Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Лекции. Оптимизация систем управления. Оптимальное управление и оптимальные мехатронные системы - файл ЛЕКЦИЯ 9.doc


Загрузка...
Лекции. Оптимизация систем управления. Оптимальное управление и оптимальные мехатронные системы
скачать (1529.3 kb.)

Доступные файлы (22):

desktop.ini
ЛЕКЦИЯ 10.doc410kb.15.06.2000 16:50скачать
ЛЕКЦИЯ 11.doc186kb.15.06.2000 16:51скачать
ЛЕКЦИЯ 12.doc241kb.15.06.2000 16:53скачать
ЛЕКЦИЯ 13.doc256kb.15.06.2000 16:54скачать
ЛЕКЦИЯ 14.doc2611kb.15.06.2000 16:56скачать
ЛЕКЦИЯ 15.doc239kb.15.06.2000 16:56скачать
ЛЕКЦИЯ 16.doc250kb.15.06.2000 16:58скачать
ЛЕКЦИЯ 17.doc218kb.15.06.2000 16:59скачать
ЛЕКЦИЯ 18.doc333kb.15.06.2000 17:00скачать
ЛЕКЦИЯ 19.doc255kb.15.06.2000 17:00скачать
ЛЕКЦИЯ 1.doc44kb.29.06.2000 15:08скачать
ЛЕКЦИЯ 20.doc277kb.15.06.2000 17:01скачать
ЛЕКЦИЯ 21.doc133kb.29.06.2000 15:02скачать
Лекция 2.doc343kb.15.06.2000 16:38скачать
ЛЕКЦИЯ 3.doc2930kb.15.06.2000 16:40скачать
ЛЕКЦИЯ 4.doc5790kb.15.06.2000 16:42скачать
ЛЕКЦИЯ 5.doc244kb.15.06.2000 16:43скачать
ЛЕКЦИЯ 6.doc4878kb.15.06.2000 16:44скачать
ЛЕКЦИЯ 7.doc204kb.15.06.2000 16:45скачать
ЛЕКЦИЯ 8.doc245kb.15.06.2000 16:46скачать
ЛЕКЦИЯ 9.doc474kb.15.06.2000 16:49скачать

ЛЕКЦИЯ 9.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...






ЛЕКЦИЯ 9
План лекции

  1. Понятие о поверхности (гиперповерхности) переключения.

  2. Структура оптимальной поверхности переключения для объекта третьего порядка.

  3. Структура оптимальной поверхности переключения для системы произвольного порядка.

  4. Пример синтеза оптимальной по быстродействию САР для двигателя постоянного тока, работающего на инерционную нагрузку.

2. Синтез оптимального управления. Будем сначала предполагать, что в качестве задающих воздействий выбирается такой подкласс функций, для которого . Для объекта



таким подклассом будут, например, функции

,

где и - произвольные числа. Вообще, если входной сигнал представляет собой многочлен с произвольными коэффициентами, то он принадлежит к указанному подклассу в том случае, когда степень многочлена меньше порядка астатизма объекта управления. Для рассматриваемого подкласса входных воздействий уравнение (3.6) имеет вид

. (3.7)

Предположим, что уравнение (3.7) удовлетворяет теореме о числе переключений. Тогда любую идущую в начале координат траекторию можно разбить на участки, каждый из которых характеризуется управлением либо . Совокупность всевозможных идущих в начало координат оптимальных траекторий заполняет всё фазовое пространство. Таким образом, каждой точке фазового пространства ставится в соответствие некоторый знак управления, а всё фазовое пространство разбивается на две области, одна из которых характеризуется управлением , а другая - управлением . Границу, разделяющую эти области, обозначим и будем называть поверхностью переключения. Синтез оптимального управления сводится к построению в фазовом пространстве поверхности переключения.

Будем сначала предполагать, что . Выпишем уравнение

. (3.8)

В соответствии с теоремой о числе переключений оптимальная траектория в этом случае разбивается на три участка, на которых знаки управления чередуются.

Так как управления принимает значения , , то в начало координат фазовая точка может попасть либо с управлением , либо с управлением . Предположим, что на заключительном участке . Существует единственная траектория, которая является решением уравнения (3.8) при и проходит через начало координат. Обозначим эту траекторию (рис. 3.4).



Рис. 3.4.

Если на заключительном участке , то соответствующую траекторию обозначим . Объединение линий и обозначим :

.

Таким образом, заключительный участок любой оптимальной траектории обязательно лежит на линии .

Если на заключительном участке , то на участке, предшествующем заключительному, . Конец предпоследнего участка оптимальной траектории в этом случае лежит на линии . Конечной точкой предпоследнего участка может быть любая точка линии . Совокупность траекторий, примыкающих с управлением к линии , обозначим (один штрих означает управление , два штриха - управление ).

Если на заключительном участке оптимальной траектории , то предпоследний участок характеризуется управлением , причём конец предпоследнего участка лежит на линии . Совокупность траекторий, примыкающих с управлением к линии , обозначим . Пусть .

Ясно, что совокупность представляет собой поверхность в трёхмерном фазовом пространстве.

Покажем, что является поверхностью переключения, т. е. . Для этого рассмотрим множество возможных первых участков оптимальной траектории. Совокупность траекторий, примыкающих с управлением к полуповерхности (поверхность с краем) , обозначим , совокупность траекторий, примыкающих с управлением к полуповерхности , обозначим . Отметим, что . Очевидно, что совокупность совпадает со всем фазовым пространством системы.

Выше (см. 2.3) доказана теорема о том, что для линейного объекта оптимальная по быстродействию траектория единственна. Эта означает, что оптимальные фазовые траектории, имеющие одну и ту же конечную точку, не пересекаются. Но тогда траектории, входящие в совокупность , не могут пересекаться с траекториями, входящими в совокупность . Так как совокупность совпадает со всем фазовым пространством, то сказанное возможно лишь в том случае, если совокупность лежит по одну сторону от поверхности , а совокупность - по другую сторону от . Совокупность характеризуется управлением , а совокупность - управлением , т. е. по разные стороны от поверхности оптимальное управление имеет разные знаки. Таким образом, для системы третьего порядка .

На рис. 3.4 - пример оптимальной траектории. Рассмотрим теперь исходное уравнение (3.7). Для данного объекта указанным выше способом строятся совокупности , , . Рассматривая четвёртый участок движения (считая от конца), в полном соответствии с тем, как это делалось выше строится совокупность . Продолжая этот процесс, путём последовательного перехода от рассматриваемого участка к предыдущему, получим совокупности , , , . Совокупность представляет собой поверхность в -мерном фазовом пространстве. Аналогичным образом можно доказать, что .

Отметим, что из приведённых выше рассмотрений следует, что поверхность переключения состоит из “особых” точек фазового пространства, т. е. из таких точек, которые переводятся в начало координат с числом переключений управления, меньшим чем .

На первый взгляд кажется, что для реализации оптимального регулятора требуются не только основная перегородка - поверхность переключения, но и перегородки внутри самой поверхности переключения, чтобы реализовать переключение управления при переходе фазовой точки из многообразия в многообразие . В действительности это не так. В реальной оптимальной системе фазовая точка движется либо чуть выше, либо чуть ниже поверхности переключения, либо движение по поверхности переключения осуществляется в скользящем режиме. Поэтому для реализации оптимальной системы требуется “построить” только одну перегородку - поверхность переключения.

3. Пример 1. Рассмотрим объект, имеющий передаточную функцию

.

Такую передаточную функцию имеет, например, летательный аппарат по каналу крена на некоторых из режимов полёта. Движение объекта описывается уравнением

. (3.9)

Будем предполагать, что на управляющий параметр наложено ограничение

,

а задающее воздействие , здесь - произвольная константа.

Ошибка

,

и уравнение (3.9) принимает вид

. (3.10)

Так как уравнение (3.9) имеет второй порядок, то , т. е. поверхность переключения имеет размерность и, следовательно, представляет собой линию на фазовой плоскости.

Для определения линии переключения воспользуемся принципом “попятного движения” Фельдбаума. Введём обратное время , здесь - конечное время, - текущее время. Если в прямом времени траектория проходится от начала к концу, то в обратном времени - от конца к началу. Справедливы следующие соотношения:

,

,

.

Уравнение (3.10) можно записать в виде

. (3.11)

Полагая , найдём решение уравнения (3.11):

(3.12)

Перейдём в уравнениях (3.12) к производной по прямому времени:

(3.13)

Так как в обратном времени траектории и исходят из начала координат, то постоянные интегрирования и найдём из условий:

, .

Окончательно получим

(3.14)

Уравнения (3.14) определяют (в функции параметра ) в фазовом пространстве с декартовыми координатами и при линию , а при - линию .

На рис. 3.5 изображены линии и . Рассмотрев первые участки оптимальной траектории, легко установить, что выше линии оптимальное управление , а ниже линии оптимальное управление .



Рис. 3.5.

Обозначим - уравнение линии . Тогда оптимальное управление будет задаваться равенством .

На рис. 3.6 представлена структурная схема оптимальной системы.



Рис. 3.6.


Скачать файл (1529.3 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru