Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Лекции. Оптимизация систем управления. Оптимальное управление и оптимальные мехатронные системы - файл ЛЕКЦИЯ 13.doc


Загрузка...
Лекции. Оптимизация систем управления. Оптимальное управление и оптимальные мехатронные системы
скачать (1529.3 kb.)

Доступные файлы (22):

desktop.ini
ЛЕКЦИЯ 10.doc410kb.15.06.2000 16:50скачать
ЛЕКЦИЯ 11.doc186kb.15.06.2000 16:51скачать
ЛЕКЦИЯ 12.doc241kb.15.06.2000 16:53скачать
ЛЕКЦИЯ 13.doc256kb.15.06.2000 16:54скачать
ЛЕКЦИЯ 14.doc2611kb.15.06.2000 16:56скачать
ЛЕКЦИЯ 15.doc239kb.15.06.2000 16:56скачать
ЛЕКЦИЯ 16.doc250kb.15.06.2000 16:58скачать
ЛЕКЦИЯ 17.doc218kb.15.06.2000 16:59скачать
ЛЕКЦИЯ 18.doc333kb.15.06.2000 17:00скачать
ЛЕКЦИЯ 19.doc255kb.15.06.2000 17:00скачать
ЛЕКЦИЯ 1.doc44kb.29.06.2000 15:08скачать
ЛЕКЦИЯ 20.doc277kb.15.06.2000 17:01скачать
ЛЕКЦИЯ 21.doc133kb.29.06.2000 15:02скачать
Лекция 2.doc343kb.15.06.2000 16:38скачать
ЛЕКЦИЯ 3.doc2930kb.15.06.2000 16:40скачать
ЛЕКЦИЯ 4.doc5790kb.15.06.2000 16:42скачать
ЛЕКЦИЯ 5.doc244kb.15.06.2000 16:43скачать
ЛЕКЦИЯ 6.doc4878kb.15.06.2000 16:44скачать
ЛЕКЦИЯ 7.doc204kb.15.06.2000 16:45скачать
ЛЕКЦИЯ 8.doc245kb.15.06.2000 16:46скачать
ЛЕКЦИЯ 9.doc474kb.15.06.2000 16:49скачать

ЛЕКЦИЯ 13.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...






ЛЕКЦИЯ 13
План лекции

  1. Понятие о скользящем режиме движения.

  2. Скользящий режим слежения и условия его существования.

  3. Режим слежения в оптимальных по быстродействию САР.

  4. Условия, при которых оптимальная по быстродействию САР является идеальной следящей системой.

3.3. Ошибки слежения в оптимальных по быстродействию САР.

Начиная с первых работ по оптимальному управлению [2], [15], в литературе большое внимание уделялось синтезу оптимальных по быстродействию систем автоматического управления. Однако, как следует из определения оптимального по быстродействию управления, оно обеспечивает наибыстрейший перевод системы в заданное состояние, т. е. оптимизирует в системе переходный процесс. При этом такая важная характеристика, как точность регулирования (точность слежения), выпадает из рассмотрения. Если при синтезе оптимального управления удаётся в полной мере учесть возможные входные воздействия, то оптимальная система воспроизводит их идеальным образом. Однако на практике такое встречается крайне редко. Необходимо также иметь в виду, что в технических системах оптимальный закон управления реализуется приближённо.

Рассмотрим объект, движение которого описывается уравнением

(3.36)

Здесь - регулируемая величина; - возмущающее воздействие; -управление; , , - некоторые числа. Предполагается, что на управляющий параметр наложено ограничение

. (3.37)

Введём ошибку , где - входное воздействие. В случае идеального слежения ошибка . Очевидно, идеальное слежение принципиально возможно лишь за таким входным воздействием, которое удовлетворяет неравенству

.

Будем предполагать, что имеет место строгое неравенство

.(3.38)

Подставим в уравнение (3.36)

, (3.39)

где , , .

Введём вектор . В векторном пространстве с декартовыми координатами , , , идеальному слежению соответствует начало координат. Синтезом оптимального управления будем называть построение такой функции , при которой управление переводит фазовую точку системы (3.39) из произвольного начального состояния в начало координат за минимально возможное время.

В данном разделе всюду предполагается, что при синтезе оптимального управления функция принимается равной нулю.

Оптимальное по быстродействию управление задаётся равенством

. (3.40)

Здесь

(3.41)

- уравнение поверхности переключения. Если входное и возмущающее воздействия таковы, что , то система (3.36), (3.40) идеальным образом воспроизводит входное воздействие, причём слежение за входным сигналом происходит в скользящем режиме. Решение устойчиво в целом или, по крайней мере, область притяжения этого решения совпадает с областью управляемости системы (3.36), (3.40).

Если , но слежение за входным сигналом по-прежнему происходит в скользящем режиме, то справедливо уравнение (3.41). Так как

,

уравнение (3.41) допускает решение

.

Таким образом, и в этом случае имеет место идеальное воспроизведение входного сигнала. Следует иметь в виду, что в силу структуры поверхности (3.41) в скользящем режиме движения траектории стягиваются к началу координат.

Остановимся на условиях существования скользящего режима. При получении условий существования будем предполагать, что оптимальный закон управления определяется равенством

. (3.42)

Введённые здесь изменения по отношению к закону (3.40) объясняются тем, что при синтезе оптимального управления входное воздействие обычно задаётся в форме многочлена. Если указанный многочлен имеет степени и , то , , , . Это даёт возможность представить оптимальный закон в форме (3.42). В законе управления (3.40) используются производные входного сигнала до -го порядка включительно, получение которого удаётся далеко не всегда. Поэтому оптимальный закон управления часто реализуют в форме (3.42).

В соответствии с работой [16] условия существования скользящего режима задаётся неравенствами





,





. □ (3.43)

Движение в скользящем режиме определяется уравнением

, (3.44)

где .

Найдём из (3.44) и подставим в (3.43). В результате получим неравенства

(3.45)

Условия (3.45), как легко видеть, эквивалентны следующим соотношениям:

(3.46)

Здесь - -мерная вектор-функция, представляющая собой решение уравнения (3.44).

Отметим, что неравенства (3.46) проверяются на решениях вырожденного уравнения (3.37). Первое из условий (3.46) представляет собой ограничение на выходной сигнал . Интересно отметить, что это ограничение совпадает с динамическими возможностями объекта (3.36). Второе условие (3.46) задаёт ограничение на вид функции . Если в равенстве (3.42) , т. е. рассматривается закон управления в форме (3.40), то второе неравенство (3.46) принимает вид

.

Как следует из структуры поверхности переключения, при любом порядке системы (3.36)

. (3.47)

Так как условия (3.46) являются достаточными, то равенство (3.47) необязательно приводит к срыву в точке скользящего режима движения. Очевидно соотношения (3.47) не приводят к срыву скользящего режима движения, если управление переводит фазовую точку из начала координат (точки ) в область, где , а управление - в область, где . Данное условие может быть проверено с помощью уравнений

, , , ,

.

При реализации оптимального регулятора функция , как правило, аппроксимируется некоторым выражением. Если используются аналоговые вычислительные элементы, то полученные аппроксимирующие зависимости, в свою очередь, аппроксимируются кусочно-линейными функциями. В конечном счёте получается оптимальный (квазиоптимальный) регулятор, для которого условие (3.47) не имеет место. Вместе с этим оказывается возможным, оценивая существование скользящего режима, ограничиться проверкой неравенств (3.46).

Остановимся более подробно на законе управления в форме (3.40). В этом случае, как уже отмечалось, скользящий режим обеспечивает идеальное воспроизведение любого входного сигнала, удовлетворяющего неравенству (3.38). Так как в режиме слежения , то в каждый момент времени

.

Из первого условия (3.46) вытекает, что

, (3.48)

т. е. первое условие (3.46) совпадает с неравенством (3.38).

В окрестности точки уравнение (3.39) можно приближённо представить в виде

, (3.49)

т. е. можно считать, что в окрестности начала координат поверхность переключения строилась в соответствии с уравнением

. (3.50)

Исходя из неравенства (3.48) и уравнения (3.50), нетрудно установить, что управление переводит фазовую точку системы (3.49) из начала координат в область , а управление - в область . Таким образом, для системы (3.36), (3.40) при любом входном воздействии, удовлетворяющем неравенству (3.38), в точке всегда выполняются условия существования скользящего режима.

Как уже отмечалось, при реализации оптимальной системы вместо функции используется аппроксимирующая функция . Аппроксимирующие функции могут быть весьма разнообразными. Однако, если при реализации оптимальной системы применяются аналоговые вычислительные элементы, то функция , как правило, является кусочно-линейной, причём в окрестности точки функция линейна и

.

Пусть в окрестности точки функция задаётся уравнением

. (3.51)

Непосредственно из соотношений (3.51) и (3.38) следует, что неравенство

(3.52)

гарантирует существование скользящего режима в точках поверхности переключения, принадлежащих некоторой окрестности начала координат. Поскольку при любых малых отклонениях от начала координат гарантируются выход фазовой точки на поверхность переключения и последующее движение (в скользящем режиме) по указанной поверхности, то решение является устойчивым, если устойчиво вырожденное уравнение (3.51).

Таким образом, если для объекта (3.36) оптимальный закон управления реализуется в форме

. (3.53)

и - кусочно-линейная функция, для которой справедливо неравенство (3.52), и, кроме того, вырожденное уравнение (3.51) устойчиво, то в системе (3.36), (3.53) любое допустимое входное воздействие воспроизводится идеальным образом. При этом решение устойчиво в малом.

Законы управления в форме (3.53) и (3.40) обеспечивают идеальное воспроизведение входного сигнала, причём не требуется измерение возмущающего воздействия . Однако это возможно лишь при использовании чистых производных. Если вместо производных выходной величины в законе управления применяются “естественные” координаты объекта (ток, давление и т. п.), то возмущающее воздействие через “естественные” координаты войдёт в вырожденное уравнение движения. В этом случае идеальное слежение возможно только при измерении возмущающего воздействия.

В отличие от соотношений (3.40) и (3.53) закон управления в форме (3.42) не обеспечивает идеального слежения за произвольным допустимым входным сигналом. Действительно, движение в скользящем режиме в этом случае описывается уравнением

.(3.54)

Функция является решением уравнения (3.54) только при условии, что .

Применение уравнений (3.54) для оценки точности режима слежения в общем случае затруднительно. Однако, если в (3.42) , т. е. уравнение (3.54) имеет вид

, (3.55)

то можно рекомендовать следующий подход. Вместо входного воздействия зададим выход системы , который должен удовлетворять первому неравенству (3.46). Используя уравнение (3.55), по заданному выходу легко найти соответствующее ему входное воздействие . Сравнивая и , можно сделать заключение о точности слежения. Отметим, что указанный подход может быть использован и в том случае, когда поверхность переключения задана численно в виде таблицы, как это часто бывает после выполнения соответствующих расчётов по синтезу оптимального управления.

Если в равенстве (3.54) - аппроксимирующая кусочно-линейная функция, то анализ системы существенно упрощается, так как уравнение (3.54) может быть легко проинтегрировано при произвольном входном воздействии. Однако и в этом случае удобно задаваться не входом системы, а её выходом. Действительно, относительно функции уравнение (3.54) имеет более низкий -й порядок. Функцию всегда можно выбрать так, чтобы выполнялось первое условие (3.46). Так как второе условие в оптимальных и квазиоптимальных системах, как правило, выполняется, то, следовательно, удаётся исключить из рассмотрения участок выхода системы на скользящий режим движения. Это, вообще говоря, сделать невозможно, если задавать входное воздействие . Отметим, что, как следует из приведённых выше рассуждений, неравенства (3.46) сохраняют свою силу и для кусочно-гладкой функции .

Если в оптимальном законе управления используются “естественные” координаты объекта, то описанные выше приёмы оценки точности режима слежения можно сохранить, воспользовавшись методом эквивалентного управления [16]. Очень часто “естественные” координаты объекта можно легко выразить через выходную координату и её производные. Это позволяет для оценки точности режима слежения непосредственно использовать уравнение (3.44).

Сделаем одно уточняющее замечание. Следящую систему, которая без ошибки воспроизводит любое допустимое входное воздействие, т. е. воздействие, удовлетворяющее неравенству (3.38) назовём идеальной. Выше было установлено, что система (3.36), (3.40) является идеальной следящей системой. При этом поверхность (3.41) необязательно должна соответствовать оптимальному закону управления. Нетрудно показать, что справедливо и обратное утверждение: если детерминированная следящая система является идеальной, то её закон управления задаётся в форме (3.40).

Сформулируем последний результат более строго. Будем предполагать, что в законе управления следящей системы может использоваться информация о входном и выходном сигналах, а также об их производных и первообразных, т. е.

.(3.56)

Соотношение (3.56) охватывает все возможные случаи применения линейных и нелинейных корректирующих устройств. В равенстве (3.56) следует положить , так как в соответствии с (3.36) переменные , , , однозначно задают управление . Справедливо следующее утверждение: если следящая система (3.36), (3.56) является идеальной, то закон управления (3.56) имеет вид (3.40). Отсюда, в частности, следует, что только релейный закон управления может обеспечить идеальное воспроизведение любого допустимого входного воздействия.


Скачать файл (1529.3 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru