Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Курсовой проект - Об интерполировании точечно-гладких функций - файл 1.doc


Загрузка...
Курсовой проект - Об интерполировании точечно-гладких функций
скачать (403 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc403kb.25.11.2011 22:12скачать

1.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...
Специальность:

«Математические методы в экономике»
КУРСОВАЯ РАБОТА
«Об интерполировании «точечно гладких»

функций».
2008г.

Содержание.

Введение. 3

В вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций, т.е. построение по заданной функции другой (как правило, более простой), значения которой совпадают со значениями заданной функции в некотором числе точек. Причем интерполяция имеет как практическое, так и теоретическое значение. На практике часто возникает задача о восста-новлении непрерывной функции по ее табличным значениям, например полученным в ходе некоторого эксперимента. Для вычисления многих функ-ций оказывается эффективно приблизить их полиномами или дробно-рацио-нальными функциями. Теория интерполирования используется при построе-нии и исследовании квадратурных формул для численного интегрирования, для получения методов решения дифференциальных и интегральных уравне-ний. 3

1. Постановка задачи интерполяции. 4

1.1. Определение термина интерполяции. 4

1.2. Как выбрать интерполянт? 4

1.3. Полиноминальная интерполяция. 5

1.4. Интерполяционный полином Лагранжа. 6

1.5.Про погрешность полинома. 7

^ 2.Один вид обобщенной интерполяции. 10

2.1 Обобщенная интерполяция. 10

2.2 Важное представление гладкой функции. 12

Заключение. 15

Список использованной литературы. 16



Введение.

В вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций, т.е. построение по заданной функции другой (как правило, более простой), значения которой совпадают со значениями заданной функции в некотором числе точек. Причем интерполяция имеет как практическое, так и теоретическое значение. На практике часто возникает задача о восста-новлении непрерывной функции по ее табличным значениям, например полученным в ходе некоторого эксперимента. Для вычисления многих функ-ций оказывается эффективно приблизить их полиномами или дробно-рацио-нальными функциями. Теория интерполирования используется при построе-нии и исследовании квадратурных формул для численного интегрирования, для получения методов решения дифференциальных и интегральных уравне-ний.


В нашем случае для более полного раскрытия данной темы подробно рассмотрим для начала само понятие интерполяции, далее интерполирование непосредственно гладкой функции и интерполирование гладкой функции в точке.

Цель работы: изучение интерполирования гладких функций и практическое применение интерполирования функций.
^

1. Постановка задачи интерполяции.

1.1. Определение термина интерполяции.


Пусть для функции f(x), определенной на какой - либо части R, извест-ны её значения на некотором конечном множестве точек x1, x2, …, xn  [a,b], и в этих точках функция f(x) определена как:
,
Требуется вычислить, хотя бы приближенно, значения при всех x.

Такая задача может возникнуть при проведении различных экспери-ментов, когда значения искомой функции определяются в дискретные мо-менты времени, либо в теории приближения, когда сложная функция срав-нительно просто вычисляется при некоторых значениях аргумента, для функций заданных таблицей или графически и т.п.

Обычно функцию g(xi), xi  [a,b], , с помощью которой осу-ществляется приближение, находят так, чтобы:


  1. ()

Такой способ приближения называют интерполяцией или интерполирова-нием. Точки x1, x2, …, xn называют узлами интерполяции, если точка x, в которой вычисляется f(x), лежит вне отрезка [a,b], то употребляют термин экстраполяции. Функцию g(xi), , называют интерполянтом.

При этом следует ответить на следующий вопрос.
^

1.2. Как выбрать интерполянт?


Такие функции строятся на основе комбинаций из элементарных функций.

(2) ,
– фиксированная линейно- независимая система, а () - пока неизвестные параметры.

Математическая постановка задачи интерполирования заключается в следующем. Пусть R - пространство действительных функций, определенных на отрезке [a,b], и - заданная конечная или счетная система функций из R, такая, что их любая конечная подсистема является линейно-независимой. Для данной конечной совокупности точек x1, x2, …, xn (xi ≠ xj при i≠j), принадлежащих отрезку [a,b], и данной функции f(x) из R найти функцию φ, являющуюся линейной комбинацией функций так, чтобы в заданных точках значения f и φ совпадали. Другими словами, определить константы a1, a2, …, an так, чтобы
(3) ()

Совершенно ясно, почему число коэффициентов должно совпадать с числом узлов интерполяции xi. Это нужно для того, чтобы матрица системы была квадратной (т.е. число неизвестных совпадало бы с числом условий, из которых находятся эти неизвестные). Кроме того, для однозначной разрешимости данной системы (при произвольной правой части) необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля, т.е.:
:


Естественно, интерполянт необходимо построить в виде более легкой учетной функции, поэтому за часто берут такие системы как:

{1, х, х2, …, хn}, {1, sinx, cosx, sin2x, cos2x, …, sin(nx), cos(nx)} ,

{1, e x1, e x2, …, e xn} (i R, i≠j (i≠j), nN).

^

1.3. Полиноминальная интерполяция.


Если являются степенями {1, х, х2, …, хn}, то говорят об алгеб-раической интерполяции, а функцию называют интерполяционным полиномом и обозначим как:
(4)
Если () (5), то можно построить интерполяционный полином степени n и притом только один.

Найдем интерполяционный полином из вида (4). В это время, на основе (5), для нахождения неопределённых коэффициентов используем систему линейных уравнений:

a0x0 + a1x0 + a2x02 + …+ anx0n= f0 ,

a0x0 + a1x1 + a2x12 + …+ anx1n= f1 , (6)

………………………………………………………….

a0x0 + a1xn + a2xn2 + …+ anxnn= fn ,
В этом случае определитель системы линейных алгебраических уравнений выглядит так:

.

Этот определитель является определителем Вандермонда и отличен от нуля в случае, когда все узлы xi различны. Поскольку матрица системы невы-рождена, то решение системы существует и единственно.

Единственность интерполяционного полинома можно доказать следующим способом. Предположим, что есть два интерполяционных полинома Ln и Pn Hn 1 : Ln ≠ Pn.

Из (5) : Ln(xi) - Pn(xi) 0 и Ln(xi)  Pn(xi) ().

Итак, выходит противоречие. Единственность установлена. А так как полином единственный, то у соответствующей системы линейных алгебраи-ческих уравнений есть только одно решение.
^

1.4. Интерполяционный полином Лагранжа.


Сейчас перед нами задача, которая состоит из нахождения такого многочлена, степени n, который совпадает с заданной f(x) в точках x1, x2, …, xn  [a,b], т.е. чтобы выполнялось равенство


  1. f(xj)=Ln(xj) ().


Чтобы решить эту задачу, введем многочлены степени n, которые в точках при i≠j равны нулю, а в точке при i=j равны единице. Очевидно, что:


  1. jHn, j(x)=Aj(x-x0)(x-x1)…(x-xj-1)(x-xj+1)…(x-xn)= ,

где постоянная А находится из условия j(xj)=1, тогда


Таким образом, получаем, что j(x)
Получаем, что поставленную задачу решает многочлен

(8)
Многочлен (8) называется интерполяционным многочленом Лагранжа.

Задача 1.

Пусть задана интерполяционная таблица:


i

0

1

2

3



0

2

3

5



1

3

2

5



Построить интерполяционный полином Лагранжа.
Решение. Из (8) следует:


Задача 2.

Пользуясь интерполяционной формулой Лагранжа, составить уравнение прямой, проходящей через точки Р00, у0) и Р11, у1), если х0=-1, у0=-3, х1=2, у1=4.

Решение. В данном случае многочлен Лагранжа примет вид

.

Уравнение искомой прямой есть .

    1. ^

      Про погрешность полинома.



По строению (). Но, в общем, это не так и (,), так как интерполирование предполагает приближенное нахождение:
()

И в связи с этим необходимо говорить о погрешности интерполирования. Заранее сказав, разность этого выражения нужно найти.

Замечание 1.

()

чем постоянно записывать равенство, слагаемое называют остаточным членом (или погрешность интерполяции).

Теорема 1.

Если [a,b] 2

(9) (,), где

[a,b] в промежутке беспрерывно n+1 раз объясняет совокупность дифференцируемых функций.
[a,b] [a,b];


Берем любую точку и зафиксируем ее (,), рассмотрим вспомогательную функцию:

(10) , ().

- свободный параметр, который открыто объясняет ().

Значение берем проходящим через равенство . В это время концы , будучи точками промежутка, можно использовать теорему Ролля.

Существует : ()

Сейчас для этой теоремы берем точки :

Существует : ()

Когда закончим этот процесс, то получим следующее:

:

Итак, при t = x из (10) вытекает (9). Что и требовалось доказать.

Следствие 1:

Пусть .

В то время (); над ними: .

Задача 3:



С помощью узлов построить полином для этой функции, при:

1) . Оценить погрешность полинома;

2) в [a,b] найти максимальную погрешность полинома.

Решение:







1) На основании Следствия 1 в непрерывном виде находим:

2) Использовав второе равенство из Следствия 1 получаем:

.
Замечание 2:



Полученные с помощью этой формулы множества полиномов называются полиномами Чебышева. В отдельных случаях:

В теории приближения функции хорошо известен следующий факт: если в качестве узлов интерполяции взять корни полинома , то ()



В этом случае из Следствия 1 следует, что

. Если свободная интерполяция находится в отрезке [a,b], то с помощью замены этот отрезок можно заменить на [-1;1]. В это время точки

(11) (, )

будут однородными с корнями , а остаточный член записывается следующим образом:

.

Последнее неравенство полностью дает оптимальную оценку на отрезке [a,b], т.е. мы оцениваем погрешность интерполяции на отрезке [a,b], чтобы узлы (11) были оптимальными.
  1. ^

    Один вид обобщенной интерполяции.

2.1 Обобщенная интерполяция.


Рассмотрим пример интерполяции для элементов множества . Для простоты и краткости возьмем [a,b]=[-1;1], .

Пусть точки и будут разными между собой. Поставим такую задачу:

(12)

построить многочлен , удовлетворяющий данным условиям. Здесь «собственный» оператор класса :


Теорема 2.

Если взять в произвольной форме fC{m;0}, удовлетворяющее условию (12), то существует «обобщенный» интерполяционный полином и он единственен.

Доказательство:

Найдем интерполяционный полином в стандартном виде:

(13)

Затем, учитывая (13) для того, чтобы найти коэффициенты (), приходим к следующей алгебраической системе:

(14)

Эту систему упорядочим в матрицу S, являющуюся прямой суммой двух квадратных матриц размерностью m и n+1.


Здесь



Значит, основываясь на фактах линейной алгебры, определяем



Что и требовалось доказать.
Сейчас поставим перед собой цель записать многочлен G(x) в явном виде. Будет полезно рассмотреть стандартный вид многочлена Лагранжа. Из (13) видно, что



Поэтому имеет место следующее:

(14)

Возьмем параметры из (13):

(15)

Таким образом, из (13), (14), (15) следует, что

(16)



Замечание 3:

Если m=0, C{0;0}C[-1;1], (). Значит, рассмотрев функцию в задаче (11) приводится к обычной интерполяционной задаче, а многочлен Лагранжа (16) превращается в обычный интерполяционный многочлен. Таким образом, задача (11), действительно, в значении одного определения становится обобщенной задачей интерполирования.
Сейчас поговорим о погрешности обобщенной интерполяции.

В этом случае нужно дать оценку побольше. Выше приведены размышления и следствия, полученные в целях определения одной системы функций.

.
Теорема 3.

Если

Здесь

Доказательство:

Приняв во внимание (16) получаем

(17)

Следующие приведения к формуле теоремы легко доказываются из (17) и теоремы 1.
Следствие 2.

Пусть

В это время:


^

2.2 Важное представление гладкой функции.


Теорема 4.

Верна следующая связь:

(18)

вдобавок

(19)

Доказательство:

Пусть . По (19) получим в последовательной форме используем метод интегрирования по частям, и изменяем его:
Отсюда выходит следующее неравенство:

(20)

называют формулой Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.

Возьмем некоторую функцию , чтобы равенство (18) было правильным . При рассмотрении второго слагаемого полинома, достаточно показать что  С(m).

При изучении производной полезно использовать дифференцирование интеграла, зависящего от параметра. Эта формула в математическом анализе очень известна и определяет следующее:

(21)

здесь вдобавок

Таким образом, находим в нашем случае необходимый вид:

Значит .
Замечание 6.

Рассмотрев, оператор из последнего размышления вытекает полезное рассуждение:

(22)

Заключение.


Мы убедились, что в вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций, значения которой совпадают со значениями заданной функции в некотором числе точек.

В данной курсовой работе рассматривается интерполирование функции полиномами, непосредственно непрерывных функций на отрезке и в точке, определили понятие погрешности интерполяции.

У нас возникла задача о восстановлении непрерывной функции по ее табличным значениям, поэтому в данной работе были приведены конкретные примеры по построению интерполяционного полинома Лагранжа, по оцениванию погрешности интерполяционного полинома.

В нашем случае для более полного раскрытия данной темы подробно проиллюстрировано само понятие интерполяции, далее интерполирование непосредственно гладкой функции и интерполирование гладкой функции в точке.


^

Список использованной литературы.


  1. Н.С.Габбасов. Некоторые применения производной. Наб.Челны, 1998г.

  2. Я.С.Бугров, С.М.Никольский. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: «Наука», 1984г.

  3. С.М.Никольский. Курс математического анализа. М.: «Наука», 1990г.

  4. Л.Д.Кудрявцев. Краткий курс математического анализа. М.: «Наука», 1989г.

  5. И.А.Марон. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: «Наука», 1970г.

  6. А.А.Самарский. Введение в численные методы. М.: «Наука», 1987.


1 Здесь Hn – это множество всех алгебраических многочленов степени n.

2 На непрерывном отрезке и в точке обозначили множество функции, имеющей производную по Тейлору m-го порядка.

(естественно,



Верно следующее соответствие:

здесь




Скачать файл (403 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru