Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Лекции по гидравлике - файл 1.doc


Лекции по гидравлике
скачать (35385.5 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc35386kb.16.11.2011 01:57скачать

содержание
Загрузка...

1.doc

1   2   3
Реклама MarketGid:
Загрузка...

FA = (Po + ρghс) W или FA = F0 + Fизб


Т.к. сила атмосферного давления действует со стороны жидкости и извне, то в случае открытого сосуда: FA = ρghсW или F = ρghсW

Сила гидростатического давления (абсолютного или избыточного), действующая на плоскую фигуру любой формы, равна площади этой фигуры, умноженный на соответствующее давление в центре тяжести.

Или т.к. «hсW» представляет собой объем цилиндра с площадью, основания « и глубиной погружения «hс». Зависимость F = ρghсW можно прочитать так:

Сила гидростатического давления на плоскую фигуру равна весу жидкости в объеме цилиндра с основанием «^ и глубиной погружения «hс».


2. Определение положения линии действия силы F (определение силы давления)




Центром давления называется точка приложения равнодействующей сил давления на некоторую плоскую поверхность.

Точка приложения силы давления от атмосферного давления Fа будет совпадать с центром тяжести площадки (закон Паскаля), yс

Избыточное же давление (весовое) неравномерно распределяется по площадки, чем точка глубже, или давление больше. Поэтому центр давления силы избыточного давления Fизб. Будет лежать ниже центра тяжести площадки yD

Искомая сила P является геометрической суммой сил Fа и Fизб. Точка D будет лежать между точками C и D1 . Эта точка найдется в результате геометрического сложения точек приложения сил Fа и Fизб

Исходя из следующего:

Сумма лимитов составляющих элементарных сил «P0dW», относительных оси ох равна моменту равнодействующей силы F относительно оси ох.

Это теорема Вариньона.

dFy = F . yD или F . yD = ∫w dFy

dF = (P0 + ρgh) dW = (P0 + ρgy sin d) dW

F yD = ∫w (P0 + ρgy sin d) ydW = ∫w P0 ydW + ∫w ρgy2 sin d dW=P0 w ydW + ρgy sin d ∫w y2 dW;

w ydW = Sx = ycW; ∫w y2 dW = Yox – момент инерции относительно оси ох.

F yD = ∫w ydF = P0 yс W + ρg sin d Yox

F = (P0 + ρghc) W

Найдем yD:

yD = P0 yс W + ρg sin d Yox / (P0 + ρghc) W; Yox = yc2W + yc

yc – момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести плоской площадки.

yD = P0 yс W + ρg yc2 sin dW + ρg sin d Yc / (P0 + ρghc) W = Yc + ρg sin d Yc / (P0 + ρghc) W

yc sin d = hc, раделим правый член уравнения на «ρg»

yD = yc + yc sin d / (P0/ ρg + hc) W

- если площади расположены вертикально sin d = 1, тогда yD=hD, а yc=hc

hD= hc + yc / (P0/ ρg + hc) W

yD = (yc2 + Yc) / yс W; yD = yc + (Yc / yс W)

Центр давления лежит ниже центра тяжести на величину эксцентриситета «ℓ», где ℓ = Yc / yс W


Графоаналитический способ определения силы давления и точки ее приложения.





Рассмотрим плоскую вертикальную стенку OB с горизонтальным основанием, ширину которого обозначим «в».

На эту стенку будем рассматривать действие избыточного давления, т.к. на поверхности действует атмосферное давление. Наметим на стенке точку «m», давление в которой: Р = ρgh.

Будем перемещать эту точку вниз, при этом давление изменяется подчиняясь линейному закону. В точке «О» при h = 0, Ризб = 0, а в точке «В»: Р = ρgh.

Построим эпюру давления АОВ и определим силу давления на стенку «ОВ»:


F = ρghcW, где hc = h/2, W = hв

F = ρg h/2 (hв) = ρg h2/2 . в


SAOB = 0,5 ρg h2 . в, это площадь эпюры гидростатического давления. Следовательно сила давления, определенная графически, равна:


F = Sэu в

Сила давления на плоскую стенку равна произведению площади эпюры давления на ширину этой стенки.


^ Определим графический центр давления.


Аналитически центр давления определяется после нахождения его координаты:


yD = yc + (Yc / yс W), где yc = h/2 , а Yc для прямоугольника:

Yc = вh3/ 12; W = вh

yD = h/2 + h/6 = 2/3 h

yD =2/3 h, т.е. yD = yc эпюры давления


Линия действия силы гидростатического давления проходит через центр тяжести эпюры давления.





Лекция №4


Определение силы давления на

криволинейные поверхности.

Точка приложения силы давления.

Основы гидродинамики.




Выделим на некоторой цилиндрической поверхности АВ элементарную площадку, погруженную на глубину h ее центра тяжести. Давление на поверхности жидкости равно Р0, а полное гидростатическое давление в центре тяжести площадки «ав» будет равно:


Р = Р0 + ρgh


Элементарная сила полного гидростатического давления на площадку dW будет равна:


dF = (Р0 + ρgh) dW


Эта сила направлена по нормам к площадке dW и пройдет через центр тяжести. Поскольку линия действия проходит под углом β к горизонту и отклоняется на угол d от вертикальной линии, эту силу необходимо разложить на две ее составляющие – вертикальную и горизонтальную:


dFв = dF cos d = (Р0 + ρgh) cos d dW

dFг = dF sin d = (Р0 + ρgh) sin d dW


Произведения d cos dW и d sin dW равны площади проекций элементарной площадки dW на горизонтальную хоу и вертикальную уоz плоскости.

dW cos d = dW хоу или dWг

dW sin d = dW уоz или dWв


Рассмотрим каждую из составляющих силы отдельно:


^ 1. Горизонтальная составляющая

dFг = (Р0 + ρgh) dWв

Площадка АВ состоит из элементарных площадок, тогда горизонтальная составляющая может быть определена суммирование элементарных сил:

Fг = ∫wв 0 + ρgh) dWв = Р0 wв dWв + ρg∫wв hdWв

wв dWв = Wв и wв ρgh dWв = Soy = hc Wв – статический момент площади проекции поверхностей АВ на вертикальную плоскость.


Fг = (Р0 + ρghс) Wв, где hс – погружение центра тяжести вертикальной проекции криволинейной поверхности; Wв – вертикальная проекция криволинейной поверхности.


^ 2. Вертикальная составляющая


Вертикальную составляющую силы Fв можно также получить суммированием элементарных сил dFв:


Fв = Fг = ∫wг 0 + ρgh) dWг = Р0 wг dWвг+ ρg∫wг hdWг

wг dWг = Wг ; hdWг = Vaвcd, тогда ∫wг Vaвcd = VACDB

Fв = P0Wг + ρg VACDB


Вертикальная составляющая силы полного гидростатического давления равна сумме внешнего давления на горизонтальную протекцию криволинейной поверхности АВ и веса жидкости в объеме АСDВ, ограниченного снизу криволинейной поверхностью АВ, по бокам образующим восстановленными из концов этой поверхности АС и DВ, а сверху свободной поверхностью. Этот объем называют телом давления.

Результирующую силы гидростатического давления F можем определить:

F = √Fг2 + Fв2


Эта равнодействующая силы F проходит через точку пересечения направляющей действия вертикальной и горизонтальной составляющей под углом β:

tg β = Fв/ Fг


Если на поверхности жидкости давление равно атмосферному Ра, а избыточное давление Ризб = 0, поэтому для криволинейных поверхностей рассматривают воздействие сил весового давления


Fг = ρghс Wв

Fв = ρgV т.д.

Объем тела давления может быть реальным, если этот объем расположен со стороны жидкости смачивающей криволинейную поверхность и фиктивным, если он расположен со стороны, не смоченной жидкостью. Реальный со знаком +, фиктивный со знаком -.

Направление равнодействующей силы и ее составляющих может быть найдено графически.




Построим эпюру гидростатического давления на вертикальную проекцию криволинейной поверхности и найдем ее центр тяжести. Линия действия, проходящая через этот центр, перемещаясь в горизонтальном направлении, пересечет криволинейную поверхность в т. 1

Построим эпюру давления для вертикальной составляющей и также найдем ее центр тяжести, через который пройдет линия действия вертикальной составляющей и пройдет через т.2 криволинейной поверхности. Эти две линии действия пересекутся в т. О и центр кривизны под углом β к горизонту. Точка приложения этой линии к криволинейной поверхности т. 3 будет определятся координатами:


ZD = R sin β

XD = R cos β


^ Основы гидродинамики. Основные понятия гидродинамики. Виды движения. Элементы потока.


Гидродинамика – раздел гидравлики, в котором изучаются законы движения жидкости. Трудность изучения этих законов обуславливается самой природой жидкости и особенно сложностью учета сил трения.

Гидравлика изучает в основном реальные жидкости. При изучении законов движения различают понятия:

^ Точка пространства – геометрический образ, не имеющий размеров. Положение ее в пространстве определяется координатами X, Y, Z.

Частица жидкости – физический образ, представляющий собой бесконечно малую массу жидкости бесконечно малого объема.

^ Основной задачей гидродинамики является определение величин, характеризующих движение жидкости: скорость течения и гидродинамического давления. Скорость течения U и давление Р зависит не только от координат X, Y, Z, но и от времени t.

Основные элементы движения можно выразить следующими функциональными зависимостями:

Р = φ1 (x, y, z, t)

Ux = φ2 (x, y, z, t)

Uy = φ3 (x, y, z, t)

Uz = φu (x, y, z, t)


^ Виды движения жидкости.

Различают два основных вида движения жидкости: установившиеся и неустановившееся.

Установившимся называется движение, при котором параметры движения давление Р и скорость U зависят от координат частиц движущейся жидкости:

U = φ1 (x, y, z) и Р = φ2 (x, y, z,)

^ Неустановившееся движение, при котором параметры движения частиц жидкости U и Р зависят от координат положения и времени:


U = φ1 (x, y, z, t) и Р = φ2 (x, y, z, t)


Становившееся движение может быть равномерным и неравномерным.

Неравномерным движением называют также движение, при котором при переходе частиц от одних точек и другие скорости и давление изменяется. При неравномерном движении жидкости живое сечение, средняя скорость и давление изменяются по длине потока.




Равномерным называют движение, при котором частицы жидкости не изменяют скорости по длине потока:





Под воздействием давления на поток движение жидкости делится на напорное и безнапорное.

Напорным называют движение жидкости, при котором поток со всех сторон ограничен твердыми стенками. Движение происходит под действием гидростатического давления и силы тяжести (движение в трубах).

Безнапорным называют движение жидкости, при котором поток ограничен твердыми стенками частично. Это движение характеризуется наличием свободной поверхности и происходит под действием силы тяжести (движение в реках, каналах, трубах, работающих неполным сечением).

^ Свободные струи – поток ограниченных воздухом со всех сторон. Движение за счет гидродинамического давления (форсунки, насадки, отверстия).

Установившееся неравномерное параллельноструйное движение потока, при котором угол расхождения между линиями тока и их кривизна – величины пренебрежимо малые называют плавно изменяющимся движением. Это движение должно удовлетворять двум условиям:

- радиус кривизны элементарных струек потока стремится к бесконечности





- угол расхождения элементарных струек потока мал и стремится к нулю





При несоблюдении этих условий движение называют резкоизменяющимся.

След движения частицы жидкости в пространстве называется траекторией движения.

Рассмотрим несколько точек в пространстве и покажем их векторы скорости





Кривая, проведенная в движущейся жидкости, касательные которой в данный момент времени совпадают с направлением векторов скорости каждой точки данной кривой называется линей тока.


^ Трубка тока




Выделим замкнутый элементарный контур и через все его точки проведем линии тока. Они образуют трубчатую поверхность, которую называют трубкой тока. Поверхность трубки тока непроницаема.


Элементарная струйка

^ Масса жидкости, находящаяся внутри трубки тока называется элементарной струйкой.

Элементарная струйка обладает следующими свойствами:

1. Имеет постоянную форму, т.к. форма линий тока с течением времени не изменяется.

2. Частицы жидкости, находящиеся в одной струйке, не могут переходить в соседнюю.

3. Скорость во всех точках поперечного сечения элементарной струйки одинакова.

Поток жидкости. Совокупность элементарных струек называют потоком жидкости. Причем эти элементарные струйки движутся с различными скоростями.


^ Гидравлические элементы потока

1. Площадь поперечного сечения струйки жидкости, перпендикулярного его линии тока называется площадью живого сечения струйки.

^ Живое сечение потока представляет собой поверхность, проведенную перпендикулярно направлению движения жидкости и лежащую в пределах этого потока.




2. Смоченный периметр X представляет собой периметр той части живого сечения трубы, которая смочена движущейся жидкостью.



3. Гидравлическим радиусом называется отношение живого сечения к смоченному периметру:

R = W/X, для круглой трубы R= d/4

Лекция №5


Характеристики движения жидкости.

^ Уравнение неразрывности потока.

Уравнение Д. Бернулли для эл. струйки

идеальной жидкости.


Расход жидкости. Расходом жидкости называется ее объем, проходящий в единицу времени через живые сечения:


Q = V/t [L3/t]


Единицы измерения: м3/с, см3/с, дм3/с, или л/с.

Если чрез dW обозначить элементарную площадь живого сечения, то величина элементарного расхода будет представлять собой:


dQ = udW


Т.к. скорости «u» в различных точках сечения неодинаковы, то величину расхода Q можно представить в виде:


Q = ∫w udW


^ Структурная особенность течения. Скорости течения u в разных точках неодинаковы, вводим понятие средней скорости.

u1 u2 ≠ u3 и т.д.

Это фиктивная, реально не существующая скорость «U»

Скорость «U» - это отношение расхода жидкости к площади живого сечения потока:

U = Q/W; U = ∫w udW / W

Величина расхода Q для данного живого сечения: Q = U . W


^ Эпюра скоростей. Рассмотрим поток, имеющий плоские живые сечения в круглой трубе.


Наметим вертикаль АВ. Векторами покажем скорости каждой элементарной струйки u1 ,u2 , u3 и т.д. Соединив концы этих векторов плавной линией получим эпюру скоростей. Эпюрой скоростей называют графическое изображение изменения скоростей по живому сечению. U = Sэп / d


Уравнение неразрывности или сплошности потока.

Для определения далений и скоростей в различных точках потока жидкости используют основные уравнения гидродинамики. Эти уранения получены при наличии связи параметров движения с силами, действующими на движущуюся жидкость.

Уравнение неразрывности потока является аналитическим выражением закона сохранения массы в движущейся жидкости. Поток будет сплошным, если в нем не образовывается разрывов и пустот, т.е. ρ = const.

В дифференциальной форме это уравнение имеет вид:


∂ux / ∂x + ∂uy / ∂y + ∂uz / ∂z


Мы же будем использовать для расчетов уравнение неразрывности в гидравлической форме.

Рассмотри установившееся движение жидкости в трубе переменного сечения и выберем в потоке два произвольных сечения I - I и II – II.


Рассмотрим объем aвcd, заключенный между ними



Поток ограничен непроницаемой поверхностью, образованной линией тока. Будем считать, что выбранные сечения неподвижны, а жидкость – протекающая через них.

Обозначим через Q1 и Q2 расходы в выбранных сечениях. За время dt через живое сечение с площадью W1 поступает объем жидкости равный Q1 dt, в то же время через живое сечение с площадью W2 вытекает объем Q2 dt.

Примем следующие допущения:

  1. Поверхность АВ непроницаема;

  2. Жидкость несжимаема

  3. Жидкость движется без разрывов и пустот.

И мы можем утверждать, что объемы равны: Q1 dt = Q2 dt или Q1 = Q2

Можно в потоке наметить ряд сечений и получить:


Q1 = Q2 = Q3….= Qn = const, Q = const вдоль потока


Это можно представить в следующим виде:

W1 U1 = W2 U2 = Wn Un

Это и есть уравнение неразрывности в гидравлическом виде.


U1/ U2 = W2 / W1 ^ Средняя скорость течения жидкости обратно пропорциональны площадям живых сечений потока.

Уравнение Д. Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости при установившимся движении.


Если первым основным уравнениям гидродинамики является уравнение неразрывности, то вторым является уравнение Д. Бернулли, устанавливающее зависимость между скоростью и давлением в различных сечениях одной и той же элементарной струйки.

Движение будем полагать установившимся и плавно изменяющимися. Жидкость идеальной.


Пусть за некоторый бесконечно малый промежуток времени dt объем АВ переместится в положение А1В1. При этом сечение I – I переместится на расстояние dℓ1, а сечение II – II на расстояние dℓ2.

Для вывода уравнения Д. Бернулли применил к движению объема жидкости АВ теорему об изменении кинетической энергии (теорему живых сил), согласно которой приращение кинетической энергии движущейся системы материальных частиц равняется сумме работ всех сил, действующих на эту систему.

d (KЭ) = ∑А, где d (KЭ) приращение кинетической энергии тела на некотором расстоянии; ∑А – сумма работ всех сил, действующих да движущееся тело. KЭ = dm . u2 / 2

Приращение кинетической энергии будет представлять разность значений кинетической энергии в двух положениях перемещающегося объема, т.е. как разность кинетической энергии А1В1 и АВ.

В объемы А1В1 и АВ входит как составная часть объем А1В поэтому может утверждать, что искомое приращение кинетической энергии определяется разностью кинетической энергии объемов ВВ1 и АА1.

Определим эти объемы:

АА1 = dW1 . dℓ1 = dW1 . u1 . dt = dQ1dt

BB2 = dW2 . dℓ2 = dW2 . u2 . dt = dQ2dt

По условию неразрывности dW1 . u1 = u2 . dt = dQ = const, следовательно объемы АА1 и BB1, равны, т.е.

dQ1dt = dQ2dt = dQdt

Масса рассматриваемых объемов равна:

dm = ρdQdt

Выражение для приращения кинетической энергии примет вид:

d (KЭ) = ρdQdt . U22 / 2 – ρdQdt . U12 / 2

Рассмотрим далее работы сил, действующих на объем АВ при перемещении его в положение А1 В1

^ 1. Работа силы тяжести. Действие силы тяжести движущегося объема АА1 проявится при перемещении его в положение ВВ1. Работа силы тяжести равна произведению этой силы на путь, пройденный точкой ее приложения, т.е. центром тяжести движущегося объема жидкости по вертикали:

Ас.т. = ρdQdt . Z1 - ρdQdt . Z2

^ 2. Работа сил гидростатического давления.

Работа силы давления определяется силой давления в сечениях на путь, пройденный этими сечениями

∑ Ас.т. = P1 dW1dℓ1 – P2 dW2dℓ2 = P1 dW1u1dt – P2 dW2u2dt

∑ Ас.т. = P1dQdt – P2dQdt

Р1 и Р2 – гидростатическое давление в сечениях I и II – II

^ 3. Работа сил давления окружающей жидкости на боковую поверхность объема АВ.

Эта работа равна нулю, т.к. эти силы парных u в сумме равны нулю.

4. Работа сил трения. Эта работа равна нулю, поскольку мы рассматриваем идеальную жидкость.


Приравняв приращение кинетической энергии объема движущейся жидкости к сумме работ, получим:


ρdQdt . U22 / 2 – ρdQdt . U12 / 2 = ρdQdt . Z1 - ρdQdt . Z2 + P1 dW1u1dt – P2 dW2u2dt

Разделим полученное уравнение почленно на единичную массу dm = ρdQdt и перегруппируем члены:

gZ1 + P1/ρ + u12/2 = gZ2 + P2/ρ + u22/2

Для любого сечения идеальной жидкости:

gZ + P/ρ + u2/2 = const

Это уравнение для элементарной струйки идеальной жидкости Бернулли получил в 1738 г.

Сумма трех слагаемых, входящих в это уравнение называется полной удельной энергией жидкости в сечении и обозначается буквой Е.

gz – удельная энергия положения центра тяжести сечения

Р/ρ – удельная энергия давления в центре тяжести сечения

u2 / 2 – удельная кинетическая энергия.

Для элементарной струйки идеальной жидкости полная удельная энергия есть величина постоянная для всех сечений струйки.

С физической точки зрения уравнение Д. Бернулли для струйки идеальной жидкости представляет собой закон сохранения механической энергии, отнесенный к единице массового расхода.

gz + Р/ρ – мера потенциальной энергии.

В гидравлике для характеристики удельной энергии пользуются понятием напора, под которым понимают энергию жидкости, отнесенную к единице силы тяжести, т.е. ρdQdt:

Z1 + P1/ρg + u12/2g = Z2 + P2/ρg + u22/2g, или в общем виде

Z + P/ρg + u2/2g = H = const


z – гидравлический напор [м]

Р/ρg – пьезометрический напор [м]

u2 / 2g – скоростной напор [м]

Сумма трех слагаемых называется гидродинамическим напором Н, а Z + P/ρg – гидростатический или потенциальный напор.


^ Диаграмма Д. Бернулли

Графическое изображение членов, входящих в уравнение называется диаграммой Д. Бернулли


Лекция №6


Уравнение Д.Бернулли для реальной жидкости:

элементарной струйки и потока. Общие понятия

потерях напора. Основные уравнения установившегося

равномерного движения жидкости.


Для элементарной струйки реальной жидкости.

Вязкая жидкость испытывает сопротивление при движении, поэтому часть удельной энергии вдоль струйки теряется. Следовательно необходимо учитывать эту потерю. Обозначим ее через ΔЕ1-2 и запишем полученное ранее уравнение в следующим виде:

gZ1 + P1/ρ + u12/2 = gZ2 + P2/ρ + u22/2 + ΔЕ1-2 или в виде напоров:

Z1 + P1/ρg + u12/2g = Z2 + P2/ρg + u22/2g + ΔН1-2, здесь ΔН потеря напора



Линия ЕЕ соответствует гидродинамическому напору, а линия РР – гидростатическому или потенциальному напору.

Обозначим расстояние между сечениями Δℓ, отношение ΔН к Δℓ называют средним гидравлическим уклоном:

Y = d (Z + P/ρg + u2 /2g ) / dℓ, этот уклон характеризует положение напорной линии и всегда положительный.

i = d (Z + P/ρg) / dℓ - пьезометрический уклон, характеризующий положение пьезометрической линии. Он может быть как положительным, так и отрицательным.


^ Для потока реальной жидкости.


От уравнения Д. Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости можно перейти к уравнению для потока если принять следующие допущения ( поток – совокупность элементарных струек):

1. О распределении давлений в живых сечениях потока. Наметим два сечения 1-1 и 2-2 (в потоке они плоские):



Опытами установлено, что если в сечении пометить несколько точек и вывести из них пьезометры, вода в них установится на одной отметке. Аналогичная картина будет для любого сечения в направлении движения жидкости.

Z и P / ρg = counst


Можно сказать, что давление в конкретном сечении потока распределяется, подчиняясь гидростатическому закону при параллельно-струйном и плавно-изменяющимся установившимся движении.


2. Неравномерность распределения скоростей.

Задача учета неравномерности распределения скоростей по живому сечению сопряженных с определенными трудностями, поэтому в гидравлике все расчеты ведутся по средней скорости: U = Q/W

Рассмотрим эпюры действительных и средних скоростей:




При наложении этих эпюр видно, что действительный скорости неравномерно распределяются по отношению средней скорости, т.е.

u = U ± U0, где U0 – отклонение действительно скорости от средней.

Рассмотрим поток как совокупность элементарных струек. Энергия каждой отдельной струйки:

dE = (Z + P / ρg + u2/2g) ρgdQ

Энергия всего потока может быть найдена суммированием этих энергий:


Е = ∫w(Z + P / ρg + u2/2g) ρgdQ = ρg ∫w(Z + P / ρg) dQ + 0,5 ρg/g ∫w u2dQ


Первое слагаемое выражений потенциальную энергию потока. Полагаясь на первое допущение эта энергия определяется:


ρg ∫w(Z + P / ρg) dQ = ρg (Z + P / ρg) ∫wdQ = ρg Q (Z + P / ρg)

Епот = ρgQ (Z + P / ρg)


Второе слагаемое выражает кинетическую энергию в сечении:


Екин = 0,5 ρ ∫w u2dQ; dQ =udw; u = U + U0

Eкин = 0,5 ρ ∫w u3dW=0,5 ρ ∫w (U + U0)3dW=0,5 ρ ∫w (U3+3U2U0 + 3UU02 + U03) dW


Интеграл суммы представим в виде суммы интегралов и определим каждый из них:

Eкин = 0,5 ρ (∫w U3dW + ∫w 3 U2U0dW + ∫w3UU02 dW + ∫wU03dW) ∫w U3dW;

w 3 U2U0dW = 3 U2 w U0dW = 0, т.к. U0±;


w= U03dW ≈ 0, как величина третьего порядка малости;

Eкин = 0,5 ρ (U3W + 3U∫wU0 2 dW), вынести за скобку U3W;


Екин 0,5 ρU3W (1 + 3U∫wU0 2 dW) / U3W

Екин = 0,5 dU2 . U . uρ = ρdU2/2 Q = ρg (dU2/2g) Q; Екин= ρgQ (dU2/2g)


Энергия в сечении потока равна Епот + Екин;

Е = ρgQ (Z + P/ ρg) + ρgQ (dU2/2g), разделив почленно правую часть на ρgQ, получим: Е = Z + P/ ρg + dU2/2g


Записав энергию для двух сечений получим уравнение Д.Бернулли для потока:

Z1 + P1/ ρg + dU12/2g = Z2 + P2/ ρg + dU22/2g + h1-2, h1-2 – потеря напора.


Уравнение Д.Бернулли выражает особый закн сохранения энергии:

d = Екин u/ Екин U = 1,05/1,1 и показывает неравномерность распределения действительных скоростей.


^ Общие понятия о потерях напора


Z1 + P1/ ρg + dU12/2g = Z2 + P2/ ρg + dU22/2g + ∑h1-2

∑h1-2 =∑hе +∑hм, где h– потеря напора по длине; hm – потеря напора в местных сопротивлениях.

^ Потеря напора по длине

h= λ ℓ/d U2/2g, где λ – коэффициент сопротивления трению; ℓ - длина участка трубы; d – ее диаметр; U2/2g – скоростной напор. Эта зависимость Дарси – Вейстаха. Коэффициент λ зависит от вида сопротивления, в котором работает труба и является функцией:

λ = β (∆э, Re), где ∆э – эквивалентная шероховатость трубы, зависящая от ее материала и чистоты обработки; Re – число Рейнольдса Re=Ud/v


Различают три зоны сопротивления:

I зона – ламинарного или вязкостного сопротивления.

В любой зоне из-за небольших скоростей течения у стенок трубы образовывается неподвижный слой жидкости, закрывающий шероховатость трубы и λ зависит от числа Рейнольдса: λ = 64/Re;

II зона – переходная, практического применения не имеет;

III зона – турбулентного режима, которая делится на три область сопротивления:

- область гидравлически гладких труб, в этой области неподвижный слой больше выступов шероховатости и λ также зависит от числа Re:

λ = φ (Re); λ = 0,316 / Re 0,25; формула Блазиуса

- область доквадратического сопротивления, в которой с увеличением скоростей течения жидкости частично оголяется шероховатость трубы и λ зависит: λ = φ (∆э, Re) и определяется по формуле А.Д. Альтмуля:

λ = 0,1 (1,46∆э/d + 68/ Re)0,25

- область квадратического сопротивления или интенсивного перемешивания. Здесь полностью разрушается неподвижный слой жидкости и λ = φ (∆э), определяется по формуле Б.Л. Шифринсона:

λ = 0,11 (∆э/d)0,25

Существует целый ряд эмпирических зависимостей для определения λ, их находят в справочной литературе.

Для определения области сопротивления необходимо сравнить число Рейнольдса с его граничными значениями:

R| е гр. = 10d/∆э и R|| е гр. = 500d/∆э

- область гидравлически гладких труб

Rе < R| е гр. = 10d/∆э

- область доквадратического сопротивления;

10d/∆э = R| е гр. < Rе < R|| е гр. = 500d/∆э

- область квадратического сопротивления

Rе > R|| е гр. = 500d/∆э


^ Потеря напора в линейных сопротивлениях

Линейными сопротивлениями называют преграды на пути движения потока.

Все местные сопротивления можно объединить в 4 группы

1. Сопротивления изменяющие направление потока: плавные и резкие повороты трубопровода (колена).



2. Сопротивления изменяющие размеры живого сечения потока: резкое сужение и резкое расширение



3. Различного рода запорные устройства (краны, вентили, задвижки и т.д.) и дополнительная арматура на трубопроводе (сетки, змеевики и т.д.)

4. Сопротивления связанные с отделением или присоединением части потока.




Опредляются потери в местных сопротивлениях по формуле Вейсбаха:

hм = ζ U2/2g, где ζ – коэффициент местного сопротивления.

Этот коэффициент зависит от вида местного сопротивления и его размеров (помещены коэффициенты в гидравлических справочниках)

Лишь для резкого расширения в 1748 году Борда получил теоретическую зависимость для определения потерь напора:

hp . p = (U1 – U2) / 2g, где U1 – скорость в узком сечении, U2 – в широком; (U1 – U2) – называют потерянной скоростью.


^ Основное уравнение установившегося равномерного движения жидкости.

Цель задачи: Найти зависимость потерь напора по длине от величины сил трения внутри жидкости.

Движение рассматриваем:

  1. Установившееся

  2. Плавноизменяющееся

  3. Равномерное, т.е

W1 = W2 = W = const; U1 = U2 = U = const.




Для вывода уравнения воспользуемся законом количества движения.

Изменение количества движения равно сумме проекций всех сил, действующих на выделенный объем жидкости, на направление оси движения NN.

В случае равномерного движения изменение количества движения равно нулю. (KD) = mv; m = ρQ.

Выделим внешние силы, действующие на объем жидкости, ограниченной сечениями 1-1 и 2-2.

1. Собственный вес объема

G = Wℓρg, где W – площадь живого сечения, ℓ - расстояние между сечениями.

Проекция веса на направление движения NN:

GN = Wℓρg sin θ, где ℓ sin θ = Z1 – Z2 GN = ρgW (Z1 – Z2 )

2. Силы давления F1 и F2 действуют по пюруам выделенного объема:

F1 = P1W a F2 = P2W

Эти силы проектируют без искажения

3. Проекция на ось NN нормального давления на боковую поверхность (силы парные) равна нулю.

4. Силы трения

- силы внутреннего трения между слоями парные и равны нулю

- силы внешние (о стенки трубы)

Т0 = τ0 . . x, где τ0 – касательные напряжения, ℓ - расстояние между сечениями, х – смоченный периметр.

Т0 проектируется на направление движения без искажения.

GN + F1+ F2 – T = 0

ρgW (Z1 – Z2 ) + P1W – P2 W - τ0 . . x = 0

Разделим почленно полученное уравнение на ρgW:

(Z1 – Z2 ) + P1/ρg – P2 /ρg - τ0 . . x / ρgW = 0

Перегруппируем члены уравнения:

(Z1 + P1/ρg) - (Z2 + P2/ρg) в случае равномерного движения эта разница равна потери по длине h

h = τ0 . . x / ρgW; R = W/x, тогда x/W = 1/R

h = τ0 / ρg ℓ/R – это уравнение показывает зависимость потерь напора от силы трения.

h/ℓ = Y, тогда уравнение перепишется в виде:

YR = τ0 / ρg – основное уравнение равномерного движения.

Потери напора по длине для заданной жидкости прямопропорциональны касательным напряжениям силы трения Т0.

1   2   3



Скачать файл (35385.5 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru