Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Задача. Система Массового Обслуживания с неограниченной очередью. Служба доставки пиццы - файл 1.doc


Задача. Система Массового Обслуживания с неограниченной очередью. Служба доставки пиццы
скачать (362 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc362kb.19.11.2011 22:32скачать

содержание
Загрузка...

1.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...
Задача. Система Массового Обслуживания с неограниченной очередью. Служба доставки пиццы.

  1. В круглосуточной службе доставки пиццы 7 доставщиков

  2. В случае выезда всех доставщиков к клиентам заявки принимаются неограниченно.

  3. Доставщик выполняет заказ в среднем за 25 минут.

  4. Служба доставки использует следующий рекламный ход. Стоимость пиццы уменьшается в зависимости от времени её доставки t (минут) и равна С пиццы=5*(60-t) рублей.

  5. З/п доставщика равна 10000 рублей в месяц.

  6. У службы доставки 10500 клиентов.

Задача 1. Известно 1), 2), 3), 4), 5), 6). Определить все параметры СМО и прибыль компании.
Задача 2. Известно 2), 3), 4), 5), 6). Какое число доставщиков должно быть в службе доставки, чтобы среднемесячная прибыль компании была максимальной?
Задача 3. Известно 1), 2), 3), 4), 5). Сколько должно быть клиентов, чтобы среднемесячная прибыль компании была максимальной?
^ 1. Параметры СМО и прибыль компании
Формализуем задачу.

Данная задача относится к задачам СМО с неограниченной очередью (). Интенсивность потока заявок равна λ= 10500 (заявок/мес).

Исходно имеется 7 каналов обслуживания (7 доставщиков работают одновременно): n=7. Среднее время обслуживания одним каналом (среднее время, которое тратит доставщик, чтобы доставить один заказ) t = 25 мин. Стоимость пиццы уменьшается в зависимости от времени её доставки t (минут) и равна Спиццы =5*(60- t) рублей.

^

Воспользуемся всеми заданными условиями


    1. Число каналов обслуживания n = 7;

    2. Заявки принимаются неограниченно, т.е.;

    3. Среднее время обслуживания одним доставщиком = 25 мин., тогда количество обслуживаемых заявок в ед. времени (интенсивность обслуживания):

=

    1. Средняя стоимость пиццы (при ) равна

Ср=5*(60-25)=175 руб.

    1. З/п доставщика 10000 руб.

6. Интенсивность потока заявок:



Найдем все основные параметры системы массового обслуживания.


Поскольку1, очередь не растет безгранично и имеет смысл говорить о предельном стационарном режиме работы СМО.
Найдем вероятность состояний:


где p0 – вероятность того, что все каналы свободны (не занят ни один из доставщиков);

p1 – вероятность того, что один из каналов занят (один из доставщиков имеет заказ);

pk- вероятность того, что заняты k каналов, остальные свободны;

pn – вероятность того, что заняты все n каналов, ί заявок, находятся в очереди.
Находим:








и т.д.

Так как заявки принимаются неограниченно (m), то вероятность отказа равна 0:

Pотк=0
Относительная пропускная способность дополняет вероятность отказа до единицы:

q=1-Pотк=1
Абсолютная пропускная способность СМО:

Обозначим среднее число занятых каналов . Каждый занятый канал обслуживает в среднем  заявок в единицу времени, а СМО в целом обслуживает в среднем А заявок в единицу времени. Разделив одно на другое, получим:


Вероятность отсутствия очереди будет:


Среднее число заявок в очереди:


.
Среднее число заявок, связанных с СМО, определяется как среднее число заявок в очереди плюс среднее число заявок, находящихся под обслуживанием (среднее число занятых каналов):

Среднее время ожидания в очереди:

Среднее время ожидания заказчиком заказа (среднее время пребывания заявки в СМО):


Найдем при данных условиях прибыль компании . Так как средняя стоимость пиццы равна , у службы доставки в среднем заказов в месяц, в службе работает доставщиков с з/п 10000 руб., то прибыль компании при данных условиях составит:

^ 2. Определение при данных условиях количества доставщиков
Определим, сколько при данных условиях должно работать доставщиков, чтобы среднемесячная прибыль компании была бы максимальной. Анализ проведем в MS Excel. В таблице 1 показаны проведенные расчеты.

В строках 1-6 записаны исходные данные задачи. В столбце А с 9-й по 22-ю строку введены количество доставщиков.

Столбец В (средний ежемесячный доход с продажи пиццы), начиная с 9-й строки по 22-ю строку содержит формулы, распространенные на нижние строки: =$B$6*$B3$.

Так как средняя стоимость пиццы одинакова и количество заказов постоянно, то все значения в столбце B одинаковы.

Столбец C (Заработная плата всех доставщиков): =$B$5*A9

Столбец D (Среднемесячная прибыль компании): =B9-C9

Таблица 1


ρ

6,075

m



λ

10500

α

0-1

зарплата

10000

С ср, руб

175



n

С пиццы*λ

Зарплата

Z

α

1

1837500

10000

1827500

6,075

2

1837500

20000

1817500

3,0375

3

1837500

30000

1807500

2,025

4

1837500

40000

1797500

1,51875

5

1837500

50000

1787500

1,215

6

1837500

60000

1777500

1,0125

7

1837500

70000

1767500

0,867857

8

1837500

80000

1757500

0,759375

9

1837500

90000

1747500

0,675

10

1837500

100000

1737500

0,6075

11

1837500

110000

1727500

0,552273

12

1837500

120000

1717500

0,50625

13

1837500

130000

1707500

0,467308

14

1837500

140000

1697500

0,433929


В столбце D получена среднемесячная прибыль компании в зависимости от количества доставщиков. Построим график этой величины от числа доставщиков (рис.1).


Рис.1

Как видно из графика рис.1, чем меньше число доставщиков, тем больше прибыль компании.

Но очевидно, что при недостаточном количестве доставщиков, все заказы не смогут своевременно выполняться, то есть очередь будет неограниченно расти. Чтобы очередь не росла, должно выполняться ограничение:



Поэтому в столбце E найдем величину α в зависимости от количества доставщиков: =$B$1/A9

Построим график зависимости α от количества доставщиков (рис.2)


Рис.2

Как видно из рис.2, при числе доставщиков менее 6 1, а это означает, что очередь будет неограниченно расти. Следовательно, компании нужно иметь не менее 6 доставщиков. Учитывая график зависимости прибыли от числа доставщиков (рис.1) приходим к выводу, что наиболее оптимальным для фирмы при данных условиях будет иметь 6 одновременно работающих доставщиков. Среднемесячная прибыль при этом составит:

Вывод: При прочих постоянных параметрах, компании выгоднее всего иметь 6 одновременно работающих доставщиков. Тогда среднемесячная прибыль будет оптимальной и составит 1777500 руб.
^ 3.Определение при данных условиях количества необходимых клиентов
Определим, сколько при данных условиях должно быть клиентов, чтобы среднемесячная прибыль компании была бы максимальной. Анализ также проведем в MS Excel. В таблице 2 показаны проведенные расчеты.

В строках 1-6 записаны исходные данные задачи. В столбце А с 9-й по 33-ю строку введены количество необходимых клиентов (количество заявок в час).

Столбец В (средний ежемесячный доход с продажи пиццы), начиная с 9-й строки по 33-ю строку содержит формулы, распространенные на нижние строки: =$B$6*A9*24*30

Столбец C (Заработная плата всех доставщиков): =$B$5*$B$2

Столбец D (Среднемесячная прибыль компании): =B9-C9

Таблица 2

m















n

7













μ (заявок/час)

2,4













α

0-1













зарплата

10000













С ср, руб

175






























λ (заявок/час)

пр

Зарплата

Z

ρ

α

1

126000

70000

56000

0,416667

0,059524

2

252000

70000

182000

0,833333

0,119048

3

378000

70000

308000

1,25

0,178571

4

504000

70000

434000

1,666667

0,238095

5

630000

70000

560000

2,083333

0,297619

6

756000

70000

686000

2,5

0,357143

7

882000

70000

812000

2,916667

0,416667

8

1008000

70000

938000

3,333333

0,47619

9

1134000

70000

1064000

3,75

0,535714

10

1260000

70000

1190000

4,166667

0,595238

11

1386000

70000

1316000

4,583333

0,654762

12

1512000

70000

1442000

5

0,714286

13

1638000

70000

1568000

5,416667

0,77381

14

1764000

70000

1694000

5,833333

0,833333

15

1890000

70000

1820000

6,25

0,892857

16

2016000

70000

1946000

6,666667

0,952381

17

2142000

70000

2072000

7,083333

1,011905

18

2268000

70000

2198000

7,5

1,071429

19

2394000

70000

2324000

7,916667

1,130952

20

2520000

70000

2450000

8,333333

1,190476

21

2646000

70000

2576000

8,75

1,25

22

2772000

70000

2702000

9,166667

1,309524

23

2898000

70000

2828000

9,583333

1,369048

24

3024000

70000

2954000

10

1,428571

25

3150000

70000

3080000

10,41667

1,488095

В столбце D получена среднемесячная прибыль компании в зависимости от количества клиентов. Построим график этой величины от числа клиентов (рис.3).



Рис.3

Как видно из графика рис.3, чем больше количество клиентов, тем больше прибыль компании.

Но очевидно, что при слишком большом количестве клиентов, все заказы не смогут своевременно выполняться, то есть очередь будет неограниченно расти. Чтобы очередь не росла, должно выполняться ограничение:



Поэтому в столбце E найдем величину в зависимости от количества заявок: = A9/$B$3.

В зависимости от ρ при n=6 найдем α в столбце F: =E9/$B$2

Построим график зависимости α от количества клиентов (рис.4)



Рис.4



Как видно из рис.4, при числе заказов/час более 17 1, а это означает, что очередь будет неограниченно расти. Следовательно, компании нужно иметь не более 17 заказов/час или заявок/месяц. Учитывая график зависимости прибыли от количества клиентов (рис.3) приходим к выводу, что наиболее оптимальным для компании при данных условиях будет иметь 17 заявок/час или 12240 заявок/месяц. Среднемесячная прибыль при этом составит:



Вывод: При прочих постоянных параметрах, компании выгоднее всего иметь 12240 клиентов в месяц. Тогда среднемесячная прибыль будет оптимальной и составит 2072 тыс. руб.









Скачать файл (362 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru