Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Задания для курсовой работы по Моделированию систем - файл 1.doc


Загрузка...
Задания для курсовой работы по Моделированию систем
скачать (307.5 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc308kb.02.12.2011 09:43скачать

1.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...
Содержание задания 2 курсовой работы.
Задание 2.

Необходимо в качестве решения задачи представить следующие результаты:

- описание системы (из варианта задачи №№1-20) в терминах унифицированного языка моделирования UML;

- модель данной системы, реализованную в пакете Model Vision Studium на основе полученного описания;

- результаты, полученные в процессе исследования данных моделей и их объяснение в терминах данной прикладной области.

Варианты задачи с №1 по №12 взяты из [2].

При построении модели любой из задач в пакете Model Vision Studium необходимо реализовать трехмерную анимацию или создать панель управления параметрами, содержащую в себе компоненты двухмерной анимации.
^ Задача №1.

Переменная сила Q, изменяющаяся по гармоническому закону

Q1 = H1Sin(1t) (1)

или Q2 = H2Cos(2t) (2)

передается на фундамент машиной с неуравновешенным ротором (рис.1):



Рис.1
где: H1 и H2 - амплитуда возмущающей силы, 1 и 2 - частота возмущающей силы. Пусть H1 = 2см, H2 = 3см, 1 = 0.3с-1, 2 = 0.5с-1. Гармонические законы (1) и (2) сменяют друг друга с периодом в 50 секунд.

Пусть k = 0.4с-1 - это собственная частота рассматриваемой системы. Если она не совпадает с частотой возмущающей силы, в данный момент времени предаваемой на фундамент (то есть k ≠1 и k ≠2), то значение вертикальной координаты q, по оси которой будут происходить колебания, определяются следующими уравнениями:

для гармонического закона (1):

  (3)

для гармонического закона (2):

(4)

где а = 1 с-2 - инерционный коэффициент. Начальные условия нулевые.

Если собственная частота системы совпадает с частотой возмущающей силы, в данный момент времени предаваемой на фундамент (то есть k = 1 или k = 1), то во избежание резонанса воздействие на фундамент прекращается, значение частоты, передаваемой на фундамент на момент возникновения резонанса уменьшается на 10% и через 1 секунду колебания возобновляются по тому же закону, что действовал до перерыва, но уже с новой частотой.

Построить модель данной системы и модель для двух таких машин, работающих одновременно и независимо друг от друга. Вторая машина обладает аналогичным поведением, за исключением того, что переменная сила Q для неё задается теми же законами, но с другими значениями параметров H1 и H2 - амплитуды возмущающей силы, 1 и 2 – частоты возмущающей силы.
^ Задача №2.

Дана система из двух маятников - маятника 1 и обращённого маятника 2 (рис.2):



Рис.2.
Точка подвеса первого маятника гармонически колеблется по вертикали около среднего положения по закону

y1 = ACos(w1t) (1)

а точка подвеса второго маятника гармонически колеблется по вертикали около среднего положения по закону (2):

y2 = ACos(w2t) (2)

где А - амплитуда колебаний, w1 и w2 - частоты колебаний. Пусть A = 2м, w1=3с-1, w2 =3с-1. При этом каждые 10 секунд значение A изменяется на величину ±0.5м поочередно. Длина каждого из маятников равна l = 40м.

Пусть φ1 - это угол отклонения первого маятника от строго вертикального положения, а φ2 - это угол отклонения второго маятника от строго вертикального положения. У первого маятника φ1 изменяется в соответствии с уравнением:

  (3)

У второго маятника поведение иное: если , где g - это ускорение свободного падения, то маятник находится в устойчивом состоянии и φ2 = 0.

В противном случае, φ2 изменяется в соответствии с уравнением:

  (4)

У обоих маятников в начальный момент времени отклонение от положения равновесия составляет 0,1 градуса. Значения φ1 и φ2 изменяются в пределах от 0 до 360 градусов. Построить модель данной системы.
^ Задача №3.

Дан неровный участок со сложным профилем. По нему движутся две идентичные системы, каждая из которых представляет собой подрессорный груз массой m = 0,7кг, прикрепленный к безотрывно движущемуся с постоянной горизонтальной скоростью V1 = 0,9м/с (для первой системы) и V2 = 1м/с (для второй системы) колесу (рис.3):



Рис.3
Профиль участка имеет следующий вид: известно, что при скорости V1 система движется в течении отрезка времени Time1 = 20с по участку, описываемому уравнением (1),

  (1)

а далее с периодичностью Time2 = 30с для скорости V1 (Time2’ = 27с для скорости V2) профиль участка описывается уравнениями (2) и (3) поочередно:

y = A1Cos(x) , (2)

y = A2Sin(x) , (3)

где h - предел, к которому стремится высота неровности, g - параметр, характеризующий кривизну профиля, А1 и А2 - амплитуды колебаний. Пусть h = 1м, g = 1, А1 = 0,8м, А2 = 0,7м.

Первая система в начальный момент времени расположена в начале пути, а вторая расположена в начале косинусоидального участка. В начальный момент времени начинает двигаться первая система со скоростью V = V1, а вторая остаётся на месте. Как только первая система достигает конца экспоненциального участка, начинает своё движение вторая система со скоростью V = V2 (где V2 > V1), и далее обе системы движутся вместе.

Так как x = Vt (где V = V1), то дифференциальные уравнения, описывающие вертикальные колебания  (в начальный момент времени отсутствующие) первого груза записываются следующим образом для уравнения (1):

  (4)

для уравнения (2):

  (5)

для уравнения (3):

  (6)

где с - жесткость упругой подвески. Пусть с = 0,5кг/с2. Движения второго груза описывается уравнениями (5) и (6) при условии, что V = V2.

Если предел h меньше hmin = 0,001м или амплитуды А1 и А2 меньше Аmin = 0,01м, то профиль участка считается прямолинейным и колебания грузов описываются уравнением:

  (7)

Построить модель данной системы.
^ Задача №4.

Жёсткая плоская пластинка длиной l = 5м находится в потоке газа (жидкости), скорость V = 1м/с которого направлена вдоль срединной плоскости пластинки в невозмущённом состоянии равновесия (рис.4):



Рис.4
В этом положении аэродинамические силы равны нулю и пластинка находится в равновесии под действием силы тяжести и реакции опор. При отклонении пластинки возникает аэродинамическое давление, зависящее от угла отклонения пластинки φ. В начальный момент пластинка отклоняется от положения равновесия на угол 0,01 градуса.

Пусть I = 1кгм2 - момент инерции пластинки относительно оси шарнира; тогда дифференциальным уравнением движения будет:

  (1)

где c0 - коэффициент жесткости пружины, ky - постоянный аэродинамический коэффициент, ρ - плотность газа, b - расстояние от оси шарнира, определяющее точку приложения равнодействующих аэродинамических давлений на пластину.

Пусть c0 = 0,5кг/с2, ky = 0,5мс2, ρ = 2кг/м3, b = 1м.

Уравнение (1) выполняется при условии

.

В противном случае, под действием аэродинамических сил пластинка снова возвращается в положение равновесия. Каждые 5 секунд скорость подаваемого газа то увеличивается на 50%, то возвращается к прежнему значению. Также каждые 10 секунд плотность газа то увеличивается на 50%, то возвращается к прежнему значению.

Построить модель данной системы, а также модель системы, состоящей из двух систем типа "пластинка в потоке газа", несвязанных друг с другом. Вторая система "пластинка в потоке газа" идентична первой, за исключением того, что в ней пластинка имеет другую длину l1 > l, а поток газа имеет другую скорость V1>V и иную плотность ρ1 < ρ.
^ Задача №5.

Дана система из двух тел с массами m1 и m2, соединенных двумя пружинами, жёсткости которых равны c1 и с2 (рис.5):



Рис.5
Пусть m1 = 1кг, m2 = 1кг, c1 = 1кг/с2, с2 = 1кг/с2.

На левый груз системы действует гармоническая возмущающая сила Q, задаваемая с интервалом в 20 секунд то законом (1), то законом (2):

Q = H1Sin(t) (1)

Q = H2Cos(t) (2)

где H1 и H2 - амплитуды колебаний,  - частота колебаний. Пусть H1 = 1м, H2 = 1,5м,  = 2с-1. Частота колебаний вне зависимости от закона колебаний каждые 25 секунд то уменьшается на 50%, то возвращается к прежнему значению.

Пусть x1 и x2 - горизонтальное отклонение грузов от положения равновесия (в начальный момент времени отсутствующее). Тогда уравнениями движения будут:

  (3)

  (4)

Построить модель данной системы, а также модель системы, состоящей из двух систем типа "два груза", несвязанных друг с другом. Вторая система "два груза" идентична первой, за исключением того, что в ней левый груз имеет другую массу (между m2 и m1), а правая пружина имеет другую жёсткость (выше с2).
^ Задача №6.

Дан вертикальный безмассовый упругий стержень длиной l = 5м, с постоянной жёсткостью сечения EJ = 1кгм32. С концом стержня связан сосредоточенный груз массой m = 1кг. Верхней опорой стержня служит неподвижный шарнир, а нижней опорой служит подвижная втулка с шарикоподшипником (рис.6):



Рис.6
Расстояние между опорами s < l не постоянно и изменяется за счёт движения втулки попеременно с периодом 30 секунд по одному из двух гармонических законов:

s = s0+H1Sin(t) (1)

s = s0+H2Cos(t) (2)

где H1 и H2 - амплитуды колебаний,  - частота колебаний, s0 – среднее расстояние между опорами. Пусть H1 = 1.5м, H2 =2м,  = 1с-1, s0=2,5м.

Частота колебаний вне зависимости от закона колебаний каждые 20 секунд то уменьшается на 40%, то возвращается к прежнему значению. Состоянию равновесия соответствует положение груза на вертикали и прямолинейная форма оси стержня. При возмущении этого состояния груз отклоняется в сторону, ось балки изгибается, и последующее движение описывается дифференциальным уравнением (x – координата по горизонтали):

  (3)

В начальный момент времени происходит отклонение груза на расстояние x0 = 0,1м. Если x превышает пороговое значение xmax = 3м, то стержень разрушается.

Построить модель данной системы и модель для двух таких систем, работающих одновременно и независимо друг от друга. Вторая система обладает аналогичным поведением, за исключением того, что переменная сила s’ для нее задается теми же законами, но с иными параметрами H1 и H2 - амплитуд колебаний,  - частоты колебаний, s0 – среднего расстояния между опорами.
^ Задача №7.

Дана система из груза массой M = 1кг, связанного с безмассовой жёсткой упруго закреплённой балкой. Пусть l - длина балки, с0 - коэффициент жёсткости пружины. Один конец балки закреплен на шарнире, расположенном на неподвижной опоре (рис.7):



Рис.7
Пусть l = 1м, с0 = 1кг/с2.

В начальный момент времени происходит однократный вертикальный удар по грузу с величиной мгновенного ударного импульса S = 2Нс. Скорость груза получает мгновенное приращение, из чего следуют начальные условия:

(1)

  (2)

где φ - это угол отклонения системы от положения равновесия. Движение системы описывается следующим уравнением:

  (3)

Через 25 секунд после начала колебаний масса груза M мгновенно уменьшается на 50%. Далее движение системы продолжается, но уже с грузом новой массы.

Если угол φ становиться больше предельного значения

,

то происходит разрушение системы.

Построить модель системы "балка - груз", а также модель системы, состоящей из двух систем "балка - груз", несвязанных друг с другом. Вторая балка с грузом идентична первой, за исключением того, что удар по грузу в ней происходит через 10 секунд после того, как произошел удар по грузу в первой системе "балка - груз".
^ Задача №8.

В воде плавает кусок пробки в виде параллелепипеда с площадью основания S = 1м2 и высотой H = 0,5 м. Пробку погружают в воду на небольшую глубину x0 = 5 см и отпускают (рис.8):



Рис.8.

В результате пробка начинает совершать колебания. Сопротивление воды не учитывается. Изменение глубины погружения пробки в воду х описывается следующим уравнением:

  (1)

с начальными условиями:

  (2)

  (3)

где ρв = 1000 кг/м3 - плотность воды, ρп = 200 кг/м3 - плотность пробки,

g - ускорение свободного падения.

Пусть существует вторая точно такая же система "вода - пробка" в которой пробку в начальный момент времени не погрузили в воду и отпустили, а сообщили ей скорость, равную v0 = 1м/с. Пусть в данной системе существует сила сопротивления воды, пропорциональная скорости пробки: Fc = -rv, где r = 1кг/с - коэффициент пропорциональности. Колебания в этой системе описываются уравнением:

 (4)

с начальными условиями:

(5)

  (6)

где m - масса пробки.

Построить модель системы, состоящей из этих двух систем "вода - пробка", несвязанных друг с другом.

Построить также модель системы, в которой каждые 20 секунд в первой системе вода мгновенно "превращается" в ртуть ( а ртуть с той же периодичностью - в воду), а во второй системе каждые 25 секунд происходят аналогичные "превращения" воды в спирт. Плотность ртути – ρр = 1360 кг/м3, плотность спирта – ρс = 790 кг/м3.
^ Задача №9.

Материальная точка массы m = 1 кг находится в поле тяготения тонкого кольца массы M = 1020кг и радиуса R = 1км. В начальный момент времени точка помещается в точку Q1, расположенную на оси кольца на расстоянии x0 < R от плоскости кольца и начинает совершать колебательные движения (рис.9):



Рис.9.
Если x0 < 0,1R, то колебания x описываются следующим уравнением:

  (1)

Если x0  0,1R или в результате колебаний выполняется условие x  0,1R, то колебания описываются следующим уравнением:

  (2)

где G - гравитационная постоянная. Пусть x0 = 1м.

Каждые 15 секунд радиус кольца поочередно мгновенно расширяется и сжимается в 10 раз. Если точка отклоняется от кольца на расстояние, превышающее в 10 раз его первоначальный радиус, система разрушается.

Построить модель данной системы, а также модель системы, состоящей из двух систем "материальная точка - кольцо", несвязанных друг с другом. Вторая система "материальная точка - кольцо" идентична первой, за исключением того, что в ней радиус кольца изменяется в 5 раз каждые 20 секунд.
^ Задача №10.

В длинной вертикальной цилиндрической трубке, закрытой с нижнего конца, может ходить без трения поршень, масса М =10кг которого велика по сравнению с массой идеального газа, заключенного внутри трубки. В положении равновесия расстояние между поршнем и дном трубки равно l0 = 1000м (рис.10):



Рис.10.
Площадь поперечного сечения трубки равна S = 1м2, на поршень действует нормальное атмосферное давление p0. В начальный момент времени поршень отклоняют от положения равновесия на расстояние x << l0. В результате этого поршень начинает совершать колебания, описываемые следующими уравнениями: если p0 > 0, то

 (1)

если p0 = 0, то

  (2)

где g - ускорение свободного падения. Пусть x = 1м. Атмосферное давление каждые 10 секунд мгновенно изменяет свое значение с нормального значения на меньшее на 80% (и обратно).

Построить модель данной системы, а также модель системы, состоящей из двух систем типа "трубка с поршнем", несвязанных друг с другом. Вторая "трубка с поршнем" идентична первой, за исключением того, что в ней поршень имеет другую массу, большую M, и другую площадь поперечного сечения трубки, большую S.
Задача №11.

Дана однокамерная фармакокинетическая модель с всасыванием (рис.11):



Рис.11.
где 1 - это место введения лекарственного препарата, 2 - камера. Камера представляет собой ограниченный в пространстве объём жидкости (ткани), неизменный с течением времени. Дан определенный объём лекарственного препарата, который всасывается в камеру пропорционально своей массе в соответствии с уравнением:

(1)

где m - масса лекарственного препарата в месте введения 1, k1 - константа скорости поступления препарата в камеру (константа скорости всасывания). Пусть k1 =0,3 с-1 .

Предполагается, что масса лекарственного препарата в 1 в начальный момент времени равна М = 30мг, причем в самой камере в начальный момент времени препарата нет. Тогда масса лекарственного препарата в камере изменяется в соответствии с следующим уравнением:

  (2)

где m1 - масса лекарственного препарата в камере, kel - константа элиминации (выведения) лекарственного препарата из камеры. Пусть kel =0,5 с-1 .

Как только масса лекарственного препарата в месте введения становится меньше порогового значения e = 0,001мг, засекается отрезок времени Time = 10с, по истечении которого в месте введения уничтожаются все остатки прежней дозы препарата и вводится новая доза m = M.

Существует более сложная система, называемая двухкамерной фармакокинетической моделью со всасыванием (рис. 12):



Рис.12.
В ней лекарственный препарат вводится из аналогичного ранее описанному места введения 1’ и выводится из камеры 2’, но существует еще камера 3, подсоединенная к камере 2’.Между камерами 2’ и 3 может циркулировать лекарственный препарат.

В этой модели масса лекарственного препарата в месте введения описывается также уравнением (1) с теми же начальными условиями. Массы же в камерах 2’ и 3 описываются уравнениями (3) и (4) соответственно:

  (3)

  (4)

где m2 - масса лекарственного препарата в камере 3, k12 - константа скорости поступления препарата из камеры 2’ в камеру 3, k21 - константа выведения лекарственного препарата из камеры 3 в камеру 2’. Пусть k12 =0,4 с-1, k21 =0,6с-1.

Как и в первой системе, в начальный момент времени в камерах 2’ и 3 лекарственный препарат отсутствует. Как и в первой системе, как только масса лекарственного препарата в месте введения становится меньше порогового значения e’, засекается отрезок времени Time1, по истечении которого в месте введения уничтожаются все остатки прежней дозы препарата и вводится новая доза m = M.

Построить модель системы, содержащей обе фармакокинетические модели, несвязанные друг с другом с различными местами введения лекарственного препарата. Также построить модель системы, состоящей из обеих фармакокинетических моделей, имеющих общее место введения препарата. Скорость всасывания лекарственного препарата k1 в обеих фармакокинетических моделях одинаковая, отрезок времени Time’ и пороговое значение e’ для места введения препарата совпадают со значениями, принятыми для однокамерной фармакокинетической модели с всасыванием.
^ Задача №12.

Даны две биологические популяции, оспаривающие одну и ту же пищу. Пусть это будут популяции медведей (численностью N1) и волков (численностью N2) (рис.13):



Рис.13.
Пусть при количестве пищи, достаточном для полного удовлетворения рассматриваемых видов, существуют постоянные положительные коэффициенты прироста популяций: 1 = 0,7мес-1 для медведей и 2= 0,9мес-1 для волков. Для каждого вида заданы "коэффициенты прожорливости" - γ1 = 0,7кг-1 и γ2 = 0,5 кг-1, соответствующие потребности в пище для каждой из двух популяций.

Пусть F(N1, N2) - количество пищи, поедаемой обеими популяциями в единицу времени. Оно задается уравнениями (1) и (2), где уравнение (1) соответствует случаю, когда обе популяции активны, а уравнение (2) - когда медведи впадают в спячку:

  (1)

  (2)

Переключение между режимами (1) и (2) происходит периодически, причем с режима (1) на режим (2) переключение происходит через отрезок времени Time1 = 9мес, а с режима (2) на режим (1) - через Time2 = 3мес. Здесь λ1 и λ2 - некие положительные коэффициенты. Пусть λ1= 0,01кг/(месшт), λ2= 0,02кг/(месшт).

В начальный момент времени популяции обладают начальной численностью N1= 10шт и N2=20шт.

Тогда развитие популяций описывается следующими уравнениями: для медведей

  (3)

для волков:

  (4)

Как только численность той или другой популяции становится меньше 1 (умирает последняя особь), засекается отрезок времени Time3 = 3мес (если это медведи) или Time3’ = 5мес (если это волки), по истечении которого вместо прежней популяции поселяется новая популяция с новой начальной численностью (N1= 10шт если это медведи и N2=20шт если волки).

Построить модель данной системы, а также модель системы, состоящей из двух систем типа "две популяции", несвязанных друг с другом. Вторая система "две популяции" идентична первой, за исключением того, что в ней вместо медведей и волков в качестве конкурирующих видов рассматриваются лоси и олени, имеющие иные значения коэффициентов прироста 1 и 2, другие значения "коэффициентов прожорливости" γ1 и γ2, а также иные значения коэффициентов λ1 и λ2.
^ Задача №13.

Дана популяция типа Олли с критическим порогом плотности. Плотность популяции N(t), особи в популяции одинаковы, популяция равномерно распространена по ареалу. Скорость изменения плотности равна разности функций рождаемости B(N) и смертности D(N):

,

где , ,

,

М – ёмкость окружающей среды,  - частота сезонных изменений неблагоприятных факторов, константы  и  заданы. В начальный момент времени плотность N0 задана. Если популяция вымирает (N=0), через время 1/ появляется новая плотностью N0.

Изобразить развитие популяции во времени шаром – «ареалом» радиуса .
^ Задача №14.

Даны две биологические популяции типа Олли с плотностями N1(t) и N2(t), конкурирующие за трофический (пищевой) ресурс, (рис.13). Особи в популяциях одинаковы, популяции равномерно распространены по ареалам. Скорость изменения их плотностей равна разности функций рождаемости и смертности:

,

,

М1 и М2– ёмкость окружающей среды для каждой популяции. Константы 1 , 2 и коэффициенты смертности 1 , 2 , 3 , 4 заданы. В начальный момент времени плотности N01 и N02 заданы. Если популяция вымирает (N1=0 или N2=0), через время Т появляется новая плотностью N01 или N02 .

Найти критические пороги плотности (т.е. величины, ниже которых -вымирание, а выше - расцвет) для каждой популяции. Изобразить развитие популяций во времени сферическими «ареалами» радиусов и , когда начальные плотности выше пороговых.
^ Задача №15.

Дана система из тела (груза) массы m на пружине жёсткости c (рис.14):



Рис.14
Пусть m = 1кг, c = 1кг/с2. На груз системы действует гармоническая возмущающая сила Q, задаваемая законом:

Q = HSin(t) ,

где H - амплитуда,  - частота колебаний, t - время. Пусть H = 1м,  = 2с-1.

Тело находится в среде с коэффициентом сопротивления r1 слоя толщиной h1 и r2 слоя толщиной h2, с постоянной скоростью v движущихся друг за другом вдоль горизонтали. Ширина груза намного меньше толщины слоёв. В начальный момент времени груз покоился и находился на границе слоёв.

Пусть x - горизонтальное отклонение груза от положения равновесия. Тогда уравнениями движения будут:

,

где r – коэффициент сопротивления той среды, в которой находится груз.

Построить закон движения груза.
Задача №16.

Дана система из маятника длины l и массой m на границе 2-х сред с коэффициентами сопротивления r1 и r2 (рис.15):



Рис.15.
Точка подвеса маятника гармонически колеблется по вертикали около среднего положения по закону:

y = ACos(w1t)

где А - амплитуда колебаний, w1 и w2 - частоты колебаний. Пусть A = 2м, w1=3с-1, w2 =1с-1. Длина маятника равна l = 40м.

Пусть φ - это угол отклонения маятника от строго вертикального положения, тогда φ1 изменяется в соответствии с уравнением:



где r – коэффициент сопротивления той среды, в которой находится груз маятника, g - ускорение свободного падения. Граница между средами движется по закону:

x = BCos(w2t)

где B - амплитуда колебаний границы.

Маятник в начальный момент времени отклонился от положения равновесия на 0,1 рад. Значения φ изменяются в пределах от 0 до 360 градусов. Построить закон движения груза.
^ Задача №17.

В воде плавает кусок пробки в виде параллелепипеда с площадью основания S = 1м2 и высотой H = 0,5 м. Пробку погружают в воду на небольшую глубину x0 = 5 см и отпускают (рис.16):



Рис.16.

В результате пробка начинает совершать колебания. Сопротивление воды не учитывается. На глубине h<x0 под водой налита ртуть.

Изменение глубины погружения пробки в воду х описывается следующим уравнением:

  (1)

с начальными условиями:

  (2)

  (3)

где ρп = 200 кг/м3 - плотность пробки, , g - ускорение свободного падения, ρв – плотность той жидкости, в которой находится пробка: ρв = 1000 кг/м3 - плотность воды, ρр = 1360 кг/м3 - плотность ртути.

Пусть существует вторая точно такая же система "вода – ртуть- пробка" в которой пробку в начальный момент времени не погрузили в воду и отпустили, а сообщили ей скорость, равную v0 = 1м/с. Пусть в данной системе существует сила сопротивления воды, пропорциональная скорости пробки: Fc = -rv, где r = 1кг/с - коэффициент пропорциональности. Колебания в этой системе описываются уравнением:

 (4)

с начальными условиями:

(5)

  (6)

где m - масса пробки.

Построить модель системы, состоящей из этих двух систем "вода – ртуть- пробка", несвязанных друг с другом.
Задача №18.

Дана система из двух тел с массами m1 и m2, соединенных двумя пружинами, жёсткости которых равны c1 и с2 (рис.17):



Рис.17.
Пусть m1 = 1кг, m2 = 1кг, c1 = 1кг/с2, с2 = 1кг/с2.

На левый груз системы действует гармоническая возмущающая сила Q:

Q = HSin(t)

где H - амплитуда колебаний,  - частота колебаний. Пусть H = 1м,  = 2с-1. Между точками равновесия грузов находится среда с коэффициентом сопротивления r1, а вне - среда с коэффициентом сопротивления r2.

Пусть x1 и x2 - горизонтальное отклонение грузов от положения равновесия (в начальный момент времени отсутствующее). Тогда уравнениями движения будут:

,



где r – коэффициент сопротивления той среды, в которой находится груз. Начальные условия нулевые. Построить модель данной системы.
^ Задача №19.

Дан вертикальный безмассовый упругий стержень длиной l = 5м, с постоянной жёсткостью сечения EJ = 1кгм32. С концом стержня связан сосредоточенный груз массой m = 1кг. Верхней опорой стержня служит неподвижный шарнир, а нижней опорой служит подвижная втулка с шарикоподшипником (рис.18):



Рис.18.
Расстояние между опорами s < l не постоянно и изменяется за счёт движения втулки по гармоническому закону:

s = s0+HSin(t) ,

где H - амплитуда колебаний,  - частота колебаний, s0 – среднее расстояние между опорами. Пусть H = 1.5м,  = 1с-1, s0=2,5м. Стержень колеблется на границе 2-х сред, с коэффициентами сопротивления r1 и r2. Граница сред движется по закону

xr = BSin(t) .

Состоянию равновесия соответствует положение груза на вертикали и прямолинейная форма оси стержня. При возмущении этого состояния груз отклоняется в сторону, ось балки изгибается, и последующее движение описывается дифференциальным уравнением (x – координата по горизонтали):



где r – коэффициент сопротивления той среды, в которой находится груз. В начальный момент времени происходит отклонение груза на расстояние x0 = 0,1м. Если x превышает пороговое значение xmax = 3м, то стержень разрушается.

Построить модель данной системы.
^ Задача №20.

Материальная точка массы m = 1 кг находится в поле тяготения тонкого кольца массы M = 1020кг и радиуса R = 1км. В начальный момент времени точка помещается в точку Q1, расположенную на оси кольца на расстоянии x0 < R от плоскости кольца и начинает совершать колебательные движения (рис.9). По разные стороны плоскости кольца находятся среды с разными коэффициентами сопротивления r1 и r2.


Если x0 < 0,1R, то колебания x описываются следующим уравнением:



Если x0  0,1R или в результате колебаний выполняется условие x  0,1R, то колебания описываются следующим уравнением:



где G - гравитационная постоянная, r – коэффициент сопротивления той среды, в которой находится материальная точка. Пусть x0 = 1м. Если точка отклоняется от кольца на расстояние, превышающее в 10 раз его первоначальный радиус, система разрушается.

Построить модель данной системы.






Скачать файл (307.5 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации