Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Лекции по математической физике v1.1 - файл UrChP.doc


Лекции по математической физике v1.1
скачать (3401.4 kb.)

Доступные файлы (4):

UrChP.content.txt4kb.05.02.2010 06:21скачать
UrChP.doc1962kb.05.02.2010 06:14скачать
UrChP.docx1135kb.05.02.2010 06:10скачать
UrChP.pdf8531kb.05.02.2010 06:05скачать

содержание
Загрузка...

UrChP.doc

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   21
Реклама MarketGid:
Загрузка...
^

4. Характеристики и разрывы решений уравнений первого порядка.




4.1. Характеристики и разрывы решений линейных уравнений.


Рассмотрим уравнение ut+ a(t, x)ux= f(t, x, u). И пусть u(t, x) разрывное решение этого

уравнения, которое является классическим вне линии x = ξ(t), на которой происходит разрыв.
Решение выше линии x = ξ(t) (при x > ξ(t)) мы обозначаем через u+(t, x), а решение, лежа-

щее ниже этой линии, через u−(t, x). На линии эти решения имеют вообще говоря различные

пределы u+(t, ξ(x)) и u−(t, ξ(x)) соответственно. По определению обобщенного решения



([ϕt+ (aϕ)x]u(t, x) + f (t, x, u(t, x))ϕ) dtdx = 0.

R2

Фиксируем x, и, проинтегрировав по t по частям произведение ϕtu, получим:


+∞
ξ−∫1(x)
+∞

Ї
ξ−∫1(x)

Ї
+∞



−∞

ϕtudt =

−∞

ϕtu+dt +

ξ−1(x)

ϕtu−dt= ϕu+Їξ−1 (x)

−∞ −

−∞

ϕu+tdt+ ϕu−Ї+∞

ξ−1(x) −

ξ−1(x)

ϕu−tdt =


= −

+∞

ϕutdt + ϕ(ξ−1(x), x)u+(ξ−1(x), x) − ϕ(ξ−1(x), x)u−(ξ−1(x), x).

−∞
Аналогично интегрирование по частям по x (при фиксированном t) произведения (aϕ)xu и оно

дает

+∞

[

]



−∞

aϕuxdx + aϕ(t, ξ(t)) u−(t, ξ(t)) − u+(t, ξ(t)) .
24


Значит после интегрирования по частям наше тождество приобретает вид:



+∞
[
]



R2

ϕutdtdx +

−∞



ϕ(ξ−1(x), x) u+(ξ−1(x), x) − u−(ξ−1(x), x) dx−
+∞

[ ]






R2

aϕuxdtdx +

−∞

aϕ(t, ξ(t)) u−(t, ξ(t)) − u+(t, ξ(t)) dt +

R2

f (t, x, u(t, x))ϕdtdx = 0.

Так как сумма выражений, стоящих под знаками первого, третьего и последнего интегралов

равна нулю как выше линии x = ξ(t), так и ниже ее (мы предположили, что вне линии x = ξ(t)

функция u(t, x) классическое решение), у нас остались только второй и четвертый интегралы.

После замены во втором интеграле x = ξ(t) их можно объединить в один:


+∞

ϕ(t, ξ(t))

−∞
і

ξ˙(t)[u+(t, ξ(t)) − u−(t, ξ(t))]

+ aϕ(t, ξ(t))
[


u−(t, ξ(t)) − u+(t, ξ(t))

dt = 0.


И в силу произвольности функции ϕ(t, x) получаем

[ ] і

ґ

u+(t, ξ(t)) − u−(t, ξ(t))

ξ˙(t) − a(t, ξ(t)

= 0.


Поскольку мы предположили, что на линии x = ξ(t) функция u(t, x) имеет разрыв, квадратная

скобка отлична от нуля, и значит

ξ˙(t) = a(t, ξ)

или



dt

a(t, ξ)=1.

Отсюда следует мораль: для линейного уравнения в частных производных разрывы могут про-

исходить только по характеристикам.

^

4.2. Характеристики и разрывы решений квазилинейных уравнений.


Рассмотрим теперь квазилинейное уравнение, которое мы уже изучали:
ut+ uux= 0.


Поскольку


(

2




R2

(ut− uux)ϕdtdx = −

R2

∫ (

t+u2 ϕx

2



dtdx = 0,

для гладких функций u(t, x) равенство −

R2

t+u2 ϕx

dtdx = 0 эквивалентно исходному

уравнению, а для негладких функций определяет обобщенное решение уравнения. Преобразуем

его, как и ранее, предположив что u(t, x) является классическим решением выше и ниже линии

25


x = ξ(t). Получим



+∞


(


ў



R2

(ut+ uux)ϕdtdx −

−∞

ϕ(ξ−1(x), x)

u+(ξ−1(x), x) − u−(ξ−1(x), x)

dx+


+

+∞

ϕ(t, ξ(t))

Г

u−2(t, ξ(t))

2

+2

u

(t, ξ(t))

2

!
dt = 0.


Здесь первое слагаемое равно нулю. Поэтому

−∞

+∞

Г
ξ˙(t)(u+(t, ξ(t)) − u−(t, ξ(t))ў
−2
+2

!

ϕ(t, ξ(t))

+u

(t, ξ(t)) −u

(t, ξ(t))

dt = 0,

−∞

и, в силу произвольности ϕ,

2

2

ξ˙(u+(t, ξ(t)) − u−(t, ξ(t))ў

+2(t, ξ(t)) − u−2(t, ξ(t))

=u

или
ξ˙ =u+(t, ξ(t)) + u−(t, ξ(t)).

2

2

Как видно, полученное уравнение никак не связано с уравнением характеристик. Чтобы уви-

деть, что обозначает полученное равенство, рассмотрим пример кусочно-постоянной функции

+

u = u+ при x > ξ(t), и u = u− при x < ξ(t). Тогда ξ˙ =u

(u+ + u−

+ u−

2 , и уравнение линии разрыва

имеет вид x =

2

t + c.


Дальше идет u−, потом u+ и так далее, заполняя всю плоскость. Как мы видим, возмож-

ностей конструировать обобщенные решения на самом деле невероятно много, и поскольку

для безумия нет предела, необходимо дополнительными соображениями как-то организовать,

что считать решением, а что нет. В настоящее время такие ограничения получаются из тех

или иных физических соображений, математических же способов ограничить разумным обра-

зом класс решений квазилинейных уравнений, пока нет. Аналогично проведением рассуждений

можно показать, что для уравнения вида

ut+ ∂a(t, x, u)= 0,

∂x


уравнение линии разрыва имеет вид

ξ˙ =a(t, ξ, u+(t, ξ(t))) + a (t, ξ, u−(t, ξ(t))).

u+(t, ξ(t)) + u−(t, ξ(t))

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   21



Скачать файл (3401.4 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru