Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Лекции по высшей математике (часть 2) - файл Лекции-5.doc


Загрузка...
Лекции по высшей математике (часть 2)
скачать (645.5 kb.)

Доступные файлы (4):

Лекции-5.doc645kb.04.07.2002 17:22скачать
Лекции - 6.doc619kb.04.07.2002 17:48скачать
Лекции-7.doc828kb.01.07.2002 19:37скачать
Лекции-8.doc520kb.04.07.2002 17:48скачать

Лекции-5.doc

  1   2   3
Реклама MarketGid:
Загрузка...
Министерство образования Российской Федерации
МАТИ”- РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. К. Э. ЦИОЛКОВСКОГО




Кафедра “Высшая математика”

Н. Д. ВЫСК


КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Часть 2


Москва 2001 г.

Лекция 1.

Функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. Линии и поверхности уровня. Предел и непрерывность функции нескольких переменных, их свойства. Частные производные, их свойства и геометрический смысл.
Определение 1.1. Переменная z (с областью изменения Z) называется функцией двух независимых переменных х,у в множестве М, если каждой паре (х,у) из множества М по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение z из Z.

Определение 1.2. Множество М, в котором заданы переменные х,у, называется областью определения функции, а сами х,у – ее аргументами.

Обозначения: z = f(x,y), z = z(x,y).

Примеры.

  1. z = xy, z = x² + y² - функции, определенные для любых действительных значений х,у.

  2. - функция, областью определения которой являются решения неравенства .


Замечание. Так как пару чисел (х,у) можно считать координатами некоторой точки на плоскости, будем впоследствии использовать термин «точка» для пары аргументов функции двух переменных, а также для упорядоченного набора чисел , являющихся аргументами функции нескольких переменных.
Определение 1.3. . Переменная z (с областью изменения Z) называется функцией нескольких независимых переменных в множестве М, если каждому набору чисел из множества М по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение z из Z. Понятия аргументов и области определения вводятся так же, как для функции двух переменных.

Обозначения: z = f, z = z.
Геометрическое изображение функции двух переменных.
Рассмотрим функцию z = f(x,y), (1.1)

определенную в некоторой области М на плоскости Оху. Тогда множество точек трехмерного пространства с координатами (x,y,z), где , является графиком функции двух переменных. Поскольку уравнение (1.1) определяет некоторую поверхность в трехмерном пространстве, она и будет геометрическим изображением рассматриваемой функции.

z

z = f(x,y)


M y

Примерами могут служить изучаемые в предыдущем семестре уравнения плоскости

z = ax + by + c

и поверхностей второго порядка:

z = x² + y² (параболоид вращения),

(конус) и т.д.

Замечание. Для функции трех и более переменных будем пользоваться термином «поверхность в n-мерном пространстве», хотя изобразить подобную поверхность невозможно.
Линии и поверхности уровня.
Для функции двух переменных, заданной уравнением (1.1), можно рассмотреть множество точек (х,у) плоскости Оху, для которых z принимает одно и то же постоянное значение, то есть z = const. Эти точки образуют на плоскости линию, называемую линией уровня.

Пример.

Найдем линии уровня для поверхности z = 4 – x² - y². Их уравнения имеют вид x² + y² = 4 – c (c=const) – уравнения концентрических окружностей с центром в начале координат и с радиусами . Например, при с=0 получаем окружность x² + y² = 4 .
Для функции трех переменных u = u (x, y, z) уравнение u (x, y, z) = c определяет поверхность в трехмерном пространстве, которую называют поверхностью уровня.

Пример.

Для функции u = 3x + 5y – 7z –12 поверхностями уровня будет семейство параллельных плоскостей, задаваемых уравнениями 3x + 5y – 7z –12 + с = 0.
Предел и непрерывность функции нескольких переменных.
Введем понятие δ-окрестности точки М0 (х0 , у0) на плоскости Оху как круга радиуса δ с центром в данной точке. Аналогично можно определить δ-окрестность в трехмерном пространстве как шар радиуса δ с центром в точке М0 (х0 , у0 , z0). Для n-мерного пространства будем называть δ-окрестностью точки М0 множество точек М с координатами , удовлетворяющими условию



где - координаты точки М0. Иногда это множество называют «шаром» в n-мерном пространстве.

Определение 1.4. Число А называется пределом функции нескольких переменных fв точке М0, если такое, что | f(M) – A| < ε для любой точки М из δ-окрестности М0.

Обозначения: .

Необходимо учитывать, что при этом точка ^ М может приближаться к М0, условно говоря, по любой траектории внутри δ-окрестности точки М0. Поэтому следует отличать предел функции нескольких переменных в общем смысле от так называемых повторных пределов, получаемых последовательными предельными переходами по каждому аргументу в отдельности.

Примеры.

  1. Покажем, что функция не имеет предела при МО(0,0). Действительно, если в качестве линии, по которой точка М приближается к началу координат, выбрать прямую у = х, то на этой прямой . Если же траекторией движения считать прямую у = 2х, то . Следовательно, предел в точке (0,0) не существует.

  2. Найдем повторные пределы функции при х→0, у→0. , . Если же произвести предельные переходы в обратном порядке, получим: Таким образом, повторные пределы оказались различными (откуда следует, конечно, что функция не имеет в точке (0,0) предела в обычном смысле).


Замечание. Можно доказать, что из существования предела в данной точке в обычном смысле и существования в этой точке пределов по отдельным аргументам следует существование и равенство повторных пределов. Обратное утверждение неверно.
Определение 1.5. Функция f называется непрерывной в точке М0, если (1.2)

Если ввести обозначения , то условие (1.2) можно переписать в форме (1.3)

Определение 1.6. Внутренняя точка М0 области определения функции z = f (M) называется точкой разрыва функции, если в этой точке не выполняются условия (1.2), (1.3).

Замечание. Множество точек разрыва может образовывать на плоскости или в пространстве линии или поверхности разрыва.

Примеры.

  1. Функция z = x² + y² непрерывна в любой точке плоскости Оху. Действительно, , поэтому .

  2. Единственной точкой разрыва функции является точка (0,0).

  3. Для функции линией разрыва является прямая х + у = 0.


Свойства пределов и непрерывных функций.
Так как определения предела и непрерывности для функции нескольких переменных практически совпадает с соответствующими определениями для функции одной переменной, то для функций нескольких переменных сохраняются все свойства пределов и непрерывных функций, доказанные в первой части курса, а именно:

  1. Если существуют то существуют и (если ).

  2. Если а и для любого i существуют пределы и существует , где М0 , то существует и предел сложной функции при , где - координаты точки Р0.

  3. Если функции f(M) и g(M) непрерывны в точке М0, то в этой точке непрерывны и функции f(M) + g(M), kf(M), f(M)•g(M), f(M)/g(M) (если g(M0) ≠ 0).

  4. Если функции непрерывны в точке Р0 , а функция непрерывна в точке М0, где , то сложная функция непрерывна в точке Р0.

  5. Функция непрерывная в замкнутой ограниченной области D, принимает в этой области свое наибольшее и наименьшее значения.

  6. Если функция непрерывная в замкнутой ограниченной области D, принимает в этой области значения А и В, то она принимает в области D и любое промежуточное значение, лежащее между А и В.

  7. Если функция непрерывная в замкнутой ограниченной области D, принимает в этой области значения разных знаков, то найдется по крайней мере одна точка из области D, в которой f = 0.


Частные производные.
Рассмотрим изменение функции при задании приращения только одному из ее аргументов – хi , и назовем его .

Определение 1.7. Частной производной функции по аргументу хi называется .

Обозначения: .

Таким образом, частная производная функции нескольких переменных определяется фактически как производная функции одной переменной – хi. Поэтому для нее справедливы все свойства производных, доказанные для функции одной переменной.

Замечание. При практическом вычислении частных производных пользуемся обычными правилами дифференцирования функции одной переменной, полагая аргумент, по которому ведется дифференцирование, переменным, а остальные аргументы – постоянными.

Примеры.

1. z = 2x² + 3xy –12y² + 5x – 4y +2,

2. z = xy,

3.
Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных.
Рассмотрим уравнение поверхности z = f (x,y) и проведем плоскость х = const. Выберем на линии пересечения плоскости с поверхностью точку М (х,у). Если задать аргументу у приращение Δу и рассмотреть точку Т на кривой с координатами (х, у+Δу, z+Δyz), то тангенс угла, образованного секущей МТ с положительным направлением оси Оу, будет равен . Переходя к пределу при , получим, что частная производная равна тангенсу угла, образованного касательной к полученной кривой в точке ^ М с положительным направлением оси Оу. Соответственно частная производная равна тангенсу угла с осью Ох касательной к кривой, полученной в результате сечения поверхности z = f (x,y) плоскостью y = const.


Лекция 2.

Дифференцируемость функции нескольких переменных. Дифференциал, его свойства. Применение дифференциала к приближенным вычислениям. Дифференцирование сложных функций. Инвариантность формы дифференциала.
При исследовании вопросов, связанных с дифференцируемостью, ограничимся случаем функции трех переменных, поскольку все доказательства для большего количества переменных проводятся так же.
Определение 2.1. Полным приращением функции u = f(x, y, z) называется

(2.1)

Теорема 2.1. Если частные производные существуют в точке (х0 , у0 , z0) и в некоторой ее окрестности и непрерывны в точке (x0 , y0 , z0) , то

, (2.2)

где α, β, γ – бесконечно малые, зависящие от Δх, Δу, Δz.

Доказательство.

Представим полное приращение Δu в виде:

,

где каждая разность представляет собой частное приращение функции только по одной из переменных. Из условия теоремы следует, что к этим разностям можно применить теорему Лагранжа. При этом получим:

.

Так как по условию теоремы частные производные непрерывны в точке (х0 , у0 , z0), можно представить их в виде:



где . Теорема доказана.

Можно показать, что где . Действительно, α, β и γ – бесконечно малые при ρ→0, а - ограниченные (т.к. их модули не превышают 1).

Тогда приращение функции, удовлетворяющей условиям теоремы 2.1, можно представить в виде: , (2.3)

где (2.4)

Определение 2.2. Если приращение функции u = f (x, y, z) в точке (x0 , y0 , z0) можно представить в виде (2.3), (2.4), то функция называется дифференцируемой в этой точке, а выражение - главной линейной частью приращения или полным дифференциалом рассматриваемой функции.

Обозначения: du, df (x0 , y0 , z0).

Так же, как в случае функции одной переменной, дифференциалами независимых переменных считаются их произвольные приращения, поэтому

(2.5)
Замечание 1. Итак, утверждение «функция дифференцируема» не равнозначно утверждению «функция имеет частные производные» - для дифференцируемости требуется еще и непрерывность этих производных в рассматриваемой точке.

Замечание 2. Если в формуле (2.5) считать , и частными дифференциалами данной функции (как функции одного из аргументов), то можно сказать, что полный дифференциал равен сумме частных дифференциалов.
Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
По аналогии с линеаризацией функции одной переменной можно при приближенном вычислении значений функции нескольких переменных, дифференцируемой в некоторой точке, заменять ее приращение дифференциалом. Таким образом, можно находить приближенное значение функции нескольких (например, двух) переменных по формуле:

, (2.6)

где

Пример.

Вычислить приближенное значение .

Рассмотрим функцию и выберем х0 =1, у0 = 2. Тогда Δх = 1,02 – 1 = 0,02; Δу = 1,97 – 2 = -0,03. Найдем ,

Следовательно, учитывая, что f (1, 2) = 3, получим:


^ Дифференцирование сложных функций.
Пусть аргументы функции z = f (x, y) являются, в свою очередь, функциями переменных u и v: x = x (u, v), y = y (u, v). Тогда функция f тоже есть функция от u и v. Выясним, как найти ее частные производные по аргументам u и v, не делая непосредственной подстановки

z = f ( x(u, v), y(u, v)). При этом будем предполагать, что все рассматриваемые функции имеют частные производные по всем своим аргументам.

Зададим аргументу u приращение Δ u, не изменяя аргумент v. Тогда

. (2.7)

Если же задать приращение только аргументу v, получим: . (2.8)

Разделим обе части равенства (2.7) на Δu, а равенства (2.8) – на Δv и перейдем к пределу соответственно при Δu0 и Δv0. Учтем при этом, что в силу непрерывности функций х и у . Следовательно,

(2.9)

Рассмотрим некоторые частные случаи.

Пусть x = x(t), y = y(t). Тогда функция f (x,y) является фактически функцией одной переменной t , и можно, используя формулы (2.9) и заменяя в них частные производные х и у по u и v на обычные производные по t (разумеется, при условии дифференцируемости функций x(t) и y(t) ) , получить выражение для :

(2.10)

Предположим теперь, что в качестве t выступает переменная х, то есть х и у связаны соотношением у = у (х). При этом, как и в предыдущем случае, функция f является функцией одной переменной х. Используя формулу (2.10) при t = x и учитывая, что , получим, что . (2.11)

Обратим внимание на то, что в этой формуле присутствуют две производные функции f по аргументу х: слева стоит так называемая полная производная, в отличие от частной, стоящей справа.

Примеры.

  1. Пусть z = xy, где x = u² + v, y = uv². Найдем и . Для этого предварительно вычислим частные производные трех заданных функций по каждому из своих аргументов:

Тогда из формулы (2.9) получим:

(В окончательный результат подставляем выражения для х и у как функций u и v).

  1. Найдем полную производную функции z = sin (x + y²), где y = cos x.


Инвариантность формы дифференциала.
Воспользовавшись формулами (2.5) и (2.9), выразим полный дифференциал функции z = f (x, y) , где x = x(u,v), y = y(u,v), через дифференциалы переменных u и v:

(2.12)

Следовательно, форма записи дифференциала сохраняется для аргументов u и v такой же, как и для функций этих аргументов х и у, то есть является инвариантной (неизменной).

Лекция 3.

Неявные функции, условия их существования. Дифференцирование неявных функций. Частные производные и дифференциалы высших порядков, их свойства.
Определение 3.1. Функция у от х, определяемая уравнением

F (x, y) = 0 , (3.1)

называется неявной функцией.
Конечно, далеко не каждое уравнение вида (3.1) определяет у как однозначную (и, тем более, непрерывную) функцию от х. Например, уравнение эллипса



задает у как двузначную функцию от х: для

Условия существования однозначной и непрерывной неявной функции определяются следующей теоремой:

Теорема 3.1 (без доказательства). Пусть:

  1. функция F (x,y) определена и непрерывна в некотором прямоугольнике с центром в точке (х0 , у0 );

  2. F (x0 , y0 ) = 0 ;

  3. при постоянном х F (x,y) монотонно возрастает (или убывает) с возрастанием у.

Тогда

а) в некоторой окрестности точки (х0 , у0 ) уравнение (3.1) определяет у как однозначную функцию от х: y = f(x);

б) при х = х0 эта функция принимает значение у0 : f (x0) = y0 ;

в) функция f (x) непрерывна.
Найдем при выполнении указанных условий производную функции y = f (x) по х.

Теорема 3.2. Пусть функция у от х задается неявно уравнением (3.1), где функция F (x,y) удовлетворяет условиям теоремы 3.1. Пусть, кроме того, - непрерывные функции в некоторой области D, содержащей точку (х,у), координаты которой удовлетворяют уравнению (3.1), причем в этой точке . Тогда функция у от х имеет производную

(3.2)

Доказательство.

Выберем некоторое значение х и соответствующее ему значение у. Зададим х приращение Δх, тогда функция y = f (x) получит приращение Δу . При этом F (x,y) = 0, F (x+ Δx, yy) = 0, поэтому F (x+ Δx, yy) – F (x,y) = 0. Слева в этом равенстве стоит полное приращение функции F (x,y), которое можно представить в виде (2.2):

.

Разделив обе части полученного равенства на Δх, выразим из него : .

В пределе при , учитывая, что и , получим: . Теорема доказана.

Пример. Найдем , если . Найдем , .

Тогда из формулы (3.2) получаем: .
  1   2   3



Скачать файл (645.5 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru