Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Контрольная работа. Ряды - файл 1.doc


Контрольная работа. Ряды
скачать (962 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc962kb.25.11.2011 23:02скачать

Загрузка...

1.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...
Контрольная работа № 10

Ряды

ТЕМА 10. Ряды.


  1. Числовые ряды.

  2. Функциональные ряды.

  3. Степенные ряды.

  4. Приложения степенных рядов к приближенным вычислениям.

  5. Ряды Фурье.


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ


  1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Учеб.для вузов:в 3т.-5-е изд.,стер.-М.:Дрофа .- (Высшее образование. Современный учебник).т.2. Дифференциальное и интегральное исчисление.-2003.-509 с.

  2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. пособие: в 2-х т.- Изд. стер. –М.: Интеграл – Пресс. Т.1. -2001.- 415 с.

  3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Учеб. для вузов: в 3-х томах. – 8-е изд.-М.: Физматлит. т.1 – 2001. -697 с.

  4. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие. -22-е изд., перераб.- СПб: Профессия, 2003.-432 с.

  5. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Учеб. для вузов: В 3-х томах. – 5-е изд., перераб. и доп. –М.: Дрофа. Т.1. – 2003.-703 с.

  6. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Учеб. для вузов в 2-х частях. – 6-е изд. стер. –М. Физматлит, 2002, -646 с.

  7. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах (с решениями): в 2 ч./ Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.-6-е изд..-М.: ОНИКС 21 век, ч.2. -2002.-416 с.


Решение типового варианта контрольной работы.
Пример 1. Исследовать на сходимость числовые ряды:

















Решение.

  1. В данном случае

Вычислим

Следовательно, ряд расходится.


  1. Поскольку в записи общего члена ряда есть показательная функция , то используем признак Даламбера.

Для рассматриваемого ряда

;

Вычислим



Следовательно, по признаку Даламбера, исходный ряд сходится.


  1. Так как в записи общего члена ряда есть факториал (), то используем признак Даламбера. Для исследуемого ряда



Вычислим



В пределе получили бесконечность, следовательно, исследуемый ряд расходится.


  1. Воспользуемся радикальным признаком Коши. Здесь

Вычислим



Полученное значение больше 1, следовательно, ряд расходится.


  1. Исследуем данный ряд с помощью интегрального признака Коши. Составим соответствующий интеграл и вычислим его



Интеграл сходится, следовательно, исследуемый ряд сходится.


  1. Составим ряд, эквивалентный исходному, оставив в числителе и знаменателе лишь старшие степени n:



Полученный ряд эквивалентен исходному, так как



Таким образом, исходный ряд и ряд сходятся и расходятся одновременно. Т.к. ряд сходится, следовательно, исходный ряд также сходится.


  1. Так как , то

.

Ряд расходится , следовательно, исходный ряд также расходится.


  1. Оценим общий член ряда:

.

Ряд

Ряд сходится , следовательно, эквивалентный ряд также сходится. Т.к. из сходимости большего ряда следует сходимость меньшего, то исходный ряд сходится.
Пример2. Найти область сходимости ряда .

Решение. Воспользуемся признаком Даламбера:



Ряд сходится, если

или ;

или ,

.

Ряд расходится, если .

Неопределенный случай: т.е. или ,

Пусть :   сходится.

Ряд сходится как эквивалентный сходящемуся ряду.

Пусть : .

Этот ряд – знакочередующийся. Исследуя его на абсолютную сходимость (рассматриваем ряд, состоящий из абсолютных величин), получим ряд как и при , а он сходится. Т.к. ряд, состоящий из абсолютных величин, сходится, то данный ряд сходится абсолютно.
Получили, что   область сходимости ряда.
Пример 3. Вычислить с точностью интеграл .

Решение. Запишем разложение функции в ряд Маклорена:



+...



Вычислим интеграл









.

Заметим, что при вычислении интеграла получаем знакочередующийся ряд. Мы отбрасываем при вычислении все слагаемые, начиная со слагаемого, меньшего по абсолютной величине заданной точности .
Пример 4. Найти три первые (отличные от 0) члена разложения в степенной ряд решения задачи Коши .

Решение.

Для представления решения в виде ряда Маклорена необходимо найти первые три отличные от нуля значения . По условию задачи Выразим из уравнения :



Найдем , продифференцировав обе части равенства по :



Окончательно получим:

.
Пример 5. Разложить данную функцию в ряд Фурье

  1. в интервале (-2, 2):

  2. по синусам на интервале .

Решение.

Разложение периодической (период ) функции имеет вид:



а) В нашем примере l=2.



где





Вычислим значения интегралов-слагаемых по отдельности.

;

Используя формулу интегрирования по частям, получаем







.



Вычислим значения интегралов-слагаемых по отдельности.



Аналогично предыдущему





и окончательно получим:



Подставляя полученные значения в разложение , получим:



б) Продолжим функцию на отрезок нечетным образом (рис. 1).



Рис. 1
Тогда получим нечетную функцию, ряд Фурье которой содержит только синусы, т.е. .



Найдем коэффициенты , используя формулу:







Для вычисления первого и третьего интегралов используем метод интегрирования по частям:



.

Таким образом, .
Контрольная работа №10.

Вариант 1.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:









Задание 2. Найти область сходимости ряда:



Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:



Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:



Задание 5. Разложить функцию в ряд Фурье в интервале .
Контрольная работа №10.

Вариант 2.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:









Задание 2. Найти область сходимости ряда:

.

Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:



Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:



Задание 5. Разложить функцию в ряд Фурье в интервале .
Контрольная работа №10.

Вариант 3.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:









Задание 2. Найти область сходимости ряда:



Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:



Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:



Задание 5. Разложить функцию в ряд Фурье в интервале .
Контрольная работа №10.

Вариант 4.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:









Задание 2. Найти область сходимости ряда:



Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:



Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:



Задание 5. Разложить функцию в ряд Фурье в интервале .
Контрольная работа №10.

Вариант 5.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:









Задание 2. Найти область сходимости ряда:



Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:



Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:



Задание 5. Разложить функцию в ряд Фурье в интервале .
Контрольная работа №10.

Вариант 6.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:









Задание 2. Найти область сходимости ряда:



Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:



Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:



Задание 5. Разложить функцию в ряд Фурье в интервале.
Контрольная работа №10.

Вариант 7.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:









Задание 2. Найти область сходимости ряда:



Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:



Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:



Задание 5. Разложить функцию в ряд Фурье в интервале.
Контрольная работа №10.

Вариант 8.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:









Задание 2. Найти область сходимости ряда:

.

Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:



Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:



Задание 5. Разложить функцию в ряд Фурье в интервале .
Контрольная работа №10.

Вариант 9.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:









Задание 2. Найти область сходимости ряда:

.

Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:



Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:



Задание 5. Разложить функцию в ряд Фурье в интервале.
Контрольная работа №10.

Вариант 10.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:









Задание 2. Найти область сходимости ряда:



Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:



Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:



Задание 5. Разложить функцию в ряд Фурье в интервале .
Контрольная работа №10.

Вариант 11.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:









Задание 2. Найти область сходимости ряда:



Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:



Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:



Задание 5. Разложить функцию в ряд Фурье в интервале.
Контрольная работа №10.

Вариант 12.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:









Задание 2. Найти область сходимости ряда:



Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:



Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:



Задание 5. Разложить функцию в ряд Фурье в интервале .
Контрольная работа №10.

Вариант 13.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:









Задание 2. Найти область сходимости ряда:



Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:



Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:



Задание 5. Разложить функцию в ряд Фурье по синусам в интервале .
Контрольная работа №10.

Вариант 14.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:









Задание 2. Найти область сходимости ряда:



Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:



Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:



Задание 5. Разложить функцию в ряд Фурье по синусам в интервале .
Контрольная работа №10.

Вариант 15.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:









Задание 2. Найти область сходимости ряда:



Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:



Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:



Задание 5. Разложить функцию в ряд Фурье по косинусам в интервале .
Контрольная работа №10.

Вариант 16.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:









Задание 2. Найти область сходимости ряда:



Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:



Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:



Задание 5. Разложить функцию в ряд Фурье по синусам в интервале.
Контрольная работа №10.

Вариант 17.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:









Задание 2. Найти область сходимости ряда:



Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:



Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:



Задание 5. Разложить функцию в ряд Фурье по косинусам в интервале .
Контрольная работа №10.

Вариант 18.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:









Задание 2. Найти область сходимости ряда:



Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:



Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:



Задание 5. Разложить функцию в ряд Фурье по косинусам в интервале .
Контрольная работа №10.

Вариант 19.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:









Задание 2. Найти область сходимости ряда:



Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:



Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:



Задание 5. Разложить функцию в ряд Фурье по синусам в интервале .
Контрольная работа №10.

Вариант 20.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:









Задание 2. Найти область сходимости ряда:



Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:



Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:



Задание 5. Разложить функцию в ряд Фурье по косинусам в интервале .
Контрольная работа №10.

Вариант 21.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:









Задание 2. Найти область сходимости ряда:



Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:



Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:



Задание 5. Разложить функцию в ряд Фурье в интервале .
Контрольная работа №10.

Вариант 22.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:









Задание 2. Найти область сходимости ряда:



Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:



Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:



Задание 5. Разложить функцию в ряд Фурье в интервале .
Контрольная работа №10.

Вариант 23.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:









Задание 2. Найти область сходимости ряда:



Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:



Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:



Задание 5. Разложить функцию в ряд Фурье в интервале .
Контрольная работа №10.

Вариант 24.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:









Задание 2. Найти область сходимости ряда:



Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:



Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:



Задание 5. Разложить функцию в ряд Фурье в интервале .
Контрольная работа №10.

Вариант 25.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:









Задание 2. Найти область сходимости ряда:



Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:



Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:



Задание 5. Разложить функцию в ряд Фурье в интервале .
Контрольная работа №10.

Вариант 26.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:









Задание 2. Найти область сходимости ряда:



Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:



Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:



Задание 5. Разложить функцию в ряд Фурье в интервале .
Контрольная работа №10.

Вариант 27.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:









Задание 2. Найти область сходимости ряда:



Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:



Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:



Задание 5. Разложить функцию в ряд Фурье в интервале .
Контрольная работа №10.

Вариант 28.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:









Задание 2. Найти область сходимости ряда:



Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:



Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:



Задание 5. Разложить функцию в ряд Фурье в интервале .
Контрольная работа №10.

Вариант 29.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:









Задание 2. Найти область сходимости ряда:



Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:



Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:



Задание 5. Разложить функцию в ряд Фурье в интервале .
Контрольная работа №10.

Вариант 30.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:









Задание 2. Найти область сходимости ряда:



Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:



Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:



Задание 5. Разложить функцию в ряд Фурье в интервале .


Скачать файл (962 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru