Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Лекции - Метрология, стандартизация и сертификация измерительных и информационных технологий - файл 1.doc


Лекции - Метрология, стандартизация и сертификация измерительных и информационных технологий
скачать (1301.5 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc1302kb.26.11.2011 01:07скачать

содержание
Загрузка...

1.doc

1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11
Реклама MarketGid:
Загрузка...
^

Из (2.6 ) следует, что для выполнения (2.7.) необходимо, чтобы


n

 ( хi - a )2 = min. (2.8 )

i = 1

Условие (2.8) является формулировкой критерия наименьших квадратов. Отсюда следует, что при нормальном законе распределения случайной величины оценки по методам максимального правдоподобия и наименьших квадратов совпадают. Обозначим

тогда оценку а найдем из условия

n

 ( хi - a )2 =

i = 1

^ n

Q/ а = - 2  ( хi - a ) = 0. (2.9)

i = 1

^

Отсюда получим


n

а = ( 1/ n )  хi = х, (2.10)

i = 1

т.е. наилучшей оценкой является среднее значение х результатов наблюдений.

Из (2.10) следует, что оценка х является случайной величиной с нормальным законом распределения, причем

М  х  = а, 2 х  = 2 / n. (2.11)

Таким образом, оценка х имеет более высокую точность, так как ее дисперсия в n раз меньше дисперсии отдельных измерений. Неопределенность результатов измерений характеризуется значением среднего квадратического отклонения погрешности, поэтому из (2.11) следует, что при усреднении результатов n наблюдений случайную погрешность уменьшают в  n раз.

Следует отметить, что эффект уменьшения случайной погрешности при усреднении результатов n наблюдений снижается при наличии корреляции между этими результатами. Дисперсия оценки х для коррелированных результатов наблюдений

n

2 х  = ( 2 / n) 1 + ( 2/n )  ij ,

i < j

где ij - коэффициент корреляции между результатами i -го и j-го наблюдений.

Полученная оценка а = х является состоятельной, несмещенной и эффективной.

Для оценки неопределенности величины а необходимо, используя те же экспериментальные данные, оценить значение дисперсии (или среднего квадратического отклонения) погрешности измерений. Для этого воспользуемся функцией правдоподобия ( 2 ), представив ее в виде

n  n 

L = ( х1, х2,..., хn, а ,2 ) =  f ( хi, a ) = ( 2 )-n/2 (2 )-n/2 exp - (1/ 22 )  ( хi - a )2 . (2.12)

i = 1  i = 1 

На основе метода максимального правдоподобия найдем оценку 2 из условия

L ( х1, х2,..., хn, а, 2 ) = max. (2.13)

Для упрощения вычислений прологарфимируем (2.12)
n
L = ( х1, х2,..., хn, а ,2 ) = - ( n / 2 ) ln ( 2 ) - -( n / 2 ) ln (2 ) - (1/ 22 )  ( хi - a )2. (2.14)

i = 1

Так как логарифм является монотонной функцией, то значения 2, при которых функции ( 7 ) и ( 9 ) достигают экстремума, совпадают. Поэтому оценку дисперсии найдем из условия

 ln L ( х1, х2,..., хn, а, 2 ) / 2 = 0. (2.15)

Продифференцировав (2.15) по 2 , получим
n

- (1 / n ) ( 1 / 2) + (1/ 24)  ( хi - a )2 = 0. (2.16.)

i = 1
Отсюда найдем оценку, которую обозначим 2

n

2 = ( 1 / n )  ( хi - a )2. (2.17)

i = 1

Так как истинное значение а неизвестно, то воспользуемся его оценкой х, а соответствующую оценку дисперсии обозначим S2 :

n

S2 = ( 1 / n )  ( хi - х )2. (2.18)

i = 1

Рассмотрим вопрос о смещенности полученной оценки S2.

Предварительно преобразуем (2.18):

n n n

S2 = ( 1 / n )  ( хi2 - 2 х ( 1 / n )  хi + ( х )2 = ( 1 / n )  хi2 - ( х )2 . (2.19)

i = 1 i = 1 i = 1
Математическое ожидание оценки S2

 n  n

М [ S2 ] = М ( 1 / n )  хi2  - М [( х )2 ] = ( 1 / n )  М [ хi2 ] - М [( х )2 ] =

 i = 1  i = 1
n

= ( 1 / n )  ( 2 + а2 ) - (  / n + а2) = 2 ( 1 - 1 / n ) = 2 [( n - 1 ) / n]. (2.20)

i = 1
Таким образом, оценка S2 является смещенной оценкой дисперсии 2, однако

lim М [ S2 ] = 2 .

n

Такая оценка называется асимптотически несмещенной.

Из (2.20) следует, что для ликвидации смещенности оценки достаточно ввести поправочный множитель n /( n - 1 ). Полученную несмещенную оценку обозначим 2:

^ n

2 = n /( n - 1 ) S2 = n /( n - 1 )  ( хi - х )2. (2.20)

i = 1

Использовав (2.20), можно записать другую формулу для расчета оценки, равносильную ей но более удобную для вычислений:
 n 
2 = n /( n - 1 ) 1 / n  хi2 - ( х2 ) . (2.21)

 i = 1 

Полученные выше оценки значений измеряемой величины и дисперсии погрешности являются точечными оценками. Рассмотрим оценивание этих величин с помощью доверительных интервалов.

Определим доверительный интервал для истинного значения а измеряемой величины.

Границы этого интервала зависят не только от оценки а = х измеряемой величины, но и от оценки  среднего квадратического отклонения погрешности. Поэтому для построения доверительного интервала необходимо воспользоваться распределением случайной величины

tn -1 = ( х - а ) / S  n - 1 = ( х - а ) /   n. (2.22)
При нормальном распределении погрешности величина tn -1 распределена по закону Стьюдента с n - 1 степенями свободы ( t-распределение). Распределение Стьюдента зависит от от числа опытов n и при n асимптотически приближается к нормальному.

Обычно в таблицах приводятся значения t для величины t, имеющей расределение Стьюдента с k = n - 1 степенями свободы, определяемые из условия



 f n - 1 ( t ) dt = , (2.23)

t
где f n - 1 ( t ) - плотность t- распределения. Полагая  = ( ! - Р ) / 2 ( Р - доверительная вероятность ) и зная k = n - 1, по таблицам находят границу t.

Подставив в (2.23) граничные значения ± t, получим границы доверительного интервала для измеряемой величины:
х - t S /  n -1  а  х + t S /  n -1
или

х - t  /  n  а  х + t  /  n .
Построим доверительный интервал для дисперсии 2 случайной погрешности. Доказано, что при нормальном законе распределения случайной погрешности величина

u = n S2 / 2 = ( n - 1 ) 2 / 2

распределена по закону 2n-1 с n - 1 степенями свободы. В таблицах приводятся значения 2 для величины u, имеющей 2-распределение с k = n - 1 степенями свободы, определяемые из условия



 f n - 1 ( u ) du = , (2.24)

2
где f n - 1 ( u ) - плотность 2-распределения. Так как это распределение несимметрично, то по таблице необходимо найти значение верхней 21 и нижней 22 границ интервала, соответствующие вероятностям 1 = ( 1 - Р ) / 2 и 2 = 1 - ( 1 - Р ) / 2, где Р - доверительная вероятность.

Подставив в (2.24) вместо u найденные граничные значения 21 и 22 , получим границы доверительного интервала для дисперсии:

n S2 / 21  2  n S2 / 22

или

( n - 1 ) 2 / 21  2  ( n - 1 ) 2 / 22.

5.3.6. Обработка результатов неравноточных измерений

Производственная необходимость часто приводит к тому, что параметры идентичных изделий проверяются на разных стендах, или параметры одного и того же изделия измеряются в течении нескольких дней.

Полученные значения средних арифметических отдельных выборок могут отличаться друг от друга, поэтому следует решить следующие задачи.

А. Принадлежат ли измерения одной генеральной выборке?

Б. если принадлежат, то каковы параметры этой генеральной совокупности?

^ Сравнение средних арифметических значений отдельных выборок

Сравнение средних значений целесообразно проводить попарно. Пусть, есть две выборки неравноточных измерений

(1) (1) (1) (1) (1)

x1 , х2 , х3 , ... , хi , хm1,

(2) (2) (2) (2) (2)

x1 , х2 , х3 , ... , хi , хm2,

где m1 - число измерений в первой выборке, m2 - число измерений во второй выборке.

Вычисляются средние арифметические значения первой и второй выборок, а также средние квадратические отклонения первого и второго рядов наблюдений.

(1) m1 (1) (2) m2 (2)

Хср = 1/m1   хi ; Хср = 1/m2   хi , (2.25)

_ m1 (1) (1)

   (xi - Xср)² / m1-1,

1

___________________________

_  m1 (2) (2)

2   (xi - Xср)² / m2-1 (2.26)

Вычисляются оценки суммарного среднего квадратического отклонения
_  _ _

1-2 =  (m1-1) ²1(m2-1) ²2 / ((m1-1) + (m2-1)) (2.28)
и коэффициент tэ распределения Стьюдента экспериментальный

(1) (2) _ __________

tэ = Хср - Хср / 1-2 1/m1+1/m2 (2.29)

Затем для заданной вероятности Рд из таблиц распределения Стьюдента определяется теоретически возможное значение коэффициента t(P,K) для заданной Рд и степенях свободы

К = m1+m2-2.

Если tэ превышает t(P,K), то расхождение можно считать неслучайным, т.е. результаты принадлежат разным генеральным выборкам с надежностью выборкам с надежностью вывода равной вероятности Рд .

Если tэ  t(P,K), то выборки принадлежат одной генеральной совокупности.
Доверительные оценки при неравноточных измерениях

Если установлено, что все выборки неравноточных измерений принадлежат одной генеральной совокупности, то следует определить статистические параметры этой генеральной совокупности. Пусть имеется n выборок, число измерений в каждой из них m1, m2, ... mn соответственно

x1', x2', x3', xi', ... , xm1',

x1², x2², x3², xi², ... , xm2²,

: : : : :

(n) (n) (n) (n) (n)

x1, x2, x3, xi, ... , xmn .

Число опытов генеральной выборки будет равно сумме N=mj; j=1÷n. Первоначально следует вычислить средние арифметические значения каждой выборки и средние квадратические отклонения

( j ) mj ( j )

Xср = 1/mj  xi , (2.30)

1

______________________`

_  mj ( j ) ( j )

j (°) =   xi --- Хср)² / (mj - 1). (2.31).

1

_ _ _

В зависимости от полученных , 2, j формулы вычисления статистических параметров различны.
А. Если величины 1(), 2() ... n() численно близки между собой, то среднее арифметическое генеральной выработки рассчитывается по формуле n ( j )

Хср = 1/N mj Хср, (2.32)

а средняя квадратическая оценка среднего арифметического будет равна

  

ср =  () /  , (2.33)

  n ( j )

где  () =  1/N-1 mj (Хср - Хср). (2.34)

  

Б. Если 1,2, ... n существенно отличаются друг от друга, то вычисления

Хср, ср рекомендуется соответственно следующие формулы

(1) (2) (n) n

Хср = Р1Хср + Р2Хср + РnХср = 1/Р  Рj Хср , (2.35)

Р1 + Р2 + ... +Рn 1



  n ( j )

ср =  Рj (Хср - Хср)² / Р(N-1), (2.36)

1 

где Рj = mj / j² (), Р = Р1 + Р2 + ... + Рn .



После вычисления Хср ср устанавливаются границы доверительного интервала при заданной доверительной вероятности (или наоборот - доверительная вероятность по заданным границам) по распределению Стьюдента.

1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11



Скачать файл (1301.5 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации