Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Лекции. Оптимизация систем управления. Оптимальное управление и оптимальные мехатронные системы - файл ЛЕКЦИЯ 4.doc


Загрузка...
Лекции. Оптимизация систем управления. Оптимальное управление и оптимальные мехатронные системы
скачать (1529.3 kb.)

Доступные файлы (22):

desktop.ini
ЛЕКЦИЯ 10.doc410kb.15.06.2000 16:50скачать
ЛЕКЦИЯ 11.doc186kb.15.06.2000 16:51скачать
ЛЕКЦИЯ 12.doc241kb.15.06.2000 16:53скачать
ЛЕКЦИЯ 13.doc256kb.15.06.2000 16:54скачать
ЛЕКЦИЯ 14.doc2611kb.15.06.2000 16:56скачать
ЛЕКЦИЯ 15.doc239kb.15.06.2000 16:56скачать
ЛЕКЦИЯ 16.doc250kb.15.06.2000 16:58скачать
ЛЕКЦИЯ 17.doc218kb.15.06.2000 16:59скачать
ЛЕКЦИЯ 18.doc333kb.15.06.2000 17:00скачать
ЛЕКЦИЯ 19.doc255kb.15.06.2000 17:00скачать
ЛЕКЦИЯ 1.doc44kb.29.06.2000 15:08скачать
ЛЕКЦИЯ 20.doc277kb.15.06.2000 17:01скачать
ЛЕКЦИЯ 21.doc133kb.29.06.2000 15:02скачать
Лекция 2.doc343kb.15.06.2000 16:38скачать
ЛЕКЦИЯ 3.doc2930kb.15.06.2000 16:40скачать
ЛЕКЦИЯ 4.doc5790kb.15.06.2000 16:42скачать
ЛЕКЦИЯ 5.doc244kb.15.06.2000 16:43скачать
ЛЕКЦИЯ 6.doc4878kb.15.06.2000 16:44скачать
ЛЕКЦИЯ 7.doc204kb.15.06.2000 16:45скачать
ЛЕКЦИЯ 8.doc245kb.15.06.2000 16:46скачать
ЛЕКЦИЯ 9.doc474kb.15.06.2000 16:49скачать

ЛЕКЦИЯ 4.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...






ЛЕКЦИЯ 4
План лекции

  1. Математическая модель объекта и оптимизируемый функционал.

  2. Вид оптимального управления.

  3. Характер оптимальных траекторий.

  4. Линии переключения; уравнения, определяющие их.

  5. Структурная схема оптимальной системы.

Пример 2. По-прежнему рассматривается объект, движение которого задаётся уравнениями (2.19). Будем предполагать, что на управляющий параметр наложено ограничение

. (2.26)

В качестве критерия оптимизации рассмотрим функционал

, (2.27)

здесь - некоторое положительное число.

Функционал (2.27) является линейной комбинацией двух функционалов

и ,

один из которых задаёт время движения, а второй - расходуемые на управление ресурсы. Число является весовым коэффициентом, с помощью которого устанавливается компромисс между двумя этими критериями.

Требуется найти управление и траекторию, переводящие фазовую точку из заданного начального состояния в начало координат и минимизирующие функционал (2.27). В качестве начальных предполагается рассмотреть все точки фазовой плоскости.

В соответствии с теоремой 2.1 функция Гамильтона

. (2.28)

Вектор определяется уравнениями

, , . (2.29)

Выше уже отмечалось, что теоремой 2.1 вектор определяется с точностью до постоянного положительного множителя. Далее, поскольку , положим . Тогда функция (2.28) примет вид

. (2.30)

Для определения оптимального управления необходимо максимизировать функцию Гамильтона, как функцию управления, и в соответствии с (2.30) максимизация функции Гамильтона выливается в максимизацию функции

.

Представим в виде

(2.31)

Из условия максимума функции (2.31), принимая во внимание ограничение (2.26), найдём

(2.32)

здесь символом обозначено управление, максимизирующее функцию Гамильтона.

Введём в рассмотрение функцию “зоны нечувствительности” , которая определяется соотношениями



На рис. 2.7 приведён график функции .



Рис. 2.7.

Равенство (2.32) можно записать в виде

. (2.33)

В конечный момент времени , так как конечной целью управления является перевод фазовой точки в начало координат. Покажем, что

. (2.34)

Запишем равенство

. (2.35)

Если , то в соответствии с (2.33) , и из (2.35) следует

. (2.36)

Соотношение (2.36) противоречит второму условию (2.10). При , а при . Равенство (2.34) в этом случае также приводит к соотношению (2.36).

Из неравенства (2.34) следует, что в начало координат фазовая точка может попасть либо с управлением либо с управлением .

Проинтегрируем уравнения (2.29):

, . (2.37)

Строго говоря, уравнения (2.29) допускают решение

, . (2.38)

В этом случае соотношение (2.33) не определяет управление однозначным образом. Однако решение (2.36), как легко убедиться, противоречит условию

,

и поэтому его следует исключить из дальнейшего рассмотрения.

В соответствии с (2.37) график функции является прямой линией. Вид этой прямой определяется начальными условиями и . Далее, если

,

то в соответствии с неравенствами (2.34) .

Рассмотрим оптимальное управление и оптимальную траекторию, соответствующие функции , представленной на рис 2.8.


Рис. 2.8.

Управление в этом случае имеет вид, изображённый на рис 2.9.



Рис. 2.9.

Как следует из (2.24) и (2.25), при фазовая точка движется по параболе семейства

, (2.39)

а при - по параболе семейства

, (2.40)

здесь и - произвольные константы. При

,

,

т. е. при фазовая точка движется по прямой линии

. (2.41)

На рис. 2.10 изображено семейство прямых (2.41).



Рис. 2.10.

Таким образом, траектория, соответствующая изображённому на рис. 2.9 управлению , состоит из парабол соответственно семейств (2.39) и (2.40), соединенных между собой отрезком прямой (2.41) (рис. 2.11).

На заключительном участке фазовая точка движется по параболе семейства (2.40), причём по той из парабол семейства (2.40), которая проходит через начало координат. Эта парабола задаётся уравнением

,

а участок параболы, по которому фазовая точка переводится в начало координат - уравнением

, . (2.42)



Рис. 2.11.

Переключение управления с на происходит именно в точках участка параболы (2.42). Таким образом, можно записать

.

Линию, которая задаётся уравнением (2.42) обозначим .

Найдём линию, в точках которой происходит переключение уравнения с на .

Воспользуемся равенством . Для момента времени имеем

. (2.43)

В соответствии с рис. 2.8 и 2.9

, .

Из (2.43) следует

. (2.44)

Найдём время движения с управлением . Так как , , то из равенства



следует



или, принимая во внимание (2.44),

. (2.45)

В интервале фазовая точка движется под воздействием управления . Поэтому



или

.

Поскольку , то можно записать

. (2.46)

Точка лежит на линии и следовательно

. (2.47)

Подставив (2.47) в (2.46), получим

.

Далее, учитывая, что , можно записать

.

Итак, переключение управления с на происходит в точках кривой

, . (2.48)

Линию, задаваемую уравнением (2.48) обозначим .

Рассмотрев управление , представленное на рис. 2.12, аналогичным образом можно показать, что переключение управления с на происходит на линии

, , (2.49)

а переключение управления с на происходит на линии

, (2.50)



Рис. 2.12.

Линии, задаваемые уравнениями (2.49) и (2.50), обозначим соответственно и . Пусть далее , а .

Таким образом, на фазовой плоскости существуют две линии переключения и (см. рис. 2.13). Выше линии и управление , ниже линии и управление . В промежутке между линиями и . На рис. 2.13 жирными линиями выделены две фазовые траектории, которые удовлетворяют теореме 2.1. Только управления и траектории, задаваемые рис. 2.13, могут быть оптимальными.




Рис. 2.13.

Далее, поскольку для каждой начальной точки существует только одна траектория, удовлетворяющая необходимым условиям оптимальности (условиям теоремы 2.1), а по физическим соображениям существование оптимальных траекторий представляется вполне очевидным фактом, то это позволяет заключить, что полученные выше управления и траектории являются оптимальными.

Пусть



- уравнение линии , а



- уравнение линии . Тогда оптимальное управление можно задать равенством

(2.51)

Строго говоря, равенство (2.51) не задает значение оптимального управления на линии , хотя линия образована двумя оптимальными фазовыми траекториями системы (2.19). Как будет показано ниже (см. гл. 5), задание управления на линии переключения не требуется.

На рис. 2.14 изображена структурная схема оптимальной системы.



Рис. 2.14.

Если функции и имеют разные знаки, то и управление . Если указанные функции имеют одинаковые знаки, то и сигнал управления .


Скачать файл (1529.3 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru