Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Лекции по математической физике v1.1 - файл UrChP.doc


Загрузка...
Лекции по математической физике v1.1
скачать (3401.4 kb.)

Доступные файлы (4):

UrChP.content.txt4kb.05.02.2010 06:21скачать
UrChP.doc1962kb.05.02.2010 06:14скачать
UrChP.docx1135kb.05.02.2010 06:10скачать
UrChP.pdf8531kb.05.02.2010 06:05скачать

UrChP.doc

  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   21
Реклама MarketGid:
Загрузка...






Оглавление


1. Основные уравнения с частными производными, используемые в математической физике, и основные проблемы, связанные с их решением и исследованием. 3

1.1. Общие соображения. 3

1.2. Проблема обобщенных решений. 7

1.3. Представление решений. 12

2. Виды уравнений с частными производными первого порядка. 13

2.1. Простейшие уравнения. 13

2.2. Линейные уравнения. 14

2.2.1. Однородные уравнения с постоянными коэффициентами. 14

2.2.2. Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. 16

2.2.3. Однородные уравнения с переменными коэффициентами. 18

2.2.4. Неоднородные уравнения с переменными коэффициентами. 20

2.3. Квазилинейные уравнения. 20

2.4. Разрывы решений квазилинейных уравнений. 23

3. Обобщенные решения уравнений первого порядка. 26

3.1. 26

3.2. 28

4. Характеристики и разрывы решений уравнений первого порядка. 35

4.1. Характеристики и разрывы решений линейных уравнений. 35

4.2. Характеристики и разрывы решений квазилинейных уравнений. 37

5. Простейшие уравнения второго порядка. 40

5.1. Уравнения вида uxx= 0 для функций u(x, y) (аналогично для uyy= 0). 40

5.2. Уравнения вида uxy= 0. 40

5.3. Уравнения вида uxx− uyy= 0. 40

6. Одномерное волновое уравнение. 42

6.1. Уравнение струны. 42

6.2. Принцип Дюамеля. 46

6.3. Отражение волн. 48

6.4. Условие свободного конца. 50

6.5. Условия согласования. 53

7. Многомерное волновое уравнение. 56

7.1. Формула Грина, формула ГауссаОстроградского. 56

Поток векторного поля через поверхность 58

7.2. Уравнение мембраны. 60

7.3. Уравнение электростатического поля (гравитационного поля). 62

7.4. Многомерное волновое уравнение. 66

7.4.1. Формула Пуассона для трехмерного волнового уравнения. 71

7.4.2. Формула запаздывающих потенциалов. 75

7.4.3. Формула Кирхгофа. 75

7.4.4. Метод спуска. Формула Пуассона для двумерного волнового уравнения. 78

8. Уравнение теплопроводности. 80

Свойства интеграла Пуассона. 87

7.5. Задача Коши на наклонной прямой для волнового уравнения. 99

7.6. Задача Гурса. 102

9. Метод Фурье (метод разделения переменных). 102

9.1. Метод Фурье для одномерного волнового уравнения. 102

9.2. Метод Фурье для одномерного уравнения теплопроводности. 109

9.3. Сходимость ряда Фурье, выражающего решение волнового уравнения. 116

9.4. Метод Фурье для неоднородных уравнений и уравнений с ненулевыми краевыми условиями. 120

9.5. Уравнение Пуассона как уравнение для стационарного решения динамических уравнений. 126

9.6. Метод разделения переменных для двумерного уравнения Лапласа. 128

9.6.1. Разделение переменных в прямоугольнике. 129

9.6.2. Разделение переменных в круге. 131

9.7. Метод разделения переменных для двумерного волнового уравнения. 141

9.8. Уравнение Бесселя. Функции Бесселя. 143

9.9. Метод разделения переменных для уравнения Лапласа в шаре. Сферические функции. 150

/Лекция № 1 от 5.09.05/
^

1. Основные уравнения с частными производными, используемые в математической физике, и основные проблемы, связанные с их решением и исследованием.




^

1.1. Общие соображения.


Описание различного рода процессов в механике, физике, химии, биологии и т.п. требует

установления связей между различными величинами, характеризующими эти процессы. Эти

связи могут быть описаны соотношениями как функциональными, в которых одни величины

выражаются через другие

pV =m

µRT

так и дифференциальными, в которых фигурируют производные одних величин по другим.

Классическим примером является система соотношений

v =dS

dt,
p = mv,

dp

dt=F,

связывающая основные величины механики путь S, время t, скорость v, импульс p и силу F .

Сила F в реальных задачах, как правило, зависит от положения тела, его скорости и момента

времени F = F (t, s, v), и исключением v и p мы получаемd

ds

Ньютона.

dtmdt=F (t, s, v) второй закон

Это обыкновенное дифференциальное уравнение. Вы такие уравнения изучали на 2-м кур-

се, они возникают при исследовании движения отдельного тела или системы тел, при котором

внутреннее устройство этого тела и изменение этого внутреннего устройства несущественны.

Однако нам приходится сталкиваться и с другими ситуациями поведение атмосферы,

описание газового потока, обтекающего, например, самолет, процесс деформации листа металла

при штамповке, тепловой и химический процесс в камере сгорания, электрическое и магнитное

воздействие на движущиеся объекты и др. никак не вписываются в концепцию “тело”. Все

они описываются в терминах сплошной среды. Сплошная среда это однородная материя,

твердая, жидкая или газообразная, которая сплошь заполняет некоторый объем, и состояние

которой характеризуется поточечно функциями, зависящими от времени t и координат точки

некоторого объема (x, y, z) (или (x1, x2, x3)).

(

ў

(

ў

u(t, x, y, z);

u

t, x1, x2, x3

;

u(t, x), x =

x1, x2, x3


“Независимых” переменных много: t, x1, x2, x3 и поэтому здесь при описании дифференциаль-

ных соотношений часто приходится использовать частные производные когда производится

дифференцирование по одной переменной при фиксированных остальных:

∂u

∂t=ut,

∂u

∂x1=ux1 = u1,

∂u

∂y=uy.

Когда дифференциальное соотношение становится дифференциальным уравнением? Тогда,

когда ему удовлетворяет целый класс процессов (например течений в газовой динамике или

деформаций в теории упругости). В этом случае соотношение можно рассматривать как нечто

самостоятельное и называть его дифференциальным уравнением. А полученные функции, ко-

торые описывают конкретные процессы решением дифференциального уравнения.
Определение 1

Дифференциальным уравнением в частных производных называется уравнение

(

ў

F

x, u, Du, D2u, . . . , Dku

= 0,



Du =

} ∂ui{

∂xj
, D2u =

} ∂2ui

∂xj1 ∂xj2

{

, . . .

связывающее несколько независимых переменных x1, x2, . . . , xn, функции от этих переменных

∂k1 +···+knu

u1 , u2 , . . . , um и частные производные этих функций по этим переменным

(k = k1+ k2+ · · · + kn порядок производных).
Определение 2

(∂x1)k1. . . (∂xn)kn

Говорят, что уравнение имеет k-й порядок, если в уравнении фигурирует хотя бы одна про-

изводная k-го порядка и отсутствуют производные высших порядков.
Пример 1

Пусть u зависит от x и y: u = u(x, y).

Рассмотрим уравнение

ux= 0.

В этом уравнении переменная y присутствует как параметр: дифференцирований по этой

переменной не производится. Для того, чтобы решить уравнение, вспомним еще раз, что

такое частное дифференцирование это дифференцирование по одной из переменных при

фиксированных остальных. Значит и решать уравнение необходимо по тому же принципу: за-

фиксируем y (например y = 3). Тогда для функции u(x, 3) получаем обыкновенное дифферен-

циальное уравнениеd

dxu(x, 3) = 0, из которого следует u(x, 3) ≡ C.

Теперь можно зафиксировать другое y (например y = 5), и аналогично получить диффе-

ренциальное уравнениеd

˜

dxu(x, 5) = 0, из которого следует u(x, 5) ≡ C. Совпадают ли C и C˜?

Вообще говоря, не обязательно. Значит, каждому фиксированному значению y соответствует

“свое” значение C, так что в результате мы получаем u(x, y) = C(y). Нетрудно убедиться, что

эта формула дает решение уравнения для любой функции C(y), т.к. ∂
Пример 2

Пусть u, как ранее, зависит от x и y: u = u(x, y).

Рассмотрим уравнение

uxx= 0.

∂x(C(y)) = 0.

Глядя на uxкак на “неизвестную функцию”, мы можем это уравнение проинтегрировать,

как в Примере 1, и получить ux= C(y).

Повторное интегрирование по тем же принципам (зафиксировать y, проинтегрировать, по-

лучить решение, и, меняя y, сделать “константу” интегрирования функцией от y) дает
u(x, y) = C1(y)x + C2(y).
Пример 3

Пусть u зависит теперь от x, y, z: u = u(x, y, z).

Рассмотрим уравнение

ux= 0.

Здесь для интегрирования необходимо фиксировать уже y и z, так что “константа” будет

уже своей для каждой пары (y, z), т.е. u(x, y, z) = C(y, z).

Вывод: решение ДУ в частных производных содержит, как правило, произвольные функции.

Этих функций столько, каков порядок уравнения, а количество аргументов равно, грубо говоря,

разности между количеством неизвестных и количеством уравнений.

Рассмотрим уравнение

ux− uy= 0.

и будем подбирать его решение в виде многочлена.

а) многочлен 0-й степени константа, очевидно, является решением;

б) многочлен 1-й степени u = ax + by является решением, если ux− uy= a − b = 0, т.е. если

a = b и u(x, y) = a(x + y);

в) многочлен 2-й степени u = ax2 + 2bxy + cy2 является решением, если ux− uy= 2ax + 2by −

2bx − 2cy = 0, т.е. если u(x, y) = a(x + y)2.

Мы видим, таким образом, что решением нашего уравнения являются функции
(x + y)0· a0= a0,

(x + y)1· a1,

(x + y)2· a2,

. . .

(x + y)n· an,
а также их сумма. Лишь небольшое интеллектуальное усилие требуется для того, чтобы понять,

что решением будет любая функция от (x + y):
u(x, y) = f (x + y).
Правда, пока это только догадка. Конечно, проверить, что любая функция указанного вида

является решением легко, но как доказать обратное: что любое решение имеет именно такой

вид?

Поскольку у нас явным образом возникла сумма x + y, можно попробовать сделать замену

переменных, перейдя от x и y к ˜ = x + y и ˜ равной, например, x − y:

(

˜ = x + y,

˜ = x − y.
Новую функцию обозначим через ˜(˜x, ˜). Она связана со старой соотношением ˜(x + y, x − y) =

u(x, y).

Вычислим, пользуясь этим соотношением, производные:
ux= ˜u˜ + ˜uy˜,

uy= ˜u˜ − ˜y˜.

Тогда наше уравнение приобретает вид
y˜= 0.


3А его общими решениями, как мы уже выяснили, будет
˜(˜x, ˜) = f (˜ ) = f (x + y).
Вывод: для решения уравнения постоянно нужно делать замену переменных и переходить

в новую систему координат.

  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   21



Скачать файл (3401.4 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru