Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Лекции - Понятие имитационной модели - файл 1.rtf


Лекции - Понятие имитационной модели
скачать (171.5 kb.)

Доступные файлы (1):

1.rtf172kb.21.11.2011 08:32скачать

содержание
Загрузка...

1.rtf

Реклама MarketGid:
Загрузка...
1. Понятие имитационной модели. Типовые задачи управления экономическими процессами, решаемые методами имитационного программирования.

Имитационной моделью называют – специальный программный комплекс, который позволяет имитировать деятельность исследуемого сложного объекта. По средствам этого комплекса в компьютере запускаются параллельные взаимодействующие вычислительные процессы, которые являются по своим временным параметрам с точностью до масштаба времени, аналогом исследовательских процессов.

Любое моделирование в основе своей методологии содержит процесс имитации реальности с помощью некоторой символики, например математики, или аналогов. Имитационное же моделирование в отличие от моделирования вообще, и математического моделирования в частности, может быть реализовано только с использованием компьютерных технологий и поэтому немыслимо без компьютерной имитации.

Для создания имитационной модели необходимо специальное программное обеспечение, называемое системой моделирования (simulation models). Специфика такой системы определяется технологией работы набором языковых средств, сервисных программ и приемов моделирования. Имитационная модель должна отражать большое число параметров, логику и особенности поведения моделируемого объекта, как во времени так и в пространстве (временная и пространственная динамика). Моделирование объектов экономики связано с понятием финансовой динамики объекта.

Имитационное моделирование обычно применяется в двух случаях:

1). Для управления сложным бизнес процессом, когда имитационная модель управляемого объекта используется в качестве инструментального средства в контуре адаптивной системы управления, создаваемой на основе информационных технологий.

2). При проведении экспериментов с дискретно – непрерывными моделями сложных экономических объектов для получения и отслеживания их динамики в экстренных ситуациях связанных с рисками, в случаях когда натурное моделирование этих объектов не возможно.

В управлении экономическими объектами с применением методов и моделей имитационного моделирования можно выделить следующие типовые задачи:

  1. моделирование процессов логистики для определения временных и стоимостных параметров;

  2. управление процессом реализации инвестиционного проекта на различных этапах его жизненного цикла, с учетом возможных рисков и тактики выделения денежных средств;

  3. анализ клиринговых процессов (безналичных расчетов за товары, услуги и т.д., основанных на зачете взаимных требований и обязательств) в работе сети кредитных организаций;

  4. прогнозирование финансовых результатов деятельности на конкретный период времени;

  5. оценка параметров надежности и задержек в централизованной экономической информационной системе, с коллективным доступом (на примере системы продажи авиабилетов, с учетом несовершенства физической организации баз данных системы, а так же с учетом отказов работы оборудования).

^ 2. Статистическое моделирование экономических систем. Метод «Монте-Карло». Закон больших чисел.

Метод статистического моделирования или метод « Монте-Карло» - это способ исследования поведения вероятностных систем как экономических, так и технически, в условиях когда не известны в полной мере внутренние взаимодействия в этих системах. Статистические испытания по методу «Монте-Карло» представляют собой простейшее имитационное моделирование при полном отсутствии каких-либо правил поведения. Получение выборок по методу Монте-Карло – основной принцип компьютерного моделирования систем, содержащих стохастические или вероятностные элементы.

В основе вычислений по методу Монте-Карло лежит случайный выбор чисел из заданного вероятностного распределения. При вычислениях методом Монте-Карло статистические результаты получаются путем повторяющихся испытаний. Вероятность того, что эти результаты отличаются от истинных не более чем на заданную величину, есть функция количества испытаний.

Метод Монте-Карло заключается в воспроизведении исследуемого процесса при помощи вероятностной математической модели, и вычисление основных характеристик этого процесса. Одно такое воспроизведение функционирования системы называется реализацией или испытанием.

После каждого испытания регистрируют совокупность параметров характеризующих случайный исход этой реализации.

Метод основан на многократных испытаниях построенной модели с последующей статистической обработкой полученных данных с целью определения числовых характеристик рассматриваемого процесса в виде статистических оценок его параметров. Процесс моделирования функционирования экономической системы сводится к машинной имитации изучаемого процесса, который как бы копируется на ЭВМ со всеми сопровождающими его случайностями. Основывается метод статистического моделирования на законе больших чисел.

Закон больших чисел в теории вероятности доказывает для различных условий сходимость по вероятности средних значений, результатов большого числа наблюдений (испытаний) к некоторым постоянным величинам. Под законом больших чисел понимают несколько теорем, одними из основных теорем больших чисел является теорема П.Л. Чебышева и Бернулли.

  1. ^ Теоремы П.Л. Чебышева и Бернулли. Моделирование величины m по средствам случайной величины ξ, имеющей параметры распределения Μ[ξ]=m, D[ξ]=в².

Теорема Чебышева формулируется так:

При неограниченном увеличении числа n независимых испытаний, среднее арифметическое свободных от систематических ошибок и равноточных результатов наблюдений ξi случайной величины ξ имеющей конечную дисперсию D[ξ] сходится по вероятности к математическому ожиданию Μ[ξ] этой случайной величины.

n

ℓim P{│∑ ξi - M[ξ]│<ε}=1

n →∞ i=1

Другая формулировка закона больших чисел называется теорема Бернулли:

При неограниченном увеличении числа независимых испытаний в одних и тех же условиях P*(А) наступления А сходится по вероятности к его вероятности P,

PА - теоретическая вероятность

ℓim P{│ P*(А) - PА │<ε}=1

n → ∞

частота будет отличаться.

Согласно теореме Бернулли, для получения вероятности какого либо события, например i-го состояния исследуемой системы Pi (t) где i= 1, 2, …, к надо вычислить частоты

P i *=mi

n
где mi – это число наступлений i- го состояния системы в n числе испытаний, при этом , согласно теореме Бернулли, чем больше число испытаний системы, тем точнее результаты вычисления вероятностей системы.

Предположим что требуется найти исследуемую независимую величину m о которой мы знаем только что величина m = M[ξ] – некоторой случайной величины, а дисперсия случайной величины ξ= D[ξ]=b².

Для этого рассмотрим n реализаций случайной величины ξ1, ξ2,…, ξn при этом каждое из этих значений есть сама случайная величина, причем как случайная величина ξi имеет такую же функцию распределения как и функция распределения случайной величины ξ

чем положный график тем дисперсия больше D[x1]>D[x2]<D[x3].

Если число испытаний n достаточно велико, то согласно центральной предельной теореме функция распределения суммы случайных величин ξ1, ξ2,…, ξn ровна ρn= ξ1,+ξ2+…+ ξn и при этом математическое ожидание случайной величины ρn будет равно Μ[ρn] = n·m

Можно так же вычислить дисперсию случайной величины ρn D[ρn]=n·b²

Для нормального закона распределения справедливо правило трех сигм состоящих в следующем где сигма это дисперсия случайной величины характеризующая степень отклонения значений случайной величины от ее математического ожидания.

σ=√D[x] P{M[x]-3σ<ξ<M[x]+ 3σ}=0,997
n

P{│1 ∑ ξi - m│<3b } = 0.997

n j=1 n
Из этого равенства можно найти искомое m, а именно это значение.

n

m ≈ 1 ξi

n j=1


^ 4.Моделирование случайных величин.

Для моделирования случайной величины нужно знать закон ее распределения.

Х – случайная величина

P(хi) – вероятность этого события

Функция распределения случайной величины Х называется F(x) =P{Х<x} состоящая в том, что Х примет свое значение <больше текущего значения x

Для не прерывных случайных величин производная ровна плотности распределения F'(x) = ƒ(x).

Наиболее общим способом получение последовательности случайных чисел, распределенных по произвольному закону, которых и надо выявить в процессе моделирования случайных величин, является способ в основе которого лежит формирование этих случайных чисел по средством последовательности случайных чисел распределенных в интервале [0;1] по равномерному закону распределения.

Для моделирования случайной величины с произвольным законом распределения, необходимо иметь последовательность случайных чисел равномерно распределенных на отрезке (0;1).

Равномерно распределенные в интервале (0$1) последовательности случайных чисел можно получить тремя способами:

  1. использование таблиц случайных чисел;

  2. применением генераторов случайных чисел;

  3. методом псевдослучайных чисел.

При использовании ЭВМ для выработки случайных чисел равномерно распределенных в интервале (0;1) используется процесс преобразования результатов случайного физического процесса двоичных чисел, при этом в качестве случайного физического процесса наиболее часто используется собственные суммы компьютера например: случайным образом меняющееся напряжение питания.

  1. ^ Моделирование совместных зависимых событий.

Моделирование случайного события заключается в воспроизведении факта появления или не появления случайного события в соответствии с заданной его вероятности. Моделирование полной группы несовместных событий A1,A2….An вероятности которых P(Ai) i=1,2,…n, известны, можно свести к моделированию некоторой дискретной случайной величины Y со значениями {y1,y2….yn} при известном законе распределения P(y1), P(y2),….P(yn). Это происходит следующим образом в процессе испытания дискретной случайной величины Y, принятия ею своего возможного значения Yi равносильно появлению в испытании собственного события Ai . При практической реализации такого способа статистического моделирования на единичном отрезке (0;1)
откладываются интервалы длинной ∆i которые равны вероятностям наступления случайным событиям P(Ai )=P(Yi )=Pi ∆i = Pi

Для того чтобы смоделировать наступление некоторого случайного события Aк мы вырабатываем равномерно распределенное на интервале (0;1) случайное число ξi и проверяем его на выполнение условия

к-1 к

∑ Pi ≤ ξi ≤ ∑ Pi , и тогда мы говорим что наступило Aк

j=1 j=1
событие Ai ∩ Aj ═ Ø , события являются не совместными если их появление во времени t не совпадает

n

U Ai ═ Ω – достоверное событие

i=1

P(Ω) = 1 ( его вероятность =1)

n

1) P ( U Ai ) = 1 Ø- невозможное событие P(Ø) ═ 0

i=1

2) P (Ai ∩ Aj ) = P(Ø) ═ 0

Эти два равенства определяют полную группу несовместных событий.

Как частный случай из такого способа моделирования

к-1 к

∑ Pi ≤ ξi ≤ ∑ Pi следует что моделирование факта

j=1 j=1
появления одного единственного события A имеющего вероятность появления P(A) сводится к моделированию полной группы двух несовместных событий т.е. двух противоположных событий A и (Ā), поэтому

A U Ā ═ Ω и тогда P(A) + P(Ā) =1 P(Ā) =1 P(A) .

Вероятность появления некоторого случайного события A в каждом отдельном испытании P(A) = 0,75, смоделировать три отдельных испытания и определить последовательность реализации событий A, для этого
и считаем, что если равномерно распределенное случайное число ξi полученное из генератора случайных чисел ξi < Е, то в испытании наступило событие A, если же генератор выдаст ξi ≥ Е , то считаем что в испытании наступило противоположное событие Ā.

Теперь допустим равномерное распределение на отрезке (0;1) выдаст последовательно три числа ξ1 =0,925 ξ2 = 0,135 ξ3 = 0,088 , тогда считается что при первом испытании ξ1 = Ā , при втором A и при третьем A.

^ Моделирование совместно зависимых и независимых событий.

Моделирование совместных событий можно выполнить двумя способами:

1) На начальном этапе моделирования определяют всевозможные исходы появления совместных событий в испытаниях, эти всевозможные исходы появления совместных событий образует полную группу несовместных событий, далее вычисляются вероятности этих несовместимых событий, после задача моделируется и сводится к моделированию полной группы несовместных событий. Могут иметь место зависимые и совместные события A ,B при этом известны вероятности наступления события P(A)= 0,7 P(B)= 0,5 и вероятность наступления одновременного события P(A∩B) = P(AB) = 0,3

В этих условиях смоделировать A и B в двух испытаниях. Для таких событий

A и B при каждом испытании возможны появления четырех несовместных исхода, возможно наступление четырех взаимоисключительных событий.

1) C1 = A · B; P(C1) = P(AB) = 0,3

2) C2 = A · B; P(C2) = P(AB) = P(A) – P(A · B) = 0,7 – 0,3 = 0,4

3) C3 = A · B; P(C3) = P(AB)= P(B) - P(A · B) = 0,5 – 0,3 = 0,2

4) C4 = A · B; P(C4 ) = P(AB) = 1 – (P(C1) + P(C2) + P(C3) ) = 0,1

P(C1) + P(C2) + P(C3) + P(C4 ) = 1.

Таким образом получили полную группу вероятности наступления событий, мы посчитали, нам известны для того чтобы смоделировать

ξ1 =0,62 ; ξ2 = 0,95

ξ1 = ∆2 , это значит что событие A имело место , а событие B не произошло.

ξ2 = ∆4 , это значит что не A ни B не наступило.

2) При втором способе моделирования совместных событий состоит в разыгрывании факта появления каждого из совместных событий отдельно, при этом , если события зависимы , необходимо предварительно определить условные вероятности этих событий. Пример:

В условиях предыдущего примера смоделировать раздельное появление A и B в одном испытании, т.к. событие A и B совместны и зависимы, сначала находим условные вероятности совместного появления этих событий из формулы умножения вероятности.
P(AB)=P(B/A) · P(A)

P(AB) 0,7 3/7

P(B/A)= P(A) = 0,3 =
P(B/A) 0,2

P(B/A)= P(A) = 0,3 = 2/3

Для моделирования события A выбираем на генераторе случайных чисел ξ1, допустим ξ1 = 0,96 т.к. ξ1 > P(A) = 0,7 это означает что в первом испытании событие A не наступило, и теперь по условию смоделируем событие B, при условии что событие A в испытании не имело место, для этого допустим ξ2 = 0,19, тогда т.к. ξ2 < P(B/A)= 2/3 мы получаем что событие B в испытании наступило.

^ 6. Смоделировать появление совместных зависимых событий A1,A2,A3 в трех испытаниях, если генератор случайных чисел выдал три последовательных равномерно распределенных числа ξ1 =0,28; ξ2 =0,54;

ξ3 =0,87 при этом вероятности соответствующих событий равны P(A1) =0,6; P(A2) =0,5; P(A3) = 0,4; P(A1 A2) = 0,3; P(A1 A3) = 0,2; P(A2 A3) = 0,2;

P(A1 A2 A3) =0,1.


Скачать файл (171.5 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru