Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Лекции по автоматике - файл Лекции1_ЧастьII.rtf


Лекции по автоматике
скачать (1079.8 kb.)

Доступные файлы (2):

Лекции1_ЧастьII.rtf7534kb.28.01.2008 20:29скачать
Лекции1_ЧастьI.rtf6327kb.28.01.2008 20:27скачать

содержание
Загрузка...

Лекции1_ЧастьII.rtf

  1   2   3
Реклама MarketGid:
Загрузка...








  1. Параллельное включение звеньев.


Определим передаточную функцию системы:



- для параллельного соединения звеньев.
Переходная характеристика системы равна сумме переходных характеристик звеньев, т.е.




Частотные характеристики:






План построения ЛЧХ системы:

  1. По ЛЧХ звеньев построить АФХ звеньев.

  2. По АФХ звеньев построить АФХ системы.

  3. По АФХ системы построить ЛЧХ системы.


  1. Встречно-параллельное соединение динамических звеньев.




  1. Контур с отрицательной обратной связью.




Сигнал с выхода цепи обратной связи вычитается из входного воздействия, поэтому обратная связь называется отрицательной.

Ф(р) – передаточная функция замкнутой системы (часто обозначается Wз(р)).



Составим систему уравнений контура

Тогда






  • передаточная функция контура с отрицательной обратной связью.


Wпк(р) – передаточная функция прямого канала,

Wос(р) – передаточная функция канала обратной связи,

Wпк×Wос(р) – передаточная функция разомкнутой системы.

Правило определения Ф (р) приведено ранее.

Контур с неединичной обратной связью может быть преобразован к контуру с единичной отрицательной обр. связью:

где



Эквивалентная структурная

схема контура с ООС.


    1. Контур с положительной обратной связью.







где


^ Частотные характеристики контура с ООС.

– частотная передаточная функция контура.

Рассмотрим три случая при единичной ООС:

Wос(jw)=1 Þ Перейдём к логарифмическим характеристикам:

  1. Для малых частот, т.е. w<<wсреза, пк(w)>>1) и единицей можно пренебречь, тогда т.е. при малых частотах логарифмическая ампл.- част. характ. контура идёт » по оси w, а передаточный коэффициент замкнутой системы kз »1.

  2. При больших частотах, т.е. w>>wср., Апк(w)<<1, поэтому величиной Апк(w) пренебрегаем, тогда

  3. w»wср (частоты отличаются на 1¸2 декады). В этом случае пользуются намограммой замыкания (намограммой Никольса).


^ Преобразование структурных схем.
Используется для упрощения анализа САУ, составления передаточных функций и дифференцианальных уравнений. Преобразования схем проводят так, чтобы контуры не пересекались, а чтобы один контур входил внутрь другого. Закон изменения выходного сигнала не должен изменяться в результате эквивалентного преобразования структуры.


Исходная структура системы

Эквивалентная структура системы

  1. Перенос точки суммирования сигналов со входа на выход


Уравнение выходной координаты:




Wф(p) - фиктивная передаточная функция

  1. Перенос точки суммирования сигналов с выхода на вход


Уравнение выходной координаты:






  1. Перенос точки съема со входа звена на его выход







  1. Перенос точки съема сигнала с выход на входа звена.





  1. Перестановка сумматоров






  1. Вынос точки разветвления из встречно-параллельного соединения.






Пример. Определить передаточную функцию системы заданной структуры путем эквивалентных преобразований к одному звену.
Исходная структурная схема:




а)




б)
Переносим точку суммирования сигналов


в)







г)



д)
е)


Пример2. Преобразовать заданную структурную схему по каналу возмущения с целью приведения ее к удобному виду для пользования номограммой замыкания.


Исходная структурная схема:

F - возмущающее воздействие.

Найти передаточную функцию по каналу возмущения предполагая U(p)=0 (входное воздействие отсутствует), или Dy - отклонение y только от ¦.

Преобразуем схему:

а)
W1 для ¦ находится в обратной связи.
б)

в)


д)


ЛЧХ контура с ед. отрицательной обратной связью можно найти по ЛЧХ замкнутой системы с использованием номограммы.

г)



Методика построения логарифмических частотных характеристик САУ


  1. Статические системы.

Пусть передаточная функция разомкнутой статической САУ, состоящей из минимально-фазовых звеньев Iпорядка, имеет вид: в реальных системах n£(m-n).

Отобразим W(р) в область преобразований Фурье; преобразуем математическое описание каждого элементарного звена к форме и рассмотрим в порядке убывания величины Тi:

Тогда

т.е.




Алгоритм построения ЛАЧХ:

  1. На оси w нанесите точки wi=1/Ti. Проведите через эти точки вертикальные штриховые линии.

  2. Проведите контурную линию с ординатой 20lgk слева до первой вертикальной линии.

  3. До следующей вертикальной линии проведите контурную линию с наклоном
    -20 дБ/дек´u(u – количество элементарных звеньев с одинаковыми Ti), если звенья апериодические, или +20 дБ/дек´u для дифференцирующих звеньев первого порядка.

  4. Уменьшите (увеличьте) наклон на -20 дБ/дек´u (+20 дБ/дек´u) на следующий вертикальной линии до полного построения L(w).

Примечания:

  1. Для построения ЛАЧХ звена второго порядка используются приведенные характеристики в технической литературе или строятся по точкам вблизи wi=1/Ti, вдали с асимптотами : левой 0 дБ , правой -40 дБ/дек для колебательного звена и +40 дБ/дек для звена дифференцирующего второго порядка.

  2. Правило построения ЛЧХ систем с неминимально-фазовыми звеньями остаётся тем же.

  3. ЛФЧХ строятся с использованием шаблонов или по точкам, рассчитанным аналитически.



  1. Астатические системы.

Построение ЛАЧХ аналитических систем 1-го порядка начинается с определения wi=k - общий коэффициент усиления разомкнутой цепи регулирования и построения вспомогательной прямой с наклоном -20 дБ/дек влево от wi; затем слева до первой штриховой вертикальной линии, построенной по пункту 1 алгоритма, по этой прямой проводится контурная линия и далее по правилу построения, кроме пункта 2 wi называют БАЗОВОЙ ЧАСТОТОЙ.

Построение ЛАЧХ астатических систем 2-го порядка отличаются от построения ЛАЧХ астатических систем 1-го порядка значением частоты и наклоном вспомогательной линии -40 дБ/дек, в остальном методика построения совпадает.

  1. ЛЧХ контура с отрицательной обратной связью.

    1. Аналитический метод построения ЛЧХ контура с единой ООС.




отсюда






    1. Построение ЛЧХ контура по номограмм замыкания (Никольса).

Пусть амплитудно-фазовая частотная функция замкнутой системы имеет вид
(1) причем



Амплитудную и фазовую частотные функции замкнутой системы Аз(w) и jз(w) можно выразить через А(w) и j(w) разомкнутой цепи.

Согласно формуле (1) имеем или, взяв обратные величины слева и справа, получим новое равенство

Подставим сюда и приравняем, затем отдельно вещественные и мнимые части. Получим два равенства

Сложив сначала квадраты этих выражений, а затем поделив одно из них на другое, получим искомый результат



Чтобы не иметь дело на практике с этими формулами, составлены НОМОГРАММЫ замыкания.




Отложив на осях абсцисс и ординат заданные значения j(w) и 20lgА находим значение 20lgАз(w) и jз(w) на поле номограммы в точке с этим координатами. Таким образом, по точкам строится вся частотная характеристика замкнутой системы.

По LA(w) и QA(w) определяются Lk(w) и Qk(w).

При ½WA(jw)½>>1 ½Wk(jw)½»1; а при ½WA(jw)½<<1 Wk(jw)»WA(jw), Lk(w)»WA(w) и Qk(w)»QA(w).

Это значит, что на низких частотах ЛАЧХ замкнутого контура асимптотически стремится к » 0 дБ, а ЛАЧХ к 0 градусов; на высоких частотах Lз(w) асимптотически стремится к высоко частотной асимптоте L(w), а Qр»Qз.

Если контур с неединичной ООС, то его преобразовать к контуру с единичной ООС. Тогда ЛЧХ замкнутой системы строится в два приёма:

вначале стоятся ЛЧХ контура с ед. ООС, где WА(jw)=WПК(jw)×WОС(jw), затем строятся ЛЧХ функции и, наконец, результирующие ЛЧХ системы: и

  1. Параллельное соединение звеньев.

Передаточные функции последовательно-параллельные цепи преобразуем следующим образом:


Тогда ЛЧХ системы опреднляется по уравнениям:



где

LkШ(w) и QkI(w) могут быть построены по номограмме замыкания, используя ЛЧХ динамических звеньев:

Структурную схему сколь угодно сложного вида можно упростить и построить логарифмические частотные характеристики.

  1. ^ Построение вещественной частотной характеристики контура с единичной ООС по номограмме.

Вещественная частотная характеристика замкнутой системы можно определить по заданным ЛЧХ разомкнутой цепи системы. Для этого подставим выражение в формулу Получим

Выделим вещественную часть из этого выражения По этому выражению построена номограмма в плоскости L и Q разомкнутой системы. При L>28 дБ P(w)»1 и при L<-28 дБ P(w)»0. Значение P(w) вблизи точки L=0 и Q = -180° с большей точностью можно определить по специальным таблицам.

Построены номограммы и для определения ВЧХ замкнутой системы с неединичной ООС Po(w)=F(Lo, Qo).

Пользуются номограммой следующим образом: на поле номограммы отыскивается точка, соответствующая значениям L и Q при выбранной частоте wi, кривая P(w)=const определяет значение P(wi);

если точка расположена между кривыми, то P(wi) определяется путем интерполирования двух ближайших кривых P(w)=const.
Устойчивость САУ.
Первый этап проектирования системы – исследование устойчивости САУ.

Свойство системы приходить в исходное состояние после снятия возмущения называется устойчивостью.

Определение.

Кривые 1 и 2 характеризуют устойчивую систему, кривые 3 и 4 характеризуют системы неустойчивые.

Системы 5 и 6 на границе устойчивости: 5 - нейтральная система, 6 - колебательная граница устойчивости.

Из примеров видно, что различают системы:

  1. устойчивые (1,2)

  2. неустойчивые (3,4)

  3. нейтральные и на грани устойчивости (5,6).

Дифференциальное уравнение САУ в оперативной форме имеет вид:



Решение дифференциального уравнения (движение системы) состоит из двух частей:



Система может совершать движения за счёт внешнего воздействия и начальных условий.

За счёт начальных условий – свободное движение, затухающие в устойчивых системах.

За счёт внешнего воздействия – вынужденное движение.

Для ответа на вопрос, устойчива ли система или нет, надо решить однородное уравнение с начальными условиями.

Свободное колебание в системе определяются однородным дифференциальным уравнением решение которого имеет вид где

с1, с2…, сn- постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий,

l1, l2…, ln – корни характеристического уравнения



Корни характеристического уравнения не зависят ни от вида возмущения, ни от начальных условий, а определяются только коэффициентами а0, а1, а2,…,аn, то есть параметрами и структурной системы.



№№

п.п.

Корни характ. уравнения

Слагаемое

Своб. решения

График функции члена реш.

Примечание

1

2

3

4

5

1

>0, действит.






система неуст.

2

<0, действит.






Данный член®0

3

=0





Система неустойчивая; возможно нейтральная

4

Два нулевых корня






Система неустойчивая

5

Корни комплексные, действительная часть положительная






Система неустойчивая

6

Корни комплексные, действительная часть отрицательная






Возможно система устойчивая

7

Корни мнимые сопряженные






Система неустойчивая; возможно на грани устойчивости


Пояснения к таблице:

  1. Если корни характеристического уравнения вещественные и неравные и среди корней имеется хотя бы один ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ корень li, то соответствующее слагаемое - возрастающая экспонента, и весь процесс будет расходящимся.

  2. Если характеристическое уравнение имеет пару мнимых сопряженных корней li = jw и li+1 = -jw, а остальные корни вещественные и отрицательные, то в этом случаев решении n-2 слагаемых - затухающие экспоненты вида , пара мнимых корней соответствуют два слагаемых и . Пользуясь формулой Эйлера, напишем следующие равенства:

Следовательно,

Можно показать, сто Ci и Ci+1 - комплексно сопряженные числа, поэтому Ci + Ci+1 = A и j(Ci- Ci+1)=B являются вещественными числами.

Тогда где решение однородного дифференциального уравнения будет иметь вид - незатухающие и нерасходящиеся гармонические колебания.

  1. Пусть характеристическое уравнение имеет пару комплексных сопряженных корней остальные корни вещественные отрицательные. В этом случае

Если вещественная часть комплексных корней отрицательна, то - затухающая функция.

  1. Если характеристическое уравнение имеет нулевой корень тогда

Если все остальные корни имеют отрицательные вещественные части или отрицательны, то

  1. Если характеристическое уравнение имеет кратные корни, то при m кратных вещественных корней l1,



Составляющая yсв(t) для кратных корней стремится к 0 при lкратн.<0. Если остальные корни с отрицательными вещественными частями или отрицательны, то yсв.(t) - сходящаяся функция.

Вывод: в устойчивых системах автоматического регулирования все корни характеристического уравнения должны лежать в комплексной плоскости корней слева от мнимой оси.

Эти выводы справедливы для ЛИНЕАРИЗОВАННЫХ уравнений, полученных в результате отбрасывания всех членов разложения в ряд Тейлора, содержащих отклонения координат в степени выше первой.

Линеаризованные уравнения названы А.М. Ляпуновым уравнениями первого приближения.

^ Теоремы А.М. Ляпунова.
Теорема 1.


Если определяющее (характеристическое) уравнение имеет корни только с отрицательными вещественными частями, то невозмущенное движение устойчиво и притом асимптотически, независимо от членов выше первого порядка малости.


Теорема 2.


Когда среди корней определяющего (характеристического) уравнения находятся такие, вещественные части которых положительные, невозмущенное движение неустойчиво.


Примечания:

  1. Если среди корней характеристического уравнения имеется два и более нулевых корня, то система неустойчива.

  2. Если один корень нулевой, а все остальные находятся в левой полуплоскости, то система нейтральна (так бывает, если в системе одно интегрирующее звено вне контура обратной связи).

  3. Если 2 корня мнимые сопряженные, а все остальные в левой полуплоскости, то система на колебательной грани устойчивости.


Пример.

Требуется определить устойчивость замкнутой системы.



Характеристическое уравнение


Механические примеры систем:

  1. есть трение - система устойчива.

Устойчивая система может находится в положении устойчивого равновесия.


  1. трения нет - система на грани устойчивости.



  1. система неустойчива, если шарик просто передвинуть; если выходным параметром будет скорость и есть трение, то система усточивая, т.е. от регулируемого параметра зависит классификация сист. по виду устойчивости.




  1. система неустойчива.


Таким образом, чтобы определить устойчива ли линейная система, необходимо проанализировать характеристическое уравнение (знаменатель передаточной функции замкнутой системы, приравнять нулю), т.е. нужно найти корни характеристического уравнения.

Устойчивость - внутреннее свойство системы, т.е. не зависит от внешнего воздействия. Решать характеристические уравнения высокого порядка трудно, потому разработаны критерии устойчивости.
^ Критерии устойчивости САУ.
Критерий устойчивости - это правило, позволяющее выяснить устойчивость системы без вычисления корней характеристического уравнения.
^ Алгебраические критерии устойчивости.
В 1877г. Раус установил условие отрицательности всех действительных частей корней характеристического уравнения:

Необходимое (но не достаточное) условие устойчивости САУ есть положительность коэффициентов характеристического уравнения системы.


^ 1. Критерии устойчивости Гурвица.
Критерий разработан в 1895г.

Пусть определено характеристическое уравнение замкнутой системы: уравнение приводим к виду, чтобы a0>0.

Составим главный определитель Гурвица по следующему правилу:

по главной диагонали записываются коэффициенты уравнения, начиная со второго по последний, столбцы вверх от диагонали заполняются коэффициентами с возрастающими индексами, а столбцы вниз от диагонали - коэффициентами с убывающими индексами. Остальные места заполняются нулями. В случае отсутствия в уравнении какого-либо коэффициента и вместо коэффициентов с индексами меньше 0 и больше n пишут нуль.

Выделим диагональные миноры или простейшие определители в главном определителе Гурвица:






Формулировка критерия:

Системы первого и второго порядка устойчивости, если все коэффициенты характеристического уравнения больше нуля.

Система находится на грани устойчивости, если и все диагональные миноры положительны: в этом случае (апериодическая граница устойчивости).

Если , а и все остальные диагональные миноры положительны, то система на границе устойчивости (колебательная граница устойчивости).


Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы при положительном коэффициенте характеристического уравнения a0 главный определитель Гурвица и все его диагонали миноры были положительны.

Если хотя бы один из коэффициентов или один из определителей отрицательны, то система устойчива. Если один из коэффициентов либо один из определителей равны нулю, то система на грани устойчивости.
Критерий Гурвица удобен для исследования устойчивости систем третьего и четвертого порядков, когда известны параметры системы.

Для систем выше второго порядка кроме положительности всех коэффициентов характеристического уравнения необходимо выполнение следующих неравенств:

  1. Для систем третьего порядка

  2. Для систем четвертого порядка

  3. Для систем пятого порядка



  1. Для систем шестого порядка



Пример. Дано характеристическое уравнение исследовать устойчивость системы по Гурвицу.



Для устойчивых систем необходимо и


  1. ^ Критерий Рауса.


Критерий опубликован в 1877г.

Критерий Рауса используется при исследовании устойчивости систем высогкого порядка.

Формулировка критерия:

Для того чтобы вещественные части всех корней характеристического уравнения были отрицательны, необходимо и достаточно, чтобы все элементы первого столбца таблицы Рауса были отличны от нуля и имели один и тот же знак.


Таблица Рауса.





















































Алгоритм заполнения таблицы: в первой и второй строках записываются коэффициенты уравнения с четными и нечетными индексами; элементы остальных строк вычисляются по следующему правилу:

Достоинство критерия: можно исследовать устойчивость систем любого порядка.
^ Частотные критерии устойчивости.
Принцип аргумента.
В основе частотных методов лежит принцип аргумента (следствие теоремы Коши относительно числа нулей и полюсов аналитической функции).

Проведем анализ свойств многочлена вида:

где li - корни управления

На комплексной плоскости каждому корню соответствует вполне определенная точка. Геометрически каждый корень li можно изобразить в виде вектора, проведенного из начала координат в точку li: |li| - длина вектора, argli - угол между вектором и положительным направлением оси абсцисс. Отобразим D(p) в пространство Фурье, тогда где jw-li - элементарный вектор.

Концы элементарных векторов находятся на мнимой оси.

- модуль вектор, а аргумент (фраза)

Направление вращения вектора против часовой стрелки принимают за ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ. Тогда при изменении w от до каждый элементарный вектор (jw-li) повернется на угол +p, если li лежит в левой полуплоскости.

Пусть D(l)=0 имеет m корней в правой полуплоскости и n-m в левой, тогда при возрастании w до изменение аргумента вектора D(jw) (угол поворота D(jw), равный сумме изменений аргументов элементарных векторов) будет




^ Принцип аргумента.

Изменение аргумента вектора D(jw) при возрастании w от до равно разности (n-m) корней уравнения D(l)=0, лежащих в левой части плоскости, и числом m корней уравнения, лежащих в правой части плоскости, умноженной на p.




  1. ^ Критерий Михайлова.


Устойчивость замкнутой САУ определяется характеристическим полиномом:



Согласно принципу аргумента для устойчивой системы

При изменении w от до вектор Dз(jw) на комплексной плоскости опишет своим концом кривую, которая называется ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ КРИВОЙ или ГОДОГРАФОМ вектора Dз(jw):

Можно показать, что функция u(w) четная, а n(w) нечетная. Поэтому то есть характеристическая кривая симметрична относительно действительной оси при w и -w. Отсюда следует , что угол поворота радиуса-вектора Dз(jw) на полусегментах (, 0] и [0, ) одинаков. Поэтому можно ограничится построением характеристической кривой для положительных w, тогда

^ Формулировка критерия Михайлова.

Система устойчива, если при изменении w от 0 до годограф вектора Dз(jw) (кривая Михайлова) обходит последовательно в положительном направлении n квадратов.
  1   2   3



Скачать файл (1079.8 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru