Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Лекции. Оптимизация систем управления. Оптимальное управление и оптимальные мехатронные системы - файл ЛЕКЦИЯ 7.doc


Загрузка...
Лекции. Оптимизация систем управления. Оптимальное управление и оптимальные мехатронные системы
скачать (1529.3 kb.)

Доступные файлы (22):

desktop.ini
ЛЕКЦИЯ 10.doc410kb.15.06.2000 16:50скачать
ЛЕКЦИЯ 11.doc186kb.15.06.2000 16:51скачать
ЛЕКЦИЯ 12.doc241kb.15.06.2000 16:53скачать
ЛЕКЦИЯ 13.doc256kb.15.06.2000 16:54скачать
ЛЕКЦИЯ 14.doc2611kb.15.06.2000 16:56скачать
ЛЕКЦИЯ 15.doc239kb.15.06.2000 16:56скачать
ЛЕКЦИЯ 16.doc250kb.15.06.2000 16:58скачать
ЛЕКЦИЯ 17.doc218kb.15.06.2000 16:59скачать
ЛЕКЦИЯ 18.doc333kb.15.06.2000 17:00скачать
ЛЕКЦИЯ 19.doc255kb.15.06.2000 17:00скачать
ЛЕКЦИЯ 1.doc44kb.29.06.2000 15:08скачать
ЛЕКЦИЯ 20.doc277kb.15.06.2000 17:01скачать
ЛЕКЦИЯ 21.doc133kb.29.06.2000 15:02скачать
Лекция 2.doc343kb.15.06.2000 16:38скачать
ЛЕКЦИЯ 3.doc2930kb.15.06.2000 16:40скачать
ЛЕКЦИЯ 4.doc5790kb.15.06.2000 16:42скачать
ЛЕКЦИЯ 5.doc244kb.15.06.2000 16:43скачать
ЛЕКЦИЯ 6.doc4878kb.15.06.2000 16:44скачать
ЛЕКЦИЯ 7.doc204kb.15.06.2000 16:45скачать
ЛЕКЦИЯ 8.doc245kb.15.06.2000 16:46скачать
ЛЕКЦИЯ 9.doc474kb.15.06.2000 16:49скачать

ЛЕКЦИЯ 7.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...






ЛЕКЦИЯ 7

План лекции


  1. Модель объекта в матричной форме.

  2. Понятие о нормальной системе.

  3. Однозначность оптимального управления.

  4. Лемма о числе корней квазимногочлена.

  5. Формулировка теоремы о числе переключений.

2.3. Оптимизация по быстродействию линейных объектов управления.

1. Максимизация функции Гамильтона. Рассмотрим оптимизацию по быстродействию линейного объекта управления, движение которого задаётся системой уравнений с постоянными коэффициентами

(2.73)

Запишем систему уравнений (2.73) в матричной форме

(2.74)

где x=(x1, x2,…, xn)n-мерный вектор состояния системы, u=(u1, u2, …, um)m-мерный вектор управления, A и Bматрицы, имеющие размерности соответственно и . Векторы x и u являются векторами-столбцами.

Будем предполагать, что система уравнений (2.74) является нормальной [5], т.е. следующие матрицы

(2.75)

для всех j являются невырожденными, здесь - j-ый столбец матрицы B. Пусть, далее, область управления U представляет собой m-мерный параллелепипед, задаваемый неравенствами

(2.76) где

В соответствии с теоремой 2.2 запишем функцию Гамильтона



В матричной форме функция Гамильтона имеет вид

(2.77)

Вспомогательный вектор определяется уравнениями

(2.78)

Оптимальное управление u(t) доставляет функции Гамильтона в каждый момент времени t максимум. Так как первое слагаемое функции (2.77) не зависит от управления, то максимизировать необходимо функцию , которую представим в виде

(2.79)

Так как компоненты вектора u в соответствии с (2.76) могут изменяться независимо друг от друга, то из условия максимума функции (2.79) найдем

(2.80)



В соответствии с (2.80) оптимальные управления являются кусочно-постоянными функциями, принимающими значения Покажем, что для нормальной системы (2.74) соотношения (2.80) определяют оптимальное управление, за исключением конечного числа точек, однозначным образом.

Как следует из (2.80), компонента uk вектора управления u определяется неоднозначным образом, если



Вектор-функция - аналитическая функция, так как является решением системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами. Но тогда аналитической является и функция . Если функция обращается в нуль на бесконечном множестве точек t, то



Запишем это равенство в векторной форме

(2.81)

где bk – k-ый столбец матрицы B.

Продифференцируем тождество (2.81) (n-1) раз. Принимая во внимание уравнение (2.78), получим систему уравнений

(2.82)

Относительно вектора уравнения (2.82) являются системой линейных однородных алгебраических уравнений. Определитель такой системы



так как по предположению система уравнений (2.74) является нормальной. Из (2.82) следует тогда, что вектор



что противоречит пункту 2 теоремы 2.2.

Таким образом, из условия максимума функции (2.79) оптимальное управление u(t) определяется однозначным образом (за исключением конечного числа точек).

2.Теорема о числе переключений. В соответствии с равенством (2.80) оптимальные по быстродействию управления являются кусочно-постоянными функциями, принимающими значения причем переключение управления uk(t) происходит в момент обращения в нуль функции . Выше было установлено, что указанная функция обращается в нуль конечное число раз, т. е. число таких переключений в интервале конечно. Для определения оптимального управления очень важно заранее располагать информацией о возможном числе таких переключений. Оказывается, что для определённого класса линейных объектов управления удаётся получить такую информацию.

Прежде чем формулировать основной результат в виде теоремы, сформулируем и докажем следующую лемму [3].

Лемма. Пусть - различные вещественные числа, а - многочлены, имеющие степени соответственно . Тогда следующая функция ( квазимногочлен )

(2.83)

может обращаться в ноль не более чем раз.

Доказательство. При r=1 лемма справедлива , так как функция обращается в ноль в точках, в которых обращается в ноль многочлен , и следовательно имеет не более k1 нулей.

Предположим, что лемма справедлива, когда число слагаемых меньше r. Покажем, что в этом случае она справедлива и при r слагаемых. Это утверждение докажем методом от противного. Предположим, что при r слагаемых лемма неверна и функция (2.83) имеет по крайней мере нулей. Умножим (2.83) на , что не изменит её нулей. В результате получим функцию

(2.84)

Продифференцировав функцию (2.84) r+1 раз, получим

(2.85)

здесь - многочлены, имеющие ту же степень, что и многочлены . Поскольку между двумя нулями функции лежит по крайней мере один нуль её производной, то при каждом дифференцировании может “теряться” не более одного нуля, т.е. функция (2.85) имеет не менее



нулей. Но квазимногочлен (2.85) имеет r-1 слагаемых, числа - различны. По предположению для него справедлива лемма, и он может иметь не более чем нулей. Получили противоречие, которое доказывает утверждение о том, что если лемма справедлива для r-1 слагаемых, то она справедлива и для r слагаемых.

Дальнейшее доказательство леммы следует из метода математической индукции.

Перейдём теперь к формулировке теоремы. Во избежание недоразумений отметим, что рассматривается двухточечная задача оптимального управления, т. е. задача о наибыстрейшем переводе фазовой точки системы (2.74) из заданного начального положения x0 в заданное конечное положение x1.

Теорема 2.3. Если входящее в уравнение (2.74) матрица A имеет только вещественные собственные числа, а управления удовлетворяют теореме 2.2, то каждое из управлений является кусочно-постоянной функцией, принимающей значения , и имеет не более n-1 переключений, где n – порядок системы (2.74).

Доказательство. Из равенства (2.80) следует, что управление является кусочно-постоянной функцией, принимающей значения , а число переключений управления совпадает с числом нулей функции . Таким образом, для того, чтобы определить максимально возможное число переключений управления , необходимо установить, сколько раз может обращаться в ноль функция .

Пусть - различные собственные числа матрицы A. Тогда матрица имеет собственные числа , где . По условию теоремы матрица A имеет вещественные собственные числа. Но тогда и собственные числа матрицы также являются вещественными. Обозначим кратность собственного числа . Очевидно .

Как известно из теории линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, каждая функция , являющаяся решением уравнения (2.78), имеет вид

(2.86)

здесь - многочлены, причем степень многочлена не превосходит . Но тогда линейная комбинация будет иметь вид, аналогичный (2.86). Запишем

(2.87)

здесь - многочлен, имеющий ту же степень, что и многочлен . Применив к функции (2.87) доказанную выше лемму, найдём, что она может обращаться в ноль не более чем



раз. Теорема доказана.

Данную теорему называют теоремой о числе переключений. Она находит широкое применение при синтезе оптимального по быстродействию управления в задачах с одним управляющим параметром. Далее, нетрудно убедиться, применив принцип максимума для неавтономных систем, что теорема сохраняет свою силу, если вместо уравнений (2.74) рассматривать уравнение



где - некоторая известная вектор-функция.


Скачать файл (1529.3 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru