Лабораторная работа №2 Исследование надежности и риска нережзервированной технической системы

Лабораторная работа №2 Исследование надежности и риска нережзервированной технической системы
скачать (431 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc

431kb.

15.11.2011 20:17

скачать

содержание

Загрузка...

1.doc

Реклама MarketGid:

Загрузка...

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2

«ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ И РИСКА

НЕРЕЗЕРВИРОВАННОЙ ТЕХНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ»

2.1. Постановка задачи

Дано:

структурная схема системы в виде основного (последовательного в смысле надежности) соединения элементов;
п – число элементов системы;
λ_i – интенсивность отказа i-го элемента системы, i = 1, 2,..., п;
r_i – риск из-за отказа i-го элемента системы, i = 1, 2,..., n;
R – допустимый риск;
Т – суммарное время работы системы.

Определить:

В показатели надежности системы:

P_с(t) – вероятность безотказной работы системы в течение времени t, а также ее значения при t = T и t = T₁
Т₁ – среднее время безотказной работы системы;
R_с(t) – риск системы как функцию времени; значение риска при t = T и t = T₁
возможность расчета риска по приближенной формуле.

Варианты заданий приведены далее в разд. 2.5.

^ 2.2. Сведения из теории

Основными показателями надежности нерезервированной невосстанавливаемой системы являются: P_c(t) — вероятность безотказной работы системы в течение времени t, T₁ — среднее время безотказной работы. При постоянных интенсивностях отказов элементов

где

- интенсивность отказа системы.

Риск системы R_с(t) и R_с^*(t) вычисляются по следующим формулам:

Это означает, что с увеличением длительности времени работы системы погрешность приближенной формулы увеличивается.

^ 2.3. Последовательность выполнения работы

Лабораторную работу следует выполнять в такой последовательности:

1. Вычислить показатели надежности системы P_c(t) и T₁. Значение вероятности безотказной работы P_c(t) следует получить при t = Т и t = Т₁ ..

2. Исследовать функцию риска системы по точной формуле (2.1), для чего:

получить формулу риска для заданных п, λ_i, r_i.
исследовать зависимость R_c(t), представив функцию в виде графика и таблицы;
вычислить значение риска для исходных данных своего варианта при t = Т и t = T₁.

Исследовать зависимость G_R(t,n) при допущении, что элементы системы равнонадежны и интенсивность отказа каждого элемента равна их средней интенсивности отказов, т. е.

4. Сделать выводы.

По результатам лабораторной работы представляется отчет, в котором обязательными являются следующие пункты:

Постановка задачи.
Расчетные формулы.
Численные значения показателей надежности и риска исследуемой системы.
Значение времени непрерывной работы системы, при котором обеспечивается требуемое значение риска.
Графики и таблицы функций риска.
Выводы по результатам исследований.

^ 2.4. Пример выполнения лабораторной работы

Пусть дана система со следующими исходными данными:

число элементов системы п = 10;
время непрерывной работы T = 1000 час;
допустимый риск R = 5000 усл. ед.

Значения риска и интенсивностей отказов элементов приведены в табл. 2.1.

Далее приводится последовательность выполнения работы. Исследования будем проводить с помощью программы Microsoft Excel.

Таблица 2.1. Исходные данные примера.

				Исходные данные примера
Номера элементов	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
λ- 10^-5, час^-1	1,2	0,8	0,5	1	1,5	0,6	0,09	0,05	1	1,5
r, усл. ед.	2000	300	8000	1000	1200	60	5000	6000	100	120

^ 2.4.1. Определение показателей надежности системы

И

нтенсивность отказов системы равна .

Подставляя в это выражение значения интенсивностей отказов элементов из табл. 2.1, получим:

(технология вычисления λ_с приведена в разделе 2.4.2).

Тогда вероятность и среднее время безотказной работы будут равны:

, час.

При t = Т = 1000 час, Р_с(1000) =

При t = Т₁ = 12316 час, Р_с(12316) =

^ 2.4.2. Определение риска системы по точной формуле

Сначала нужно ввести исходные данные своего варианта, так как показано на рисунке 2.4.2.1

Рис 2.4.2.1

Примечание: данные можно вводить в любые ячейки, но в данном тексте будут использоваться указания на эти конкретные ячейки

Вычисление интенсивности отказов системы λ_с осуществляется так:

Т.к. то выбираем ячейку C8 и вводим : =СУММ(E2:N2)*0,00001

Для вычисления суммы

необходимо получить скалярное произведение векторов λ и r, для этого в ячейке E5 вводим: =E2*E3

повторяем эти действия по всем значениям

(диапазон ячеек от E5 до N5)

Далее вычисляем

. В ячейке С10 вводим: =СУММ(E5:N5)*0,00001

Результатом мы получим следующее: (рис 2.4.2.2)

Рис 2.4.2.2

вероятность и среднее время безотказной работы равняются:

, час.

Для вычисления Т₁ в ячейку H8 вводим: =1/C8

Для вычисления

при t= T, в ячейку К8 вводим: =EXP(-C8*B3)

Для вычисления

при t= T₁, в ячейку К9 вводим: =EXP(-C8*H8)

Теперь необходимо найти значение функции риска при t= T и t= T₁

Функция риска:

Так как

то в соответствии с (2.1) функция риска будет равна:

Для вычисления

при t= T, в ячейку К10 вводим: =(1-EXP(-C8*B3))/C8*C10

Для вычисления

при t= T₁, в ячейку К11 вводим: =(1-EXP(-C8*H8))/C8*C10

Для t = T₁ =12136 час значение риска R_c(t) = 805,953 . Из полученных значений R_c(t) видно, что риск исследуемой системы ниже допустимого значения, равного 5000 условных единиц.

Результатом мы получим следующее: (рис 2.4.2.3)

Рис 2.4.2.3

^ 2.4.3. Исследование функции риска

Предполагая, что все элементы системы равнонадежны, а интенсивность отказа каждого элемента

час^-1(найдем это значение подставив в ячейку F14 формулу: =C8/B2), получим следующее выражение риска:

Найдем зависимость R_c(t) при различных значениях п в виде графиков и таблиц, используя в

озможности Excel.

Сначала введем временной диапазон t (см. рис 2.4.3.1 )

Рис 2.4.3.1

Далее введем в ячейку D20 формулу нахождения R_c(t) при n:

=(1-EXP(-$B$2*$F$14*D19))/$B$2/$F$14*$C$10

”растянем” эту формулу по всему диапазону времени t (ячейки D20:L20). см. рис 2.4.3.2

Введем в ячейку D21 формулу нахождения R_c(t) при 3n:

=(1-EXP(-3*$B$2*$F$14*D19))/3/$B$2/$F$14*$C$10

”растянем” эту формулу по всему диапазону времени t (ячейки D21:L21). см. рис 2.4.3.2

Введем в ячейку D22 формулу нахождения R_c(t) при 5n:

=(1-EXP(-5*$B$2*$F$14*D19))/5/$B$2/$F$14*$C$10

”растянем” эту формулу по всему диапазону времени t (ячейки D21:L21). см. рис 2.4.3.2

Рис 2.4.3.2

Из строки 20 видно, что риск возрастает с увеличением времени функционирования системы t. Так, например, с увеличением с 1500 до 12 000 часов риск увеличивается примерно с 150 до 800 условных единиц.

Построим график:

1)пункт меню: вставка \ диаграмма

2)выбираем вид графика

3)выбираем диапазон: =Лист1!$C$20:$L$22

4)ось х: t ось y: Rc(t)

5) готово

рис 2.4.3.3

Примечание: если график не явный то можно изменять значения t (необходимо соблюдать выбранный вами шаг ∆t)

Рис2.4.3.4 R_c(t) в диапазоне t[0; 80000] c шагом ∆t= 10000

Из графика видно, что с увеличением времени t работы системы техногенный риск функционирования системы увеличивается и при t—> ∞ стремится к постоянной величине, равной среднему значению риска.

Определение критического времени работы системы

Так как R_c(t) возрастает с ростом t, то представляет интерес предельное время, выше которого риск будет превышать допустимое значение. Решение задачи сводится к определению корня уравнения

Так как в рассматриваемом случае

, то, подставляя эти значения в последнее выражение, получим:

Решая это уравнение получим критическое значение τ.

В ячейке С16 введем: =-LN(1-B4*C8/C10)/C8

В нашем примере вещественного корня нет. Это значит, что при любом t риск системы не превосходит допустимого значения.

^ 2.4.4. Исследование зависимости G_R(t, n)

Для анализа зависимости G_R(t,n) представим эту функцию в виде графиков и таблиц. Графики позволят сделать качественный анализ, а таблицы — количественный. Далее описываются процедуры представления функций в виде графиков и таблиц с помощью Excel.

Предположим, что система состоит из п равнонадежных элементов, каждый из которых имеет интенсивность отказов λ. Тогда функция G_R(t,n) будет выражаться формулой

начала введем временной диапазон t (см. рис 2.4.4.1 )

Рис 2.4.4.1

Далее введем в ячейку D48 формулу нахождения

при n:

=(1-EXP(-$B$2*$F$14*D47))/$B$2/(1-EXP(-$F$14*D47))

”растянем” эту формулу по всему диапазону времени t (ячейки D48:М48). см. рис 2.4.4.2

Введем в ячейку D49 формулу нахождения

при 3n:

=(1-EXP(-3*$B$2*$F$14*D47))/3/$B$2/(1-EXP(-$F$14*D47))

”растянем” эту формулу по всему диапазону времени t (ячейки D49:М49). см. рис 2.4.4.2

Введем в ячейку D50 формулу нахождения

при 5n:

=(1-EXP(-5*$B$2*$F$14*D47))/5/$B$2/(1-EXP(-$F$14*D47))

”растянем” эту формулу по всему диапазону времени t (ячейки D50:М50). см. рис 2.4.4.2

рис 2.4.4.2

Из таблицы(рис 2.4.4.2) видно, что функция G_R(t. n) является убывающей. Это означает, что с увеличением времени и увеличением числа элементов погрешность приближенной формулы возрастает.

Построим графики для 3значений п: для п, Зл, 5п, где п - число элементов системы.

1)пункт меню: вставка \ диаграмма

2)выбираем вид графика

3)выбираем диапазон: =Лист1!$C$48:$M$50

4)ось х: t ось y: G_R(t. n)

5) готово

В итоге получим семейство кривых из которых можно сделать два важных вывода(рис 2.4.4.3):

Чем больше элементов п и чем больше время работы системы, тем больше погрешность приближенной формулы.
Приближенной формулой можно пользоваться в том случае, когда время работы системы мало и риск, вычисленный по приближенной формуле, не превышает допустимого значения.

Рис. 2.4.4.3 График функции G_R(t. n)

^ 2.5. Варианты заданий к лабораторной работе 2

В заданиях приняты следующие обозначения:

Т — суммарное время работы системы, час.

R — допустимый риск, усл ед.

λ_i —интенсивность отказов i-го элемента, час^-1.

r_i— риск системы из-за отказа i-го элемента, усл. ед.

Вариант 1

Номера элементов	1	2	3	4	5	6	7	8
λ·10^-5, час^-1	1,1	0,5	3	4,2	3,6	2,1	4,4	4,8
r, усл.ед.	2500	6000	3000	2850	6180	4200	680	1000

T = 1450 час, R = 7500 усл. ед.

Вариант 2

Номера элементов	1	2	3	4	5	6	7	8
λ·10^-5, час^-1	2,1	1,5	3,2	2,2	3,9	2,4	1,4	1,8
r, усл.ед.	6800	9200	2000	20000	6450	5200	1680	160

T = 1350 час, R = 3500 усл. ед.

Вариант 3

Номера элементов	1	2	3	4	5	6	7	8
λ·10^-5, час^-1	0,1	2,5	3,1	1,2	1,6	2,3	0,4	4,6
r, усл.ед.	10500	8000	6000	285	6000	5200	68000	1400

T = 2350 час, R = 2500 усл. ед.

Вариант 4

Номера элементов	1	2	3	4	5	6	7	8
λ·10^-5, час^-1	1,6	1,3	2,3	4,1	3,2	2,7	0,4	0,8
r, усл.ед.	3500	6450	3250	28500	6780	4280	2680	1800

T = 3500 час, R = 7000 усл. ед.

Вариант 5

Номера элементов	1	2	3	4	5	6	7	8
λ·10^-5, час^-1	1,1	2,5	3,7	0,2	2,6	2,4	1,4	3,8
r, усл.ед.	5200	4200	1400	2850	6460	44560	8080	3000

T = 4000 час, R = 7500 усл. ед.

Вариант 6

Номера элементов	1	2	3	4	5	6	7	8
λ·10^-5, час^-1	3,1	1,5	2,9	4,7	3,2	2,9	2,4	1,8
r, усл.ед.	2500	6000	3000	2850	6180	4200	680	1000

T = 1450 час, R = 6500 усл. ед.

Вариант 7

Номера элементов	1	2	3	4	5	6	7	8
λ·10^-5, час^-1	1,2	2,8	4,3	4,1	0,6	0,1	2,5	1,7
r, усл.ед.	4500	6500	3100	1850	6350	5200	380	1400

T = 4350 час, R = 3500 усл. ед.

Вариант 8

Номера элементов	1	2	3	4	5	6	7	8
λ·10^-5, час^-1	0,8	0,7	2,7	1,9	4,6	2,2	3,4	4,2
r, усл.ед.	500	600	300	285	618	420	680	100

T = 4450 час, R = 6500 усл. ед.

Вариант 9

Номера элементов	1	2	3	4	5	6	7	8
λ·10^-5, час^-1	3,1	2,5	3,2	2,2	2,6	2,4	4,1	3,8
r, усл.ед.	1500	2000	3100	3850	3180	3200	3680	3000

T = 2050 час, R = 3700 усл. ед.

Вариант 10

Номера элементов	1	2	3	4	5	6	7	8
λ·10^-5, час^-1	1,1	2,5	3	4,4	3,3	2,2	4,6	4,1
r, усл.ед.	3500	6300	3300	3330	6380	4300	6830	1300

T = 1290 час, R = 5700 усл. ед.

Вариант 11

Номера элементов	1	2	3	4	5	6	7	8
λ·10^-5, час^-1	2	0,5	1	4	3	2	4	4
r, усл.ед.	3500	4000	3400	4850	4180	4400	6480	1400

T = 1540 час, R = 5070 усл. ед.

Вариант 12

Номера элементов	1	2	3	4	5	6	7	8
λ·10^-5, час^-1	1,1	0,5	3	4,2	3,6	2,1	4,4	4,8
r, усл.ед.	3500	5000	3500	5850	5180	5200	5680	1500

T = 4150 час, R = 5078 усл. ед.

Вариант 13

Номера элементов	1	2	3	4	5	6	7	8
λ·10^-5, час^-1	1	0,2	2,3	2	3,3	2,4	4,6	4,1
r, усл.ед.	3500	6500	5000	2550	6580	4500	6580	1050

T = 5450 час, R = 750 усл. ед.

Вариант 14

Номера элементов	1	2	3	4	5	6	7	8
λ·10^-5, час^-1	3	3,5	2	4	3	2,5	2,4	3,8
r, усл.ед.	5500	6050	3050	5800	6150	4250	6850	1550

T = 430 час, R = 700 усл. ед.

Вариант 15

Номера элементов	1	2	3	4	5	6	7	8
λ·10^-5, час^-1	2,1	2,5	2,3	4,1	4,6	4,1	4,2	4,5
r, усл.ед.	4500	6040	3400	4850	6480	4400	6840	1400

T = 1290 час, R = 550 усл. ед.

Вариант 16

Номера элементов	1	2	3	4	5	6	7	8
λ·10^-5, час^-1	3,1	1,5	3,5	4,6	1,6	2,7	3,4	4,4
r, усл.ед.	2540	6400	30400	2840	6140	4240	6480	1040

T = 3500 час, R = 500 усл. ед.

Скачать файл (431 kb.)

Лабораторная работа №2 Исследование надежности и риска нережзервированной технической системы - файл 1.doc

Доступные файлы (1):

1.doc