Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Лекции. Оптимизация систем управления. Оптимальное управление и оптимальные мехатронные системы - файл ЛЕКЦИЯ 12.doc


Загрузка...
Лекции. Оптимизация систем управления. Оптимальное управление и оптимальные мехатронные системы
скачать (1529.3 kb.)

Доступные файлы (22):

desktop.ini
ЛЕКЦИЯ 10.doc410kb.15.06.2000 16:50скачать
ЛЕКЦИЯ 11.doc186kb.15.06.2000 16:51скачать
ЛЕКЦИЯ 12.doc241kb.15.06.2000 16:53скачать
ЛЕКЦИЯ 13.doc256kb.15.06.2000 16:54скачать
ЛЕКЦИЯ 14.doc2611kb.15.06.2000 16:56скачать
ЛЕКЦИЯ 15.doc239kb.15.06.2000 16:56скачать
ЛЕКЦИЯ 16.doc250kb.15.06.2000 16:58скачать
ЛЕКЦИЯ 17.doc218kb.15.06.2000 16:59скачать
ЛЕКЦИЯ 18.doc333kb.15.06.2000 17:00скачать
ЛЕКЦИЯ 19.doc255kb.15.06.2000 17:00скачать
ЛЕКЦИЯ 1.doc44kb.29.06.2000 15:08скачать
ЛЕКЦИЯ 20.doc277kb.15.06.2000 17:01скачать
ЛЕКЦИЯ 21.doc133kb.29.06.2000 15:02скачать
Лекция 2.doc343kb.15.06.2000 16:38скачать
ЛЕКЦИЯ 3.doc2930kb.15.06.2000 16:40скачать
ЛЕКЦИЯ 4.doc5790kb.15.06.2000 16:42скачать
ЛЕКЦИЯ 5.doc244kb.15.06.2000 16:43скачать
ЛЕКЦИЯ 6.doc4878kb.15.06.2000 16:44скачать
ЛЕКЦИЯ 7.doc204kb.15.06.2000 16:45скачать
ЛЕКЦИЯ 8.doc245kb.15.06.2000 16:46скачать
ЛЕКЦИЯ 9.doc474kb.15.06.2000 16:49скачать

ЛЕКЦИЯ 12.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...






ЛЕКЦИЯ 12
План лекции

  1. Структура функционального преобразователя.

  2. Аппроксимация поверхности переключений методом сечений.

  3. Получение системы уравнений для нахождения оптимальной аппроксимации простейшего вида.

3.2. Аппроксимация поверхности переключения.

На рис. 3.9 изображена структурная схема оптимальной по быстродействию системы, из которой следует, что для реализации оптимального регулятора требуется функциональный преобразователь на два входа. Число входов функционального преобразователя определяется размерностью пространства, в котором осуществляется синтез оптимального управления. Например, если поверхность переключения строилась в -мерном фазовом пространстве, то для реализации оптимальной системы необходим функциональный преобразователь на входов.

Поверхность переключения после соответствующих расчётов, как правило, задаётся дискретно в виде некоторого массива чисел. Поэтому для реализации оптимального регулятора необходимо выполнить аппроксимацию поверхности переключения, т. е. получить для задания поверхности переключения аналитическую зависимость. Вид аппроксимирующей функции существенно зависит от того, какие вычислительные элементы будут использоваться при построении функционального преобразователя.

Цифровые вычислители обладают большой универсальностью и в этом смысле не накладывают практически никаких ограничений на формулу аппроксимирующего выражения. Но в оптимальной системе вычислитель работает в реальном масштабе времени, и поэтому при выборе аппроксимирующей функции следует стремиться к тому, чтобы уменьшить объём вычислений, необходимый для формирования сигнала управления. Аналоговый вычислитель мгновенно отрабатывает сигналы, поступающие на его вход. Однако он накладывает весьма жёсткие ограничения на вид аппроксимирующей функции.

Аппроксимация поверхности переключения для систем произвольного порядка рассмотрена в [5]. Однако строгий синтез оптимальной системы для объектов высокого порядка очень сложно осуществить на практике. Поэтому для систем высокого порядка, как правило, используют приближённые методы синтеза, о которых речь пойдёт ниже. На этом основании в данном параграфе мы остановимся на аппроксимации поверхности переключения только для систем третьего порядка.

Для систем третьего порядка поверхность переключения задаётся равенством

.

В процессе расчёта точек поверхности переключения легко построить сечения поверхности переключения какими-либо плоскостями, например,

.

На рис. 3.11 представлен вид таких сечений для одного конкретного объекта управления.

Каждое такое сечение можно аппроксимировать выражением вида

, (3.25)

здесь ( - номер сечения) - некоторые известные функции, а коэффициентов , например, определяются по методу наименьших квадратов, т. е. выбираются так, чтобы минимизировать среднюю квадратическую ошибку

. (3.26)

В равенстве (3.26) - расчётные точки. Коэффициенты определяются из уравнений

. (3.27)

Уравнение (3.27) приводит к системе линейных алгебраических уравнений порядка.

На практике в качестве аппроксимирующего выражения (3.25) часто используется многочлен, т. е.

, (3.28)

здесь неизвестными являются коэффициентов . Коэффициенты многочлена (3.28) зависят от сечения, т. е. являются функциями . Рассчитав для каждого сечения аппроксимацию (3.28), найдём, как зависят коэффициенты от переменной . Для коэффициентов , в свою очередь, можно построить аппроксимирующую зависимость, используя для этого, например, многочлены степени с неизвестными коэффициентами . Коэффициенты можно также определить по методу наименьших квадратов. В результате получим аппроксимацию вида

.

Применение для аппроксимации сечений многочленов не всегда оправдано. Вообще, при выборе аппроксимирующих зависимостей необходимо учитывать частные особенности сечений. В частности, весьма полезными могут оказаться ортогональные разложения.

Остановимся подробно на ещё одном способе аппроксимации, который, на наш взгляд, хорошо учитывает частные особенности поверхности переключения и который позволяет получить достаточно точную и сравнительно простую аппроксимирующую зависимость.

В дальнейшем будем считать, что - непрерывная функция, заданная в некоторой области . В силу симметрии поверхности переключения .

Будем функцию аппроксимировать выражением

,

полагая, что и - непрерывные функции. Функции и и неизвестные числа и найдём из условия минимума функционала

. (3.29)

Область () представляет собой параллелограмм, ограниченный прямыми

(3.30)

Найдём минимум функционала (3.29). Выберем произвольные непрерывные функции и и дадим и приращения и , а коэффициентам и - приращения и . В результате получим







Отметим, что, хотя область определяется через неизвестные коэффициенты и , она предполагается заданной. Поэтому коэффициенты и в равенствах (3.30) не варьируются. Задание области соотношениями (3.30) позволяет существенно упростить окончательный результат.

Если функции и доставляют минимум функционалу (3.29), то должны выполняться следующие условия:



;



;



;



; □ (3.31)

Введём новые переменные:

;

.

Предположим, что (в противном случае функции и можно привести к одному аргументу). Заменив в интегралах (3.31) переменные, получим

,

,



,



.□(3.32)

Учитывая, что уравнения (3.32) справедливы для произвольных функций и , найдём

,

,

,

. □ (3.33)

Соотношения (3.33) являются уравнениями Эйлера для функционала (3.29) и позволяют определить аппроксимирующие функции , и коэффициенты и .

Аппроксимация

(3.34)

позволяет легко построить функциональный преобразователь на два входа. Для этого требуется лишь два нелинейных преобразователя с одним входом и суммирующие звенья. Следует отметить, что, несмотря на простой вид, выражение (3.34) часто аппроксимирует поверхность переключения с довольно высокой точностью. Объясняется это частными особенностями поверхности переключения.

На рис. 3.11 изображены сечения поверхности переключения некоторого объекта управления плоскостями . Назовём сечение поверхности переключения плоскостью нулевым сечением.



Рис. 3.11.

Из рис. 3.11 видно, что любое сечение может быть получено приближённо путём сдвига (без вращения) нулевого сечения вдоль осей и . Это даёт возможность представить (приближённо) уравнение поверхности переключения в виде

. (3.35)

В равенстве (3.35) функция задаётся графиком нулевого сечения, функция учитывает смещение нулевого сечения вдоль оси , а функция - вдоль оси . Если считать функцию линейной (а это обычно имеет место), то равенство (3.35) является частным случаем аппроксимации (3.34). Этим и объясняется достаточно высокая точность аппроксимации (3.34).

Для численного решения системы уравнений (3.33) можно рекомендовать метод Ньютона, причём в качестве начальной точки поиска целесообразно использовать соответствующие значения, полученные по “методу сечений”. Хороший выбор начальный точки обеспечивает быструю сходимость метода Ньютона.


Скачать файл (1529.3 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru