Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Дифференциал - файл 1.docx


Дифференциал
скачать (1748 kb.)

Доступные файлы (1):

1.docx1749kb.24.11.2011 09:21скачать

содержание
Загрузка...

1.docx

Реклама MarketGid:
Загрузка...

  1. Физические примеры.

Понятие дифференциала, тесно связан

ное с понятием производной, также является одним из важнейших в математике.

Пусть при прямолинейном движении точки по закону s=f(t) она обладала в некоторый момент t скоростью v = s't =f (t). Если теперь пройдет дополнительное время At, то точка пройдет дополнительный путь As, который в случае неравномерности движения зависит от At сложным образом, так как скорость движения все время меняется. Однако если истекшее время ∆t невелико, то и скорость не успеет существенно измениться и потому движение в промежутке времени от t до t+∆t является «почти равномерным». В этом случае при подсчете пути не будет большой ошибки, если считать движение равномерным, т. е. происходящим с постоянной скоростью, именно той, которой точка обладала в момент t.
Получающийся при таком подсчете путь равен vt = s't t =

= f ' (t) t; он прямо пропорционален истекшему времени ∆t, назы

вается дифференциалом пути и обозначается ds (этот символ надо

понимать как единый, а не как произведение d на s), ds = s'f t. Конечно, фактический путь ∆s отличается от этого «примысленного» пути ds, так как за время ∆t, даже малое, скорость все же успе

вает измениться. Однако в силу сказанного, если этот промежуток времени достаточно мал, можно приближенно считать

s≈ds, (20)

причем с тем большим основанием, чем меньше ∆t, так как тем меньше успеет измениться скорость движения. Если же промежу

ток ∆t бесконечно мал, то, как мы увидим ∆s и ds отли

чаются друг от друга на величину высшего порядка малости. Во многих вопросах такими величинами можно пренебрегать; тогда гово

рят, что дифференциал пути — это не что иное, как бесконечно малый путь, т. е. путь, пройденный за бесконечно малый промежу

ток времени. Впрочем, конечно, дифференциал пути может и не быть бесконечно малым, но чем он больше, тем формула (20) менее точна. В то же время вычислять ds как путь при равномерном движении гораздо легче, чем фактический путь ∆s; этим объясняется то, что формулой (20) пользуются и при не очень малых ∆t.

Таким же образом во втором примере дифференциал объема dV— это тот объем, который наполнился бы, если бы в промежутке вре

мени от е до t+t скорость наполнения оставалась постоянной, равной скорости в момент /, т. е. dV=V't t. В третьем примере дифференциал массы — это масса, которой обладал бы участок АВ линии (см. рис. ПО), если бы линейная плотность на этом участке была постоянной, равной плотности в точке А, т, е. dM=ps=Ms s.

Во всех случаях замена истинного изменения какой-либо вели

чины ее дифференциалом означает переход от неравномерных про

цессов, неоднородных объектов и т. п. к равномерным, однородным. Эта замена основана на том, что на протяжении малого промежутка времени всякий 

процесс «почти равномерен», на малой протяжен

ности всякий объект «почти однороден» и т. п.



  1. ^ Определение дифференциала и связь его с приращением.


Дадим теперь общее определение дифференциала. Пусть y=f(x), и аргумент, первоначально принимавший некоторое значение х, полу

чил приращение ∆ x. Тогда дифференциалом функции называется произведение

dy = df (x) = у' x= f '(x) x; (21)

это- то приращение, которое получила бы функция, если бы она на интервале от х до x +∆ : изменялась с той же скоростью, что и при значении х аргумента.

Вычисление дифференциала функции называется ее дифференцированием; оно очень просто осуществляется по формуле (21), Пусть, например, y=sin x; тогда dy = (sin x)'x = cos x x, т.e.d sin x = cos x x.

Аналогично d tg x=1cos2∆ x; d(x3) = 3x2x и т. п. Таким образом, при дифференцировании функции надо вычислить ее произ

водную, а результат умножить на ∆x; поэтому процесс вычисления производной тоже часто называют дифференцированием. Однако ни в коем случае нельзя путать производную и дифференциал друг с другом. Производная функции у=f(х) зависит только от х, тогда как дифференциал зависит также от ∆x; в приложениях дифферен

циал обычно считается величиной бесконечно малой, тогда как про

изводная - величиной конечной; если величины х и у размерные, то отметим, в частности, что:

dx = x 'х x = 1∆x = ∆x,

т. е. дифференциал независимого переменного равен его прираще

нию. Это дает возможность представить формулу (21) в виде:

dy= f '(x)dx = у'dx (22)

и, с другой стороны, записать производную в виде отношения дифференциалов:

yx=dydx или, что тоже, f '(x)=dfdx.
^ Геометрический смысл дифференциала функции показан на рис. 117: он равен приращению ординаты касательной. Таким образом, замена при

ращения функции на ее дифференциал геометрически означает, что график функции заменяется отрезком касательной к нему в точке А. Ясно, что для такой замены имеются основания, если ∆х 

достаточно мало. Для выяснения связи дифферен

циала с приращением заметим, что ∆y∆х ∆х→0→у' , т.е. ∆y∆х =у'+a, где а→0 при ∆х→0.

Отсюда ∆y= у'х+aх=dy+β, (23) где β=aх - величина высшего порядка малости по сравнению с ∆х (на рис. 117 она изображается отрезком CD). Это равенство выра

жают словами «дифференциал есть главная линейная часть прираще

ния функции»: главная — так как он отличается от приращения на величину β высшего порядка, а линейная, потому что он прямо пропорционален ∆х. Если у'≠0, то dy и dx=∆х имеют одинаковый порядок ма

лости, а потому β в формуле (23) имеет высший порядок малости, чем dy, т. е. dy и ∆y - бесконечно малые эквивалентные.

Функция, обладающая дифференциалом, называется дифференци

руемой. Другими словами, дифференцируемая функция- это функция, малое приращение которой имеет главную линейную часть, т. е. функция, которую на любом малом участке изменения аргумента можно приближенно заменить на линейную (такая замена называется линеаризацией). У дифференцируемой функции производная должна быть конечной, а сама функция должна быть непрерывной при рассмат

риваемых значениях аргумента, так как из (23) видно, что при бес

конечно малом ∆х и ∆y будет бесконечно малым.

Выдающийся чешский математик Б. Боль-цано (1781—1848) и независимо от него выдающийся немецкий математик К. Вёйерштрасс (1815—1897) открыли (первый в 1830 г., а второй в 1860 г., так как работа Больцано не была опубликована) существование непрерывных функций, не дифференцируемых ни при каком значении аргумента. Долгое время эти функции считались математическим курьезом, но позже обнаружилось, что при описа

нии процессов типа броуновского движения такие функции чрезвы

чайно важны. В нашем вводном курсе мы не будем даже принимать во внимание возможность подобных монстров.


  1. ^ Свойства дифференциала.


Так как дифференциал функции получается в результате простого умножения ее производной на дифференциал независимого переменного,, то из каждого свойства производной легко вывести соответствующее свойство дифференциала. Например, умножая обе части равенства (u+ v)' = и'+v' на dx, получим (u+v)' dx = u'dx+v'dx или, что тоже самое,

d (u+v) = du+dv,

(дифференциал суммы равен сумме дифференциалов). Аналогично получаем формулу:

d (uv)=(du)v+udv (24)

Особенно важный вывод вытекает из формулы для производной сложной функции. Пусть у=f(х) и х сначала является независимой переменной. Тогда для вычисления dy можно пользоваться любой из формул (21) или (22), так как в этом случае ∆х=dx. Пусть теперь х зависит от некоторой третьей величины, например x = x(t). Тогда уже ∆х≠dx, но оказывается, что формула (22) все равно остается справедливой (а формула (21), вообще говоря, нарушается). Действительно,

dy = y't dt = y'x x't dt = y'x dx,

что и требуется. Поэтому при вычислении дифференциалов обычно пользуются формулой (22) (а не (21)), так как она остается спра

ведливой, инвариантной (неизменной) во всех случаях.

Применим это свойство инвариантности для вычисления произ

водной от функции, заданной параметрически. Пусть x= x(t); y = y(t) (t- параметр). Тогда dx = xdt; dy = ydt (точ

кой сверху обычно обозначается производная по параметру), откуда

у'=dydx=yx (25)

Все эти свойства дифференциалов применяются, в частности, при линеаризации зависимостей между величинами, т. е. при переходе от общей, нели

нейной зависимости к линейной зависимости между приращениями этих вели

чин. Такая линеаризация возможна при малых изменениях рассматриваемых величин и основана на отбрасывании величин высшего порядка малости.

Линеаризация широко применяется в физике, в частности, при состав

лении дифференциальных уравнений.


  1. 

  2. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

Диффе

ренциал широко применяется в приближенных вычислениях. Прежде всего довольно часто приращение функции заменяют ее дифференциалом, который обычно вычислять проще.

Допустим, что дана функция y = f(x), для которой известно некоторое значение f (а); пусть после этого аргумент получил малое приращение ∆х =h. Тогда можно положить
Выбирая в качестве f (х) конкретные функции nх, sin x, 1nx и т. д., по

лучим приближенные формулы

и т. д., пригодные для достаточно малых |h|. О том, как уточнить эти фор

мулы и оценить их погрешность. Пусть, например, мы знаем, что 1n 2=0,693.

Тогда, вычисляя до 0,001, 1n 2,1 = 1n (2+0,1)≈1n 2+ 0.1 2= 0,693 + 0,050 = 0,743; по таблице же оказывается 1n 2,1 =0,742, т. е. ошибка меньше 0,2%.

Иногда перед применением формул (28) требуется предварительное преобразование величины, которую нужно вычислить. Например, вычисление 32 нехорошо проводить так:

так как значение h=1 в данном случае вряд ли можно считать малым по сравнению с а=1. Здесь удобно положить 32 =32m3/m и подобрать це

лое т так, чтобы 3 оказалось по возможности ближе к какому-либо пол

ному кубу. Можно взять т=4, так как 2•43 = 128 близко к 125 = 53 ; тогда получим, "вычисляя до 0,0001,




По таблицам 32 =1,2599, т. е. ошибка меньше 0,01%/

^ Дифференциалы применяются также при оценке погрешности. Допус

тим, что величины х и у связаны функциональной зависимостью y = f(x) и известно приближенное значение х величины х с предельной абсолютной по

грешностью ах . Тогда в качестве приближенного значения у надо взять, конечно, у = f (х). Для подсчета предельной абсолютной погрешности аy, заметим, что на самом деле x=x+h, где |h| < ах, откуда, если ах, а следовательно и h, мало, то
Итак, можно положить
Пусть, например, у=хп. Тогда


а соответствующие предельные относительные погрешности связаны простой формулой:

В качестве другого примера рассмотрим величину 1n 10,7, где значение 10,7- приближенное, известное с точностью до 0,1. По таблице 1n 10,7 = 2,3702, однако ясно, что в таком ответе слишком много знаков. Чтобы разобраться, какова точность ответа, заметим, что в данном случае аx = 0,1, откуда

т. е. ответ надо писать в виде 1n 10,7 = 2,37.


Скачать файл (1748 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации