Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Лекции. Оптимизация систем управления. Оптимальное управление и оптимальные мехатронные системы - файл ЛЕКЦИЯ 5.doc


Загрузка...
Лекции. Оптимизация систем управления. Оптимальное управление и оптимальные мехатронные системы
скачать (1529.3 kb.)

Доступные файлы (22):

desktop.ini
ЛЕКЦИЯ 10.doc410kb.15.06.2000 16:50скачать
ЛЕКЦИЯ 11.doc186kb.15.06.2000 16:51скачать
ЛЕКЦИЯ 12.doc241kb.15.06.2000 16:53скачать
ЛЕКЦИЯ 13.doc256kb.15.06.2000 16:54скачать
ЛЕКЦИЯ 14.doc2611kb.15.06.2000 16:56скачать
ЛЕКЦИЯ 15.doc239kb.15.06.2000 16:56скачать
ЛЕКЦИЯ 16.doc250kb.15.06.2000 16:58скачать
ЛЕКЦИЯ 17.doc218kb.15.06.2000 16:59скачать
ЛЕКЦИЯ 18.doc333kb.15.06.2000 17:00скачать
ЛЕКЦИЯ 19.doc255kb.15.06.2000 17:00скачать
ЛЕКЦИЯ 1.doc44kb.29.06.2000 15:08скачать
ЛЕКЦИЯ 20.doc277kb.15.06.2000 17:01скачать
ЛЕКЦИЯ 21.doc133kb.29.06.2000 15:02скачать
Лекция 2.doc343kb.15.06.2000 16:38скачать
ЛЕКЦИЯ 3.doc2930kb.15.06.2000 16:40скачать
ЛЕКЦИЯ 4.doc5790kb.15.06.2000 16:42скачать
ЛЕКЦИЯ 5.doc244kb.15.06.2000 16:43скачать
ЛЕКЦИЯ 6.doc4878kb.15.06.2000 16:44скачать
ЛЕКЦИЯ 7.doc204kb.15.06.2000 16:45скачать
ЛЕКЦИЯ 8.doc245kb.15.06.2000 16:46скачать
ЛЕКЦИЯ 9.doc474kb.15.06.2000 16:49скачать

ЛЕКЦИЯ 5.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...






ЛЕКЦИЯ 5
План лекции

  1. Условия оптимальности в задаче с закрепленным временем.

  2. Формулировка задачи оптимального управления с подвижными концами.

  3. Условия трансверсальности.

  4. Геометрическая интерпретация условий оптимальности

2.2. Задача с подвижными концами. Принцип максимума для неавтономных систем

1. Задача с закрепленным временем. Выше была сформулирована задача оптимального управления. При этом предполагалось, что время движения не задано. Поскольку уравнения (2.1) являются автономными, то можно положить начальный момент времени фиксированным, а конечный момент времени свободным.

Будем теперь считать, что моменты времени и фиксированы. Это приведёт к тому, что из необходимых условий минимума выпадет соотношение

. (2.52)

Таким образом, необходимые условия оптимальности для задачи с фиксированным временем движения задаются теоремой 2.1, из формулировки которой следует исключить условие (2.52). Отметим, что соотношение



по-прежнему сохраняет свою силу. Однако функция теперь не обязательно должна равняться нулю.

2. Задача с подвижными концами. Выше предполагалось, что начальное и конечное состояние системы строго определены, т.е. в фазовом пространстве заданы начальная и конечная точки, которые следует соединить оптимальной траекторией. Рассмотрим более общий случай. Предположим, что вместо начальной и конечной точек заданы начальное и конечное многообразия. Пусть многообразие задаётся уравнениями

(2.53)

а многообразие - уравнениями

(2.54)

Если n=3, а p=k=1, то многообразия и представляют собой поверхности в трехмерном фазовом пространстве. При n=3, p=2, k=1 многообразие задается как множество, образованное пересечением двух поверхностей (рис. 2.15), т.е. является линией в трехмерном фазовом пространстве, а многообразие по-прежнему представляет собой поверхность.



Рис. 2.15.

Функции и , , , будем полагать непрерывно дифференцируемыми по всем своим аргументам. Введем вектор



называемый градиентом функции .

Многообразие называется гладким, если в каждой точке следующие векторы

(2.55)

линейно независимы. Условие линейной независимости векторов (2.55) эквивалентно требованию, чтобы ранг матрицы



был равен p. Аналогичным образом определяется гладкость многообразия . В дальнейшем многообразия и полагаются гладкими.

Рассмотрим следующую задачу: требуется среди допустимых управлений u(t), переводящих фазовую точку x с многообразия на многообразие , найти такое, которое доставляет минимум функционалу (2.2). Так как в поставленной задаче концы траектории x(t) могут скользить по многообразиям и ,соответствующую задачу оптимального управления будем называть задачей с подвижными концами.

Пусть u(t) и x(t), , - управление и траектория, решающие поставленную выше задачу оптимального управления с подвижными концами. Но тогда найдутся точки и , лежащие соответственно на многообразиях и (рис. 2.15). Ясно, что управление u(t) и траектория x(t) являются оптимальными и в смысле рассмотренной в п.2.1 двухточечной задачи оптимального управления, т. е. управление u(t) и траектория x(t) должны удовлетворять принципу максимума (теореме 2.1).

Таким образом принцип максимума (теоремы 2.1 и 2.2) остается в силе и для задачи с подвижными концами. Однако в этом случае необходимо иметь некоторые дополнительные условия, которые позволили бы определить положение точек и на многообразиях и .

Для получения указанных дополнительных условий обратимся к п.1.5, в котором приводятся необходимые условия оптимальности, полученные методами классического вариационного исчисления. Дополнительные условия задаются соотношениями (1.79). Выпишем эти условия, используя обозначения, принятые в принципе максимума:

(2.56)
(2.57)

здесь и , , , - некоторые числа. Во избежание недоразумений отметим, что имеющееся в (1.79) дополнительное условие вида

(2.58)

в равенстве (2.56) опущено, так как − произвольное число, и, следовательно, соотношение (2.58) не несет какой-либо новой информации.

Будем говорить, что на левом конце траектории x(t) (в момент ) выполнено условие трансверсальности, если найдутся такие числа (), что имеют место соотношения (2.56). Аналогично, говорят, что на правом конце траектории x(t) выполнены условия трансверсальности, если найдутся такие числа (), при которых выполняются равенства (2.57). В смешанном случае, т. е. когда один конец траектории закреплен, а второй подвижен, условия трансверсальности следует относить к подвижному концу траектории.

Сформулируем окончательный результат. Необходимые условия оптимальности в задаче с подвижными концами заключаются в следующем:

  1. оптимальное управление u(t) и траектория x(t) должны удовлетворять принципу максимума (теореме 2.1 или 2.2);

  2. на подвижных концах траетории должны выполняться условия трансверсальности.

Условия трансверсальности являются теми дополнительными условиями, которые позволяют, в конечном счете, определить начальную и конечную точки, лежащие на многообразиях и . Действительно, координаты неизвестных точек и вместе с неопределенными множителями Лагранжа , , , , приводят к неизвестным числам. Для определения указанных чисел необходимо воспользоваться условиями трансверсальности (2.56), (2.57) и уравнениями (2.53), (2.54), т. е. число неизвестных совпадает с числом уравнений.

Формально условиями трансверсальности можно пользоваться и в том случае, когда в уравнениях (2.53) и (2.54) p=k=n .Уравнения (2.53) и (2.54) в этом случае задают соответственно начальную и конечную точки, т. е. имеет место двухточечная задача оптимального управления. Использовать условия трансверсальности в двухточечной задаче оптимального управления вряд ли целесообразно, так как это может только усложнить решение задачи.

Выясним геометрический смысл соотношений (2.56) и (2.57). Для этого запишем их в векторной форме:

; (2.59)

; (2.60)
Известно, что вектор

(2.61)
ортогонален к поверхности

(2.62)

в точке . Многообразие образовано пересечением поверхностей (2.53). Поэтому вектор (2.61), являясь ортогональным к поверхности (2.62), ортогонален и к многообразию , которое принадлежит поверхности (2.62). Таким образом, правая часть равенства (2.59) является линейной комбинацией векторов, каждый из которых ортогонален многообразию . Поскольку векторы (2.55) линейно независимы, то вектор (2.59) является ортогональным к многообразию в точке вектором общего положения. Аналогичным образом, можно показать, что вектор, стоящий в правой части равенства (2.60), является ортогональным к многообразию в точке вектором общего положения.

Вектор Y называется ортогональным к многообразию в точке , если он ортогонален к плоскости, которая касается многообразия в точке . Касательная к многообразию плоскость образуется пересечением p плоскостей, каждая из которых касается в точке одной из поверхностей

, .

Обозначим плоскость касательную к многообразию , а - плоскость касательную к многообразию .

Условия трансверсальности можно сформулировать в следующем виде. Говорят, что на правом конце траектории x(t) выполнено условие трансверсальности, если вектор ортогонален плоскости . Аналогичным образом формулируется условие трансверсальности и для левого конца траектории x(t).


Вектор (2.61) называется ортогональным к поверхности (2.62) в точке
, если он ортогонален плоскости, которая касается поверхности (2.62) в точке .



Скачать файл (1529.3 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru