Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Лекции по математической физике v1.1 - файл UrChP.doc


Лекции по математической физике v1.1
скачать (3401.4 kb.)

Доступные файлы (4):

UrChP.content.txt4kb.05.02.2010 06:21скачать
UrChP.doc1962kb.05.02.2010 06:14скачать
UrChP.docx1135kb.05.02.2010 06:10скачать
UrChP.pdf8531kb.05.02.2010 06:05скачать

содержание
Загрузка...

UrChP.doc

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   21
Реклама MarketGid:
Загрузка...
^

3. Обобщенные решения уравнений первого порядка.



Таким образом, мы видим не просто необходимость, а даже неизбежность рассмотрения

обобщенных решений для уравнения первого порядка. Как уже говорилось, идея обобщенного

понимания решения происходит из функции и связана с представлением об измерении какой-то

величины как о вычислении некоторого функционала: интеграла от этой величины по некото-

рой области:

F (x) →





F (x) dv или





ϕ (x) F (x) dv,

если “измеряющий” прибор измеряет неравномерно (что описывается функцией ϕ (x)). Обычно

в теории уравнений с частными производными интеграл для упрощения вычислений распро-

страняют на все пространство Rn, продолжая ϕ(x) за пределы области Ω нулем.

Тогда дифференциальное уравнение также интегрируется как “равенство функционалов”:



0 =

R2

ϕ(t, x) (ut+ uux) dtdx


для любой финитной (обычно ее еще предполагают и бесконечно дифференцируемой, хотя

для уравнений первого порядка достаточно и однократной непрерывной дифференцируемости)

функции ϕ(t, x). Поскольку в правой части можно выполнить интегрирование по частям, пере-

бросив производную с u на ϕ, это равенство приобретает вид



(
2





R2

ϕtu + ϕxu

2

dtdx = 0,

(5)

которое и используют для определения обобщенного решения: функция u (t, x) называется обоб-

щенным решением уравнения ut+ uux= 0, если для нее равенство (5) выполнено для всех

бесконечно дифференцируемых функций ϕ(t, x).
Изучим теперь вопрос, какой вид имеют обобщенные решения в тех простейших ситуациях,

которые мы с вами изучили.

3.1.


Рассмотрим уравнение

uxn=f(x1, . . . , xn).

Его общее решение, как мы выяснили, имеет вид:



u = f(x1, . . . , xn)dxn+ C(x1, . . . , xn−1).

x1=c1

...

xn−1 =cn−1

Перепишем теперь уравнение в виде
−uxn+f(x1, . . . , xn) = 0.
19

(6)


Умножим полученное равенство на ϕ(x) и проинтегрируем по частям. Получим:



Rn
(−uxn+f(x1, . . . , xn)) ϕ(x1, . . . , xn)dx1. . . dxn=



Rn
(uϕxn+f ϕ)dx1. . . dxn= 0.
(7)

Соотношение (7) позволяет нам дать определение обобщенного решения:
Определение

u(x1. . . xn) называется обобщенным решением уравнения (6), если выполнено (7) для любой

финитной, бесконечно дифференцируемой функции ϕ.

Покажем, что формула (5) дает обобщенное решение, если функции f и C ∫являются не

только негладкими, но даже разрывными. Действительно, если C(x1, . . . , xn−1)и f dxnинте-

грируемы по Rn, то:



















ϕxn 

f (x1, . . . , xn)dxn+ C(x1, . . . , xn−1) + f(x1, . . . , xn)ϕdx1. . . dxn=









Rn



x1 =c1

...

xn−1=cn−1






[


]


=





C(x1, . . . , xn−1) 

ϕxndxn dx1. . . dxn−1 +









∂xn

ϕ



f dxn

dxn dx1. . . dxn−1 = 0+0 = 0

Rn


3.2.


R1

Rn−1

R1

Аналогично предыдущему уравнению, для уравнения

a1(x)ux1+· · · + an(x)uxn=b(x)u + c(x)

(8)

функция u будет считаться обобщенным решением, если для любой финитной и бесконечно

дифференцируемой функции ϕ выполнено



іh(

ў
n

i

ґ


Rn

a1ϕx1+· · · + (a ϕ)xn+

u + c(x)ϕ

dx1. . . dxn= 0

(ai(x) непрерывно дифференцируемы). Выражение в квадратных скобках может быть пред-

ставлено в виде

[(

ў

(

ў

]


т.к.

a1x1+· · · + anxn

ϕ +

a1ϕx1+· · · + anϕxn

+ bϕ

= [(∇, a) ϕ + (a, ∇) ϕ + bϕ] ,

a1x1+ · · · + anxn=

1+· · · + ∂

n

a1

∂x1a

n ∂

∂xna

= (∇, a) ,

∂x1 ϕ + · · · + a

∂xn ϕ = (a, ∇)ϕ,

что дает для определения обобщенного решения более компактную формулу:



([(∇, a)ϕ + (a, ∇)ϕ + bϕ] u + cϕ) dx1. . . dxn= 0.

Rn
20


Уравнение (8) мы уже решали, для него система характеристик имеет вид:

dx1

dx2

du



первые интегралы имеют вид:

a1=

a2=· · · =b(x)u + c(x),
I1(x) = c1,

I2(x) = c2,

. . .

In−1(x) = cn−1,

In(x, u) = cn,

причем от u зависит только один (последний) интеграл. Общее решение имеет вид:
Φ (I1(x), . . . , In−1(x), In(x, u)) = 0.
Это соотношение можно разрешить сначала по In:
In(x, u) = ϕ (I1, . . . , In−1),
а затем выразить из него u, что дает представление решения в виде
u = uчн+z(x) ˜ (I1, . . . , In−1),

(9)


что вполне отвечает нашим представлениям о структуре общего решения неоднородного урав-

нения. Это решение сумма частного решения неоднородного уравнения и общего решения

уравнения однородного. Более того, решение однородного уравнения представимо в виде фик-

сированного решения (тоже однородного уравнения) и решения
v(x1, . . . , xn) = ϕ (I1, . . . , In−1)
уравнения

a1vx1+· · · + anvxn= 0

уже не содержащего u. Несмотря на такую компактную форму записи, с ней при изучении

обобщенного решения практически ничего не удается сделать. В случае простейшего уравнения

ситуация была очень удачной:


I1= x1,
I2= x2, . . . , In−1 = xn−1,

и поэтому интегрирование по Rn“делилось” на интегрирование по Rn−1 (т.е. по переменным

x1, . . . , xn−1 ) и интегрирование по последней переменной. За счет того, что произвольная функ-

ция не зависела от xn, она выносилась за знак интеграла, и интеграл явно вычислялся.

В нашем же случае произвольная функция зависит от I1, . . . , In−1, каждый из которых за-

висит, вообще говоря, от всех x1, . . . , xn, так что для того, чтобы “расслоить” интегрирование по

Rn на два интегрирования так, чтобы во внутреннем интеграле произвольная функция выно-

силась за знак интеграла, необходимо, чтобы внутреннее интегрирование осуществлялось при

фиксированных значениях I1, . . . , In−1, а наружное осуществлялось уже по этим значениям.

Выполнять такое “расслоение” достаточно сложно, тем более, что интегрирование по по-

верхностям вы не изучали достаточно глубоко, поэтому здесь лучше выбрать другой путь. Он

связан с пониманием того, что I1, . . . , In−1 задают некую новую систему переменных, в которой

уравнение приобретает более простой вид, и поэтому самое разумное, что можно сделать в этой
21


ситуации это выполнить соответствующую замену переменных в интеграле, определяющем

обобщенное решение

x1. . . xn→ ˜1. . . ˜n.

Для первых n − 1 переменной выражения у нас уже есть:
˜1= I1(x1, . . . , xn),

. . .

˜n−1=In−1(x1, . . . , xn),

осталось выбрать ˜n. Из каких соображений выбрать ˜n? Поскольку поверхности I1=

c1, . . . , In−1=cn−1, пересекаясь, задают линию, понятно, что изменение ˜nдолжно соответство-

вать движению вдоль этой линии. Поскольку указанная линия является решением системы



 ˙1= a1(x),

 ˙2= a2(x),

 . . .

˙n= an(x),

(10)

в качестве ˜nнадо взять величину, совпадающую с независимой переменной этой системы.

Единственная проблема, связанная с этим, состоит в том, что “независимая переменная” си-

стемы может выбираться по-разному. Система автономная, и поэтому, заменив s на s + α, мы

снова получим ту же самую систему. Значит, начало отсчета (т.е. s = 0) мы должны выбрать

произвольным образом. Однако и тут есть некоторая, даже очень большая свобода: для каждой

траектории начало отсчета можно выбирать по-своему. Правда, если для “соседних” траекторий

начало отсчета выбирать не слишком далеко друг от друга, то эти начальные точки образуют

более или менее разумное множество поверхность.
Собственно, именно тут мы пришли к подходящему определению ˜n. Зададим некоторую

поверхность S так, чтобы все траектории ее “протыкали”, и обозначим через τ (x1, . . . , xn) время,

необходимое для достижения этой поверхности по траекториям системы (10). Тогда в качестве

˜nможно выбрать ˜n= τ (x1, . . . , xn). Таким образом, мы построили замену переменных


x1




˜1





x2



˜2









 . . .

xn

 ↔  . . ..

˜n

22


Замена корректна при выполнении следующего условия:

Ї

Ї ∂ ˜1

Ї

∂ ˜nЇ

Ї

ЇЇ∂x1. . . ∂x1

Ї

ЇЇ

Ї . . . . . . . . . . . . Ї

6= 0.

Ї

ЇЇ∂ ˜1

Ї

∂ ˜nЇЇ

Ї ∂xn. . .

∂xn

Ї

Из курса ОДУ известно, что для любой системы (10) найдется набор интегралов I1. . . In−1

таких, что матрица


∂I1
∂I1



 ∂x1. . . . . . ∂xn





 . . . . . . . . . . . . . . . 







∂In−1

∂x1. . .

∂In−1 

∂xn

имеет ранг n − 1, т.е. ее строки (градиенты функций Ii(x)) линейно независимы. С другой

стороны, по определению первого интеграла, эти градиенты ортогональны вектору ~a (x).

Значит для выполнения условия корректности замены достаточно, чтобы градиент ˜nбыл

неортогонален вектору ~a. Оказывается, что для ˜n= s(x1, . . . , xn) это обеспечивается как ряд

условий “протыкания” начальной поверхности S траекториями, что аналитически записывается

в форме h∇S,~ai 6= 0 (здесь и далее h·, ·i скалярное произведение). В этом случае поверхность

S называют нехарактеристической.

Таким образом, искомая замена переменных найдена, и в новых переменных ˜1, . . . , ˜nурав-

нение имеет вид

˜˜n = ˜b (˜ ) ˜ + ˜c (˜ ) ,

для которого определение обобщенного решения имеет вид:



іh

i

ґ


Rn

ϕxn + ˜b (˜ ) ϕ

˜ + ˜c (˜ ) ϕ

1. . . d˜n= 0,

и для которого формула (9) оказывается обобщенным решением для любой суммируемой функ-

ции ϕ (I1, . . . , In).
23


Для решения системы (10), удовлетворяющей условию ξi (t, x1, . . . , xn), ξi (0, x1, . . . , xn) = xi,

по определению τ (x1, . . . , xn).
/Лекция № 4 от 26.09.05/

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   21



Скачать файл (3401.4 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru