Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Лекции по финансовой математике - файл 1.doc


Лекции по финансовой математике
скачать (1070 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc1070kb.19.11.2011 22:43скачать

содержание
Загрузка...

1.doc

  1   2   3   4
Реклама MarketGid:
Загрузка...
Г.В. Антонова


«ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА»

конспект лекций

задания для самостоятельной и аудиторной работы

типовой расчет

методические указания к решению задач

г. ВЛАДИМИР 2007г.


1. ВВЕДЕНИЕ

В данном курсе рассматриваются основные понятия, которыми оперируют в финансовых вычислениях. Такие как процент, ставка процента, учетная ставка, современная стоимость платежа, методы наращения и дисконтирования платежей.

Один из разделов курса посвящен анализу потоков платежей, расчету их параметров, обеспечивающих желательную эффективность.

Рассмотренный в курсе материал имеет общий характер и может быть применен в расчетах часто встречающихся на практике финансовых операций: в финансовом менеджменте, в страховом деле, в анализе инвестиционных проектов, расчете кредитных и коммерческих операций, эффективности предпринимательской деятельности и т.д.

1.1 ВЕКСЕЛЬ
Оформление денежных отношений между партнерами финансовой сделки может производиться при помощи векселей.

Вексель – письменное обязательство заплатить определенную сумму денег в установленный срок. Вексель выдается заемщиком (векселедателем) кредитору (векселедержателю) и имеет строго установленную форму.

Дата, до которой деньги должны быть выплачены, называется датой погашения.

Cумма денег, которая должна быть выплачена, называется суммой погашения или номинальной стоимостью векселя.
^ Вексель обладает следующими свойствами:

- абстрактность, т.е. отсутствие объяснения причин возникновения долга;

- бесспорность, т.е. обязательность оплаты;

- обращаемость, т.е. вексель посредством передаточной подписи может

обращаться среди неограниченного числа клиентов.

^ 1.2 ФАКТОР ВРЕМЕНИ В ФИНАНСОВЫХ РАСЧЕТАХ
Необходимость учета фактора времени определяется принципом не равноценности денег, относящихся к разным моментам времени.

Теоретически любая сумма денег может быть инвестирована и принести доход. Следовательно, сегодняшние деньги ценнее будущих, а будущие поступления менее ценны чем современные. Отсюда очевидна неправомерность суммирования денежных величин, относящихся к разным моментам времени.

Фактор времени играет не меньшую роль, чем размеры денежных сумм, и в финансовых вычислениях учитывается в качестве одного из важнейших элементов. Его учет осуществляется с помощью начисления процентов.


^ 1.3 ПРОЦЕНТЫ И ПРОЦЕНТНЫЕ СТАВКИ.
Любой человек имеющий свободные деньги может предоставить их в долг другому лицу (инвестировать) за определенное вознаграждение.

Сумма денег, данных взаймы, называется основной суммой или капиталом.

Доход от инвестированного капитала, другими словами вознаграждение за использование денег, называется процентными деньгами или процентами.

^ Процентная ставка – отношение суммы процентных денег, выплачиваемых за фиксированный отрезок времени, к величине основной суммы (капитала). Измеряется в процентах или в виде десятичной дроби.

Интервал времени, к которому относится процентная ставка, называют периодом начисления (обычно год, полугодие, квартал, месяц). Как правило начисление процентов производится дискретно (в отдельные, обычно равноотстоящие, моменты времени).

Проценты либо выплачиваются кредитору сразу после начисления, либо присоединяются к сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их начисления, называется капитализацией процентов.


^ 2. ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫ.

Проценты называются простыми, если базой для их начисления служит первоначальная сумма (весь срок действия договора).

Пусть Р – первоначальная сумма денег,

i – процентная ставка,

N – календарный срок пользования кредитом (обычно в годах),

Т – период начисления (для простых процентов обычно год),

n – срок пользования кредитом в периодах начисления ( n = N /T, для простых процентов n = N ),

I – проценты,

S – наращенная сумма (сумма на счете к концу срока, т.е. S = P + I).


^ 2.1 ФОРМУЛА НАРАЩЕНИЯ ПО ПРОСТЫМ ПРОЦЕНТАМ
Пусть Р - первоначальная сумма денег, i – ставка простых процентов. Тогда Pi – проценты, начисленные за один период, а Pni − за n периодов, т.е. I = Pni.

Следовательно S = P + I = P + Pni.

S = P (1 + ni) (1)
Формула (1) называется формулой наращения по простым процентам или формулой простых процентов.

Множитель ( 1+ ni) является множителем наращения. Он показывает во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной.


^ 2.2 ПРАКТИКА НАЧИСЛЕНИЯ ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТОВ.
Пусть t - дата выдачи кредита

t - дата погашения кредита

t - срок пользования кредитом в днях (день выдачи и погашения кредита считается за один день)

К – количество дней в году
Обычно простая процентная ставка используется для краткосрочных кредитов (срок пользования кредитом менее года) или когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются.

Ставка простых процентов как правило устанавливается в расчете на год (поэтому n=N , а при N<1, n – дробное число).
Если срок пользования кредитом задается двумя календарными датами, то формула (1) приобретает вид:

S = P (1 + i) (2)

Если число дней в году принимается равным 360 ( 12 месяцев по 30 дней в каждом ), то начисляемый процент называют коммерческим или обыкновенным. Точный процент получают, если год принимается равным 365 (366) дням.

Срок пользования кредитом также может вычисляться точно (фактическое число дней между двумя датами) или приближенно (в каждом месяце 30 дней). Подсчет точного числа дней осуществляется с помощью специальной таблицы, в которой представлены порядковые номера дней в году.
Решение по формуле (2) возможно с применением трех методик:
- (365/365) - Британская практика (точные проценты с точным сроком

пользования кредитом);

- (365/360) - ^ Французская практика (обыкновенные проценты с точным сроком

пользования кредитом);

- (360/360) - Германская практика (обыкновенные проценты с приближенным

сроком пользования кредитом).
При заключении сделок необходимо оговаривать по какой методике производится расчет. Очевидно, что самая выгодная для кредитора – Французская методика.


^ 2.3 ПРОСТАЯ УЧЕТНАЯ СТАВКА
Учетная ставка используется в том случае, когда за базу начисления процентов берется наращенная сумма. Расчет первоначальной суммы по наращенной называется дисконтированием.

Величину Р , найденную дисконтированием, называют современной величиной (текущей стоимостью) суммы S.

Проценты в виде разности S и Р называют дисконтом или скидкой.

Дисконтирование широко применяется в финансовых расчетах, например, при оформлении векселей.

Когда вексель покупается ( учитывается) до даты его погашения, цена P, которую будет платить инвестор (ниже номинальной стоимости векселя), обычно определяется одним из двух способов:
а) инвестор может установить процентную ставку, которую он хотел бы реализовать за свою инвестицию. В этом случае для нахождения Р должно быть использовано уравнение простого процента − математическое дисконтирование.
P = S / (1 + in)
б) для расчета процентов при учете векселей применяется учетная ставка
^ Учетной ставкой для данного периода времени называется отношение дисконта за этот период к сумме погашения − банковский или коммерческий учет.
Пусть D – дисконт (D = S – P)

d – учетная ставка (d = D / Sn)

n − измеряет временной интервал от момента учета векселя до даты его погашения.
Тогда: P = S (1 – dn) (3)
(1 – dn) – дисконтный множитель, показывает во сколько раз сумма, полу- чаемая при учете, меньше номинальной стоимости векселя.

^ 2.4 СРАВНЕНИЕ СТАВКИ НАРАЩЕНИЯ И УЧЕТНОЙ СТАВКИ.
Ставка наращения может использоваться для расчета S по Р (прямая задача) и для расчета Р по S (обратная задача).
S = P (1 + in) P = S / (1+ in)
Аналогично учетная ставка используется для расчета P по S (прямая задача) и для расчета S по Р (обратная задача).
P = S (1 – dn) S = P / (1 – dn)
Иногда начисление процентов по ставке наращения и дисконтирование по учетной ставке необходимо совмещать.
Например, при учете долгового обязательства, в котором предусматривается начисление процентов на первоначальную сумму долга, требуется решить две задачи: определить сумму долга на момент его погашения (рассчитывается по ставке наращения) и вычислить сумму, получаемую при учете (по учетной ставке).
Пусть P - первоначальная сумма долга

Р - сумма, получаемая при учете

n - срок пользования кредитом (в годах)

n - срок от момента учета до даты погашения (в годах)

Тогда: Р = P · (1 + ni) · (1 - nd)


^ 3. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ.
Когда проценты периодически добавляются к основной сумме, а новая сумма используется как основная для следующего временного периода (капитализация процентов), говорят о начислении сложных процентов.

^ 3.1 ФОРМУЛА НАРАЩЕНИЯ ПО СЛОЖНЫМ ПРОЦЕНТАМ.
Если Р – основная сумма в начале первого периода начисления процента,

i – процентная ставка.
Тогда итог первого периода − (Р + Рi) = Р(1 + i) ,

т.е. итог периода в (1 + i) раз больше основной суммы этого периода.
Итог в конце второго периода – Р(1 + i)(1 + i) = P(1 + i.)
Тогда в конце n периодов: S = P(1 + i)ⁿ (4)
(1 + i)ⁿ − множитель наращения.
Равенство (4) называется основной формулой сложного процента. В качестве периода начисления процентов обычно берется целый делитель года, такой как месяц, квартал, полугодие или год.


^ 3.2 НОМИНАЛЬНАЯ И ЭФФЕКТИВНАЯ СТАВКИ ПРОЦЕНТОВ.
Пусть j – годовая ставка сложных процентов

m – число периодов начисления в году

N – календарный срок пользования кредитом (в годах)

n – срок пользования кредитом в периодах начисления (n = mN)

Т – период начисления процентов

а – целая часть n

b - дробная часть (n = a + b)
Ставка сложных процентов j, начисляемая m раз в году, называется номинальной, а проценты каждый период начисляются по ставке j/m.

Начисление процентов по номинальной ставке производится по формуле:
S = P (1 + j/m) (5)
Если срок ссуды измеряется дробным числом периодов начисления, то наращенную сумму можно рассчитывать математическим (по формуле сложных процентов) или банковским методом (за целое число периодов начисляются сложные проценты, а за дробное – простые).

Банковский метод более употребительный и в общем виде формула выглядит следующим образом:

S = P· (1 + j/m)ª · (1 + b · j/m) (6)
^ Годовая эффективная процентная ставка i, соответствующая заданной номинальной ставке j, начисляемой m раз в год, - это полная сумма процентов, начисленных за год на каждый рубль капитала, имевшегося в начале года.

Другими словами эффективная ставка - это процентная ставка, которая начисляется один раз в год и дает тот же финансовый результат, что и ставка сложных процентов, начисляемая несколько раз в год.

^ Равный финансовый результат значит, что за год на каждый рубль капитала, имевшегося в начале года, начислены равные проценты.
Следовательно можно записать равенство для соответствующих множителей наращения:

(1 + j/m) = (1 + i )

Отсюда получаем: i = (1 + j/m) - 1 (7)
Обратная зависимость имеет вид: i = m· ((1 + i) - 1) (8)

^ 3.3 УЧЕТ ПО СЛОЖНОЙ СТАВКЕ ПРОЦЕНТОВ.
Рассмотрим два вида учета: математический и банковский (также как и в случае простых процентов).
а) Математический учет:

P = S / (1 + i)ⁿ
Если проценты начисляются m раз в году:

P = S / (1 + j/m)
б) ^ Банковский учет: в этом случае предполагается использование сложной учетной ставки.

P = S (1 – d) ⁿ (9)

Пусть f – номинальная учетная ставка, начисляемая m раз в году, тогда:
P = S(1 – f/m) (10)
^ Эффективная учетная ставка – это сложная годовая учетная ставка, эквивалентная (по финансовым результатам) номинальной учетной ставке, применяемой m раз в году.

Запишем равенство для соответствующих дисконтных множителей:
(1 – f/m) = (1 – d)

Тогда:

d = 1 – (1 – f/m) (11)

f = (1 − (1 – d) )·m (12)


^ 3.4 НЕПРЕРЫВНЫЕ ПРОЦЕНТЫ.
Чем больше число периодов начисления процентов в году, тем меньше интервалы между моментами начисления процентов. В пределе при m→∞ имеем:
S = P (1 + j/m) = P ((1 + j/m))) = Pe (m → ∞)

((1 + 1/m) = e – второй замечательный предел)
Ставку непрерывных процентов называют силой роста и обозначают δ.

Тогда S = Pe (13)
Дисконтирование на основе непрерывных процентных ставок:
P = Se (14)
Формулу перехода от расчета непрерывных процентов к дискретным и наоборот можно получить приравняв соответствующие множители наращения:
(1 + i)= e → δ = ln(i + 1)

i = e- 1

^ 3.5 РАСЧЕТ СРОКА ССУДЫ И ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК.
Нередко начальная и конечная суммы заданы контрактом и требуется определить либо процентную ставку, либо срок платежа.

Эти величины можно найти из исходных формул наращения или дисконтирования.

а) Простые проценты: S = P (1 + ni) → n = (S/P – 1)/i

i = (S/P – 1)/n

P = S (1 – dn) → n = (P/S – 1)/d

d = (P/S – 1)/n

б) Сложные проценты: S = P (1 + i) ⁿ → n =

i = (S/P)- 1
P = S (1 – d) ⁿ → n =

d = 1 - (P/S)
в) Номинальная ставка процентов: S = P (1 + j/m) → N =

j = m ((S/P) - 1)
P = S (1 – f/m) → N =

f = m (1 - (P/S))

г) Непрерывные проценты: S = Pe → N = ln(S/P)/δ

δ = ln(S/P)/N
^ 3.6 ФОРМУЛА УДВОЕНИЯ СУММЫ.
Для того, чтобы ответить на вопрос через сколько лет сумма ссуды возрастет в K раз при данной процентной ставке, достаточно приравнять множитель наращения величине K (особенно часто используется К = 2).


а) Простые проценты: (1 + ni) = К → n = (K – 1)/i (15)

при К = 2 n = 1/i

б) Сложные проценты: (1 + i)ⁿ = К → n = lnK/ln(1 + i) (16)

при К = 2 n = ln2/ln(1 + i)

Для прикидочных расчетов при ставках сложных процентов менее 10% обычно используют приближенную формулу:

ln2 ≈ 0.7; ln (1 + i) ≈ i → n ≈ 0.7/i.

в) Номинальная ставка процентов:

(1 + j/m)= К → N = lnK/(m·ln(1 + j/m)) (17)

при К = 2 N = ln2/( m·ln(1 + j/m))

Для прикидочных расчетов при ставках за период менее 10% обычно используют приближенную формулу:

ln2 ≈ 0.7; ln(1 + j/m) ≈ j/m → N ≈ 0.7/j.

Данные формулы полезны при оценке перспектив кредитора (должника).

^ 3.7 УРАВНЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ.
Любые две процентные ставки − номинальные или эффективные, дающие одинаковый финансовый результат в конце года, называются годовыми эквивалентными или просто эквивалентными.
Равный финансовый результат значит, что за год на каждый рубль капитала, имевшегося в начале года, начислены равные проценты.

Так как результат применения эквивалентных процентных ставок одинаков, заданную процентную ставку всегда можно заменить на эквивалентную ей.

Формулы, устанавливающие правила перехода от одной ставки к другой, можно получить, приравняв соответствующие множители наращения (дисконтирования).
Использование значений денежных сумм без указания даты бессмысленно. Очевидно, что 1000 рублей сегодня лучше, чем 1500 рублей через 100 лет.

Сумма платежа с датой погашения называется датированной суммой.
При сравнении датированных сумм нужно обязательно знать используемую процентную ставку.

Две датированные суммы эквивалентны (при данной процентной ставке), если при приведении к одной дате они равны.
Приведение − это определение любой стоимостной величины на некоторый момент времени (наращение и дисконтирование могут рассматриваться как частные случаи приведения).
Преобразование делается в соответствии со следующей временной диаграммой (i − процентная ставка, начисляемая за период):

Прошлая Настоящая Будущая

дата (-m) дата (0) дата(n)

_________I________________________I_______________________I__________________

P = D(1 + i) D S = D(1 + i) ⁿ

Прошлая и будущая суммы эквивалентны датированной сумме D.
Следовательно сумма P (сегодня) эквивалентна сумме Р(через ± n периодов начисления), если

P = Р(1 + i) ⁿ или P = Р(1 + i)

^ 4. НАЧИСЛЕНИЕ ПРОЦЕНТОВ И ИНФЛЯЦИЯ.
Инфляция – это процесс обесценивания национальной валюты, т.е. снижение её покупательной способности и общего повышения цен.

Один из параметров, характеризующих инфляцию, − уровень инфляции за год. Он показывает на сколько процентов за год из-за инфляции вырастут цены.
Пусть L − первоначальная цена товара

α − уровень инфляции

а − целая часть числа лет

b − дробная часть числа лет

Тогда через 1 год цена будет L(1 + α)

через 2 года − L(1 + α)²

.....................................................

через n лет − L(1 + α)ⁿ = L ·I
I − индекс инфляции (показывает во сколько раз выросли цены за рассматриваемый период).
Если рассматриваемый период не является целым числом (n = a + b),

то:

I= (1 + α)ª · (1 + b · α)
- Один из способов компенсации обесценивания денег – увеличение ставки процентов на величину так называемой инфляционной премии. Полученная таким образом ставка называется брутто-ставкой.
- Второй способ компенсации − индексация наращенной суммы.


Пусть S − наращенная сумма с учетом инфляции

i − брутто-ставка.

i − процентная ставка без учета инфляции (реальная доходность)

а) ^ При начислении простых процентов:
S= Р(1 + ni) − первый способ учета инфляции

S= Р(1 + ni)I − второй способ
Из равенства результата следует:
Р(1 + ni) = Р(1 + ni)I
i= ((1 + ni)I-1)/n i = (1 + ni−I)/nI (18)


б) ^ Сложные проценты, начисление процентов 1 раз в год (n = N):
S= P(1 + i) − первый способ учета инфляции

S= P(1 + i) I − второй способ (I= (1 + α)ⁿ)
Следовательно:

P(1 + i)= P(1 + i)(1 + α)
i= (1 + i)(1 + α) −1 i = (1 + i)/(1 + α) − 1

i= i + (1 + i)α i = (i− α)/(1 + α) (19)
(инфляционная премия равна: (1 + i)α )

в) ^ Сложные проценты, начисление процентов m раз в год:
S= P(1 + j/m) − первый способ учета инфляции

S= P(1 + j/m)I − второй способ (I= (1 + α))
Следовательно:

P(1 + j/m)= P(1 + j/m)(1 + α)
j= ((1 + j/m) (1 + α)− 1)m j = ((1 + j/m) (1 + α)− 1)m

j= (m + j) (1 + α)− m j = (m + j) (1 + α)− m (20)


^ 5. ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ.
Ряд последовательных выплат и поступлений называют потоком платежей. Выплаты – отрицательные величины, поступления – положительные.
^ Аннуитет (финансовая рента) − это поток платежей, сделанных через равные промежутки времени. Все члены ренты положительные величины, обычно одинаковые.
Финансовая рента имеет следующие параметры:
· член ренты – величина каждого отдельного платежа.

Различают постоянные (с равными членами) и переменные ренты.
· период ренты – временной интервал между двумя соседними платежами.
· срок ренты – время от начала финансовой ренты до конца её последнего

периода.
· процентная ставка - ставка, используемая при дисконтировании

или наращении платежей.
· число платежей в году – различают годовые (один платеж в году) и

р-срочные ренты (р – число выплат в году).
· число начислений процентов в году – один раз, m раз или непрерывно.
· моменты платежа внутри периода ренты – если платежи осуществляются в

конце каждого периода, ренты называются обычными или постнумерандо.

Если же выплаты производятся в начале каждого периода - пренумерандо.
· вероятность выплаты – различают ренты верные (подлежат безусловной

выплате) и условные (выплачиваются при наступлении некоторого случайного

события).
· число членов – ренты с конечным числом членов или ограниченные и

вечные (бесконечные).
· момент начала ренты – в зависимости от наличия сдвига начала срока ренты

по отношению к началу действия контракта ренты подразделяются на

немедленные (срок начинается сразу) и отложенные (отсроченные).

Введём некоторые обозначения.

Пусть:

N – срок ренты (в годах);

p − число платежей в год ( Np − число членов ренты);

R − годовой платёж (R/p − разовый платёж);

i − годовая процентная ставка;

j − номинальная процентная ставка;

m − число начислений процентов в год;

n − число периодов начислений за весь срок ренты (n = Nm);

S − наращенная сумма ренты;

А − современная величина (стоимость) ренты.

^ 5.1 ФОРМУЛЫ НАРАЩЕННОЙ СУММЫ.
Наращенная сумма ренты определяется как датированная сумма, эквивалентная всей серии платежей на конец срока.
Другими словами наращенная сумма потока платежей - это сумма всех его членов с начисленными на них процентами к концу срока ренты.


а) обычная годовая рента.
Платежи в конце каждого года, проценты начисляются один раз в год

(N = n, R − разовый платёж).
В конце срока первый взнос эквивалентен сумме: R(1 + i)
  1   2   3   4



Скачать файл (1070 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru