Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Лекции - Начертательная геометрия - файл 1.doc


Лекции - Начертательная геометрия
скачать (1701 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc1701kb.26.11.2011 00:44скачать

содержание
Загрузка...

1.doc

  1   2   3
Реклама MarketGid:
Загрузка...

Российский государственный аграрный заочный университет

2005 год.


НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Конспект лекций

ЛЕКЦИЯ 1



ТОЧКА, ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ НА КОМПЛЕКСНОМ ЧЕРТЕЖЕ.

Методы проецирования.



    1. 1.1. Предмет начертательной геометрии

    2. 1.2. Из истории начертательной геометрии

    3. 1.3. Центральное и параллельное проецирования

    4. 1.4. Инвариантные свойства параллельного проецирования

    5. 1.5. Ортогональное проецирование

    6. 1. 6. Система трех плоскостей проекций.

    7. 1. 7. Комплексный чертеж (эпюр Монжа)



^

1.1. Предмет начертательной геометрии



Начертательная геометрия является одной из фундаментальных наук, составляющих основу инженерно-технического образования. Она изучает методы изображений пространственных геометрических фигур на плоскости и способы решения метрических и позиционных задач в пространстве по этим изображениям.

Начертательная геометрия используется также при конструировании сложных поверхностей технических форм в железнодорожном, авиационном, морском и речном транспорте.

Методы начертательной геометрии позволяют решать многие прикладные задачи специальных инженерных дисциплин (механики, химии, кристаллографии, картографии, инструментоведения и др.)

При проектировании и изображении различных транспортных конструкций и сооружений также широко используются методы начертательной геометрии.

Конструирование сложных форм поверхностей, автоматизированное проектирование и компьютерная графика находят все большее применение при создании современной транспортной техники.

Начертательная геометрия развивает у человека пространственное мышление, без которого немыслимо никакое инженерное творчество.

Для обозначения геометрических фигур и их проекций, для отображения отношения между ними, а также для краткости записи геометрических предложений и решения задач в начертательной геометрии предлагается использовать геометрический язык, составленный из следующих обозначений и символов.

  1. Геометрическая фигура обозначается − Ф.

  2. Точки обозначаются прописными буквами латинского алфавита или арабскими цифрами:

A, B, C, D, …,L, M, N, …

1, 2, 3, 4, …, 12, 13, 14, …

3. Линии, произвольно расположенные по отношению к плоскостям проекций, обозначаются строчными буквами латинского алфавита:

a, b, c, d, …,l, m, n, …

Линии уровня обозначаются: h − горизонталь; f − фронталь; p − профильная прямая;

Для прямых используются также следующие обозначения:

(AB) − прямая, проходящая через точки A и B;

[AB) − луч с началом в точке А;

[AB] − отрезок прямой, ограниченный точками A и B.


  1. Поверхности обозначаются строчными буквами греческого

алфавита:

α, β, γ, δ, …, ζ, η, λ, …

Чтобы подчеркнуть способ задания поверхности, следует указывать геометрические элементы, которыми она определяется, например:

α (a║b) − плоскость α определяется параллельными прямыми a и b;

β (d1d2g α) − поверхность β определяется направляющими d1 и d2, образующей g и плоскостью параллелизма α.
5. Углы обозначаются:

АВС − угол с вершиной в точке В, а также αº,βº, …, φº, ..,
6. Угловая величина (градусная мера) обозначается знаком, который ставится над углом:

φº − величина угла φ.

Прямой угол отмечается квадратом с точкой внутри.
7. Для плоскостей проекций приняты обозначения: π1 π2 π3,

Где π1 − горизонтальная плоскость проекций;
π2 − фронтальная плоскость проекций;
π3 − профильная плоскость проекций;
При замене плоскостей проекций или введении новых плоскостей проекций последние обозначаются π4, π5 и т.д.



8. Оси проекций обозначаются: x,y,z, где x − ось абсцисс; y− ось ординат; z − ось аппликат.
^
Постоянную прямую эпюра Монжа обозначают k.



9. Проекции точек, линий поверхностей, любой геометрической фигуры обозначаются теми же буквами (или цифрами), что и оригинал, с добавлением нижнего индекса, соответствующего плоскости проекций, на которой они получены:

A1, B1, C1, D1, …,L1, M1, N1, … горизонтальные проекции точек;

A2, B2, C2, D2, …,L2, M2, N2, … фронтальные проекции точек;

A3, B3, C3, D3, …,L3, M3, N3, … профильные проекции точек;

а1, b1, c1, d1, …,l1, m1, n1, … горизонтальные проекции линий;

a2, b2, c2, d2, …,l2, m2, n2, … фронтальные проекции линий;

a3, b3, c3, d3, …,l3, m3, n3, … профильные проекции линий;

α1, β1, γ1, δ1, …, ζ1, η1, λ1, … горизонтальные проекции поверхностей;

α2, β2, γ2, δ2, …, ζ2, η2, λ2, … фронтальные проекции поверхностей;

α3, β3, γ3, δ3, …, ζ3, η3, λ3, … профильные проекции поверхностей.
10. Следы прямых (линий) обозначаются прописными буквами, с которых начинаются слова, определяющие название (в латинской транскрипции) плоскости проекций, которую пересекает линия.
^
Например: H − горизонтальный след прямой (линии) а;

F − фронтальный след прямой (линии) а;

P − профильный след прямой (линии) а.
11. Следы плоскостей (поверхностей) обозначаются теми же буквами, что горизонталь и фронталь, с добавлением верхнего индекса, подчеркивающего, что эти линии лежат в плоскости проекций и принадлежат плоскости (поверхности).

Например: h0 горизонтальный след плоскости (поверхности);

f0 фронтальный след плоскости (поверхности);

p0 профильный след плоскости (поверхности).

12. Основные операции:
║− параллельность элементов;

≡ − совпадение двух геометрических элементов;

┴ − перпендикулярность элементов;

^ − знак, соответствующий союзу «и»;

= − результат геометрической операции;

∩ − пересечение двух элементов;

− знак принадлежности и включения для точки;

− знак объединения;

− принадлежность одного геометрического элемента другому;

− скрещивающиеся прямые.

^
1.2. Из истории начертательной геометрии


Начертательная геометрия как наука была создана в конце XVIII века великим французским геометром и инженером Гаспаром Монжем (1746 – 1818).

Первые идеи об ортогональном проецировании пространственных фигур на плоскость высказывались еще задолго до Монжа в XVI веке немецким математиком и художником Альбрехтом Дюрером (1471 –1528), который разработал метод ортогонального изображения конических сечений и некоторых пространственных кривых.

В 1637 г. французский геометр и философ Рене Декарт (1596 – 1650) создал метод координат и заложил основы аналитической геометрии, а его соотечественник, инженер и математик Жирар Дезаг (1593 – 1662), использовал этот метод координат для построения перспективных проекций и обосновал теорию аксонометрических проекций.

В XVII веке в России успешно развивались технические чертежи, выполненные в виде планов и профилей в масштабе. Здесь в первую очередь следует назвать чертежи выдающегося русского механика и изобретателя И. П. Кулибина (1735 – 1818). В его проекте деревянного арочного моста впервые были использованы ортогональные проекции (1773).

Большой вклад в развитие ортогональных проекций внес французский инженер А. Фрезье (1682 –1773), который впервые рассмотрел проецирование объекта на две плоскости – горизонтальную и фронтальную.

Величайшей заслугой Г. Монжа явилось обобщение всех научных трудов его предшественников, всей теории о методах изображения пространственных фигур и создание единой математической науки об ортогональном проецировании – начертательной геометрии.

Рождение этой новой науки почти совпало с основанием в Петербурге первого в России высшего транспортного учебного заведения – Института Корпуса инженеров путей сообщения (2 декабря 1809 г.)

Питомцы этого института, его профессора и ученые внесли большой вклад в развитие геометрических методов изображения, в теорию и практику начертательной геометрии.
^



1.3. Центральное и параллельное проецирование


Проекцией точки А на плоскость проекций 1 называется точка А1 пересечения проецирующей прямой ℓ с плоскостью проекций 1, проходящей через точку А, (рис. 1.1):




Рис. 1.1. Проекция точки А на плоскость проекций π1


Проекция любой геометрической фигуры есть множество проекций всех ее точек. Направление проецирующих прямых ℓ и положение плоскостей 1 определяют аппарат проецирования.

^ Центральным проецированием называется такое проецирование, при котором все проецирующие лучи исходят из одной точки S – центра проецирования (рис. 1.2).




Рис. 1.2. Пример центрального проецирования


Параллельным проецированием называют такое проецирование, при котором все проецирующие прямые параллельны заданному направлению S (рис. 1.3).



Рис. 1.3. Пример параллельного проецирования

П


араллельное проецирование
представляет собой частный случай центрального проецирования, когда точка S находится на бесконечно большом расстоянии от плоскости проекций 1.

При заданном аппарате проецирования каждой точке пространства соответствует одна и только одна точка на плоскости проекций.

Одна проекция точки не определяет положения этой точки в пространстве. Действительно, проекции А1 может соответствовать бесчисленное множество точек А, А’’, …, расположенных на проецирующей прямой ℓ

(рис. 1.4).




Рис. 1.4. Пример расположения множества точек на проецирующей прямой

Для определения положения точки в пространстве при любом аппарате проецирования необходимо иметь две ее проекции, полученных при двух различных направлениях проецирования (или при двух различных центрах проецирования).

Так, из рис. 1.5 видно, что две проекции точки А (А1 и А2), полученные при двух направлениях проецирования S1 и S2 , определяют единственным образом положение самой точки А в пространстве – как пересечение проецирующих прямых ℓ1 и ℓ2, проведенных из проекций А1 и А2 параллельно направлениям проецирования S1 и S2.




Рис. 1.5. Определение положения точки А в пространстве


^
1.4. Инвариантные свойства параллельного проецирования


Геометрические фигуры в общем случае проецируются на плоскость проекций с искажением. Проекции не сохраняют линейные и угловые величины оригинала. Характер искажений зависит от положения геометрической фигуры в пространстве, от аппарата проецирования и от положения плоскости проекций.

Однако некоторые геометрические свойства фигур остаются неизменными в процессе проецирования. Такие свойства геометрических фигур называются независимыми или инвариантными для данного аппарата проецирования.

Рассмотрим основные инвариантные свойства параллельного проецирования.

  1. Проекция точки есть точка


Это очевидно из самого определения проекции как точка пересечения проецирующей прямой с плоскостью.

  1. Проекция прямой есть прямая (рис. 1.6)




Рис. 1.6. Инвариантные свойства 2, 3, 4
Все проецирующие прямые, проходящие через точки прямой а параллельно направлению проецирования S, образуют проецирующую, или лучевую, плоскость .

Проекция прямой а на плоскость 1 определяется как линия пересечения этой лучевой плоскости  с плоскостью 1, т. е. прямая

  1. Если точка К принадлежит прямой а, то и проекция этой точки

принадлежит проекции прямой (рис. 1.6)

Это свойство следует непосредственно из определения проекции геометрической фигуры как множества проекций всех точек.

Если точка К принадлежит прямой а и плоскости , то и проецирующий луч lК принадлежит плоскости . Следовательно, этот луч пересечет плоскость 1 в линии пересечения плоскостей  и 1, т. е. в точке К1, принадлежащей проекции прямой а1.

  1. Если точка К делит отрезок АD в отношении m : n то и проекция

этой точки делит в таком же отношении проекцию этого отрезка (рис. 1.6):
Фигура ADD1A1 – трапеция. Прямая КК1 параллельна основаниям трапеции АА1 и DD1, следовательно делит ее стороны АD и А1D1 на пропорциональные части.

  1. Проекция точки пересечения прямых есть точка пересечения проек

ций этих прямых (рис. 1.7)






Рис. 1.7. Пример инвариантного свойства 5
Действительно, точка К принадлежит одновременно прямым АВ и CD. По третьему инвариантному свойству проекция этой точки К1 должна принадлежать проекциям этих прямых, т. е. должна являться точкой пересечения этих проекций.

6. Проекции параллельных прямых параллельны (рис. 1.8)



Рис. 1.8. Пример инвариантного свойства 6
Лучевые плоскости  и , проходят через параллельные прямые АВ и CD. Они параллельны, т.к. две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости (АВ CD и АА1 СС1). Но две параллельные плоскости пересекаются с третьей по параллельным прямым, следовательно, А1В1 С1D1.

7. Плоский многоугольник в общем случае проецируется в многоугольник с тем же числом вершин.

Исключение составляет многоугольник (плоская ломаная или кривая линия) расположенный в проецирующей (лучевой) плоскости. Такой многоугольник проецируется в прямую линию (рис. 9).


Рис. 1.9. Примеры инвариантных свойств 7, 8
8. Прямая, параллельная направлению проецирования, проецируется в точку (рис. 1.9)

9. Проекция плоской фигуры, параллельной плоскости проекций, конгруэнтна этой фигуре (рис. 1.10).

Следствия этого инвариантного свойства следующие:

  1. Проекция отрезка прямой, параллельной плоскости проекций,

конгруэнтна и параллельна самому отрезку (рис. 1.10):

  1. Проекция угла, стороны которого параллельны плоскости проекций,

конгруэнтна этому углу (рис. 1.10)




Рис. 1.10. Пример инвариантного свойства 9 (следствия инвариантных свойств)
  1   2   3



Скачать файл (1701 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru