состояний.

  43. Что такое энтропия физической системы?

  44. От чего зависит степень неопределенности системы?

  45. Свойства энтропии.

  46. Энтропия системы из двух равновероятностных состояний.

  47. Единицы измерения энтропии.

  48. Энтропия систиемы из n равновероятностных состояний.

  49. Полная иноформация системы.

  50. Информация одного сообщения.





ТСП



Скачать файл (5048.5 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru