Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Лекции. Оптимизация систем управления. Оптимальное управление и оптимальные мехатронные системы - файл ЛЕКЦИЯ 19.doc


Загрузка...
Лекции. Оптимизация систем управления. Оптимальное управление и оптимальные мехатронные системы
скачать (1529.3 kb.)

Доступные файлы (22):

desktop.ini
ЛЕКЦИЯ 10.doc410kb.15.06.2000 16:50скачать
ЛЕКЦИЯ 11.doc186kb.15.06.2000 16:51скачать
ЛЕКЦИЯ 12.doc241kb.15.06.2000 16:53скачать
ЛЕКЦИЯ 13.doc256kb.15.06.2000 16:54скачать
ЛЕКЦИЯ 14.doc2611kb.15.06.2000 16:56скачать
ЛЕКЦИЯ 15.doc239kb.15.06.2000 16:56скачать
ЛЕКЦИЯ 16.doc250kb.15.06.2000 16:58скачать
ЛЕКЦИЯ 17.doc218kb.15.06.2000 16:59скачать
ЛЕКЦИЯ 18.doc333kb.15.06.2000 17:00скачать
ЛЕКЦИЯ 19.doc255kb.15.06.2000 17:00скачать
ЛЕКЦИЯ 1.doc44kb.29.06.2000 15:08скачать
ЛЕКЦИЯ 20.doc277kb.15.06.2000 17:01скачать
ЛЕКЦИЯ 21.doc133kb.29.06.2000 15:02скачать
Лекция 2.doc343kb.15.06.2000 16:38скачать
ЛЕКЦИЯ 3.doc2930kb.15.06.2000 16:40скачать
ЛЕКЦИЯ 4.doc5790kb.15.06.2000 16:42скачать
ЛЕКЦИЯ 5.doc244kb.15.06.2000 16:43скачать
ЛЕКЦИЯ 6.doc4878kb.15.06.2000 16:44скачать
ЛЕКЦИЯ 7.doc204kb.15.06.2000 16:45скачать
ЛЕКЦИЯ 8.doc245kb.15.06.2000 16:46скачать
ЛЕКЦИЯ 9.doc474kb.15.06.2000 16:49скачать

ЛЕКЦИЯ 19.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...






ЛЕКЦИЯ 19
План лекции

  1. Задача об аналитическом конструировании регулятора для автономного объекта.

  2. Неотрицательно определенные, положительно определенные матрицы.

  3. Вывод матричного уравнения Риккати.

  4. Связь функции Беллмана с функцией Ляпунова.


4.4. Задача об аналитическом конструировании регулятора

Задача синтеза для линейных объектов управления, минимизирующего квадратичный критерий, называется задачей об аналитическом конструировании регуляторов. В этом случае оптимальный закон управления является линейным. Таким образом, задача об аналитическом конструировании регуляторов можно рассматривать как метод синтеза линейных систем.

1. Автономный случай. Рассмотрим автономный линейный объект управления

(4.51)

здесь A и B - постоянные матрицы, имеющие размерность соответственно m-мерный вектор управления, - n-мерный вектор состояния. Векторы u и x рассматриваются как векторы-столбцы. Будем искать управление, минимизирующее функционал

(4.52)

где Q и R - постоянные матрицы, имеющие соответственно размерности и . Матрица ^ Q предполагается неотрицательно определенной, а матрица R - положительно определенной. Пусть, далее, на вектор u не наложено ограничений, т.е. он может быть любым.

Матрица Q называется неотрицательно определенной, если для любого вектора . Матрица ^ R называется положительно определенной, если для любого вектора . Матрица C называется симметрической, если . В соответствии с критерием Сильвестра [17] для того, чтобы симметрическая матрица R была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все ее ведущие главные миноры были положительны. Ведущим главным минором порядка k называют определитель, составленный из элементов матрицы R, стоящих на пересечении первых k строк и первых k столбцов.

С помощью матриц Q и R в равенстве (4.52) заданы квадратичные формы и . Поскольку любую квадратичную форму можно задать с помощью симметрической матрицы, будем полагать, что матрицы Q и R симметрические.

В сформулированной задаче условия на правый конец траектории не налагаются. Однако функционал (4.52) может быть конечным лишь в том случае, если при .

Минимальное значение функционала (4.52) однозначно определяется начальным значением вектора x. Обозначим минимальное значение функционала . Хотя в рассматриваемой задаче оптимального управления правый конец траектории свободен, приведенный в п. 4.3 вывод уравнения (4.24) сохраняет свою силу, т.е. для рассматриваемой задачи функциональное уравнение Беллмана задается равенством (4.24). Таким образом, уравнение Беллмана имеет вид

(4.53)

Найдем уравнение, минимизирующее правую часть уравнения (4.53). для этого продифференцируем правую часть по u и приравняем полученную производную к нулю. Справедливы следующие формальные правила дифференцирования по вектору u:



В результате получим уравнение

(4.54)

Из уравнения (4.52) находим, что



или

(4.55)

Используя известное матричное тождество , равенство (4.55) перепишем в виде



Так как R - симметрическая матрица, то . Поэтому можно записать

(4.56)

Управление (4.56) минимизирует правую часть уравнения (4.53). Действительно



так как R - положительно определенная матрица. Таким образом, равенство (4.56) задает оптимальное управление.

Подставим оптимальное управление в уравнение (4.53). Получим уравнение



или

(4.57)

Уравнение (4.57) представляет собой уравнение в частных производных относительно неизвестной функции .

Решение уравнения (4.55) будем искать в виде положительно определенной квадратичной формы, т.е. положим



где K - симметрическая матрица. По правилу дифференцирования квадратичной формы

(4.58)

Подставим (4.58) в (4.57):

(4.59)

Равенство (4.59) можно переписать в виде

(4.60)

В левой части равенства (4.60) стоит квадратичная форма. Квадратичная форма обычно задается с помощью симметрической матрицы.

Матрица Q является симметрической. Покажем , что матрица также является симметрической. Действительно, в соответствии с известным матричным равенством можно записать



Запишем в равенстве (4.60) квадратичную форму с помощью симметрической матрицы. Для этого представим указанную квадратичную форму в виде



где - симметрическая матрица. Тогда равенство (4.60) принимает вид

(4.61)

В левой части равенства (4.61) стоит квадратичная форма. Эта квадратичная форма может равняться нулю только в том случае, если ее матрица равняется нулю. Таким образом, получим равенство

(4.62)

Уравнение (4.62) называется матричным уравнением Риккати. Матричное уравнение (4.62) позволяет определить искомую матрицу K. Оно эквивалентно системе из n2 уравнений.

Матричное уравнение (4.62) имеет не единственное решение. Из решений уравнения (4.62) необходимо выбрать такое, которое задает определенно положительную матрицу K. Такая матрица определяется однозначным образом.

Пусть K - положительно определенная матрица, являющаяся решением уравнения (4.62). в соответствии с (4.56) оптимальное управление задается равенством

(4.63)

Равенство (4.63) задает линейный закон управления, и, следовательно, оптимальная система (4.51), (4.63) является линейной.

Покажем, что для системы (4.51), (4.63) функция



является функцией Ляпунова.

В самом деле, - положительно определенная функция. Ее полная производная по времени, вычисленная в силу уравнений (4.51), имеет вид

(4.64)

Из уравнения (4.60) следует, что

(4.65)

Подставив (4.65) в (4.64), получим

(4.66)

Принимая во внимание (4.63), равенство (4.66)можно переписать в виде



Поскольку и являются положительно определенными квадратичными формами, то, следовательно,



для всех . В силу теоремы Ляпунова решение системы (4.51), (4.63) является асимптотически устойчивым.

Таким образом, синтез управления, минимизирующего функционал (4.52), приводит к устойчивой линейной системе. Такую оптимизацию можно рассматривать как один из методов синтеза линейных систем управления. Этот метод является несомненно полезным для синтеза многомерных систем управления.

Основную сложность при применении данного метода составляет решение матричного уравнения Риккати (4.62). В настоящее время разработаны стандартные программы (см., например математический пакет MatLab), которые позволяют легко численно решить матричное уравнение Риккати, выделить положительно определенную матрицу K и, таким образом, найти оптимальную синтезирующую функцию .


Скачать файл (1529.3 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru