Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Лекции по высшей математике (часть 2) - файл Лекции-7.doc


Загрузка...
Лекции по высшей математике (часть 2)
скачать (645.5 kb.)

Доступные файлы (4):

Лекции-5.doc645kb.04.07.2002 17:22скачать
Лекции - 6.doc619kb.04.07.2002 17:48скачать
Лекции-7.doc828kb.01.07.2002 19:37скачать
Лекции-8.doc520kb.04.07.2002 17:48скачать

Лекции-7.doc

1   2   3
Реклама MarketGid:
Загрузка...
Теорема 15.1 (признак сравнения). Пусть при . Тогда:

  1. если интеграл сходится, то сходится и интеграл ;

  2. если интеграл расходится, то расходится и интеграл .


Доказательство.

Из условия теоремы следует, что . Поэтому, если интегралы ограничены сверху (по лемме), то сверху ограничены и интегралы , следовательно, сходится (по той же лемме). Если же интеграл расходится, то, если бы интеграл сходился, то по ранее доказанному должен был бы сходиться, что противоречит сделанному предположению. Значит, в этом случае расходится. Теорема полностью доказана.
Следствие.

Пусть на [a,∞), и существует конечный или бесконечный предел , то:

а) если интеграл сходится и , то сходится и интеграл ;

б) если интеграл расходится и , то интеграл тоже расходится.

В частности, если k = 1, то есть функции f(x) и φ(х) эквивалентны при , то интегралы и сходятся и расходятся одновременно.

При применении признака сравнения удобно сравнивать подынтегральную функцию с функцией , α > 0, для которой сходимость или расходимость соответствующего несобственного интеграла легко установить непосредственно. Пусть тогда

. При α = 1

. Следовательно, сходится при α > 1 и расходится при α ≤ 1.
Пример.

Исследуем на сходимость . При подынтегральная функция эквивалентна . Таким образом, α = 2 > 1, и данный интеграл сходится.
^ Абсолютная сходимость несобственных интегралов 1-го рода.
Определение 15.2. Несобственный интеграл называют абсолютно сходящимся, если сходится интеграл . Функция f(x) называется при этом абсолютно интегрируемой на [a,∞).
Признак абсолютной сходимости несобственного интеграла (критерий Коши) – без доказательства.

Для того, чтобы абсолютно сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовало такое η, что при η΄ > η, η΄΄ > η .
Теорема 15.2. Если интеграл абсолютно сходится, то он сходится и в обычном смысле.

Доказательство.

Согласно критерию Коши . Следовательно, существует конечный предел при , то есть

рассматриваемый интеграл сходится.
Несобственные интегралы от функций с бесконечными разрывами

(несобственные интегралы 2-го рода).
Определение 15.3. Пусть функция f(x) определена и непрерывна при ax < b и имеет разрыв при x = b. Тогда определяется следующим образом:

(15.5)

и называется несобственным интегралом 2-го рода. Если предел, стоящий справа, существует и конечен, интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Аналогичным образом определяются несобственные интегралы от функции, имеющей разрыв при х = а: и от функции, разрывной в точке с (a<c< b):

,

если существуют оба интеграла, стоящие в правой части равенства.

Для несобственных интегралов 2-го рода справедливы те же утверждения, что и для несобственных интегралов 1-го рода:

Теорема 15.3(признак сравнения). Пусть функции f(x) и φ(х) непрерывны при и имеют разрыв при x = b. Пусть, кроме того, при . Тогда:

  1. если интеграл сходится, то сходится и интеграл ;

  2. если интеграл расходится, то расходится и интеграл .


Теорема 15.4. Если f(x) – знакопеременная функция, непрерывная на [a,b) и имеющая разрыв при x =b, и если сходится, то сходится и интеграл .

Замечание 1. Эти теоремы доказываются так же, как теоремы 15.1 и 15.2.

Замечание 2. При выполнении условий теоремы 15.4 несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся, а функция f(x) абсолютно интегрируемой.
Следствие из теоремы 15.3.

Если при , то при α < 1 сходится, а при α ≥ 1 расходится.

Доказательство.



Таким образом, интеграл сходится при α < 1 и расходится при α ≥ 1.

Лекция 16.

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка. Изоклины. Задача Коши. Теорема существования и единственности задачи Коши.


Уравнения, в которые неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала, называются дифференциальными уравнениями. Подобными уравнениями описываются многие физические явления и процессы.
Примеры.
1) - уравнение радиоактивного распада ( k – постоянная распада, х – количество неразложившегося вещества в момент времени t, скорость распада пропорциональна количеству распадающегося вещества).

2) - уравнение движения точки массы т под влиянием силы F, зависящей от времени, положения точки, определяемого радиус-вектором r, и ее скорости . Сила равна произведению массы на ускорение.

3) - уравнение Пуассона, задающее зависимость между многими физическими величинами. Например, можно считать, что u(x,y,z) – потенциал электростатического поля, а ρ(x,y,z) – плотность зарядов.
Мы будем рассматривать уравнения, где неизвестная функция является функцией одной переменной. Такие уравнения называются обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Определение 16.1. Уравнение вида

(16.1)

называется обыкновенным дифференциальным уравнением п-го порядка. При этом порядком уравнения называется максимальный порядок входящей в него производной.
Определение 16.2. Функция, которая при подстановке в уравнение (16.1) обращает его в тождество, называется решением дифференциального уравнения.
Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные

относительно производной.
Рассмотрим уравнение вида . (16.2)

Можно показать, что общее решение такого уравнения зависит от одной произвольной постоянной. С геометрической точки зрения уравнение (16.2) устанавливает зависимость между координатами точки на плоскости и угловым коэффициентом касательной к графику решения в той же точке. Следовательно, уравнение (16.2) определяет некоторое поле направлений, и задача его решения состоит в том, чтобы найти кривые, называемые интегральными кривыми, направление касательных к которым в каждой точке плоскости совпадает с направлением этого поля.
Примеры.

1) . В каждой точке, кроме начала координат, угловой коэффициент к искомой интегральной кривой равен , то есть тангенсу угла, образованного с осью Ох прямой, проходящей через данную точку и начало координат. Следовательно, интегральными кривыми в данном случае будут прямые вида у = сх (рис.1).

у

у


х

х


Рис. 1. Рис. 2.
2) . В этом случае касательная в каждой точке плоскости перпендикулярна направлению прямой, проходящей через эту точку и начало координат, так как угловые коэффициенты этих прямых удовлетворяют условию ортогональности: . Поэтому направление касательной в данной точке совпадает с направлением касательной к окружности с центром в начале координат, на которой лежит выбранная точка. Такие окружности и являются интегральными кривыми данного уравнения (рис. 2).
Часто для построения интегральных кривых удобно предварительно найти геометрическое место точек, в которых касательные к искомым интегральным кривым сохраняют постоянное направление. Такие линии называются изоклинами.
Пример.

Изоклины уравнения задаются уравнениями или , так как на каждой изоклине производная должна сохранять постоянное значение. Полученные уравнения задают семейство концентрических окружностей с центром в начале координат, а угловой коэффициент касательной к интегральной кривой равен радиусу проходящей через данную точку окружности.
^ Задача Коши для уравнения первого порядка.
Как уже было сказано, общим решением уравнения (16.2) является все множество функций, обращающих при подстановке рассматриваемое уравнение в тождество. Пусть теперь требуется найти решение этого уравнения, удовлетворяющее условию

у (х0) = у0 , (16.3)

называемому начальным условием. Если общее решение уравнения (16.2) задается формулой у = φ (х, С), (16.4)

то значение постоянной С, соответствующее поставленному начальному условию, можно определить, подставив в равенство (16.4) х = х0 и у = у0.
Определение 16.3. Задача выбора из общего решения (16.4) уравнения (16.2) решения, удовлетворяющего начальному условию (16.3), называется задачей Коши, а выбранное решение называется частным решением уравнения (16.2).
Замечание. Если воспринимать множество всех решений уравнения (16.2) как множество интегральных кривых на плоскости, то ставится задача поиска той из них, которая проходит через точку с координатами (х0 , у0). Выясним, при каких условиях такая кривая существует и является единственной.
Теорема существования и единственности задачи Коши.
Рассмотрим предварительно метод приближенного решения дифференциальных уравнений, обоснование которого будет дано в приведенной ниже теореме.
Метод Эйлера.
Метод Эйлера заключается в том, что искомая интегральная кривая уравнения (16.2), проходящая через точку (х0 , у0 ), заменяется ломаной, каждое звено которой касается интегральной кривой в одной из своих граничных точек (рис. 3).
у


h

h

y0 y1 y2


O x0 x1 x2 x
Рис. 3
Пусть требуется найти приближенное значение искомого решения при x = b. Разделим отрезок [x0 ,b] на п равных частей (полагаем, что b > x0) и назовем шагом вычисления h длину отрезка [xi-1 , xi ] . Заменим на отрезке [x0 , x1] интегральную кривую отрезком ее касательной в точке (х0 , у0). Ордината этого отрезка при х = х1 равна y1 = y0 + hy0΄, где у0΄ = f(x0 ,y0). Так же найдем

y2 = y1 + hy1΄, где y1΄= f(x1 ,y1);

y3 = y2 + hy2΄, где y2΄= f(x2 ,y2);

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

yn = yn-1 + hy΄n-1 , где n-1 = f(xn-1 ,yn-1).
Можно предположить, что при построенные таким образом ломаные Эйлера приближаются к графику искомой кривой. Доказательство этого утверждения будет дано в следующей теореме:
Теорема 16.1 (теорема существования и единственности решения). Если в уравнении



функция f(x,y) непрерывна в прямоугольнике D:

(16.5)

и удовлетворяет в D условию Липшица:

| f(x, y1) – f(x, y2) | ≤ N | y1y2 |, (16.6)

где N – постоянная, то существует единственное решение ,уравнения (16.2), удовлетворяющее условию (16.3) , где

в D .
Замечание 1. Нельзя утверждать, что искомое решение будет существовать при , так как интегральная кривая может выйти из прямоугольника (16.5), и тогда решение может быть не определено.

Замечание 2. Условие Липшица (16.6) можно заменить более сильным требованием в D. Тогда по теореме Лагранжа , где . Таким образом, и . Поэтому .
Доказательство теоремы 16.1.

Заменим уравнение (16.2) с начальным условием (16.3) эквивалентным интегральным уравнением . (16.7)

Легко проверить, что функция, обращающая в тождество уравнение (16.2), будет решением и уравнения (16.7).

Построим ломаную Эйлера у = уп(х), исходящую из точки (х00) с шагом на отрезке [x0 , x0 + H] (аналогично можно доказать существование решения на [x0H, x0]). Такая ломаная не может выйти за пределы D, так как угловые коэффициенты каждого ее звена по модулю меньше М. Теперь докажем последовательно три утверждения:

  1. Последовательность у = уп(х) равномерно сходится.

  2. Функция является решением интегрального уравнения (16.7).

  3. Решение уравнения (16.7) единственно.


Доказательство 1). По определению ломаной Эйлера

при , или . (16.8)

Обозначим , тогда в силу равномерной непрерывности f(x) в D (16.9)

при , где при , так как , а и при . Интегрируя (16.8) по х в пределах от х0 до х и учитывая, что , получим:

. (16.10)

Так как п – любое целое положительное число, то для любого m > 0

, откуда



.

Тогда из (16.9) и условия Липшица следует, что

. Следовательно,

, откуда

при , то есть последовательность непрерывных функций уп(х) равномерно сходится при к непрерывной функции . Итак, утверждение 1) доказано.

Доказательство 2). Перейдем в (16.10) к пределу при :

. (16.11)

В силу равномерной сходимости уп(х) к и равномерной непрерывности f(x,y) в D последовательность f(x,yn(x)) равномерно сходится к f(x, ). Действительно, при , что выполняется при .

Следовательно, возможен переход к пределу под знаком интеграла. Учитывая, что , где при , получим из (16.11):

,

то есть удовлетворяет уравнению (16.7). Утверждение 2) доказано.

Доказательство 3). Предположим, что существуют два различных решения уравнения (16.7) у1(х) и у2(х), то есть | y1(x) – y2(x) | ≠ 0. Тогда, подставляя эти функции в (16.7) и вычитая полученные равенства друг из друга, получим:

, откуда

| y1(x) – y2(x)| =

.Применим к этому неравенству условие Липшица: | y1(x) – y2(x)|≤ N| y1(x) – y2(x)|

=NH| y1(x) – y2(x)|. Если| y1(x) – y2(x)| ≠ 0, то полученное равенство: | y1(x) – y2(x)| ≤ NH | y1(x) – y2(x)| противоречиво, так как по условию теоремы . Следовательно, | y1(x) – y2(x)| = 0, то есть у1(х) ≡ у2(х).

1   2   3



Скачать файл (645.5 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru