Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Лекции по гидравлике - файл 1.doc


Лекции по гидравлике
скачать (35385.5 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc35386kb.16.11.2011 01:57скачать

содержание
Загрузка...

1.doc

1   2   3
Реклама MarketGid:
Загрузка...

Лекция №7


Два режима течения жидкости:

ламинарный и турбулентный, их особенности.

Число Рейнольдса. Математические зависимости

для вышеназванных режимов.


В природе существуют два вида движения: слоистый (упорядоченный) или ламинарный и турбулентный (неупорядоченный). Наиболее полно эти виды движения исследовал английский физик О. Рейнольдс в 1883 г.





Q = V/t м3

U = Q/W м/с


В результате опытов было установлено, что переход от ламинарного к турбулентному течению происходит при скорости, называемой критической. Эта скорость для труб разных диаметров различна, а так же она возрастает с увеличением вязкости жидкости и уменьшается с уменьшением диаметра трубы.


  1. Ламинарный режим

  2. Переходный режим

  3. Турбулентный режим





Число Рейнольдса Re

В результате опытов Рейнольдс установил общие условия существования ламинарного и турбулентного режимов.

Режим потока зависит от величины безразмерного числа, учитывающего основные факторы, определяющие это движение: U, d, ρ b и абсолютную вязкость μ.

Это число Рейнольдса: Re = Udρ/ μ = Ud/v; или Re = Uℓ/v

С физической точки зрения Re представляет собой меру отношения кинетической энергии объема жидкости к работе сил трения. Кинетическая энергия пропорциональна ρℓ3U2, а работа сил трения - μℓ3U

Re = ρℓ3U2/ μℓ3U = Uℓ/v; ℓ - линейный параметр.

Можно сказать, что число Рейнольдса представляет собой отношение сил инерции к силам вязкости.

Число Рейнольдса, при котором происходит смена режимов, называется критическим. Для круглых труб Re = 2320, для сечений отличных от круглого Re = 580. Величина Re кр зависит от условий входа потока в трубу, шероховатости стенок и др.

При Re < Re кр режим ламинарный, при Re > Re кр – турбулентный.

Для каждого из режимов установлена зависимость потерь напора от скорости:

he л = Вл U

he т = Вт Um, где m от 1,75 до 2,0

В – коэффициент пропорциональности, зависящий от размеров трубопровода и свойств жидкости; m – tg угла наклона каждой из зависимостей к горизонту: mл = 1,0; mт = 1,75 / 2,0


^ Распределение скоростей по сечению для круглой трубы при ламинарном режиме.

Рассмотрим установившееся движение при ламинарном режиме полагая, что начальное сечение потока находится на достаточном расстоянии от входа для обеспечения устойчивого распределения скорости в поперечном сечении.

Ламинарное движение (слоистое) характеризуется силой трения, напряжение которой τ определяется законом внутреннего трения Ньютона:

1. τ = μ du/dy, где u – местная скорость течения

С другой стороны τ можно определить из уравнения равномерного движения:

2. τ = ρgRY




Приравняем уравнения 1 и 2, заменив R = r/2, а первое уравнение представим в виде:


τ = - μ du/dy (знак минус указывает на уменьшение скорости в направлении радиуса)

ρg r/2 Y = τ = - μ du/dy;


Полученное уравнение решаем относительно du:

du = - ½ ρgr Y dr / μ;

Интегрируем полученное выражение:

u = - ½ ∫ (ρgY / μ) rdr = - (ρgYr2/4 μ) + C

Постоянную интегрирования С найдем принимая r = r0 a u = 0

C = ρgY / 4μ r02, отсюда u = ρgY / 4μ r02 - ρgY / 4μ r2

u = ρgY / 4μ (r02 – r2)

Мы получили закон распределения скорости при ламинарном режиме. При r =0 u = umax

umax = (ρgY / 4μ) r02


^ Расход и средняя скорость

Расход жидкости в трубе можно найти суммированием элементарных расходов, проходящих через кольцо радиусом r и шириной dr, т.е. из выражения: Q = ∫0r 0 u 2 ∏rdr, подставим значение U

Q = ∫0r ρgY / 4μ (r02 – r2) 2 ∏rdr = ρgY∏ / 2μ (r02 – r2) rdr = ρgY∏ / 2μ [r020r 0rdr - ∫0r 0r3 dr]

r020r 0rdr = r04/2; ∫0r 0r3 dr = r04/4; r04/2 - r04/4 = r04/4

Q = ρgY∏ / 8 μ

Средняя скорость определяется деление Q на W = ∏ r02

U = Q/W = ρgYr02 / 8μ; U = ρgYr02 / 8μ


Сравним два уравнения:

U = ρgYr02 / 8μ и umax = (ρgY / 4μ) r02, получим U = umax/2

при ламинарном режиме.


^ Потери напора на трение в круглой трубе при ламинарном движении.


Потери напора определим пользуясь уравнением:

U = ρgYr02 / 8μ

Решаем его относительно уклона и заменим радиус диаметром, т.е. r0=d/2

Y =8μ U4 / ρgd2 = 32 μU / ρgd2

Умножим левую и правую часть уравнение на длину ℓ:

Yℓ = hℓ 8μ Uℓ / ρgd2 = 32 vℓU / gd2 , где v = μ /ρ;

h= 32 vℓU / gd2 формула Паузейля-Гагена

Потери напора при ламинарном движении пропорционально скорости.

Преобразуем полученную зависимость домножив и разделив правую часть на 2U

h= 32 vℓU / gd2 . 2U/2U = 64 vℓU2/ gd d 2U = 64 vℓU2/Udd2g, где 64v/Ud = 64/Re = λ

При ламинарном движении коэффициент гидравлического трения, зависящий от числа Рейнольдса.

h = λ (ℓU2/ d 2g) формула Дарси-Вейсбаха.

Мы получили общую зависимость потерь напора, где λ не зависит от шероховатости а только от Re.


^ Турбулентный режим течения жидкости


При переходе числа Рейнольдса через критическое значение движение становиться турбулентным, т.е. начинается интенсивное перемешивание жидкости и частицы жидкости описывают сложные траектории и местные скорости имеют три составляющие.

Скорость в точке турбулентного потока называют мнговенной линейной скоростью или актуальной.

ux – продольная составляющая

uy, uz – поперечные составляющие, лежащие в сечении.


Эти скорости постоянно изменяются. Изменение во времени каждой составляющей называют пульсацией скорости.




ux1 = ux - u‾x; ∑ ux1dx = 0


u‾x определенная скорость, равная высоте прямоугольника АВСD, равновелиного площади, заключенный между пульсационной кривой..

Разность между актуальной и осредненной скоростями называется пульсационной составляющей - ux1

Осредненная скорость может быть представлена в виде u‾x = 1/Т ∫0т uxdt, где Т – период наблюдений. Т.о. можно осреднить uy и uz.

Турбулентный поток можно считать установившемся лишь по осредненным скоростям.

В турбулентном потоке происходит непрерывное перемешивание. Интенсивность его не одинакова по сечению трубы. Чем дальше от стенок, тем больше перемешивание. Часть потока занята турбулентным ядром и лишь у стенок образуется тонкий ламинарный слой или пленка.



В пределах ламинарной пленки скорость изменяется от нуля до некого граничного значения uгр. Далее эпюра скоростей выравнивается.

Толщина ламинарной пленки зависит от диаметра трубы и скорости течения жидкости:

л = 32,88 d/Re√x

Для одной и той же трубы ∂л обратно-пропорциональна средней скорости потока.


^ Понятие о гидравлически гладких и шероховатых стенках.


Внутренняя поверхность стенок отличается шероховатостью, зависящий от материала труб, характера отработки и условий эксплуатации.



Шероховатость можно представить в виде бугорков со средней высотой ∆, называемой абсолютной шероховатостью.

Для стальных труб ∆ = 0,065/0.1 мм, а для чугунных ∆ = 0,25 мм

Отношение ∆ к линейному размеру поперечного сечения потока называется относительной шероховатостью, для круглых труб ∆/r

Отношение линейного размера к абсолютной шероховатости называется относительной гладкостью r/∆

Соотношение абсолютной шероховатости и толщины ламинарной пленки позволит выделить следующие случаи:

  1. Гидравлически гладкие трубы: ∂л >>∆

  2. Гидравлически шероховатые трубы: ∂л < ∆

  3. Некотрый промежуточный случай: ∂л = ∆


Касательные напряжения при турбулентности движения жидкости.


В потоке жидкости касательные напряжения представляют сумму τлам и τтруб, т.е. τ = τл + τт

Рассмотрим два слоя движущейся жидкости с площадью соприкосновения S и относительной скоростью между слоями u.

Т – сила трения

Количество движения равно импульсу силы трения: mu = T . t

m = ρV, V = ℓS, т.е. m = ρℓS


u ρℓS1 = T . t или T = ρ (ℓ/t) Su

ℓ/t = u1 – скорость поперечного перемещения точки «m»

Т = ρS1u1u

По теории Прандтля u = ℓ (du/dy); u1 = ℓ (du/dy), где ℓ- расстояние между слоями, а y – расстояние от стенки трубы.

Т = ρSℓ2 (du/dy)2, разделив почленно уравнение на площадь S, получим касательные напряжения.

τт = Т/S = ρℓ2(du/dy)2

ℓ - длинна пути перемешивания по Прандтлю.

ℓ = χy, где χ- постоянна Кармана, равная 0,4 и определяющая толщину слоя.

Шевелев определил χ = 0,338 / d0,08

Т.о. τ = + μ (du/dy) + ρℓ2 (du/dy)2

При ℓ = 0, τ = μ (du/dy) – режим ламинарный

τ = ρℓ2 (du/dy)2 – режим турбулентности.


Лекция №8


Математические зависимости для

турбулентного режима. Истечение жидкости

через малые отверстия и насадки.

Законы распределения скоростей при турбулентном режиме.


Опытами установлено следующее:

1. Скорости у стенок трубы равны нулю (т.к. образуется неподвижный ламинарный слой).

2. На небольшом расстоянии от стенки скорости достигаю т значения мало отличающихся во всех точках живого сечения.

3. Средняя скорость в сечении равна:

U = (0,7 / 0,9) Umax

Принимая во внимание линейную зависимость пути перемешивания ℓ и расстояние от стенки y , т.е. ℓ = χy, воспользуемся уравнением касательных напряжений

τ = ρℓ2 (du/dy)2

du = (√τ/ρ) dy/ℓ = (√τ/ρ) dy/χy; √τ/ρ = u*, где u* - динамическая скорость в м/c.

du = u* dy/χy, интерпретируя это уравнение, получим:

u = (u*/χ) ℓu y + C

Скорости у стенок трубы изменяются по логарифмическому закону.

Определим постоянную интегрирования С, полагая y = z, u = umax

C = umax - (u*/χ) ℓu r

u = (u*/χ) ℓu y + umax - (u*/χ) ℓu r

u = umax + u*/χ (ℓu y - ℓu r)

Мы получили закон распределение скоростей по живому сечению потока при турбулентном режиме.

Чем больше число Рейнольдса, тем больше выравнивание скоростей:

Re = 2700 U = 0,75 Umax

Re = 108 U = 0,9 Umax

Re → ∞ U → Umax


^ Потери напора при турбулентном движении


Воспользуемся уравнением установившегося равномерного движения:

τ = ρgRY

и решим его относительно Y:

Y = τ / ρg 1/R

Исходя из опытов Шези: τ / ρg = KU2, где К – коэффициент пропорциональности равный: К = 1/С2, где С – коэффициент Шези.

τ / ρg = U2/C2, тогда уклон Y будет равен:

Y = 1/C2 U2/R, где R = d/4 из этой зависимости получим U = C√RY

Y = 4/C2 U2/d, c = √8g/λ - формула Шези, здесь λ – коэффициент сопротивления трению.

Поставим в зависимость, полученную для уклона Y, C и домножим левую и правую часть на ℓ:

Yℓ = 4λ/8g ℓU2/d ; he = λ (ℓ/d) U2/2g

При турбулентном режиме потери напора по длине пропорциональны длине участка и квадрату скорости.


^ Истечение жидкости из малого отверстия в тонкой стенке при постоянном напоре.


Н – геометрический напор

Если диаметр отверстия d составляет 0,1Н, такое отверстия называю малым.

Ua ≈ Uв




Под термином тонкая стенка понимают такую стенку:

  1. Края стенки заострены и поток касается только кромки.

  2. Толщина стенки ∂ < 0,2 d


При истечении жидкости через отверстие в тонкой стенке линии тока в плоскости самого отверстия непараллельны друг другу, поэтому движение резкоизменяющееся. На некотором расстоянии от отверстия кривизна линии тока уменьшается, его называют сжатым Wc. Это происходит на расстоянии ℓ ≈ 0,5 d. Сжатие сечения характеризуется коэффициентом сжатия E = Wc/W0, a Wc = EW0.

Цели задачи:

  1. Определить скорость в сжатом сечении;

  2. Найти расход через малое отверстие Q

Выберем два сечения 1-1 и С-С и запишем для них уравнение Д.Бернулли:

Z1 + P1/ρg + dU12/2g = Z2 + P2/ρg + dU22/2g + h1-2

Z1 = Н; P1/ρg = P2/ρg; dU12/2g ≈ 0, т.к. площадь живого сечения 1-1 больше площади сечения отверстия (Ω >>W).

Z2 = 0, P2/ρg = Pa/ρg; dU22/2g = dU22/2g; h1-2 = ζ Uc2/2g,

где коэффициент сопротивления, учитывающий потери в местном сопротивлении; d = 1,0.

Н + P0/ρg = Pa/ρg + Uc2/2g + ζ Uc2/2g;

Н + (P0/ρg - Pa/ρg) = Нпр приведенный напор; в случае открытого сосуда Нпр = Н.

Нпр = (1+ ζ) Uc2/2g → Uc = 1/√(1+ ζ) √2g Нпр

Обозначим 1/√(1+ ζ) = ς – коэффициент скорости отверстия, учитывающий потерю напора

Uc = ς √2gHкр или Uc = ς √2gH ς = Ug/Uтеор

Определим расход в сечении:

Q = Wc . Uc = EW0 ς √2gHпр.

Q = EςW0 √2gHпр.

Обозначим E ς = μ – коэффициент расхода

Q = μW0 √2gHпр

Q = μW0 √2gH

μ = Qд / Qтеор

Различают два вида сжатия потока:

  1. ^ Полное, когда струя сжимается воздухом по всему периметру

  2. Неполное – часть периметра отверстия примыкает ко дну, которое является направляющей плоскостью для потока.

Полное сжатие струи делится на совершенное и несовершенное:




  1. Совершенное - ℓ1 > 3в; ℓ1 > 3а

  2. Несовершенное сжатие наблюдается при более близком расположении отверстия к направляющим стенкам: ℓ1 < 3в; ℓ1 < 3а

Коэффициент расхода для несовершенного сжатия выше. сем для совершенного.

В случае совершенного сжатия для круглого и прямоугольного отверстий:

Е = 0,62 / 0,64

ς = 0,97

ζ = 0,06

μ = 0,060 / 0,62


^ Истечение жидкости через насадки


Насадком (насадкой) называется короткая труба, присоединенная к малому отверстию в тонкой стенке.

ℓ = (3/4) d

Насадки бывают:

  1. Цилиндрические: внутренние и внешние

  2. Конические: сходящиеся и расходящиеся

  3. Коноидальные



Рассмотрим внешний цилиндрический насадок. При входе в него струя претерпевает сжатие на расстояние ℓ, а далее расширяется и выходит из насадки полным сечением.

В сжатом сечении давление меньше атмосферного.

Запишем уравнение неразрывности для сечений С-С и 2-2:


Wc Vc = W2 V2 → Uc = W2U2/Wc → Uc = (1/E) U2 , т.е. Uc > U2,


а в сечении 2-2 давление равно атмосферному, из закона сохранения энергии, следует, что в сечении 2-2 давление меньше атмосферного. Т.о. можно делать вывод, что в сечении С-С выкуум. Вакуум зависит от напора Н.

За счет вакуума внешний цилиндрический насадок обладает большей пропускной способностью по сравнению с отверстием (на 32%).

Запишем уравнение Д.Бернулли для сечений 1-1 и на выходе из насадка 2-2:

Z1 + P1/ρg + dU12/2g = Z2 + P2/ρg + dU22/2g + ∑h1-2

Z1 = Н; dU12/2g ≈ 0; Z2 = 0; ∑h1-2 = ζ Uc2/2g + λ ℓ/d (Uc2/2g)

Н = dU12/2g + ζ Uc2/2g + λ ℓ/d (Uc2/2g) = dU12/2g (d + ζ + λ ℓ/d)

U2 = 1 /(√ d + ζ + λ ℓ/d) √2gH


Потери в насадке: на стадии струи, на расстоянии, по длине и относятся к скоростному напору на выходе.

U2 = ςH √2gH

Т.к. на выходе струя претерпевает сжатия и E = 1,0 , μH = ςH; ς цилиндрического насадка 0,82

Q = ςHW2√2gH = μH W2√2gH


Величина вакуума в насадке зависит от действующего напора, который складывается из Н и hвак. Допустимая величина вакуума, т.е. будет засасывается воздух из выходного отверстия. hвак ≈ 0,75 Н.


^ Конически сходящийся насадок




Коэффициент расхода такого насадка зависит от угла схождения θ Е=0,946 при θ = 130 ς = 0,97

Вакуум отсутствует, это объясняется уменьшением потерь напора за счет плавного входа струи в насадок. Обладает большой скоростью на выходе, с увеличением θ до 500 коэффициент расхода уменьшается.


^ Конически расходящийся насадок

В этом насадке скорость в сжатом сечении значительно больше, чем в цилиндрическом насадке и возрастает с увеличением угла расхождения (конусности).

Потери в этом насадке значительно больше, что обусловлено значительным расширением струи и неблагоприятными условиями входа в насадок.




Е = 1,0 , μН = ςН = 0,50


Расход в конически расходящимся насадке увеличивается по сравнению с другими насадками за счет большой величины вакуума.

Принимаем для увеличения пропускной способности при малых скоростях на выходе (при пожаротушении).
1   2   3



Скачать файл (35385.5 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru