Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Лекции по гидравлике - файл 1.doc


Лекции по гидравлике
скачать (1267 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc1267kb.16.11.2011 01:20скачать

содержание
Загрузка...

1.doc

1   2   3   4   5   6   7   8   9
Реклама MarketGid:
Загрузка...
3.2.Кинематические элементы движущейся жидкости

Основной кинематической характеристикой гидродинамического поля является ли­ния тока - кривая, в каждой точке которой вектор скорости направлен по касательной к кривой. И ходя из данного определения можно записать дифференциальное уравнение линии тока:



Если через некоторую неподвижную в пространстве кривую провести линии тока, то полученная поверхность называется поверхностью тока, а образованное этой поверхно­стью тело будет называться трубкой тока. Жидкость, на­полняющая трубку тока, называется элементарной струйкой. Поскольку линии тока никогда не пересекают­ся, то поверхность трубки тока является непроницаемой внешней границей для элементарной струйки жидкости. Сечение трубки тока, нормальное к линиям тока называется живым сечением элементар­ной струйки dS. При установившемся движении жидкости понятия линии тока и траекто­рии движения частицы жидкости совпадают. Объём жидкости протекающий через живое

сечение элементарной струйки в единицу времени называется расходом элементарной струйки.

?

где: объём жидкости, протекающий через живое сечение трубки тока за

время

расход жидкости в живом сечении трубки тока. Размерность расхода жидкости в системе СИ -м/с.

Гидродинамическое поле считается потенциальным (безвихревым), если в этом поле отсутствует вихревое движение жидкости. В потенциальном поле может существовать лишь поступательное или криволинейное движение жидкости. 3.3 Уравнение неразрывности жидкости

Если в гидродинамическом поле отсутствуют вихри, то; для такого поля можно за­писать уравнение, связывающее параметры движущейся жидкости (плотность жидкости) с

параметрами, характеризующими условия движения жидкости. Вывод такого уравне­ния основан на представлении жидкости как сплошной непрерывной среды, в силу чего такое уравнение получило название уравнения неразрывности.

Для этой цели выделим в пространст­ве малый элемент жидкой среды в виде па­ раллелепипеда, стороны которого будут равны соответственно.. Грани

параллелепипеда пусть будут параллельны координатным плоскостям. В центре элемента в данный момент времени будет находиться частица жидкости, плотность которой равна р, а вектор скорости движения и направлен таким образом, что жидкость втекает внутрь элемента через левую, нижнюю и переднюю грани элемента и вытекает через противопо­ложные грани. Будем считать также, что размер элемента достаточно мал, и можно допус­тить, что в пределах этого элемента изменение плотности жидкости и скорости её движе­ния будет прямо пропорционально расстоянию от центра элемента. Одновременно разме­ры граней будут достаточно велики по сравнению с точкой, что позволит утверждать, что плотность жидкости и скорость во всех точках граней будут одинаковыми, как и плот­ность жидкости в пределах соответствующих граней. Тогда произведение плотности жид­кости на вектор скорости (импульс) в специальной литературе часто называют вектором

массовой скорости ри.

В таком случае проекция вектора массовой скорости в центре левой грани элемента на ось ОХ будет равна:



а проекция вектора массовой скорости в центре правой грани элемента на ось ОХ:

&

Масса жидкости, поступившая через левую грань элемента за малый интервал времени dt\



масса жидкости, вытекшая через правую грань элемента за малый интервал времени dt:



Изменение массы жидкости внутри элемента при движении жидкости вдоль оси ОХ:



Аналогично, изменение массы жидкости внутри элемента при движении жидкости вдоль оси OY: 1,



и вдоль оси OZ:



Окончательно, изменение массы жидкости внутри элемента при движении жидкости в произвольном направлении:

? или



Величина плотности жидкости в начальный момент (до начала движения жидкости t = Q) - р, а по истечении бесконечно малого интервала времени (т.е.



Масса жидкости в объёме выделенного элемента в начальный момент времени:



для времени:



Изменение массы жидкости за бесконечно малый интервал времени dt:

> или:

i

откуда для наиболее общего случая нестационарного полядифференциальное

уравнение неразрывности запишется в следующем виде:



и для частного случая - стационарного поля:

«

В векторной форме уравнения неразрывности жидкости запишутся в следующем ви­де:

?

^ 3.4 Уравнение неразрывности для элементарной струйки жидкости

Выделим в элементарной струйке жидкости двумя сечениями 1 - Г и 2 - 2' малый отсек жидкости длиной dl. Объём жидкости внутри выделенного отсека

Масса жидкости, вошедшая в элементарную трубку тока за временной интервал dt, будет равна:



Масса жидкости, вытекшая за это же время через противоположное сечение от­сека:

1 В данном разделе для удобства записи вместо принятых ранее обозначений площади сечения элементар­ной струйки жидкости dS и элементарного расхода жидкости dQ используются обозначения: S и Q.



За тот же интервал времени масса жидкости внутри отсека изменится на величину:

^ * откуда

*

Окончательно формула может быть представлена в виде



При установившемся движении жидкости (р = const) уравнение неразрывности при­мет вид:



^ 3.5 Элементы кинематики вихревого движения жидкости

Поступательному движению жидкости часто сопутствует вихревое движение, вы­званное вращением элементарного объёма жидкости вокруг некоторой оси Такое враще­ние жидкости называется вихрем; угловая скорость этого элементарного объёма является основной характеристикой вихря Касательная в любой точке вектора вихря - вихревая линия Поверхность образованная вихревыми линиями, проведенными через точки замк­нутого контура, называется вихревой трубкой Прямолинейную вихревую трубку с беско­нечно малой площадью сечения можно рассматривать как вращающийся твердый ци­линдр, окружная скорость которого пропорциональна радиусу. Кинематической характе­ристикой вихревого течения жидкости является циркуляция скорости, которая служит ме­рой завихренности. '

5

где: Г - циркуляция вектора скорости,

- проекция вектора скорости на касательную к этому контуру в i-той точ-

ке

- элемент длины контура

В тех случаях, когда вращение жидкости в определённых точках пространства про­исходит с постоянной скоростью и положение вихря с течением времени не меняется, то такое вихревое движение принято называть стационарным вихрем В иных случаях вихре­вое движение следует считать не стационарным.

^ 3.6. Поток жидкости

Поток жидкости представляет собой совокупность элементарных струек жидкости. По этой причине основные кинематические характеристики потока во многом совпадают по своему смыслу с аналогичными характеристиками для элементарной струйки жидко­сти. Тем не менее, различия всё же имеются. Так в отличие от элементарной струйки, ко­торая отделена от остальной жидкости поверхностью трубки тока, образованной линиями тока, поток жидкости имеет реальные границы в виде твёрдой среды, газообразной или жидкой сред. По типу границ потоки можно разделить на следующие виды:

напорные, когда поток ограничен твёрдой средой по всему периметру сече­ния,

безнапорные, когда часть сечения потока представляет собой свободную по­верхность жидкости,

гидравлические струи, когда поток ограничен только жидкой или газообраз­ной средой. Если гидравлическая струя ограничена со всех сторон жидко­стью, то она называется затопленной гидравлической струёй, если гидравли­ческая струя ограничена со всех сторон газовой средой, то такая струя назы­вается незатопленной.

Поперечное сечение потока, расположенное нормально к линиям тока, называется живым сечением потока. Площадь живого сечения потока определяется соотношением:



Расход жидкости в потоке определяется как отношение объёма жидкости протекаю­щее через живое сечение потока к интервалу времени или определяется следующим соот­ношением:



Кроме известной размерности расхода в системе СИ м3имеется целый набор вне­системных единиц для измерения расхода жидкости в потоке: м3/сут, л/чс, л/с, и др.

Средней скоростью в живом сечении потока называ­ется величина:



Смоченным периметром живого сечения потока П называется часть контура живого сечения потока, которая ограничена твёрдой средой. (На рисунке смоченный пери­ метр выделен жирной линией).

Отношение площади живого сечения потока к длине

смоченного периметра называется гидравлическим радиусом живого сечения.



Величина гидравлического радиуса круглого сечения радиуса г:



равна половине величины его геометрического радиуса. Величина гидравлического радиуса трубы квадратного сечения со стороной а, (полностью заполненной жидкостью)

равна

^ 4. Динамика идеальной жидкости

4.1. Дифференциальное уравнение движения идеальной жидкости (при устано­вившемся движении) и его интегрирование

Для вывода уравнения движения жидкости обратимся к записанному ранее уравне­нию равновесия жидкости (в проекциях на координатные оси), иначе говоря: . Поскольку в идеальной жидкости никаких сосредоточенных сил действовать не может, то последнее уравнение чисто условное. Когда равнодейст­вующая отлична от 0, то жидкость начнёт двигаться с некоторой скоро­стью, т.е. в соответствии со вторым законом Ньютона, частицы жидкости, состав­ляющие жидкое тело получат ускорение.



Тогда уравнение движения жидкости в проекциях на координатные оси можно запи­сать в следующем виде:



Согласно основному положению о поле скоростей (метод Эйлера) для проекций ско­ростей движения жидкости можно записать следующее:



или (для установившегося движения жидкости):



Найдём первые производные от скоростей по времени, т.е. определим ускорения вдоль осей координат:



отметим, что:



' * /

Теперь подставив выражения для ускорений в исходную систему дифференциальных уравнений движения жидкости, получим систему уравнений Эйлера в окончательном ви-де2:



Теперь вновь обратимся к системе дифференциальных уравнений движения жидко­сти, умножив обе части 1-го уравнения на dx, 2-го уравнения на dy, 3-го уравнения на dz, получим:



и просуммировав эти уравнения по частям, получим:



2 При неустановившемся движении жидкости уравнения Эйлера дополняются первыми слагаемыми.



Преобразуем левую часть полученного уравнения, полагая, что

в результате запишем



Слагаемые в правой части уравнения являются полными дифференциалами функ­ций.



Теперь уравнение примет вид



Если из массовых сил на жидкость действует только сила тяжести, то, и

> ,*

тогда получим:



После интегрирования получим:

?

разделив почленно все члены уравнения на g, получим так называемое уравнение Бернулли



Здесь величина Н называется гидродинамическим напором Величина гидродинами­ческого напора постоянна для всех живых сечений элементарной струйки идеальной жид­кости.

^ 4.2. Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости

Выделим двумя нормальными к линиям тока се­чениями 1 - 1 и 2 - 2 отсек жидкости, который будет находиться под действием сил давленияи сил тяжести dG Под действием этих сил через малый про­межуток времени отсек жидкости из своего первона­чального положения переместится в положение между __сечениями Силы давления, приложен­ ные к живым сечениям отсека с правой и с левой сто-

рон имеют противоположные друг другу направления.



Перемещение всего отсека жидкости можно заменить перемещением массы жидко­сти между сечениями: 1-1иГ-Г в положение 2-2и2'-2', при этом центральная часть отсека жидкости (можно утверждать) своего первоначального положения не меняет и в движении жидкости участия не принимает.

Тогда работа сил давления по перемещению жидкостиможно определить сле­дующим образом:



Работа сил тяжести будет равна работе по перемещению веса отсека жидкости на разницу уровней

При перемещении отсека жидкости кинетическая энергия изменится на величину:

f

Теперь запишем общее уравнение баланса энергии:



Разделив все элементы уравнения на dG и, переместив в левую часть уравнения ве­личины с индексами «1» а в правую - с индексом «2», получим:



Это последнее уравнения носит название уравнения Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости.

^ 4.3. Интерпретация уравнения Бернулли

Все члены уравнения Бернулли имеют линейную размерность и представляют собой напоры:

z - называется геометрическим напором (геометрической высотой), представляет собой место положения центра тяжести живого сечения элементарной струйки относи­тельно плоскости сравнения,



- называется пьезометрическим напором (пьезометрической высотой),

представляет собой высоту, на которую могла бы подняться жидкость при отсутствии движения

- носит название скоростного напора.

- носит название гидродинамического напора

Уравнение Бернулли является выражением закона сохранения механической энер­гии движущейся жидкости, по этой причине все части уравнения представляют собой ве­личины удельной энергии жидкости:

z - удельная энергия положения,

- удельная энергия давления,

- удельная потенциальная энергия,

- удельная кинетическая энергия

- удельная механическая энергия.

^ 5. Динамика реальной (вязкой жидкости)

При изучении движения реальной (вязкой жидкости) можно пойти двумя разными путями:

воспользоваться готовыми дифференциальными уравнениями и их решения­ми, полученными для идеальной жидкости. Учёт проявления вязких свойств осуществляется с помощью введения в уравнения дополнительных попра­вочных членов уравнения, вывести новые уравнения для вязкой жидкости.

Для практической инженерный деятельности более приемлемым следует считать первый полуэмпирический путь, второй следует использовать лишь в тех случаях, когда требуется детальное изучение процесса движения вязкой жидкости. По этой причине ог­раничимся лишь записью систем дифференциальных уравнений Навье - Стокса и поверх­ностным анализом этих уравнений.

^ 5.1. Система дифференциальных уравнений Навье - Стокса



При= const и= const система уравнений значительно упростятся:



Пренебрегая величинами вторых вязкостейи считая жидкость несжимаемой

(р = const), уравнения Навье - Стокса запишутся в следующем виде:



К уравнениям Навье - Стокса в качестве дополнительного уравнения принимается уравнение неразрывности. Учитывая громоздкость и трудность прямого решения задачи в практической деятельности (в случаях, когда это считается допустимым) решение дости­гается первым методом (по аналогии с движением идеальной жидкости).

5.2. ^ Уравнение Бернулли для элементарной струйки вязкой жидкости

Выделим в элементарной струйке жидко­сти двумя сечениями 1 - 1 и 2 - 2 отсек жид­кости. Отсек жидкости находится под дейст­вием сил давленияи сил тяжести на жидкость в отсеке действуют также силы инерции самой движущейся жидкости, а также силы трения, препятствующие перемещению жидкости. В результате действия сил внутрен­него трения часть механической энергии жид­кости расходуется на преодоление возникающих сопротивлений. По этой причине вели­чины гидродинамических напоров в сечениях будут неодинаковы. Естественно, что //2 .Тогда разность гидродинамических напоров в крайних сечениях отсеков будут как раз характеризовать потери напора на преодоление сил трения. Эта величина носит название потерь напора на трение

В этом случае уравнение Бернулли примет следующий вид:



- потери удельной энергии (преобразование потенциальнойэнергии жидкости в тепловую энергию при трении).

Величинаносит название гидравлического уклона.

^ 5.3. Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости

При массовом расходе в живом сечении элементарной струйки . кинети-

ческая энергия жидкости проходящей через это сечение в единицу времени будет равна:



Суммируя величины кинетической энергии всех элементарных струек проходящих через живое сечение потока жидкости, найдём полную кинетическую энергию для всего

д

живого сечения потока



С другой стороны, полагая, что скорости во всех элементарных струйках одинаковы и равны средней скорости движения жидкости в живом сечении потока, таким же образом вычислим полную кинетическую энергию в этом же живом сечении потока. ' '



Вполне очевидно, что величины этих энергий не равны, т.е.



Тогда коэффициент, учитывающий неравномерность распределения скоростей по сечению (коэффициент Кориолиса) можно определить как соотношение кинетических энергий:

т?

Внося эту поправку в уравнение для элементарной струйки жидкости, получим урав­нение для потока конечных размеров. Практически а= 1.0- 2,0.



Кроме коэффициента Кориолиса, учитывающего неравномерность распределения кинетической энергии по живому сечкнию потока, существует аналогичный показа­тель для величины количества движения, коэффициент Буссинэ

Секундное количество движения для потока жидкости можно определить как ин­тегральную сумму количества движения элементарных масс жидкости, протекающих через бесконечно малые площадки ds в пределах площади всего живого сечения S, т.е.



Аналогичным образом, величина количества движения жидкости в живом сече­нии при условии равномерного распределения сколостей по сечению потока будет:



Отсюда коэффициент Буссинэ определится следующим образом:



В связи с тем, что величина коэффициента количества движения (коэффициент Буссинэ) невелика и не превышает 1,05, поправкой в расчётах обычно пренебрегают,

^ 5.4. Гидравлические сопротивления

Потери удельной энергии в потоке жидкости, безусловно, связаны с вязкостью жид­кости, но сама вязкость - не единственный фактор, определяющий потери напора. Но можно утверждать, что величина потерь напора почти всегда пропорциональны квадрату средней скорости движения жидкости. Эту гипотезу подтверждают результаты большин­ства опытных работ и специально поставленных экспериментов. По этой причине потери напора принято исчислять в долях от скоростного напора (удельной кинетической энергии потока). Тогда:



Потери напора принято подразделять на две категории:

потери напора, распределённые вдоль всего канала, по которому перемеща­ется жидкость (трубопровод, канал, русло реки и др.), эти потери пропорцио­нальны длине канала и называются потерями напора по длине сосредоточенные потери напора: потери напора на локальной длине потока (достаточно малой по сравнению с протяжённостью всего потока). Этот вид потерь во многом зависит от особенностей преобразования параметров пото­ка (скоростей, формы линий тока и др.). Как правило, видов таких потерь до­вольно много и их расположение по длине потока зачастую далеко не зако­номерно. Такие потери напора называют местными потерями или потерями напора на местных гидравлических сопротивлениях. Это вид потерь напора

также принято исчислять в долях от скоростного напора

Тогда полные потери напора можно представить собой как сумму всех видов потерь напора:



Оценка величины местных потерь напора практически всегда базируются на резуль­татах экспериментов, по результатам таких экспериментов определяются величины коэф­фициентов потерь. Для вычисления потерь напора по длине имеются более или менее на­дёжные теоретические предпосылки, позволяющие вычислять потери с помощью при­вычных формул.

1   2   3   4   5   6   7   8   9



Скачать файл (1267 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru