Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Геометрия Лобачевского и ее модели - файл 1.doc


Геометрия Лобачевского и ее модели
скачать (1483 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc1483kb.29.11.2011 20:54скачать

содержание
Загрузка...

1.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...
Министерство Образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Елецкий государственный университет им. И.А.Бунина

Физико - математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Курсовая работа
Геометрия Лобачевского и ее модели

Выполнил:

Студент

Научный руководитель:

Елец - 2009

Оглавление

Введение ……………………………………………………………………..

3

^ Глава I. История создания геометрии Лобачевского……………….

4

1.1

История создания геометрии Лобачевского………………………..

4

1.2

Основные понятия геометрии Лобачевского. Некоторые теоремы геометрии Лобачевского…………………………………………….


7

1.3

Приложения геометрии Лобачевского……………………………...

13

^ Глава II. Модели геометрии Лобачевского …………………………..

16

2.1

Модель (интерпретация) Бельтрами ………………………………..

16

2.2

Модель Кэли – Клейна плоскости Лобачевского…………………..

18

2.3

Модели Пуанкаре…………………………………………………….

22

Заключение………………………………………………………………….

27

Литература……………………………………………………………………

29


Введение
Открытие того, что евклидова геометрия не яв­ляется единственно возможной, сделанное в начале прошлого века Гауссом, Лобачевским и Больяи, оказало влияние на мировоззрение человечества, сравнимое с влиянием таких великих открытий ес­тественных наук, как гелиоцентрическая система Коперника или эволюционная теория Дар­вина. Начиная с конца прошлого века неевклидова геометрия, наряду с евклидовой, является одним из рабочих инструментов математики, несмотря на то что "пространство, в котором мы живем", в доступ­ных нашему пониманию пределах является скорее евклидовым, чем неевклидовым.

Если под неевклидовой геометрией понимать любую геометрию, отличную от евклидовой, то имеется необозримое множество таких геометрий. Было бы трудно сказать что-либо обо всех них сразу. В на­стоящей работе под термином «неевк­лидова геометрия» подразумевается геометрия Лобачевского или двойствен­ная ей сферическая геометрия. Среди геометрий, в которых имеется по­нятие расстояния между точками, эти две геомет­рии вместе с евклидовой геометрией занимают осо­бое положение. Их можно охарактеризовать как геометрии максимальной подвижности или геомет­рии постоянной кривизны, они являются в извест­ном смысле наиболее совершенными.

В конце прошлого века в работах Пуанкаре и Клейна была установлена прямая связь геометрии Лобачевского с теорией функций комплексной пе­ременной и с теорией чисел. С тех пор ап­парат геометрии Лобачевского стал неотъемлемым компонентом этих разделов математики.

Целью данной работы является геометрия Лобачевского. В курсовой работе рассматриваются основные понятия геометрии Лобачевского, приводятся некоторые примеры теорем неевклидовой геометрии и показываются различные приложения геометрии Лобачевского. Особое внимание уделяется моделям (интерпретациям) данной геометрии, подробно рассмотрены модели Бельтрами, Кэли-Клейна, Пуанкаре.
^ Глава I. История создания геометрии Лобачевского
1.1 История создания геометрии Лобачевского. Пятый постулат Евклида
В развитии Геометрия можно указать четыре основных периода, переходы между которыми обозначали качественное изменение геометрии.

Первый — период зарождения геометрии как математической науки — протекал в Древнем Египте, Вавилоне и Греции примерно до 5 в. до н. э. Первичные геометрические сведения появляются на самых ранних ступенях развития общества. Зачатками науки следует считать установление первых общих закономерностей, в данном случае — зависимостей между геометрическими величинами.

Второй период развития геометрии связан со становлением геометрии в самостоятельную математическую науку: появились систематические её изложения, где её предложения последовательно доказывались. Известны упоминания о систематическом изложении геометрии. Сохранились и появившиеся около 300 г. до н. э. «Начала» Евклида.

Третий период выделяют с 1-й половины XVIIв Р.Декартом, который ввёл в геометрию метод координат. Метод координат позволил связать геометрию с развивавшейся тогда алгеброй и зарождающимся анализом. Применение методов этих наук в геометрии породило аналитическую геометрию, а потом и дифференциальную.

Четвёртый период в развитии геометрии открывается построением Н. И. Лобачевским в 1826 новой, неевклидовой геометрии, называемой теперь геометрией Лобачевского.

23 февраля 1826 года российский математик Николай Иванович Лобачевский (1792 -1856г) на заседании физико-математического факультета Казанского университета провозгласил о создании новой геометрии, названной им «воображаемой геометрией». Эта геометрия была основана на тех же традиционных постулатах и аксиомах геометрии, как и у Евклида (330-275 г. до н. э.), но с заменой его пятого постулата о параллельных: «на плоскости через точку, взятую вне данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной прямой, а все остальные прямые, проходящие через эту точку, пересекаются с данной прямой», на новый пятый постулат о параллельных: «на плоскости через точку, взятую вне данной прямой, можно провести две и только две прямые, параллельные данной, а также бесконечное множество прямых, которые не пересекаются с данной прямой и ей не параллельны, и бесконечное множество прямых, которые пересекаются с данной прямой». [2]

Независимо от Лобачевского к подобным идеям пришёл венгерский математик Янош Больяи (1802-1860г), опубликовавший свою работу на три года позже Лобачевского (1832 год) и выдающийся немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777-1855г), у которого после его смерти были найдены отдельные неопубликованные наброски начальных положений неевклидовой геометрии.

Полное признание и широкое распространение геометрия Лобачевского получила через 12 лет после его смерти, когда стало понятно, что научная теория, построенная на базе некоторой системы аксиом (исходных положений, принимаемых без доказательства) считается только тогда полностью завершённой, когда эта система аксиом удовлетворяет трём условиям: независимости, непротиворечивости и полноты.

Именно этим свойствам и удовлетворяет геометрия Лобачевского.

Окончательно это стало ясно, когда в 1868 году итальянский математик Эудженио Бельтрами (1835-1900г) в своём мемуаре «Опыт толкования неевклидовой геометрии» показал, что в евклидовом пространстве R3 на псевдосферических поверхностях имеет место геометрия куска плоскости Лобачевского, если на них за прямые принять геодезические линии.

Далее немецкий математик Феликс Христиан Клейн (1849-1925г) опираясь на исследования Эудженио Бельтрами и французский математик Анри Пуанкаре (1854-1912г) строго доказали непротиворечивость неевклидовой геометрии, построив соответствующие модели плоскости Лобачевского. Истолкование геометрии Лобачевского на поверхностях евклидова пространства решающим образом способствовало общему признанию идей Лобачевского.

Итогом такого неевклидового подхода явилось создание Георгом Фридрихом Бернхардом Риманом (1826-1866г) римановой геометрии, развившей математическое учение о пространстве, понятие дифференциала расстояния между элементами многообразия и учение о кривизне. Введение обобщённых римановых пространств, частными случаями которых являются пространства Евклида и Лобачевского и так называемой геометрии Римана, открыло новые пути в развитии геометрии и нашли применение в физике (теория относительности) и других разделах естествознания.

Геометрию Лобачевского называют также гиперболической на том основании, что для описания математических соотношений данной геометрии были использованы гиперболические функции

,

введенные в XVIII веке итальянским математиком Винценто Рикатти, где -число, введённое Джоном Непером (1550-1617).

Таким образом, геометрия Лобачевского изучает свойства «плоскости Лобачевского» (в планиметрии) и «пространства Лобачевского» (в стереометрии). Плоскость Лобачевского — это плоскость (множество точек), в которой определены прямые линии, а также движения фигур (вместе с тем — расстояния, углы и пр.), подчиняющиеся всем аксиомам евклидовой геометрии, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется указанной выше аксиомой Лобачевского. Сходным образом определяется пространство Лобачевского. Задача выяснения реального смысла геометрии Лобачевского состояла в нахождении моделей плоскости и пространства Лобачевского, т. е. в нахождении таких объектов, в которых реализовались бы соответствующим образом истолкованные положения планиметрии и стереометрии геометрии Лобачевского.[1]
^ 1.2 Основные понятия геометрии Лобачевского. Некоторые теоремы геометрии Лобачевского
1. Основные понятия геометрии Лобачевского

В евклидовой геометрии соглас­но пятому постулату на плоскости через точку ^ Р, лежащую вне прямой А'А, проходит только одна прямая В'В, не пересекающая А'А. Прямая В'В называется параллелью к А'А. При этом достаточно потребовать, чтобы таких прямых проходило не более одной, так как существование непересекающей прямой может быть до­казано путем последовательного проведения прямых PQA'A и PBPQ. В геометрии Лобачевского аксиома параллельности требует, чтобы через точку Р проходило более одной прямой, не пересекающей А 'А.


Рис. 1


Непересекающие прямые заполняют часть пучка с вершиной ^ Р, лежащую внутри пары вертикальных углов TPU и U'PT', рас­положенных симметрично относительно перпендикуля­ра PQ. Прямые, образующие стороны вертикальных углов, отделяют пересекающие прямые от непересекаю­щих и сами являются тоже непересекающими. Эти гра­ничные прямые называются параллелями в точке Р к прямой А'А соответственно в двух ее направлениях: Tпараллельно А 'А в направлении A'A, a UU' па­раллельно А 'А в направлении А А'. Остальные непересекающие прямые называются расходящимися прямыми с А 'А.

Угол , 0< </2, параллель к точке Р об­разует с перпендикуляром PQ, QPT= QPU' =, называется углом параллельности отрезка PQ=a и обозначается через . При а=0 угол =/2; при увеличении а угол уменьшается так, что для каж­дого заданного , 0<</2, существует определен­ное значение а. Эта зависимость называется функцией Лобачевского:

П (a)=2arctg (),

где к — некоторая константа, определяющая фикси­рованный по величине отрезок. Она получила назва­ние радиуса кривизны пространства Лобачевского. Подобно сферической геометрии су­ществует бесконечное множество пространств Лоба­чевского, различающихся величиной к.

Две различные прямые по плоскости образуют пару одного из трех типов.

Пересекающиеся прямые. Расстояние от точек одной прямой до другой прямой неограниченно увеличивается при удалении точки от пересечения пря­мых. Если прямые не перпендикулярны, то каждая про­ектируется ортогонально на другую в открытый отрезок конечной величины.

Параллельные прямые. На плоскости че­рез данную точку проходит единственная прямая, па­раллельная данной прямой в заданном на последней направлении. Параллель в точке Р сохраняет в каждой своей точке свойство быть параллелью той же прямой в том же направлении. Параллелизм обладает взаим­ностью (если а||b в определенном направлении, то и b||а в соответствующем направлении) и транзитивно­стью (если а||b и с||b в одном направлении, то а||с в со­ответствующем направлении). В направлении парал­лельности параллельные неограниченно сближаются, в противоположном направлении — неограниченно удаляются (в смысле расстояния от перемещающейся точки одной прямой до другой прямой). Ортогональная проекция одной прямой на другую является открытой полупрямой.

Расходящиеся прямые. Они имеют один общий перпендикуляр, отрезок которого дает минимальное расстояние. По обе стороны от перпендикуляра пря­мые неограниченно расходятся. Каждая прямая про­ектируется на другую в открытый отрезок конечной величины.

Трем типам прямых соответствуют на плоскости три типа пучков прямых, каждый из которых покрывает всю плоскость: пучок 1-го рода — множество всех прямых, проходящих через одну точку (центр пуч­ка); пучок 2-го рода — множество всех пря­мых, перпендикулярных к одной прямой (базе пуч­ка); пучок 3-го рода — множество всех пря­мых, параллельных одной прямой в заданном направ­лении, включающее и эту прямую.

Ортогональные траектории прямых этих пучков об­разуют аналоги окружности евклидовой плоскости: окружность в собственном смысле; эквидистанта, или линия равных расстояний (если не рассматривать базу), которая вогнута в сторону базы; предельная линия, или орицикл, ее можно рассматривать как окружность с бесконечно удаленным центром. Предельные линии конгруэнтны. Они не замкнуты и вогнуты в сторону параллельности. Две предельные линии, порожденные одним пучком,— концентричны (высекают на прямых пучка равные отрезки). Отношение длин концентрических дуг, заключенных между двумя прямыми пучка, убы­вает в сторону параллельности как показательная функ­ция расстояния х между дугами:

s' / s=e.

Каждый из аналогов окружности может скользить по самому себе, что порождает три типа однопараметрических движений плоскости: вращение вокруг собствен­ного центра; вращение вокруг идеального центра (од­на траектория — база, остальные — эквидистанты); вращение вокруг бесконечно удаленного центра (все траектории — предельные линии).

Вращение аналогов окружностей вокруг прямой по­рождающего пучка приводит к аналогам сферы: соб­ственно сфере, поверхности равных расстояний и орисфере, или предель­ной поверхности.

На сфере геометрия больших окружностей — обыч­ная сферическая геометрия; на поверхности равных расстояний — геометрия эквидистант, являющаяся планиметрией Лобачевского, но с большим значением к; на предельной поверхности — евклидова геометрия предельных линий.

Связь между длинами дуг и хорд предельных линий и евклидовы тригонометрические соотношения на предель­ной поверхности позволяют вывести тригонометрические соотношения на плоскости, то есть тригонометрические фор­мулы для прямолинейных треугольников. [5]
^ 2. Некоторые теоремы геометрии Лобачевского

Теорема 1. Сумма углов всякого треугольника меньше 2d.

Рассмотрим сначала прямоугольный треугольник ABC (рис. 2). Его стороны а, b, с изображены соответственно в виде отрезка евклидова перпендикуляра к прямой и, дуги евклидовой окружности с центром М и дуги евклидовой окружности с центром N. Угол С—прямой. Угол А равен углу между касательными к окружностям b и с в точке А, или, что то же, углу между радиусами NA и МА этих окружностей. Наконец, B = BNМ.

Построим на отрезке BN как на диаметре евклидову окружность q; она имеет с окружностью с одну только общую точку В, так как ее диаметр является радиусом окружности с. Поэтому точка А лежит вне круга, ограниченного окружностью q, следовательно,

А = MAN < MBN.

Отсюда в силу равенства MBN+В = d имеем:

А +В < d; (1)

поэтому A + B + C < 2d, что и требовалось доказать.


Рис. 2


Заметим, что с помощью надлежащего гиперболического движения любой прямоугольный треугольник можно расположить так, чтобы один из его катетов лежал на евклидовом перпендикуляре к прямой и; следовательно, использованный нами метод вывода неравенства (1) применим к любому прямоугольному треугольнику.

Если дан косоугольный треугольник, то разбиваем его одной из высот на два прямоугольных треугольника. Сумма острых углов этих прямоугольных треугольников равна сумме углов данного косоугольного треугольника. Отсюда, принимая во внимание неравенство (1), заключаем, что теорема справедлива для любого треугольника.

Теорема 2. Сумма углов четырехугольника меньше 4d.

Для доказательства достаточно разбить четырехугольник диагональю на два треугольника.

Теорема 3. Две расходящиеся прямые имеют один и только один общий перпендикуляр.

Пусть одна из данных расходящихся прямых изображается на карте в виде евклидова перпендикуляра р к прямой и в точке М, другая — в виде евклидовой полуокружности q с центром на и, причем р и q не имеют общих точек (рис. 3). Такое расположение двух расходящихся гиперболических прямых на карте всегда может быть достигнуто с помощью надлежащего гиперболического движения.


Рис. 3


Проведем из ^ М евклидову касательную MN к q и опишем из центра М радиусом MN евклидову полуокружность m. Ясно, что m —гиперболическая прямая, пересекающая и р и q под прямым углом. Следовательно, m изображает на карте искомый общий перпендикуляр данных расходящихся прямых.

Две расходящиеся прямые не могут иметь двух общих перпендикуляров, так кaк в этом случае существовал бы четырехугольник с четырьмя прямыми углами, что противоречит теореме 2.

. Теорема 4. Прямоугольная проекция стороны острого угла на другую его сторону есть отрезок (а не полупрямая, как в геометрии Евклида).

Справедливость теоремы очевидна из рис. 4, где отрезок АВ есть прямоугольная проекция стороны АВ острого угла ^ ВАС на его сторону АС.


Рис. 4


На том же рисунке дуга DE евклидовой окружности с центром М есть перпендикуляр к гиперболической прямой АС. Этот перпендикуляр не пересекается с наклонной АВ. Следовательно, допущение, что перпендикуляр и наклонная к одной и той же прямой всегда пересекаются, противоречит аксиоме параллельности Лобачевского; оно равносильно аксиоме параллельности Евклида.

Теорема 5. Если три угла треугольника ABC равны соответственно трем углам треугольника А'В'С', то эти треугольники равны.

Допустим обратное и отложим соответственно на лучах АВ и АС отрезки АВ = А'В', АС = А'С'. Очевидно, треугольники АВС и А'В'С' равны по двум сторонам и заключенному между ними углу. Точка B не совпадает с В, точка C не совпадает с С, так как в любом из этих случаев имело бы место равенство данных треугольников, что противоречит допущению.

Рассмотрим следующие возможности.

а) Точка В лежит между А и В, точка С — между А и С (рис. 5); на этом и следующем рисунке гиперболические прямые изображены условно в виде евклидовых прямых). Нетрудно убедиться, что сумма углов четырехугольника ВССВ равна 4d, что невозможно в силу теоремы 2.


Рис. 5

Рис. 6


6) Точка В лежит между А и В, точка С — между А и С (рис. 6). Обозначим через D точку пересечения отрезков ВС и BC Так как C = C' и C' = С, то C=С, что невозможно, поскольку угол С — внешний относительно треугольника CCD.

Аналогично трактуются и другие возможные случаи.

Теорема доказана, поскольку сделанное допущение привело к противоречию.

Из теоремы 5 вытекает, что в геометрии Лобачевского не существует треугольника, подобного данному треугольнику, но не равного ему. [9]
^ 1.3 Приложения геометрии Лобачевского
Н. И. Лоба­чевский уже в первой работе по геометрии Лобачевского показал, опираясь на впервые измеренные астрономами в те годы годичные параллаксы звезд, что если в физическом пространстве реализуется его геометрия, то в пределах Солнечной системы отклонения от евклидовой геометрии будут на несколько порядков меньше возможных ошибок измерений. Таким образом, первым приложением геометрии Лобачевского явилось обоснование практической точности евклидовой геометрии.

Н. И. Лобачевский применял свою геометрию в математическом анализе. Переходя от одной системы координат к другой в своем пространстве, он нашел значения около 200 различных определенных интегралов. Другие математические приложения были найдены А. Пуанкаре, который успешно применял геометрию Лобачевского при разработке теории автоморфных функций.

Значение геометрии Лобачевского для космологии было выявлено А. А. Фридманом. В 1922 он нашел решение уравнения Эйнштейна, из которого следовало, что Вселенная расши­ряется с течением времени. Это заключение впоследст­вии было подтверждено наблюдениями Э. Хаббла, обнаружившего разбегание удален­ных туманностей. Метрика, найденная А.А.Фридманом, дает при фиксированном времени пространство Лобачевского. Пространство скоростей специальной теории относительности является пространством Лоба­чевского.

Геометрия Лобачевского с успехом используется при изучении столкнове­ний элементарных частиц и при разработке других вопро­сов ядерных исследований.

Зрительное (перцептивное) восприятие близких об­ластей пространства человеком порождает эффект обратной перспективы, объясняемый тем, что геометрия этих областей перцептивного пространства близка к геометрии Лобачевского с радиусом кривизны около 15 м.

Создание геометрии Лобачевского явилось важным этапом в развитии учения о возможных свойствах пространства. Особен­ное значение это имело для оснований математики, т. к. принципы современного аксиоматического метода вы­рабатывались в значительной степени благодаря по­явлению геометрии Лобачевского.

Геометрия Лобачевского находит применение также в теории чисел, в её геометрических методах, объединённых под названием «геометрия чисел». Была установлена тесная связь геометрии Лобачевского с кинематикой специальной (частной) теории относительности. Эта связь основана на том, что равенство, выражающее закон распространения света

x+ y + z = ct

при делении на t, даёт

vx + vy + vz = c — уравнение сферы в пространстве с координатами vx, vy, vz — составляющими скорости по осям х, у, z (в «пространстве скоростей»). Преобразования Лоренца сохраняют эту сферу и, т. к. они линейны, переводят прямые пространства скоростей в прямые. Следовательно, согласно модели Клейна, в пространстве скоростей внутри сферы радиуса с, т. е. для скоростей, меньших скорости света, имеет место геометрия Лобачевского.

Замечательное приложение геометрия Лобачевского нашла в общей теории относительности. Если считать распределение масс материи во Вселенной равномерным (это приближение в космических масштабах допустимо), то оказывается, что при определённых условиях пространство имеет геометрия Лобачевского. Таким образом, предположение Лобачевского о его геометрии как возможной теории реального пространства оправдалось. [11]

^ Глава II. Модели геометрии Лобачевского
Перечислим наиболее известные классические изометричные (сохраняющие расстояние между точками) модели (интерпретации) плоскости Лобачевского, имеющую гауссову кривизну K = - 1:

  • интерпретация Бельтрами в круге;

  • интерпретация Бельтрами гиперболической геометрии на псевдосфере;

  • евклидова модель Кэли-Клейна;

  • проективная модель Кэли Клейна;

  • интерпретация Пуанкаре на полуплоскости;

  • интерпретация Пуанкаре внутри круга;

  • интерпретация Пуанкаре на гиперболоиде.

Рассмотрим некоторые из них.

^ 2.1 Модель (интер­претация) Бельтрами

Доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского проводится с помощью построения интерпретации (модели). Пер­вой такой интерпретацией явилась интер­претация Бельтрами, где установлено, что в евклидовом простран­стве внутренняя геометрия поверхности постоянной отрицательной гауссовой кривизны локально совпадает с геометрией Лобачевского (роль прямых играют геодезические линии поверхности). Поверхность тако­го типа называется псевдо­сферой.

В 1868 году Бельтрами показал, что геометрия Лобачевского реализу­ется на псевдосфере.

Геометрию Лобачевского часто называют гиперболической, т.к. гипер­бола обладает на проективной плоскости с фиксированной прямой d0 двумя несобственными точками и двумя асимптотами (касательными к овальной кривой в несобственных точках).

Прямая в плоскости Лобачевского также обладает двумя несобственными точками, в которых она пересекается с абсолютом.


Рис. 7


Одну из поверхностей, на которой выполняется геометрия Лобачевско­го, можно получить вращением трактрисы вокруг оси абсцисс. Это так назы­ваемая псевдосфера - поверхность отрицательной кривизны в евклидовом пространстве, на которой локально реализуется геометрия плоскости Лобачевского (рис. 8).

^ Т
Рис. 8

Рис. 9
рактриса - это кривая, длина касательной к которой постоянна (т.е. отрезок от точки касания до оси абсцисс есть
константа. (puс 9)
^ Псевдосфера - поверхность вращения в виде двух сложенных.

Прямой линией считаем гидезическую линию - т.е. линию кратчайше­го расстояния между точками. Бельтрами показал, что на псевдосфере реали­зуется часть площади Лобачевского. Псевдосфера - поверхность постоянной отрицательной кривизны (т.е. гиперболическая форма), т.к. сумма углов тре­угольника на ней меньше 2d. Сфера - поверхность положительной постоян­ной кривизны (сумма углов треугольника больше 2d). Эллиптическое пространство - положительная кривизна. Евклидово пространство имеет нуле­вую кривизну.[7]

^ 2.2 Модель Кэли – Клейна плоскости Лобачевского
Модель КэлиКлейна — первая модель всей плоскости Лобачевского. С помощью неё удалось доказать непротиворечивость геометрии Лобачевского в предположении непротиворечивости Евклидовой геометрии.

Чтобы перейти к построению одной из моделей геометрии Лобачев­ского покажем, как с помощью двойного отношения можно определить «расстояние» между точками а и b интервала (x,у). Положим

.

Легко проверить, что такое определение имеет смысл, т. е.



В самом деле, х—а < 0, х—b < 0, у—а > 0, у—b > 0. Ясно также, что р(а,а) = 0 и р{а,b) при и при . Кроме того. р(а,b) = р(b,а,. так как

.

Отметим, что ln[a,b,x,y] = - ln[a,b,x,y], поэтому нет необходимости различать точки х и у, т. е. задавать ориентацию интервала (х,у). Из тождества



следует, что ± р(а,b) ± р(b,с) ± р(с,а) = 0. Более тщательная проверка показывает, что если точка с лежит между а и b, то р(а, с) + р(с,b) = р(а,b).

Расстояние р(а,b) не изменяется при проективных преобразованиях прямой, сохраняющих интервал (х, у).

Определим модель Клейна плоскости Лобачевского. Точками модели Клейна являются внутренние точки некоторого круга. Расстояние между точками а и b определяется как р(а,b) для интервала (х,у), где х и у точки пересечения прямой ab с граничной окружно­стью данного круга. Если точки расположены в таком порядке, как на рис. 10, то ln[a,b,x,y] > 0. т. е. р(а,b) = ln[a,b,x,y] .


Рис. 10


Теорема 1. В модели Клейна прямыми являются хорды круга.

Доказательство. Нужно доказать, что р(а,c) + р(c,b) > р(а,b), причем если точка с не лежит на отрезке (a,b), то р(а, с) + р(c,b) > р(а,b). Пусть лучи ab и ba пересекают окружность в точках х и у соответственно, лучи ас и cа в точках х и y, лучи cb и bc в точках х и у (рис. 11). Тогда точка x' пересечения хорд хх и ху лежит на отрезке xb, а точка у пересечения хорд yу и ху лежит на отрезке ау. Пусть р - точка пересечения прямых ххи yу, c' - точка пересечения прямых рc и ху. Точка c' лежит на отрезке ab.


Рис. 11


Двойное отношение сохраняется при проекции одной прямой па дру­гую. Поэтому

[а, c, х, y] = [а, c,'.х', у']

[с, b, х, y] = [c', b, х', у']

(мы рассматриваем проекции из точки р на прямую ху).

Покажем, что [а, c,'.х', у'] > [а, c', .х, у] и [c', b, х', у'] > [c', b, .х, у]. Ины­ми словами, нужно доказать, что если точки а, b, .х, у расположены в та­ком порядке, как на рис. 10. то увеличение отрезка ху приводит к умень­шению двойного отношения [а, b, .х, у ]. Будем считать положительным направление луча ух. Тогда для увеличения отрезка ху к координате точки х нужно добавить положительное число. Второй конец отрезка оставим пока па месте. Двойное отношение при этом уменьшится, так как



Для второго конца отрезка доказательство аналогично.

В результате получаем неравенства

[а, c, х, y] = [а, c,'.х, у]

[с, b, х, y] = [c', b, х, у]

Следовательно,

[а, c, х, y][с, b, х, y]>[а, c,'.х, у] [c', b, х, у]=[a, b, x, y], т.е

p(a,c) + p(c,b) > p(a,b).

Геометрия Лобачевского, как и сферическая геометрия и геометрия плоскости, имеет достаточно большую группу изометрий, а именно, любую точку А можно перевести в любую другую точку В и при этом перевести любую прямую, проходящую через точку А, в любую прямую, проходящую через точку В. Чтобы доказать это, достаточно проверить, что существует преобразование плоскости, которое сохраняет двойное отношение, переводит данный круг в себя и переводит внутреннюю точ­ку А в любую другую внутреннюю точку В. В самом деле, такое пре­образование является изометрией. А для того, чтобы перевести любую прямую в любую другую прямую, можно точку А перевести в центр О круга, а затем точку О перевести в точку В. При этом любую пря­мую, проходящую через точку О, можно поворотом перевести в любую другую прямую, проходящую через точку О.

Теорема 2. Существует преобразование плоскости, которое сохраняет двойное отношение, переводит данный круг в себя и переводит его центр в произвольную внутреннюю точку.

Доказательство. Рассмотрим прямой круговой конус с вершиной S. Сечение конуса плоскостью, перпендикулярной его оси, является окруж­ностью с диаметром PQ и центром О. Рассмотрим также сечение конуса плоскостью, проходящей через точку О и перпендикулярной плоскости SPQ (конус мы считаем бесконечным в одну сторону). Если точка Q принадлежит интервалу QR (рис. 12), то рассматриваемое сечение явля­ется эллипсом.


Рис. 12


На плоскости ^ П', содержащей этот эллипс, и на плоскости П, содер­жащей окружность с диаметром PQ, можно ввести координаты так, что окружность и эллипс совпадут при отождествлении точек с одинаковы­ми координатами. При этом в качестве начала координат мы выберем соответственно центр эллипса и центр окружности, а в качестве оси Ох выберем прямые P'Q' и PQ. Тогда точка О, лежащая внутри эллипса, отождествляется с такой точкой O круга, что Р'О : OQ' = PO : OQ.

При перемещении точки Q' по отрезку QR отношение Р'О : OQ изменяется от 1 до . Поэтому точка O может быть любой точкой, лежащей внутри отрезка OQ.

Искомым преобразованием является композиция отображений f : П П и g : П П где f - проекция из точки S, а g - отожде­ствление точек с одинаковыми координатами. [8]
^ 2.3 Модели Пуанкаре
Конформно-евклидова модель Пуанкаре — модель пространства Лобачевского, предложенная Анри Пуанкаре в 1882 году в связи с задачами теории функций комплексного переменного. Существуют разновидности модели — в круге и на полуплоскости для планиметрии Лобачевского, а также в шаре и в полупространстве — для стереометрии Лобачевского, соответственно.

Модель Пуанкаре примечательна тем, что в ней углы изображаются обычными углами (т. е. модель Пуанкаре конформна) в отличие от модели Клейна, в которой определение углов производится гораздо сложнее.

1. Модель Пуанкаре в круге

В
Рис.
модели Пуанкаре в круге за плоскость Лобачевского принимается внутренность круга (рис.14) в евклидовом пространстве; граница данного круга (окружность) называется «абсолютом». Роль прямых выполняют содержащиеся в этом круге дуги окружностей (a,b,b'), перпендикулярных абсолюту, и его диаметры; роль движений — преобразования, получаемые комбинациями инверсий относительно окружностей, дуги которых служат прямыми.


Рис. 14

Рис. 13


Выясним, как устроены прямые в модели Пуанкаре. Хорде АВ со­ответствует сечение южной полусферы плоскостью, перпендикулярной экватору. Это сечение представляет собой полуокружность, перпендикулярную экваториальной окружности (рис. 13). При проекции из полю­са на экваториальную плоскость эта полуокружность переходит в дугу окружности, перпендикулярной экваториальной окружности. Таким образом, для модели Пуанкаре в круге прямыми являются дуги окружностей перпендикулярных граничной окружности данного круга.

Для модели Пуанкаре данный круг удобно считать единичным кру­гом на комплексной плоскости.

Для точек комплексной плоскости, как и для точек вещественной пря­мой, можно рассмотреть двойное отношение

[z,z,z,z]=

В этом случае двойное отношение является, вообще говоря, комплексным числом.

Нетрудно убедиться, что если точки Z и W лежат на хорде АB, a Z и W - соответствующие точки модели Пуанкаре, то

|[А, В, Z, W]| =|[А,В, Z, W]|2.

В самом деле, стереографическая проекция является ограничением пространственной инверсии, поэтому она сохраняет двойное отношение. Кроме того,

AZ : ZB = = AC : BC

Таким образом, |lп[А, В, Z,W]| = 2|ln |[А, В, Z',W']||.

p(Z,W) =|lп[А, В, Z,W]|. Поэтому

p(Z', W') = 2| ln |[А, В, Z', W]||.

По аналогии с бесконечным семейством различных сферических геоме­трии (для разных радиусов R мы получаем разные геометрии) мож­но получить бесконечное семейство геометрий Лобачевского, положив p(Z, W) =|lп[A, В, Z, W]|. Роль параметра с в геометрии Лобачевско­го во многом аналогична роли радиуса R в сферической геометрии.
Метрикой ds плоскости Лобачевского в модели Пуанкаре в единичном круге является: , где x и yоси абсцисс и ординат, соответственно.

Аналогично, в модели Пуанкаре в шаре роль абсолюта выполняет граничная сфера в трёхмерном евклидовом пространстве, а пространством Лобачевского является внутренность шара.[6]

^

2. Модели Пуанкаре на полуплоскости и в полупространстве


В модели Пуанкаре на полуплоскости за плоскость Лобачевского принимается верхняя полуплоскость. Прямая, ограничивающая полуплоскость (т. е. ось абсцисс), называется «абсолютом». Роль прямых выполняют содержащиеся в этой полуплоскости полуокружности с центрами на абсолюте и начинающиеся на абсолюте перпендикулярные ему лучи (т. е. вертикальные лучи). Роль движений — преобразования, получаемые композицией конечного числа инверсий с центром на абсолюте и осевых симметрий, оси которых перпендикулярны абсолюту.

Эта модель геометрии Лобачевского получается, отображением единичного круга на верхнюю полуплоскость Н = {х + iу | у > 0} с помощью дробно линейного отображения. Для этой цели годится, на­пример, отображение .

В самом деле, , поэтому

Дробно линейные преобразования переводят прямые и окружности в прямые и окружности. Кроме того, они сохраняют углы. Поэтому в верхней полуплоскости Н гиперболическими прямыми являются вертикальные лучи и полуокружности, центры которых лежат на действи­тельной оси.

Дробно линейные отображения сохраняют двойное отношение, по­этому расстояние между точками в модели Пуанкаре в верхней полуплос­кости определяется следующим образом. Пусть гиперболическая прямая АВ подходит к вещественной оси в точках X и Y (рис. 15). Тогда

р(А,В) =с|ln[A, B, X, Y]|.

В том слу­чае, когда гиперболическая прямая является евклидовым лучом, положим Y = т. е. . Для положительного луча мнимой оси формула для вычисления гиперболического расстояния принимает осо­бенно простой вид: p(ia, ib) = c|ln(a/b)|.[8]


Рис. 15


Выясним теперь, как устроены движения плоскости Лобачевского. Любое дробно-линейное преобразование, сохраняющее верхнюю полуп­лоскость Н, является движением плоскости Лобачевского. Пусть а, b, c, d. Легко проверить, что отображения , где adbc > 0, и , где adbc < 0, сохраняют верхнюю полуплоскость. В самом деле,

Метрика ds плоскости Лобачевского в модели Пуанкаре в верхней полуплоскости имеет вид: .

Соответственно, в модели Пуанкаре в полупространстве роль абсолюта выполняет плоскость в трёхмерном евклидовом пространстве, а пространством Лобачевского является лежащее на этой плоскости полупространство.[6]

Введение тех или иных координат позволяет получать различные аналитические модели плоскости Лобачевского. А. Пуанкаре была предложена (1887 год) модель геометрии Лобачевского как геометрии плоских диаметральных сечений на одной из полостей двуполостного гиперболоида, которую можно трактовать и как геометрию сферы чисто мнимого ради­уса в псевдоевклидовом пространстве. Указанные мо­дели обобщаются на случай n-мерного пространства.[5]


Заключение

Геометрия Лобачевского представляет теорию, богатую содержанием и имеющую применение как в математике, так и в физике. Историческое её значение состоит в том, что её построением Лобачевский показал возможность геометрии, отличной от евклидовой, что знаменовало новую эпоху в развитии геометрии и математики.

Источником геометрии Лобачевского послужил вопрос об аксиоме о параллельных, которая известна также как V постулат Евклида. Этот постулат, ввиду его сложности в сравнении с другими, вызвал попытки дать его доказательство на основании остальных постулатов.

Главная особенность нового периода в истории геометрии, начатого Лобачевским, состоит в развитии новых геометрических теорий — новых «геометрий» и в соответствующем обобщении предмета геометрия; возникает понятие о разного рода «пространствах». При этом одни теории складывались внутри евклидовой геометрии в виде её особых глав и лишь потом получали самостоятельное значение. Так складывались проективная, аффинная, конформная геометрии и другие, предметом которых служат свойства фигур, сохраняющиеся при соответствующих (проективных, аффинных, конформных и др.) преобразованиях. Возникло понятие проективного, аффинного и конформного пространств; сама евклидова геометрия стала рассматриваться в известном смысле как глава проективной геометрии. Другие теории, подобно геометрии Лобачевского, с самого начала строились на основе изменения и обобщения понятий евклидовой геометрии. Так, создавалась, например, многомерная Геометрия, первые относящиеся к ней работы (Геометрия Грасман и А. Кэли, 1844 год) представляли формальное обобщение обычной аналитической геометрии с трёх координат на n. Некоторый итог развития всех этих новых «геометрий» подвёл в 1872 Ф. Клейн, указав общий принцип их построения.

Геометрия Лобачевского продолжает разрабатываться многими геометрами; в ней изучаются: решение задач на построение, многогранники, правильные системы фигур, общая теория кривых и поверхностей и т. п. Ряд геометров развивали также механику в пространстве Лобачевского. Эти исследования не нашли непосредственных применений в механике, но дали начало плодотворным геометрическим идеям. В целом геометрия Лобачевского является обширной областью исследования, подобно геометрии Евклида.

Литература

  1. Александров П. С., Что такое неевклидова геометрия, М., 1950;

  2. Иовлев Н.Н., Введение в элементарную геометрию и тригонометрию Лобачевского, Москва, 1930;

  3. Каган В. Ф., Лобачевский и его геометрия. Общедоступные очерки, М., 1955;

  4. Клейн Ф.К. Неевклидова геометрия, пер.Брушлинского Н.К., М - Л, 1936;

  5. Математическая энциклопедия в 5 томах, том 3. Москва;

  6. Погорелов А. В., Основания геометрии, 3 изд., М., 1968;

  7. Подаева Н.Г., Жук Д.А Лекции по основам геометрии – Елец.: ЕГУ, 2005. - 62с.

  8. Прасолов В.В., Геометрия Лобачевского, Издание третье исправленное и дополненное, МЦНМО, 2004;

  9. Смогоржевский А.С., О геометрии Лобачевского, Государственное издательство технико – теоретической литературы, выпуск 23, Москва, 1957;

  10. Широков П. А., Краткий очерк основ геометрии Лобачевского, М., 1955;

  11. Яглом И.М., Геометрические преобразования II том. Под ред. Э.П.Тихонова, Москва, 1956.



Скачать файл (1483 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru