Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Лекции. Оптимизация систем управления. Оптимальное управление и оптимальные мехатронные системы - файл ЛЕКЦИЯ 3.doc


Загрузка...
Лекции. Оптимизация систем управления. Оптимальное управление и оптимальные мехатронные системы
скачать (1529.3 kb.)

Доступные файлы (22):

desktop.ini
ЛЕКЦИЯ 10.doc410kb.15.06.2000 16:50скачать
ЛЕКЦИЯ 11.doc186kb.15.06.2000 16:51скачать
ЛЕКЦИЯ 12.doc241kb.15.06.2000 16:53скачать
ЛЕКЦИЯ 13.doc256kb.15.06.2000 16:54скачать
ЛЕКЦИЯ 14.doc2611kb.15.06.2000 16:56скачать
ЛЕКЦИЯ 15.doc239kb.15.06.2000 16:56скачать
ЛЕКЦИЯ 16.doc250kb.15.06.2000 16:58скачать
ЛЕКЦИЯ 17.doc218kb.15.06.2000 16:59скачать
ЛЕКЦИЯ 18.doc333kb.15.06.2000 17:00скачать
ЛЕКЦИЯ 19.doc255kb.15.06.2000 17:00скачать
ЛЕКЦИЯ 1.doc44kb.29.06.2000 15:08скачать
ЛЕКЦИЯ 20.doc277kb.15.06.2000 17:01скачать
ЛЕКЦИЯ 21.doc133kb.29.06.2000 15:02скачать
Лекция 2.doc343kb.15.06.2000 16:38скачать
ЛЕКЦИЯ 3.doc2930kb.15.06.2000 16:40скачать
ЛЕКЦИЯ 4.doc5790kb.15.06.2000 16:42скачать
ЛЕКЦИЯ 5.doc244kb.15.06.2000 16:43скачать
ЛЕКЦИЯ 6.doc4878kb.15.06.2000 16:44скачать
ЛЕКЦИЯ 7.doc204kb.15.06.2000 16:45скачать
ЛЕКЦИЯ 8.doc245kb.15.06.2000 16:46скачать
ЛЕКЦИЯ 9.doc474kb.15.06.2000 16:49скачать

ЛЕКЦИЯ 3.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...






ЛЕКЦИЯ 3
План лекции

  1. Принцип максимума в задаче на быстродействие.

  2. Полнота системы уравнений, задаваемых принципом максимума.

  3. Простейший пример на определение оптимального по быстродействию управления.


Получим из теоремы 2.1 необходимые условия оптимальности в задаче на быстродействие. Положим . Тогда функция (2.6) принимает вид

. (2.12)

Введём -мерный вектор и функцию

. (2.13)

В соответствии с уравнениями (2.7) вектор задаётся уравнениями

, . (2.14)

Обозначим

.

Из (2.12) и (2.13) следует, что если

,

то

.

Пусть и - оптимальные по быстродействию управление и траектория. Как следует из (2.8), (2.10), (2.12) и (2.13), в этом случае

.

Полученный результат сформулируем в виде ещё одной теоремы.

Теорема 2.2 (принцип максимума в задачах на быстродействие). Пусть и , , - допустимое управление и соответствующая ему траектория, переводящие фазовую точку из заданного начального положения в заданное конечное положение . Если управление и траектория являются оптимальными по быстродействию, то найдётся непрерывная вектор-функция , удовлетворяющая уравнениям (2.14), что:

1) в каждый момент времени , , функция , рассматриваемая как функция переменного , достигает в точке максимума

; (2.15)

2) выполнено условие нетривиальности решения системы уравнений (2.14)

;

3) в конечный момент времени

. (2.16)

Как и в случае теоремы 2.1, отметим, что если выполнены соотношения (2.14) и (2.15), то функция постоянна. Поэтому соотношения (2.16) можно проверять в любой момент времени .

Проанализируем теорему 2.1. Покажем, что она содержит “полную систему условий”, т. е. число условий совпадает с общим числом неизвестных.

При решении задачи необходимо найти функций , функций и функций , т. е. всего неизвестных функций. Для определения указанных функций можно воспользоваться уравнениями движения (2.1), уравнениями (2.7) и условиями максимума (2.8). Условия максимума (2.8) позволяют в каждый момент времени определить управления . Если, например, максимум функции достигается во внутренней точке области , то должны выполняться соотношения

, .

Далее, из указанных уравнений являются дифференциальными. Общее решение этих уравнений будет содержать произвольных констант. Неизвестно также время движения , т. е. общее число неизвестных чисел равно . Для нахождения указанных чисел можно использовать условий прохождения оптимальной траектории через заданные точки и , условие

.

Выше уже отмечалось, что теоремой 2.1 вектор определяется с точностью до постоянного положительного множителя. Поэтому всегда, например, можно положить

.

Таким образом, общее число условий совпадает с общим числом неизвестных. Поэтому можно ожидать, что условия теоремы 2.1 позволят выделить одну или несколько траекторий, проходящих через заданные точки и .Так как теорема 2.1 задаёт необходимые условия оптимальности, то оптимальная траектория будет находится среди выделенных траекторий.

К настоящему времени накоплен достаточно богатый опыт по применению принципа максимума для определения оптимального управления и оптимальной траектории. Этот опыт показывает, что задаваемые теоремой 2.1 (теорема 2.2 является частным случаем теоремы 2.1) необходимые условия оптимальности являются сильными в том смысле, что выделяемые ими управление и траектория, как правило, являются оптимальными. Далее, известно, что принцип максимума, как необходимое условие сильного минимума, не может быть усилен.

Пример 1. Рассмотрим объект, движение которого задаётся уравнением

, (2.17)

здесь - управляющий параметр, который должен удовлетворять условию

; (2.18)

где - заданное положительное число. В соответствии с формализмом принципа максимума представим уравнение (2.17) в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка:

, . (2.19)

Будем решать задачу о наибыстрейшем переводе фазовой точки системы (2.19) из заданного начального положения в начало координат (точку ). В качестве начальной точки будем рассматривать любую точку фазового пространства. Это позволит выделить всю совокупность оптимальных траекторий.

Воспользуемся теоремой 2.2. Составим функцию Гамильтона

.

Принимая во внимание неравенство (2.18), из условия максимума функции Гамильтона найдём

. (2.20)

Вспомогательные переменные и находятся из системы уравнений

, . (2.21)

Выпишем решение системы уравнений (2.21):

, ,

где и - произвольные константы. Тогда условие (2.20) принимает вид

(2.22)

Графиком функции является прямая линия, и поэтому функция может изменять знак не более одного раза. Из (2.22), таким образом, следует, что оптимальное управление является кусочно-постоянной функцией, принимающей значения и и имеющей не более двух интервалов постоянства управления. Обратно, любая такая функция может быть получена из (2.22) при соответствующем выборе постоянных и .

Найдём фазовую траекторию системы (2.19) при . Имеем:

, . (2.23)

Выразив из первого уравнения (2.23) время и подставив его во второе уравнение, получим

, (2.24)

где - произвольная постоянная. Аналогичным образом легко показать, что при фазовые траектории системы (2.19) являются параболами вида

, (2.25)

здесь - произвольная постоянная.

На рис. 2.3 и 2.4 представлены параболы семейств (2.24) и (2.25) соответственно.

По параболам семейства (2.24) фазовая точка движется снизу вверх, а по параболам семейства (2.25) - сверху вниз, так как в соответствии со вторым уравнением (2.19) при координата возрастает, и при убывает.



Рис. 2.3.



Рис. 2.4.

Рассмотрим фазовую траекторию, на начальном участке которой фазовая точка движется под воздействием управления по параболе семейства (2.24), а заканчивается движение под воздействием управления по параболе семейства (2.25). При этом заканчивается движение по той из парабол семейства (2.25), которая проходит через начало координат, так как конечной целью управления является перевод фазовой точки в начало координат. Указанная траектория изображена на рисунке 2.5 (линия ).


Рис. 2.5.

Если на начальном участке фазовая точка движется под воздействием управления , а заканчивается движение под воздействием управления то движение происходит по траектории , которая симметрична относительно начала координат траектории .

На рис. 2.6 изображена совокупность всевозможных оптимальных траекторий.



Рис. 2.6.

Эти траектории действительно являются оптимальными, так как для каждой начальной точки существует единственная траектория, удовлетворяющая необходимым условиям оптимальности (теореме 2.2), а по условию задачи ясно, что оптимальное управление существует.

Из рис. 2.6 видно, что переключение управления происходит на линии . Выше линии оптимальное управление , а ниже линии оптимальное управление . Линия является частью параболы семейства (2.25) и задаётся уравнением

, ,

а линия - частью параболы семейства (2.24) и задаётся уравнением

, .

Введём функцию



Тогда в каждый момент времени оптимальное управление

.

Если в уравнениях (2.19) положить то при каждом начальном условии решением системы уравнений (2.19) будет идущая в начало координат оптимальная по быстродействию траектория.


Скачать файл (1529.3 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru