Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Лекции по ЭММ - файл 1.doc


Лекции по ЭММ
скачать (586.5 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc587kb.01.12.2011 13:27скачать

содержание
Загрузка...

1.doc

  1   2
Реклама MarketGid:
Загрузка...
ТЕМА 1. Характеристика экономико-математических методов
Экономика представляет собой сложную, вероят­ностную, динамическую систему.

Система - множество элементов, находящихся в отношениях и связях друг с другом, образующих опреде­лённую целостность, единство. Экономика - это целостное образование, часто имеющее новые качественные характеристики, которые могут и не содержаться в её частях. Связь между отдельными компонентами экономики настолько тесна и существенна, что изменения в одном из них должно вызывать изменения в его других частях. Комплекс изменений в отдельных частях может вызвать необратимые изменения системы в целом. Функционирование системы как единого целого обеспечивается связями между её элементами стохасти­чески, поскольку в экономике они складываются под воз­действием рыночного механизма. Важнейшей характеристикой системы является её разнообразие, которое определяется числом различимых состояний системы, что предполагает многовариантность возможных решений.

Именно поэтому такую систему называют сложной. Основным методом исследования сложных систем является метод моделирования. Используя его, не следует забывать по­нятия аналогии. Модель может во многих отношениях отли­чаться от самого объекта исследования, но непременно должна иметь подобие, аналогию с этим объектом, прежде всего в от­ношении тех характеристик, которые подлежат изучению и про­гнозированию. Модель какой-либо сложной системы тоже представляет собой систему. Таким образом, можно сказать, что модель - это физичес­кая или знаковая система, имеющая объективное подобие с ис­следуемой системой в отношении функциональных, а часто и структурных характеристик, являющихся предметом исследо­вания.

Для построения знаковых моделей может использоваться, в принципе, любой язык - естественный, алгоритмический, гра­фический, математический. Математическая модель представляет собой совокупность уравнений, неравенств, функционалов, логических условий и других соотношений, отражающих взаимосвязи и зависимости основных характеристик моделируемой системы.

^ Особенности применения метода математического моделирования в экономике.

Первая особенность связана с необходимостью при модельном исследовании сохранить целостность системы.

^ Второй особенностью является отсутствие полностью однородных объектов как на микро-, так и на макроуровнях, что затрудняет перенос результатов исследований с одного объекта на другой.

^ Третьей особенностью является непрерывное изменение изучаемых экономических объектов во времени. Динами­ческий характер процессов связан с изменением параметров и структуры экономических систем, что требует периодической «поднастройки» моделей.

^ Четвёртая особенность применения математического моделирования в экономике связана с факторами случайности и неопределенности.

Классификация экономико-математических моделей позво­ляет, с одной стороны, их упорядочить, систематизировать, а с другой - более детально разобраться в самой сущности моде­лирования экономических процессов.

По глубине временного горизонта модели подразделяются на модели долгосрочного прогнозирования, перспективные, среднесрочные и текущие.

По характеру требований, предъявляемых к результатам решения задач, модели экономических процессов могут быть либо балансовыми, либо оптимизационными.

По степени агрегированности модели можно разде­лить на макроэкономические, описывающие экономику как единое целое, и микроэкономические, связанные с предприя­тиями, фирмами.

Модели разделяются на статические и динамические. В статических моделях не учитывается время как фактор, изме­няющий основные характеристики изучаемого объекта. Дина­мические модели включают фактор времени: время может фи­гурировать в них как самостоятельная переменная величина, влияющая на конечные результаты; параметры и переменные показатели также могут выступать как функции времени.

Следует разделять такие модели, как изыскательские и нор­мативные. Первые основаны на продолжении в будущем тен­денций, взаимосвязей, сложившихся в прошлом и настоящем. Вторые определяют пути, ресурсы, сроки достижения в буду­щем возможных состояний объекта, отвечающих поставленным целям.

В зависимости от способов получения элементов, из ко­торых составляется модель, они подразделяются на индук­тивные и дедуктивные. Индуктивные модели составляют­ся, главным образом, из элементов, взятых из опыта, при этом чаще всего используются статистические показатели (прикладные модели). Составление дедуктивных моделей основывается на различных теориях или гипотезах о свой­ствах моделируемого явления (теоретические модели).

По соотношению эндогенных (внутренних) и экзоген­ных (внешних) переменных модели могут разделяться на открытые и закрытые. Особое место занимают равновесные модели, широко используемые в рыночной экономике. Они дескриптивны, описательны.

Модели можно классифицировать также и по их предназначению: балансовые, трендовые, оптимизацион­ные, имитационные, очередей и т.д.

Наконец, модели можно классифицировать по типу ис­пользуемого математического аппарата: матричные, линей­ного и нелинейного программирования, регрессионные и т.д.

По степени структуризации народнохозяйственных процес­сов модели делятся на однопродуктовые и многопродуктовые, на многоотраслевые и одноотраслевые, на одноэтапные и мно­гоэтапные.

По характеру требований, предъявляемых к результатам решения задач, модели экономических процессов могут быть либо балансовыми, либо оптимизационными.

^ Этапы экономико-математического моделирования.

Первый этап - Определение цели исследования и постанов­ка экономической задачи. Этот этап предполагает на основе выбранной цели чёткое формулирование проблемы, связанное с идентифи­кацией объекта во внешней среде, а также его внутренней структурой. Здесь же формулируются рабочие гипотезы, отвечающие целям исследования.

^ Второй эта - Формализация проблемы. Обычно сначала конструируется дедуктивная модель, а затем уточняются её детали. Выводы из экономической модели выражаются в форме гипотез, которые представляют собой утвержде­ния о причинах и следствиях, которые могут быть подтверждены или опровергнуты фактами.

^ Третий этап- Сбор и обработка информации. Информа­ция должна удовлетворять следующим требованиям: объём информации должен быть достаточен, чтобы получить надёжные выводы; информация должна быть достоверной, типичной. Следует проверить, не противоречат ли принятые гипотезы полученным данным.

^ Четвёртый этап- Построение рабочей модели явления. Дедуктивная модель корректируется на основе анализа собранной информации.

Пятый этап- Численное решение модели. Выбирается или разрабатывается алгоритм численного решения задачи и математическое обеспечение для вычислительной техники. Выполняются расчёты. Модель из дедуктивного состояния переходит в индуктивное.

^ Шестой этап- Интерпретация численных результатов. Проверяется адекватность модели по существенным свойствам объекта.

Математические модели, основанные на экономичес­ком анализе, обогащают его полученными количес­твенными оценками явлений. В процессе работы над моделью удаётся, сохранив качественную сторону явления, несколько уточнить логическую структуру связей, описывающих исследуемый экономический процесс.

Таким образом, моделирование экономических явлений - теоретическая основа применения математики в экономике.

^ ТЕМА 2. Балансовые модели
Для анализа и планирования производства и распределения продукции на различных уровнях — от экономики в целом до отдельного предприятия применяется межотраслевой балан­совый метод.

Сущность балансовых моделей заключается во взаимной увязке имеющихся ресурсов и потребностей в них. Под балансовой моделью понимается система линейных уравнений, каждое из которых выражает требование баланса между затратами и результатом. Важнейшими видами балансовых моделей являются:

  1. частные балансы (материальные, трудовые, финансовые).

  2. межотраслевые балансы (статистические и динамические).

  3. матричные модели на уровне предприятия - техпромфинпланы (сводится воедино вся деятельность предприятия).

  4. межотраслевые региональные балансы.

По своей математической основе балансовые модели относятся к матричным экономико-математическим моделям.

Первая попытка реализации балансового метода в нашей стране в 23-24 хозяйственном году. В.Леонтьев (профессор Гарвардского университета) разработал модель анализа структуры воспроизводства в разрезе детальной классификации отраслей. Первая работа была опубликована в 1936 году.

В качестве исходного момента своей модели он рассмотрел схемы общего экономического равновесия предложенные еще Вальрасом (1874г.). Он заимствовал у него идею технологических коэффициентов затрат, которые в нашей экономике называются прямыми затратами, а также предпосылку о независимости этих коэффициентов от объема выпуска продукции в такой модификации метод получил название «затраты - выпуск».

^ Принципиальная схема межотраслевого баланса производства и распределения общественного продукта в стоимостном выражении.





1

2



n

Конечный продукт, У

Валовой продукт, Х

1

Х11

Х12



Х1n

Y1

Х1

2

Х21

Х22



Х2n

Y2

Х2















n

Хn1

Хn2



Хnn

Yn

Хn

Амортизация C

C 1

C2



Cn

Cконеч

-

Оплата труда V

V1

V2



Vn

Nконеч

-

Чистый доход M

m1

m2



mn

mконеч

-

Валовой продукт, Х

Х1

Х2



Хn

-

Х


Основу баланса составляет совокупность всех отраслей материального производства (п отраслей). Каждая отрасль дважды фигурирует в балансе: как производящая и как потреб­ляющая. Отрасли как производителю продукции соответству­ет определенная строка, как потребителю продукции — опре­деленный столбец. Обозначим через i номер производящей от­расли, а через j— потребляющей отрасли. Величины хц пока­зывают стоимость средств производства, произведенных в i - ой отрасли и потребленных в j -ой отрасли.

Рассмотрим схему МОБ в разрезе её основных состав­ных частей. Выделяются четыре квадранта, которые в таблице отмечены римским цифрами.

В I квадранте содержатся межотраслевые потоки средств производства. Они отражают межотраслевые материальные связи по использованию продукции на текущее производственное потребление. Он представляет собой квадратную матрицу, которую называют «шахматкой» производственного потребления.

Каждый элемент матрицы имеет двойной смысл: величина распределяемой продукции (по горизонтали), величина производственных материальных затрат (по вертикали).

Во П квадранте представлена конечная продукция всех отраслей материального производства. Под конечной понимает­ся продукция, входящая из сферы производства в область конечного использования - на потребление и накопление. В раз­вернутой схеме баланса конечная продукция каждой отрасли
показана дифференцированно по направлениям использования:
на личное потребление населения, общественное питание, на
накопление, возмещение потерь, экспорт и др. При отражении
в I квадранте амортизационных отчислений конечная продукция не отличается от национального дохода. Таким образом,
II квадрант характеризует отраслевую материальную структуру национального дохода, его распределение на фонды накоп­ления и потребления, структуру потребления и накопления —
по отраслям производства и потребления.

^ Третий квадрант МОБ характеризует национальный доход, но уже со стороны его стоимостного состава. Он представлен суммой чистой продукции и амортизации. Но сумма оплаты труда и чистого дохода отраслей - чистая продукция. А если к чистой продукции прибавить амортизацию, то получим условно-чистую продукцию.

Таким образом, третий квадрант отражает условно-чистую продукцию отраслей, которую далее будем обозначать через z .

Данные третьего квадранта необходимы для анализа соотношений между вновь созданной и перенесённой стоимостью, между величиной необходимого и приба­вочного продукта в целом по материальному производству и в отраслевом разрезе.

^ Четвёртый квадрант показывает конечное распре­деление и использование национального дохода. Данные этого квадранта важны для отражения в модели баланса доходов и расходов населения, источников финанси­рования капитальных вложений, текущих затрат непроиз­водственной сферы, для анализа общей структуры конечных доходов по группам потребителей.

Валовая продукция отраслей не входит ни в один квадрант, но она есть. Присутствие валовой продукции позволяет проверить правильность составления баланса (стянуть угол).

Таким образом, в общей схеме межотраслевого баланса общественного продукта ортогонально совмещается два частных баланса: материальный (1 и 2 квадранты) и баланс затрат (1 и 3 квадранты).

^ Математические зависимости в модели межотраслевого баланса.

Сущность межотраслевого баланса отражают два важных соотношения. Рассмотрим схему по вертикали. Очевидно, что валовая продукция (Хj)

Хj = С ij + Vij + mij
(1) Хj = + Zj просуммируем по j

(2) Хi = + Yi по i
= +

=> = (3)

= +

– итог 3 квадранта, а – 2 квадранта. Уравнение (3) показывает, что в межотраслевом балансе действует принцип единства материального и стоимостного состава национального дохода. Равенство наблюдается не всегда, => отклонение в пределах 5-10%.

Для того чтобы математическая зависимость (2) стала зависимостью в явной форме необходимо ввести в нее функцию затрат, т.е. указать идеологию взаимоотношений между затратами и результатами. Вальрас установил, что между затратами и результатами существует линейная зависимость:
xij = aij * xj (4)

где aijкоэффициент пропорциональности. Эта величина называется коэффициентом прямых затрат. Коэффициенты прямых затрат показывают, сколько единиц продукции i-й отрасли непосредственно затрачивается на вы­пуск единицы продукции j-й отрасли. Эти коэффициенты образуют матрицу прямых затрат.

Введем в соотношение (4) соотношение (2):
(5)

получим модель межотраслевого баланса в векторной форме:
Х = АХ + У (6)
Модель (6) позволяет решить три базовые задачи в экономике:

  1. по известной валовой продукции можно найти конечную:

ЕХ = АХ +У; (Е - А)Х = У.

  1. по известной конечной можно найти валовую:

Х = (Е - А)-1У.

  1. если для ряда отраслей известна валовая, а для всех остальных конечная, то можно найти недостающие параметры, если общее число уравнений ≤ числа переменных.

В = (Е - А)-1 - матрица полных затрат. Полные затраты представляют собой коэффициенты взвешивания при формировании валовой продукции.

хi = ∑ вijyi ; В = ||вij|| i,j

В условиях рынка важным показателем эффективного развития экономической системы являются цены. Выводим уравнение цен.

Пусть Рj – цена единицы продукции j;

Рi - цена единицы ресурса i;

rj – коэффициент условно чистой продукции на единицу объема

производства.

Перепишем (1) с учетом (4) и введем цены:
Хj = ∑aij*xj + Zj (7)
Рj Хj = ∑ Рi aij*xj + rj Хi
Рj = ∑ Рi aij + rj (8)

P = PA + r (9)

P = r(E - A)-1 (10)

Получено уравнение цен, в котором Р - вектор-строка цен, г - вектор - строка коэффициентов условно-чистой продукции, а (Е - А)1 - матрица полных затрат.

^ ТЕМА 3. Динамическая модель межотраслевого баланса
Представленная статистическая модель межотраслевого баланса разрабатывается лишь для отдель­но взятых периодов, причем в рамках этих моделей не устанав­ливается связь с предыдущими или последующими периодами. В отличие от статических схем, динамические модели призва­ны отразить не состояние, а процесс развития экономики, устано­вить непосредственную взаимосвязь между предыдущими и пос­ледующими этапами развития и тем самым приблизить экономи­ко-математический анализ к реальным условиям производства.

Рассмотрим динамическую модель, являющуюся развитием статической межотраслевой модели. Математическая зависимость между величиной капита­ловложений и приростом продукции служит основой построе­ния динамической системы уравнений.

Динамическая модель межотраслевого баланса

Межотраслевые потоки

Прирост основных фондов в отраслях

Конечный продукт

Валовая продукция

frame1





…………………








В первом квадранте динамического баланса наряду с межотраслевыми потоками текущих затрат фиксируются межотраслевые потоки инвестиций, направляемые на прирост основных фондов . Между конечной продукцией в статистической модели и конечной продукцией Zi имеется различие в том, что переменные Zi не включают в свой состав материальные ресурсы, используемые на прирост стоимости основных фондов.

Таким образом, справедливы следующие соотношения:

(1)

Тогда, если в соотношении подставить соотношение (1) получим . В этом соотношении xij = aij * xj . Если представить прирост основных фондов в виде уравнения , где bij является коэффициентом приростной фондоемкости, - прирост валовой продукции в j – ой отрасли, измеряемый как разность абсолютных уровней за периоды t и t-1.

(2).

Коэффициенты приростной фондоемкости показывают, какое количество продукции отрасли I необходимо направить в отрасль j в виде инвестиций для увеличения производственной мощности j – ой отрасли на единицу готовой продукции:

.

При определении bij допускают, что процессы увеличения выпуска продукции прироста мощности осуществляются без временного лага, то есть без запаздывания во взаимодействии признаков и . Таким образом:
(3).

Так как имеется соотношение 2, то система позволяет установить объемы валовой продукции в момент времени t в зависимости от производства в предшествующем периоде (t-1). Система 3 представляет собой систему линейных разностных уравнений

Если в соотношение 3 добавить соотношение 2 тогда имеем:

.

Отсюда следует:

.

Для реализации вычислительной процедуры необходимо информацию о векторе валовой продукции в начальный момент времени (t=0), а также стоимости конечной продукции, требуемой в прогнозном периоде. В матричном виде алгоритм расчета вектора валовой продукции в прогнозном периоде имеет вид:

.

В динамической модели особую роль играют коэффициенты приростной фондоемкости bij. Они образуют квадратную матрицу, содержащую элементов:

.

Каждый столбец коэффициентов характеризует для соответствующей отрасли величину и структуру фондов, необходимых для увеличения на единицу ее производственной мощности, то есть выпуска продукции.

Модель межотраслевого баланса отражает по существу мультипликационный эффект производства и использования конечного продукта, и может служить средством прогнозирования экономического роста.

ТЕМА 4. ^ Моделирование поведения потребителей. Функции покупательского спроса.
1. Анализ простой модели поведения потребителей.

Пусть имеется n видов товаров. Исследуется поведение какой-либо или всей совокупности потребителей. Спрос потребителей задан и представляется некоторым вектором с n координатами: У = (уi), i = 1,n. Помимо спроса известны также цены на предлагаемые рынком товары: Р = (рi), i = 1,n. Относительно потребителя известен доход D. В этих условиях требуется построить оптимальную модель поведения потребителя. Очевидно, что имея доход D потребитель будет стремится использовать его самым рациональным способом.

- бюджетное ограничение.

Предполагается, что предпочтения потребителей на множестве товаров представляется некоторой функцией предпочтения U = U). Целевая функция предпочтения - одна из наиболее общих математических конструкций в сфере потребления. Она всегда определяется на более узком множестве благ по сравнению с целевой функцией предпочтения (благосостояния).

В пространстве n потребительских благ уравнение U(У) = С, где С – задано, определяет поверхность равноценных (безразличных) наборов благ. В теории потребления такие поверхности получили название поверхностей безразличия.

Простая модель поведения потребителей имеет вид:

Требуется определить вектор ^ У, который удовлетворяет следующим условиям:

«1». У ≥ 0 (спрос существует);

«2». , т.е. РУ ≤ D;

«3». U(У) → max.

Постулированный принцип оптимального поведения потребителей отражает генеральную тенденцию многочисленных актов потребительского выбора, а построенная модель представляет собой лишь одно из возможных математических описаний такой тенденции.

Для учета в модели денежных сбережений населения можно использовать два подхода:

- считать денежные сбережения благом, имеющим полезность (его увеличение ведет к росту целевой функции);

- определять размер сбережений вне модели, т.е. экзогенно, рассматривая доход как общую сумму расходов на приобретение товаров.

Рассмотрим геометрическое решение поставленной задачи на множестве двух товаров.



Функция полезности представляет собой нелинейную функцию. И в зависимости от того какое С, ф-я U(У) будет принимать свое положение. В т.А возможности и желания потребителя совпали. Следовательно, т.А – решение поставленной задачи.

С точки зрения математики построенная модель относится к классическим нелинейным задачам математического программирования. Поэтому решается задача методами нелинейного программирования.

Для решения этой задачи воспользуемся функцией Лагранжа:

L(У, λ) = U(У) + λ(D - PY)

Множитель Лагранжа представляет собой оптимальную оценку дохода. Каждый товар имеет в своем пространстве предельную полезность:

- предельный полезный эффект.

Необходимым условием оптимума для ^ У является условие Куна-Таккера, которое для нашего случая может быть записано следующим образом:

ui(Yопт) ≤ λоптРi ; i = 1,n

Построенное соотношение может реализоваться в виде двух случаев:
1 исход: Ui(Yопт) = λоптРi ;

теория двойственности утверждает, что если в одной задаче условие закреплено, то во второй оно будет свободно, т.е. Yiопт > 0. Это значит, что товар продается на рынке.
2 исход: Ui(Yопт) < λоптРi ; Yiопт = 0 – товар не продается.

Очевидно, что λопт > 0 будет соответствовать полному использованию дохода. Иначе говоря – при Yопт условие РУопт = D (выполняется как равенство);
1-й исход можно расписать следующим образом:


yi>0

Такой подход позволяет построить соотношение цен для 2 товаров. Пусть рассматривается 2 товара: k-й и j-й. Тогда их полезности в оптимальном варианте должны относится также как их цены:

, т.е. потребители должны выбирать товары так, чтобы отношение предельной полезности к цене товара было бы одинаковым для всех товаров, или, что равносильно – предельные полезности выбираемых товаров должны быть пропорциональны ценам.
Основным направлением использования рассмотренной модели является :

  • изучение зависимостей покупательского спроса от цен и доходов;

  • построение целевой функции потребления;

  • регулирование цен и доходов для достижения сбалансированного спроса и предложения.

В рассмотренной модели допускается, что выбор потребителей ограничен только величиной дохода, однако реальная экономика многофакторна. Рассмотренная модель допускает расширение путем введения дополнительных условий в «2». Вместе с тем, каждое введение дополнительного условия будет сужать ОДЗ и тем самым ухудшать позицию оптимума, так как оставляет меньше возможностей выбора.
^ 2. Функции покупательского спроса.

К основным факторам, действующим на объем и структуру спроса и потребления населения относятся:

- доходы потребителей;

- уровень и соотношение цен на потребляемые товары;

- размер и состав семьи.

Основным принципом теории покупательского спроса является принцип рационального поведения потребителей: допускается, что потребители в любом конкретном случае ведут себя рациональным образом в отношении выбора различных видов благ. Значение принципа определяется тем, что по фактическим актам принятия покупателем решения экономика судит о том каковы целевые функции покупателей.

Большой интерес представляет изучение зависимости спроса от дохода. Мировая экономика опирается на типовые кривые спроса от дохода, предложенные шведом Торнквистом. Для изучения спроса на предметы первой необходимости он предложил дробно-линейную функцию:



рост спроса постепенно замедляется, т.к. .

Спрос на предметы не первой необходимости:

;

- спрос существует когда .

Спрос на предметы роскоши:



Спрос неограничен, т.к. .




ТЕМА 5. ^ Паутинообразная модель.
Паутинообразная модель – динамический вариант модели спроса и потребления на конкурентном рынке.

Пусть какой-либо рынок отдельного товара характеризуется функцией спроса D = D(p) (не нарушается принцип однородности). Кроме того, также известна и функция предложения S = S(p), в качестве аргумента обе функции содержат цену. Для существования равновесия цена должна быть такой, чтобы весь предложенный товар на рынке был продан, в этом случае формируется цена равновесия . Уравнение D(p) = S(p) может иметь множество решений, а критерий оптимальности позволяет найти одно из них. Равновесной цене соответствует равновесный объем продаж . В этом случае уравнение приобретает вид = D() = S ().

Динамическая модель получается при наличии запаздывания спроса или предложения. Простейшая модель в дискретном анализе включает неизменное запаздывание или отставание предложения на 1 интервал.

Dt = D(pt) – спрос в динамическом варианте;

St = S(pt-1) – предложение в динамическом варианте.

Это может случиться, если для производства рассматриваемого товара требуется определенный период времени выбранный за интервал.

Действие модели таково: при заданной цене предшествующего периода объем предложения на рынке в текущем периоде равен S(pt-1) и величина цены pt должна установиться так, чтобы был продан или куплен весь объем предложенного товара. Иными словами, цена данного периода и объем покупок (продаж) данного периода характеризуется уравнением: хt = D(pt) = S(pt-1) (*).

Итак, зная начальную цену р0 на рынке с помощью этих уравнений можно получить последовательные пары событий, в которые входят цена и объем продаж. В общем изменение цены характеризуется конечно-разностным уравнением 1-го порядка (одноинтервальное отставание).

Данную модель легко представить графически:



Цена в начальный момент равна р0, соответствующая ей точка на кривой S даст V предложения в 1 период. Весь этот предложенный объем товара раскупится уже при другой цене, которую определит точка Q2 на кривой D. Обращает на себя внимание тот факт, что эта точка имеет ту же ординату, что и предыдущая. На этом заканчивается формирование 1-го этапа.

Во 2-й период времени движение происходит сначала по вертикали от Q2 до S. Проведя горизонталь от этой точки до оси мы получим на кривой D точку Q3, которая характеризуется своей ценой р2 и все начинается сначала.

Цены и объем покупок (продаж) в последовательные периоды времени являются соответственно координатами точек Q2, Q3 и т.д. на кривой D. Эта последовательность сходится в точке Q, которая отражает ситуацию равновесия между спросом и предложением. Легко видеть, что точки этой последовательности поочередно располагаются на левой и правой стороне от точки равновесия Q. Точно также ведет себя вектор цен, который сходится к равновесной цене. Координаты вектора цен также находятся поочередно по обе стороны от равновесной цены. Точно также обстоит дело с объемом покупок (продаж).

Предположим, что кривая ^ D идет вниз, а кривая S вверх, тогда ясно, что движение с затухающими колебаниями возникнет, если кривая D в точке равновесия опускается к оси ОХ круче, чем кривая S.

Взрывное колебательное движение возникает в том случае, когда кривая ^ D менее крута по отношению к оси ОХ, чем кривая S , т.е. угол наклона D меньше угла наклона S. Под взрывным движением понимается движение по кривой, ордината которой непрерывно возрастает и уходит в бесконечность.

При равных углах наклона кривых возникают регулярные колебания.
Рассмотрим частный случай приведенной модели. Пусть спрос и предложение заданы линейными функциями от цены:



В этом случае равновесная цена и равновесный объем продаж будут заданы так:



отсюда .

Подставим в и получим равновесный объем продаж:



Дискретная динамическая модель задается уравнением (*) и тогда для нашего случая будем иметь:

(**)

Ищем решение, дающее равновесие. Пусть и для любых значений параметра t. Легко видеть, что тогда мы получаем известный вариант модели:

(1)

следовательно, если в каком-либо периоде существовали цены и объемы, обеспечивающие равновесие, то в динамической модели (**) они сохраняются и в последующих периодах. Статическое равновесие согласуется с этой моделью. Вычтем уравнение (1) из (**) и положим и . В этом случае уравнение примет следующий вид:

.

Сгруппируем: .

Отсюда, принимая обозначения и, получим:

(2).

Уравнению (2) аналогично (**) за исключением того, что они описывают отклонения от уровней равновесия (теперь уже известно, что таковые существуют). Оба уровня по типу относятся к конечно-разностным уравнениям первого порядка.

Заменим b/a = с и подставим в уравнение (2), получим разностные уравнения вида: (3).

Поучили уравнение, которое связывает текущую цену с ценой предшествующего периода. В общем случае (3) можно записать в следующем виде:



При заданном значении начальной цены р0 в момент времени t = 0 решение легко получается итеративным путем:

- частное решение: рt = p0 ct;

- общий случай: рt = + (рt - )c.

Объемы покупок в каждом периоде определяются из уравнения (2).



Исследуем полученное решение.

Обычно кривая спроса идет вниз, т.е. а <0; кривая S - вверх, т.е. b > 0. Тогда с = b/a всегда < 0. введем параметр , тогда r > 0.

Наше решение примет вид: рt = p0 (-1)t(r)t и при можем получить последующие решения

При t = 0 p0

t = 1 - p0r

t = 2 p0r2

t = 3 - p0r3 и т.д.
Знаки рt чередуются, следовательно, чередуются знаки у цены и значения будут располагаться выше и ниже точки равновесия.

Таким образом, имеются три возможности:

  1. b > (-a)

угол наклона S больше чем угол наклона D. В этом случае r >1 и ряд значений рt является бесконечно возрастающим по абсолютной величине. Следовательно, ряд стремится к бесконечности и имеет место взрывное колебание (при чередовании знаков).

  1. b = - a

углы наклона кривых S и D равны. В этом случае r = 1 и ряд значений рt будет просто состоять из чередования параметров p0 и -p0. поэтому рt будут последовательно > и < равновесной цены на одну и ту же величину равную первоначальному расхождению 0 - ), т.е. будут иметь место регулярные колебания.

  1. b < -a

угол наклона кривой D к оси ОХ больше чем у кривой S. r < 1 и последовательные значения цены рt уменьшаются по абсолютной величине. Следовательно, ряд значений будет стремиться к равновесной цене последовательно и слева и справа. Т.е. стремится с затухающими колебаниями к уровню равновесия.

В случае 3 чем больше значение (-а) по отношению к b, т.е. чем круче кривая спроса по сравнению с кривой предложения, тем скорее будут затухать колебания и тем быстрее последовательность цен будет стремиться в равновесной.

ТЕМА 6. Макроэкономическая модель в реальном выражении. Статический мультипликатор.

^ 1. Макроэкономическая модель в реальном выражении.

Макроэкономическая система может рассматриваться в реальном (натуральном) и денежном выражении. Здесь мы будем рассматривать только первый вариант. Денежные факторы, в том числе и норму процента на прибыль можно ввести позже, добавив к реальной модели динамический денежный механизм, но главное внимание в макроэкономической динамике обращается на действие реальных, а не денежных факторов, в особенности на действие мультипликатора и акселератора.

Переменные величины такого анализа следующие:

  • доход и выпуск продукции – У

  • личное потребление – С

  • дополняющие его сбережения – S

  • капиталовложения (инвестиции) – I.

Каждая из величин представляет реальную совокупность в масштабе всего народного хозяйства. Как и в статистике национального дохода каждую из этих совокупностей можно получить выражая ее в неизменных ценах или путем эквивалентной операции ее дефлятирования с помощью индекса цен (или комплекса таких индексов).

Дефляция – изъятие из обращения избыточного количества бумажных денег и неразменных банкнот, выпущенных в период инфляции. А также общее снижение уровня цен в стране.

Строго говоря, для дефлятирования каждой такой совокупности и даже разных подгрупп внутри ее самой, нужно принять различные индексы цен; например, для выражения величины потребления в неизменных ценах нужны различные индексы цен на потребительские товары и услуги для дефлятирования капитальных вложений. В этом случае относительные движение цен, изменение условий обмена между различными секторами будут еще одним объектом анализа.

Для упрощения модели (сохраняя при этом ее сущность) предположим, что цены во всех отраслях движутся параллельно, так что каждую совокупность можно считать дефлятирующей с помощью одного и того же индекса цен.

Предположим, что экономика замкнутая, без государственного бюджета и что имеются достаточные неиспользованные ресурсы (труда и других факторов) для необходимых изменений в выпуске продукции. Следовательно как и в статистике национального дохода можно через У обозначать доход и выпуск продукции, которые по определению равны. Это верно как для реального выражения, так и для денежного, т.к. влияние условий торговли не учитывается. Доход У – не планируемая переменная.

Фактические условия, определяющие задачу и представляющие модель общего типа таковы:

(1)

Легко видеть, что соотношение (1) представляет условие равновесия:

1 равенство выражает тот факт, что в силу самого определения фактических соотношений, доход (^ У) разделяется на потребление (С) и сбережения (S), т.е. что не потребляется, то сберегается.

2 равенство отражает деление выпускаемой продукции (^ У) на продукцию для личного потребления (С) и продукцию для фактически осуществляемых капитальных вложений (I).
  1   2



Скачать файл (586.5 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации