Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Лекция - Математическое моделирование в психологии - файл 1.rtf


Лекция - Математическое моделирование в психологии
скачать (705.8 kb.)

Доступные файлы (1):

1.rtf706kb.03.12.2011 11:38скачать

содержание
Загрузка...

1.rtf

Реклама MarketGid:
Загрузка...

ЁЁЁЁ

КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

В ПСИХОЛОГИИ

КУРС ЛЕКЦИЙ


КРАСНОЯРСК 2001

ОГЛАВЛЕНИЕ.

Введение.

История развития.

Математические модели в психологии.

Психологические измерения.

Моделирование психических процессов и поведения.

Детерминированные модели.

Модели рефлексии.

«Формула человека» В.Лефевра.

Модели теории графов и геометрическое моделирование.

Кластерный анализ (КА).

Многомерное шкалирование (МШ).

Стохастические модели.

Вероятностные модели.

Модели с латентными переменными.

Модели факторного анализа (ФА).

Метод главных компонент.

Метод главных факторов.

Метод максимального правдоподобия (Д.Лолли).

Метод минимальных остатков (Г.Харман).

Альфа-факторный анализ.

Конфирматорный факторный анализ.

Модель латентных классов.

Модели научения.

Модели принятия решения.

Теория принятия решений.

Теория полезности.

Теория игр.

Динамическое программирование.

Модели целенаправленного поведения.

Модели научения.

Модели интеллекта.

Перцептронные модели.

Моделирование естественного языка.

Нетрадиционные методы моделирования.

Моделирование на «размытых» множествах.

Синергетика в психологии.

Рекомендуемая литература:

Введение.

Математическая психология – это раздел теоретической психологии, использующий для построения теорий и моделей математический аппарат.

«В рамках математической психологии должен осуществляться принцип абстрактно-аналитического исследования, в котором изучается не конкретное содержание субъективных моделей действительности, а общие формы и закономерности психической деятельности»1.

Объект математической психологии: естественные системы, обладающие психическими свойствами; содержательные психологические теории и математические модели таких систем.

^ Предмет – разработка и применение формального аппарата для адекватного моделирования систем, обладающих психическими свойствами.

Метод – математическое моделирование.

Процесс математизации психологии начался с момента её выделения в экспериментальную дисциплину. Этот процесс проходил ряд этапов.

Первый – применение математических методов для анализа и обработки результатов экспериментального исследования, а также выведения простых законов (конец XIX – начало XX века.). Это время разработки закона научения, психофизического закона, метода факторного анализа.

Второй – (40 – 50-е годы) – создание моделей психических процессов и поведения человека с использованием ранее разработанного математического аппарата.

Третий – (60-е годы – по настоящее время) – выделение математической психологии в отдельную дисциплину, основная цель которой – разработка математического аппарата для моделирования психических процессов и анализа данных психологического эксперимента.

Четвёртый этап ещё не наступил. Этот период должен характеризоваться становлением психологии теоретической и отмиранием – математической.

Часто математическую психологию отождествляют с математическими методами, что является ошибочным. Математическая психология и математические методы соотносятся друг с другом так же, как теоретическая и экспериментальная психология.

^ История развития.

Термин «математическая психология» стал применяться с появлением в 1963 г. в США «Руководства по математической психологии»2. В эти же годы здесь начинает издаваться журнал “Journal of Mathematical Psychology”.

Проведённый в лаборатории математической психологии ИП РАН анализ работ позволил выделить основные тенденции развития математической психологии.

В 60 – 70-е гг. получили широкое распространение работы по моделированию обучения, памяти, обнаружения сигналов, поведения, принятия решений. Для их разработки использовался математический аппарат вероятностных процессов, теории игр, теории полезности и другие. Было завершено создание математической теории обучения. Наиболее известны модели Р.Буша, Ф.Мостеллера, Г.Бауэра, В.Эстеса, Р.Аткинсона. (В последующие годы наблюдается снижение количества работ по данной проблематике.) Появляется множество математических моделей по психофизике, например С.Стивенса, Д.Экмана, Ю.Забродина, Дж.Светса, Д.Грина, М.Михайлевской, Р.Льюиса (см. раздел 3.1). В работах по моделированию группового и индивидуального поведения, в том числе в ситуации неопределённости, использовались теории полезности, игр, риска и стохастические процессы. Это модели Дж.фон Неймана, М.Цетлина, В.Крылова, А.Тверского, Р.Льюиса. В рассматриваемый период создавались глобальные математические модели основных психических процессов.

В период до 80-х годов появляются первые работы по психологическим измерениям: осуществляется разработка методов факторного анализа, аксиоматики и моделей измерения, предлагаются различные классификации шкал, ведётся работа над созданием методов классификации и геометрического представления данных, строятся модели, основанные на лингвистической переменной (Л.Заде).

В 80-е годы особое внимание уделяется уточнению и развитию моделей, связанных с разработкой аксиоматики различных теорий.

В психофизике это:

  • современная теория обнаружения сигналов (Д.Светс, Д.Грин),

  • структуры сенсорных пространств (Ю.Забродин, Ч.Измайлов),

  • случайных блужданий (Р.Льюис, 1986),

  • различения Линка

  • и другие.

В области моделирования группового и индивидуального поведения:

  • модель решения и действия в психомоторных актах (Г.Корнеев, 1980),

  • модель целенаправленной системы (Г.Корнеев),

  • «деревья» предпочтения (А.Тверской),

  • модель системы знаний (Дж.Грино),

  • вероятностная модель научения (А.Дрынков, 1985),

  • модель поведения в диадном взаимодействии (Т.Савченко, 1986),

  • моделирование процессов поиска и извлечения информации из памяти (Р.Шифрин, 1974),

  • моделирование стратегий принятия решений в процессе обучения (Р.Венда, 1982),

  • и другие.

В теории измерения:

  • Множество моделей многомерного шкалирования (МШ), в которых прослеживается тенденция к снижению точности описания сложных систем – модели предпочтения, неметрическое шкалирование, шкалирование в псевдоевклидовом пространстве, МШ на «размытых» множествах (А.Дрынков, Т.Савченко, В.Плюта);

  • Модели конфирматорного анализа, позволяющие формировать культуру проведения экспериментального исследования;

  • Применение математического моделирования в психодиагностике (А.Анастази, П.Клайн, Д.Кендалл, В.Дружинин).

В 90-х годах глобальные математические модели психических процессов почти не разрабатываются, однако, значительно возрастает количество работ по уточнению и дополнению существующих моделей, продолжает интенсивно развиваться теория измерений, теория конструирования тестов; разрабатываются новые шкалы, более адекватные реальности (Д.Льюис, П.Саппес, А.Тверски, А.Марли); широко внедряется в психологию математический подход к моделированию.

Если в 70-е годы работы по математической психологии в основном появлялись в США, то в 80-е наблюдается бурный рост её развития в России, в настоящее время, к сожалению, заметно снизившийся из-за недостаточного финансирования фундаментальной науки.

Наиболее значимые модели появились в 70-е – начале 80-х годов, далее они дополнялись и уточнялись. В 80-е годы интенсивно развивалась теория измерений. Эта работа продолжается и сегодня. Особенно важно, что многие методы многомерного анализа получили широкое применение в экспериментальных исследованиях; появляется множество специально ориентированных на психологов программ анализа данных психологического тестирования.

В США большое внимание уделяется чисто математическим вопросам моделирования. В России же, наоборот, математические модели, зачастую, не обладают достаточной строгостью, что приводит к неадекватному описанию реальности.

Математические модели в психологии.

В математической психологии принято выделять два направления:

  • Математические модели и

  • Математические методы.

Мы нарушили эту традицию, так как считаем, что нет необходимости выделять отдельно методы анализа данных психологического эксперимента. Они являются средством построения модели: классификации, латентных структур, семантических пространств и других.

^ Психологические измерения.

В основе применения математических методов и моделей в любой науке лежит измерение. В психологии объектами измерения являются свойства системы психики или её подсистем, такие, как восприятие, память, направленность личности, способности и т.д. измерение – это приписывание объектам числовых значений, отражающих меру наличия свойства у данного объекта.

Назовём три важнейших свойства психических измерений.

  1. существование семейства шкал, допускающих различные группы преобразований.

  2. сильное влияние процедуры измерения на значение измеряемой величины.

  3. многомерность измеряемых психологических величин, т.е. существенная их зависимость от большого числа параметров.

В психологических измерениях используются различные классификации типов шкал. Тип шкалы определяется природой измеряемой величины.

Общая концепция измерения впервые была в достаточно развитом виде сформулирована Д.Скоттом и П.Суппесом. Дальнейшее развитие она получила в работах П.Суппеса и Дж.Зиннеса, Д.Льюиса и Е.Галантера и др. В последнее время общая теория измерений интенсивно развивается И.Пфанцаглем, а также Д.Льюисом и Л.Неренсом. В этой концепции широко используется понятие реляционной системы (системы с отношениями), введённое А.Тверским.

С.Стивенс пытался создать свою систему шкальных типов, основываясь на понятиях эмпирической операции и математической структуры. Он различает четыре вида шкал:

  • Наименований,

  • Порядка,

  • Интервалов,

  • Отношений.

Типы шкал обуславливаются видом функции , осуществляющей допустимые преобразования . Если - монотонная функция, то соответствующая шкала является шкалой порядка; если - линейная функция, то соответствующая шкала – это шкала интервалов; если определяет преобразование подобия, то соответствующая шкала – шкала отношений.

К.Кумбс расширяет классификацию Стивенса введением шкал, частично упорядоченных и сложных (комбинированных из двух частей: объектов и расстояний). Он различает три основных типа неметрических шкал и девять типов сложных, однако, если рассматривать лишь сами объекты, то комбинированные шкалы тождественны номинальным.

Классификация Торгенсона, как и Кумбса, опирается на предположение о том, что шкальные типы следует трактовать как формальные математические модели. Его классификация включает следующие типы шкал:

  • порядковые – без начала отсчёта и с началом отсчёта,

  • интервальные – без начала отсчёта и с началом отсчёта.

Суппес и Зиннес переосмыслили теорию классификации Стивенса в терминах классов числового приписывания: для дифференциации шкал существенны лишь свойства числовых приписываний с точки зрения допустимых преобразований, но никак не эмпирические операции. К.Берка (1987) считает, что вполне достаточно различать метрические и неметрические типы шкал, которые представляют два эмпирико-математических метода шкалирования и измерения. Таким образом, интервальную шкалу можно трактовать как специфический вариант шкалы порядка, т.е. шкалы неметрического типа.

Американские авторы в публикациях 90-х годов (см. журнал “Journal of Mathematical Psychology”) описывают множество работ по применению теории измерений к разработке шкал для ранжирования и выбора альтернатив (B.Malakooty, 1991), для измерения нетранзитивного аддитивного объединения (P.Fishburn, 1991) и экспериментов с использованием попарного сравнения по шкалам отношений (I.Basak, 1992). Полемика вокруг основ измерений не прекращается.

Анализ существующих методов прямых оценок различия показал, что шкалы, с которыми работает испытуемый, не соответствует природе психологического механизма, лежащего в основе оценивания. Поэтому был предложен подход, основанный на «нечётких» множествах (Л.Заде, 1974). Суть его в том, что используются так называемые «лингвистические» переменные вместо числовых переменных или в дополнение к ним; отношения между переменными описываются «нечёткими» («размытыми») высказываниями, а сложные отношения описываются «нечёткими» алгоритмами.

^ Моделирование психических процессов и поведения.

Главная задача математической психологии – это построение математических моделей психических процессов и поведения человека. Первые модели (например, аксиома выбора Д.Льюиса, стохастические модели обучения Р.Буша, Ф.Мостеллера, Р.Аткинсона, Г.Бауэра, В.Эстеса, М.Цетлина) способствовали решению этой задачи. Однако, каждая из них описывала поведение человека строго в той или иной ситуации. Поэтому наиболее важной задачей математической психологии является поиск такой парадигмы, которая позволила бы разработать общую модель поведения человека.

Для моделирования взаимодействия субъекта и среды используется аппарат исследования операций.

Математические модели в психологии по методам исследования операций в основном можно разделить на:

  • Детерминированные – теория графов, геометрическое моделирование, логико-математические модели;

  • Стохастические – вероятностные, теории игр, теории полезности, динамическое программирование;

  • Синергетические .

Детерминированные модели.

Модели рефлексии.

Единственной к настоящему времени удачной попыткой создания общей модели рефлексивного поведения является формула человека В.Лефевра (1991). Модель обладает большой прогностической силой.

«Формула человека» В.Лефевра.

В теории рефлексивных процессов В.Лефевра предполагается, что субъект живёт в мире, в котором существуют два полюса – позитивный и негативный. Субъекту соответствуют четыре переменные: значения X1, x2, x3, x1 [0, 1].

x1 – это мера давления мира, склоняющего субъекта выбрать положительный полюс;

x2 – субъективная оценка давления мира в сторону позитивного полюса;

x3 – мера интенции субъекта выбрать положительный полюс;

X1 – мера готовности субъекта выбрать положительный полюс.

Если X1 = 1, то субъект готов выбрать положительный полюс;

Если X1 = 0, - то отрицательный.

Теоретической моделью субъекта является формальный оператор
X1 = f (x1, x2, x3). Чтобы определить конкретный вид функции, Лефевр формулирует три аксиомы:

  1. ^ Аксиома свободы воли означает, что если мир плох (x1 = 0) и воспринимается субъектом как таковой (x2 = 0), то любая субъективная интенция превращается в объективную готовность:

X1 = x2 = x.

  1. ^ Аксиома незлонамереннсти утверждает, что если мир подталкивает субъекта к совершению хорошего поступка (x1 = 1), то тот всегда совершает хороший поступок: X1 = 1 при любых x1 и x3.

  2. ^ Аксиома доверчивости утверждает, что если субъект видит мир идеальным (x2 = 1), то он готов совершить действия по требованию мира.

Если функция f (x1, x2, x3) линейна по каждой из переменных, и выполнены все аксиомы, то

X1 = f (x1, x2, x3) = x1 + x3 – x1 x3 – x2 x3 + x1 x2 x3.

Модель Лефевра позволяет выявить роль «золотого сечения» в задачах выбора, объяснить различие в результатах психофизических опытов с категориальной и магнитудной стимуляцией.

Модель В.Лефевра стала основой создания классической модели выбора Бредли – Терри – Льюса. При некоторых дополнительных предположениях модель Лефевра объясняет естественную генерацию музыкальных интервалов и ряд других результатов.

В.Крылов (1994), анализируя проблему единственности, формулирует некоторые аксиомы, приводящие к появлению других механизмов рефлексивного поведения человека, позволяющие моделировать феномены, описанные Э.Берном (1992): исключительность родителя, взрослого, ребёнка, предрассудки, бредовые идеи и т.д.

^ Модели теории графов и геометрическое моделирование.

К данному типу относится моделирование психологических структур и процессов. Например, восприятие можно моделировать с помощью субъективных пространств; при разработке теории личности используются модели классификации и реконструируются семантические пространства и т.д. эти модели строятся на основе применения методов многомерного шкалирования и кластерного анализа. Входными данными в эти методы являются матрицы близостей.

Для подсчёта матрицы расстояния необходимо выбрать метрику или метод вычисления расстояния между объектами в многомерном пространстве. Наиболее часто используются следующие метрики:

Евклида:



сити-блок (Манхеттен):



Минковского:



метрика на основе корреляции Пирсона:



метрика на основе корреляции Спирмена:



i,j – номера столбцов;

k – номер строки;

dij – элемент матрицы расстояний;

xik, xjk – элемент исходной матрицы;

n –количество объектов.

Коэффициент корреляции Пирсона подсчитывается для данных, измеренных в порядковых шкалах и шкалах наименований:



Коэффициент ранговой корреляции rs Спирмена является непараметрическим аналогом классического выборочного коэффициента корреляции (неранговые выборки автоматически ранжируются):

*

Исходный этап для применения многомерного шкалирования (далее – МШ) и кластерного анализа (КА) – это вычисление расстояний между строками или столбцами.

Наиболее распространённой считается обычная евклидова метрика. Её обобщение – метрика Минковского, частным случаем которой является манхэттеновская метрика, или метрика сити-блок. Нормализованные евклидовы расстояния в большей степени подходят для переменных, измеренных в различных единицах или значительно отличающихся по величине. Манхэттеновская метрика, как правило, применяется для номинальных или качественных переменных.

Расстояния, вычисляемые на основе коэффициента корреляции, отражают согласованность колебаний оценок, в отличие от метрики Евклида, которая определяет, в среднем, сходные показатели.

Кластерный анализ (КА).

КА позволяет строить систему классификации исследованных объектов и переменных в виде «дерева» (дендрограммы) или же осуществлять разбиение объектов на заданное число удалённых друг от друга классов.

Методы КА можно расклассифицировать на:

Внутренние – признаки классификации равнозначны; Внутренние можно разделить на:

Иерархические – процедура классификации имеет древовидную структуру. Иерархические, в свою очередь подразделяются на:

Агломеративные – объединяющие;

Дивизитивные – разъединяющие.

Неиерархические

Внешние – существует один главный признак классификации, который определяют по остальным.

В психологии наиболее распространён иерархический дивизитивный метод. Он позволяет строить «дерево» классификации n объектов посредством их иерархического объединения в группы или кластеры на основе заданного критерия – минимума расстояния в пространстве m переменных, описывающих объекты. Кроме того, с его помощью осуществляется разбиение некоторого множества объектов на естественное число кластеров.

Графическое представление результатов даётся в виде «дерева» иерархической кластеризации. По оси X – объекты, подлежащие классификации (на одинаковом расстоянии друг от друга). По оси Y – расстояния, на которых происходит объединение объектов в кластеры. Для определения естественного числа кластеров вводится оценка разбиения на классы, которую вычисляют по величине отношения средних внутрикластерных расстояний к межкластерным (А.Дрынков, Т.Савченко, 1980). Глобальный минимум оценки характеризует естественное число классов, а локальные - под- и надструктуры. Методы иерархического КА различаются по стратегии объединения, т.е. пересчёта расстояний. Выделяются стратегии ближайшего соседа. При объединении i-го и j-го классов в класс k расстояние между новым классом k и любым другим классом h пересчитываются следующим образом:



Расстояния между другими классами остаются неизменными.

Стратегия дальнего соседа:



Группового среднего:



где ni, nj, nk – число объектов в классах i, j, k.

Первые две стратегии, за исключением последней, изменяют пространство (сужают и растягивают). Поэтому, если не удаётся если не удаётся получить хорошего разбиения на классы с помощью третьей стратегии (а их необходимо выделить), то используются первые две. При этом первая стратегия объединяет классы по близким границам, а вторая – по дальним.

^ В социальной психологии при исследовании взаимоотношений в коллективах, помимо разбиения на классы, необходимо установить также объекты, через которые классы связаны друг с другом. На эти вопросы можно ответить с помощью дендритного КА, который часто применяется совместно с иерархическим (Плюта, 1981). Главная роль в нём принадлежит дендриту – ломаной линии, которая не содержит замкнутых ломанных и в то же время соединяет любые два элемента. Предлагается построение дендрита, у которого сумма длин связей минимальна. Сначала к каждому объекту находится ближайший, при этом образуется скопление первого порядка, которые затем также объединяются по величине минимального расстояния до тех пор, пока не будет построен дендрит. Группы объектов считаются вполне отделимыми, если длина дуги между ними , где ; Cср - средняя длина дуги; S - стандартное отклонение.

Дендриты могут иметь форму розетки, амёбообразного следа, цепочки. При совместном использовании иерархического КА и дендрита распределение элементов по классам осуществляется по первому методу, а взаимосвязи между ними анализируются с помощью дендрита.

Многомерное шкалирование (МШ).

Одним из количественных методов изучения психических явлений и процессов, адекватно отражающих их системный характер, признан метод МШ. С его помощью анализируются попарные различия Dij между элементами i и j, в результате чего строится геометрический образ системы. Элементы системы изображаются точками моделирующего пространства, а связям между элементами соответствуют расстояния dij между i и j. Метод МШ разрабатывался в работах У.Торгерсона, Р.Шеппарда, К.Кумбса, Д.Краскала, Ф.Янга, В.Крылова и других.

Модели МШ можно расклассифицировать по двум основаниям.

По типу данных, полученных в эксперименте:

  • прямое субъективное шкалирование (задана одна матрица близостей Dij);

  • модель предпочтений (задана матрица близостей Dij и матрица предпочтений);

  • модель индивидуального шкалирования (задано несколько матриц близостей).

По процедуре реализации метода:

  • метрическое шкалирование (расстояние в реконструируемом пространстве dij пропорционально различиям Dij, полученным в эксперименте);

  • неметрическое шкалирование (данные Dij монотонно связаны с расстояниями dij в пространстве Минковского).

Метод Шеппарда – Краскала позволяет вычислить показатель стресса, т.е. «невязку» между исходными и вычисленными различиями между объектами:

,

где dij – расстояние между объектами, вычисленными в процедуре МШ; Dij – исходные различия;

  • шкалирование в псевдоевклидовом пространстве (не выполняется аксиома неравенства треугольника). В данном случае величина расстояния между объектами определяется по формуле



где принимает значение (1) для евклидового пространства и (–1) – для псевдоевклидового. Функция стресса для этих пространств вычисляется и выбирается наименьшая;

  • нечёткое шкалирование (данные описаны «нечёткими» психолингвистическими шкалами).

Совместное использование МШ и КА позволяет провести анализ данных, более адекватный, чем даёт применение каждого метода в отдельности. При больших выборках необходимо сначала провести КА, а затем, с помощью МШ реконструировать пространство всех классов и каждого класса в отдельности (при необходимости). На основании обобщённого опыта было обнаружено, что при КА маленькие классы адекватны данным, часто являясь осмысленными группами, а большие – нет. И, наоборот, при МШ небольшие изменения в данных могут стать причиной существенных изменений в локальном взаимном расположении точек. В то же время общее расположение точек внутри конфигурации является содержательным (см. работы Граева, Суппеса).

Стохастические модели.

Вероятностные модели.

Модели с латентными переменными.

Модели с латентными переменными являются важным классом вероятностных моделей. Они основаны на предположении о том, что наблюдаемые, объясняемые тестами переменные могут быть объяснены с помощью так называемых латентных более глубинных переменных, которые невозможно измерить непосредственно, однако можно оценить их значение косвенно. К методам латентных переменных относятся:

  • конфирматорный факторный анализ,

  • эксплораторный факторный анализ,

  • регрессионный анализ,

  • однофакторный анализ,

  • методы латентных структур.

Мак Дональд предложил обобщённую модель латентных структур.

Цель создания моделей с латентными переменными – объяснение наблюдаемых переменных и взаимосвязей между ними с помощью латентных переменных. При заданном значении наблюдаемых переменных требуется сконструировать множество латентных переменных и функцию, которая достаточно хорошо аппроксимировала бы наблюдаемые переменные, а в конечном счёте – плотность вероятности наблюдаемой переменной.

В факторном анализе основной акцент делается на моделировании значений наблюдаемых переменных, их корреляциях, ковариациях, а в методах латентно-структурного анализа – на моделировании распределения вероятности наблюдаемых переменных.

Модели факторного анализа (ФА).

Работа Пирсона (1901) – первая, которая была посвящена методу главных компонент. Большой вклад при разработке теста на интеллект внесли К.Спирмен (1926, 1946), Л.Тёрстон (1947, 1951), а при разработке теории личности – Р.Кеттел (1947, 1951) и Г.Ю.Айзенк.

Входные данные, обрабатываемые методом ФА, - это корреляционная или ковариационная матрицы. Основная цель – выявление интегральных латентных факторов по наблюдаемым переменным, что означает построение для данной корреляционной матрицы K соответствующей матрицы нагрузок A. Матрица А определяется численными методами, при этом количество факторов не должно превышать количество наблюдаемых переменных. То есть соотношение между n наблюдаемыми переменными должны объясняться возможно меньшим числом латентных факторов.

^ Первый принцип, лежащий в основе классической модели ФА, - постулат о линейной независимости между линейными характеристиками;

Второй – наблюдаемые переменные могут быть представлены как линейная комбинация некоторых латентных факторов. Ряд этих факторов является общим для нескольких переменных, другие – специфические, связанные, в основном, только с одной переменной.

В 60-е годы, в связи с быстрым развитием методов ФА, появилось огромное число различных методов. В дальнейшем проявляется тенденция к обобщениям: возникает нелинейный ФА, построение обобщающей модели с латентными переменными, возникновение и развитие конфирматорного ФА.

Обобщённая математическая модель ФА в матричном виде – это , где ^ A – матрица нагрузок, K – корреляционная матрица, L – матрица ошибок, F – единичная матрица факторов.

Основные этапы ФА:

  1. сбор эмпирических данных и подготовка корреляционной (ковариационной) матрицы;

  2. выделение первоначальных (ортогональных) факторов;

  3. вращение факторной структуры и содержательная интерпретация результатов ФА.

Второй этап – это прежде всего выбор метода ФА. Назовём наиболее используемые из них в психологии.

Метод главных компонент.

Его модель имеет вид

,

где ^ V – матрица собственных векторов, C – диагональная матрица собственных значений. То есть, в данном методе поиск решения идёт в направлении вычисления собственных векторов (факторов), а собственные значения характеризуют дисперсию (разброс) по факторам.

Метод главных факторов.

Для определения числа факторов используются различные статистические критерии, при помощи которой проверяется гипотеза о незначительности матрицы корреляционных остатков.

Метод максимального правдоподобия (Д.Лолли).

В отличие от предыдущего, основывается не на предварительной оценке общностей, а на априорном определении числа общих факторов и, в случае большой выборки, позволяет получить статистический критерий значимости полученного факторного решения.

Метод минимальных остатков (Г.Харман).

Основан на минимизации внедиагональных элементов остаточной корреляционной матрицы; проводится предварительный выбор числа факторов.

Альфа-факторный анализ.

Был разработан специально для изучения психологических данных; выводы носят, в основном, психометрический, а не статистический характер; минимальное количество общих факторов оценивается по собственным значениям и коэффициентам общности. Факторизация образов, в отличие от классического ФА, предполагает, что общность каждой переменной определяется как линейная регрессия всех остальных переменных.
Перечисленные методы отличаются по способу поиска решения основного уравнения ФА. Выбор метода требует большого опыта работы. Однако некоторые исследователи используют сразу несколько методов, выделенные же во всех методах факторы считают наиболее устойчивыми.

Третий этап – это «поворот» факторов в пространстве для достижения простой структуры, в которой каждая переменная характеризуется преобладающим влиянием какого-то одного фактора. Выделяются два класса вращения: ортогональное и косоугольное. К ортогональным методам относятся методы Varymax (Kaiser, 1959) – максимизируется разброс квадратов факторных нагрузок по каждому фактору в отдельности, что приводит к увеличению больших нагрузок и уменьшению – маленьких. Quartymax – простая структура; в отличие от предыдущего метода формируется для всех факторов одновременно. В некоторых случаях важнее получить простую структуру, чем сохранить ортогональность факторов. Для достижения этого используются аналогичные методы косоугольного поворота: Oblymin и Oblymax.

Конфирматорный факторный анализ.

Все описанные выше модели ФА относятся к эксплораторному (поисковому) ФА. Настоящим переворотом в ФА было изобретение конфирматорного (подтверждающего) анализа – КФА.

Основной принцип КФА: в качестве гипотезы формируется структура ожидаемой матрицы факторных нагрузок (весов), которая затем накладывается на заданную корреляционную матрицу. Гипотеза подвергается статистической проверке, и постепенно исследователь приходит к соответствующей экспериментальным данным матрице нагрузок, не прибегая к вращению факторов.

Однако гипотеза должна основываться на серьёзном анализе природы изучаемых переменных и лежащих в их основе факторов. Часто для этого проводится предварительный эксплораторный ФА. В качестве математического аппарата в данной модели используется моделирование с помощью линейных структурных уравнений.

Данный подход предполагает априорное формулирование гипотез относительно количества латентных и измеряемых переменных, а также их взаимосвязи. Можно выделить следующие этапы:

Составляется диаграмма путей, представляющих собой графы, в которых присутствуют измеряемые и латентные переменные, соединённые стрелками (направлены в сторону влияний);

Строятся системы уравнений множественной регрессии; их количество соответствует количеству зависимых переменных;

Проверяется соответствие предложенной модели (системы уравнений) эмпирическим данным;

Осуществляется перебор моделей на данных одной выборки.

Метод КФА позволяет оценить валидность тестов (конструктную, дискриминантную, конвергентную). Использование множества индикаторов для каждого латентного конструкта даёт возможность представить степень, с которой каждая переменная объясняет латентную переменную. Остаточная дисперсия обусловлена случайными флуктуациями. С помощью параметров измерительной модели определяется внутренняя согласованность теста, по которой можно говорить об уровне надёжности измерения. В программе LISREL надёжность измеряемых переменных представляется в виде множественных корреляций этих переменных с латентными конструктами (P.Bentler, 1982, 1992; D.Cole, 1987). Моделирование с помощью латентно-структурных уравнений позволяет также проводить анализ данных лонгитюдного исследования с множественными индикаторами (K.Joreskog, 1979, 1988).

Модель латентных классов.

Все модели латентных структур предполагают локальную независимость характеристик. То есть, для данной латентной характеристики наблюдаемые переменные независимы в смысле теории вероятностей.

В основе модели лежит формула Бэйеса (с учётом экспериментальных данных) их апостериорной плотности распределения. Априорно задаются две латентные характеристики: количество классов (K) и соответствующее им относительное число испытуемых в классе – P(k), а также параметр, позволяющий устанавливать степень вероятности определённого ответа на i-й вопрос при условии, что испытуемый относится к k-му классу – r(k). Априорное задание этих латентных характеристик соответствует гипотезе исследователя, либо задаётся стандартными способами.

Вероятность появления i-го профиля

.

По формуле Бэйеса вычисляется апостериорная (с учётом реальных профилей ответов на вопросы теста) вероятность принадлежности к классу k при условии, что испытуемый имеет i-паттерн ответов:

.

Для каждого класса строится наиболее вероятный профиль ответов его представителей.

Данный метод полезен при адаптации существующих новых опросников и их разработке, а также для анализа результатов исследования. (J.Rost, 1988; Т.Савченко, 1995). При адаптации опросников метод латентно-структурного анализа (LSA) позволяет выделить вопросы теста, которые не соответствуют предложенной модели и подлежат замене или переформулированию. Метод LSA используется также для проведения типологизации по множественному критерию.

Модели научения.

Вероятностные модели представляют самый широкий класс моделей в психологии. Модели такого типа существуют почти во всех её разделах. Далее будут приведены лишь отдельные, наиболее характерные примеры.

Так, в моделях научения есть класс вероятностных моделей. Примером общей вероятностной модели процесса научения является модель, имеющая два подмножества гипотез. (K.Chow, J.Cotton, 1983; Ch.Brainerd, 1982). Согласно этим моделям, испытуемый выдвигает гипотезу из одного подмножества; в случае верного решения в следующем испытании гипотеза выдвигается из этого же множества, а в случае неудачи – с вероятностью p происходит выбор одного из двух подмножеств. Однако модели, имеющие три подмножества гипотез, более адекватно отражают процесс идентификации понятий.

В качестве примера адекватной вероятностной модели можно привести разработанную А.Дрынковым (1985) модель, описывающие кривые научения и представляющую собой автомат-подкрепление со счётным множеством расстояний.

^ Модели принятия решения.

Теория принятия решений представляет собой набор понятий и семантических методов, позволяющих всесторонне анализировать проблемы принятия решений в условиях неопределённости.

Можно выделить три основных подхода к построению моделей процесса принятия решений

  • теорию статистических решений;

  • теорию полезности;

  • теорию игр.

Эти теории нашли применение в психологической практике.

Теория принятия решений.

Теория принятия решений моделирует поведение людей, которые, принимая решения, действуют в соответствии с некоторыми аксиомами. В основе теории принятия решений лежит предположение о том, что выбор альтернатив должен определяться двумя факторами:

  1. представлениями лица, принимающего решение о вероятностях различных возможных исходов, которые могут иметь место при выборе того или иного варианта решения;

  2. предпочтениями, отдаваемыми различным исходам.

Первое – субъективная вероятность, второе – ожидаемая полезность.

Теория полезности.

Основы современной теории полезности были заложены А.Крамером и Д.Бернулли (1738), которые предположили, что для многих людей полезность богатства увеличивается с убывающей скоростью по мере его роста. Лишь в 1931г. философ и математик Ф.Рамсей построил систему аксиом для субъективно ожидаемой полезности. Опираясь на его результаты, Л.Сэвидж (1964) ввел строгую систему аксиом для субъективно ожидаемой полезности, которая формируется из аксиом предпочтения. Теория предпочтения основывается на отношении нестрогого «y не предпочтительнее, чем x» или строгого предпочтения «x предпочтительнее, чем y» (G.Fishburn, 1972). В последних работах чаще используется строгое предпочтение. Функция U называется функцией полезности для отношения предпочтения на X, если u(x) > u(y) для любых x и y, таких, что x y.

В настоящее время модель Севиджа для субъективно ожидаемой полезности получила наибольшее признание среди теорий принятия решений с риском: SEU = P* U, где SEU – субъективно ожидаемая полезность исхода; U –полезность наступившего исхода; P* - субъективная вероятность наступившего исхода. Субъективная вероятность – число, выражающее степень возможности данного события (по мнению субъекта).

С.Стивенс и Е.Галантер (1957) получили линейную функцию субъективной вероятности с искажениями на концах шкалы. Позже А.Тверски и Д.Канеман (1974) показали, что люди недооценивают низкие вероятности и переоценивают высокие.

В теории максимизации принимаются аксиомы, комбинирующие субъективную вероятность и полезность.

В теории принятия решений оценки вероятностей, полученные на основе суждения одного лица, входят в сумму , где Ei (i = 1, 2, …, n) полный набор взаимоисключающих событий, и если она не равна единице, то меняются рассматриваемые оценки [Keeney, 1974]. Для оценки распределения вероятностей величин, имеющих большое количество значений, берётся несколько значений точек функции распределения этой величины, и находится кривая, оптимально проходящая через эти точки.

Если необходимо использовать уже имеющиеся данные совместно с экспертными оценками, то теорема Бэйеса даёт возможность уточнить вероятностные оценки с учётом полученной дополнительной информации. Для дискретного случая теорема имеет вид:

,

где ^ S –данные, - вероятность события E при данном S, а - вероятность S при данном E. Функция и означают соответственно априорную и апостериорную вероятности для дискретного случая.

Достаточно широкий диапазон суждений можно выразить посредством функции одного класса. Функции внутри класса можно изменять используя теорему Бэйеса.

Существуют четыре важных этапа процесса принятия решений:

  1. определение альтернативных способов действия;

  2. описание вероятностей возможных исходов;

  3. ранжирование предпочтений возможных исходов через их полезность;

  4. рациональный синтез информации, полученной на первых трёх этапах.

Теория игр.

Теория игр является «теорией математических моделей принятия оптимальных решений в условиях конфликта»3. Она используется для моделирования поведения в конфликтной ситуации.

Под конфликтом понимается явление, применительно к которому можно указать, какие стороны и как в нём участвуют, какие возможны исходы, кто и как в них заинтересован.

Понятие игры в теории игр аналогично понятию конфликта в психологии.

Понятие оптимальности поведения сторон представляет наиболее важный элемент теоретико-игрового подхода к изучению конфликтов, так как выбор принципа оптимальности фактически равнозначен формализации представлений исследователя о модели принятия решений в подобных ситуациях. Одним из наиболее распространённых является принцип максимально гарантированного результата, заключающийся в том, что сторона принимающая решение, всегда выбирает действие, дающее максимально гарантированный эффект независимо от действий других участников конфликта.

Родоначальником теории игр является Джон фон Нейман. В России это – Ю.Гермейер, Г.Поспелов. Теория игр, так же как и теория принятия решений, - самостоятельное направление в исследовании операций; она используется во многих науках в качестве аппарата моделирования и аппарата представления. Различаются игры:

  • позиционные и в нормальной форме;

  • антагонистические и с непротивоположными интересами;

  • двух лиц и n лиц.

Игра считается полностью заданной, если известно количество участников, их стратегии и матрицы возможных исходов. В конечной игре существуют гарантированные стратегии, обеспечивающие участнику выигрыш, не меньший, чем гарантированный.

Л.Севидж ввёл понятие риска. Он работал с матрицей риска, дополняющей матрицу полезности. Иначе говоря, выбирается действие, приводящее к минимизации максимально возможного риска.

Ю.Гермейер ввёл аналогичный критерий для игр с непротивоположными интересами. Модели, разработанные на основе теории игр, дают хороший прогноз, однако при моделировании вводится достаточно много ограничений, а также не учитываются личностные характеристики участников, поэтому, несмотря на усовершенствовании математической теории игр, она обладает существенными ограничениями. В связи с этим, актуальной задачей математической психологии в данном направлении можно считать создание формальных математических моделей поведения человека в зависимости от его субъективного опыта, личностных характеристик и мотивации (Т.Савченко, 1990). Важным приложением аппарата теории игр является его использование в экспериментальной психологии в качестве экспериментальной методики изучения поведения в ситуации с непротивоположными интересами (А.Раппопорт, К.Терхьн, М.Пилмак, А.Лебедев, Т.Савченко).

^ Динамическое программирование.

Модели целенаправленного поведения.

Рассмотрим одну из моделей психомоторного акта, которая описывает решения и действия. Г.В.Кореневым (1989) предложена схема выработки решения и приведения его в действие. Решение человека реализуется в выполнении движения, результатом которого является достижение конечной цели. Модель – это идентифицирование обстановки, сопоставление её с определённым психомоторным актом и принятие решения о выполнении движения, которое обеспечивает предвидимое будущее. Принятое решение реализуется через команды, приводящие в действие мышечный аппарат и формирование акцептора результатов действия для сравнения настоящего с предвидимым будущим. Модель психомоторного акта связывает с каждым классом обстановки свою программу движения, выражающего волю человека. В качестве базисной модели используется система дифференциальных уравнений классической динамики, которую пополняют программные и корректирующие силы. Влияние обстановки задаётся классификационными уравнениями. Решение систем уравнений достаточно сложно – система обладает большим числом степеней свободы.

Модели научения.

Самые первые модели, применённые для описания процесса научения, представляли кривую научения как зависимость качества решения задачи от количества повторений (Р.Аткинсон, Г.Бауэр, 1969; Р.Буш, Ф.Мостеллер, 1962). Теория Торндайка трактует процесс научения как дифференциальное подкрепление существующих связей между раздражителями и ответами. Для К.Халла научение состоит в образовании связей, которые понимаются как устойчивые состояния. Для моделирования состояния были применены конечные автоматы. Под воздействием стимула подкрепления происходит смена состояний, определяющих связи между раздражителями и ответами. Для описания такой структуры использовались автоматы подкрепления, являющиеся частным случаем автоматов состояния. Эти автоматы могут моделировать процесс научения.

Многие исследователи для описания процесса научения обращаются к понятию выдвижения гипотез. Эти модели сходны с моделями, основанными на автоматах подкреплений. Термины «множество состояний» и «множество гипотез» эквивалентны. Для описания процесса перехода из состояния в состояние или смены гипотез часто применяется аппарат цепей Маркова. Существенным недостатком моделей этого класса является то, что они не отражают структуру связей между ситуациями и реакциями на них в процессе научения, не описывают процессов формирования и модификации гипотез.

^ Модели интеллекта.

Теоретики искусственного интеллекта (ИИ) дают различные определения этого понятия, соответственно которым в исследованиях выделяются две основные цели:

^ Первая – создание программ для автоматизации интеллектуальной человеческой деятельности (П.Уинстон).

Вторая, связанная с исследованиями в психологии, - использование программ ИИ для объяснения процессов, протекающих у человека при решении тех или иных задач (Н.Нильсон, Т.Фейген).

Э.Хант (1978) под содержанием понятия «искусственный интеллект» понимает: игры, распознавание образов, решение задач, адаптивное программирование, принятие решений, обработку данных на естественном языке и т.д. Многие концепции ИИ, несомненно, повлияли на развитие психологической науки.

При моделировании интеллекта в психологии можно выделить следующие подходы:

  • аппарат распознавания образов, который основан на процедуре Бэйеса;

  • классический статистический подход;

  • размытые множества;

  • синергетика.

Теория размытых множеств и синергетика относятся к новейшим подходам.

Современные исследования в этой области начались в Институте Карнеги с написания программ, решающих задачи. Основной интерес представляло то, как люди решают задачи (А.Ньюэлл, Г.Саймон, 1972). В работах многих других исследователей ИИ рассматривается скорее как расширение математики, а не как дисциплина математической психологии (Дж.Мак-Карти, М.Минский, 1961). Другое направление ИИ – это распознавание образов, которое начиналось с машинных программ классификации. В дальнейшем О.Селфридж (1959) предложил осуществлять распознавание образов, вычисляя «взвешенную» сумму ряда классификаций. К проблеме распознавания можно «подходить», анализируя аналогии, которые прослеживаются в биологических процессах. Мак-Каллок и Питте (1943) доказали, что любую функцию можно реализовывать с помощью должным образом организованной сети идеальных нейронов. Логическим продолжением нейрологических теорий явилось понятие перцептрона.

^ Перцептронные модели.

Перцептрон возник как система, предназначенная для решения задач распознавания образов (М.Минский, С.Пейперс, 1971). Идея создания перцептрона принадлежит Ф.Розенблатту (1965). Изучением данного типа моделей занималось много исследователей (Ф.Розенблатт, 1965; С.Пейперс, М.Минский, 1970; О.Селфридж, Н.Нельсон, 1969; В.Якубович, 1966). Наибольшее эмпирическое подкрепление эти модели получают в психофизиологии, например, - рефлекторная дуга Е.Соколова (1981). Одной из наиболее известных моделей, основанных на понятии перцептрона, является система «Пандемониум», предложенная О.Селфериджем (1974). Модели такого класса позволили выделить типы научения. Перцептронные модели поведенчески эквивалентны автоматным моделям, но дают возможность представить механизм связи и её модификации при научении между ситуациями и ответными реакциями.

Моделирование естественного языка.

В.В.Налимов разработал вероятностную модель языка с помощью моделирования смысла слов. С каждым словом вероятностным образом связывается множество смыслов. Смысловые значения служат функцией распределения для индивида или однородной группы. В результате формируется модель понимания индивидом некоторого текста. В этих моделях используется традиционный аппарат теории вероятностей (Налимов, 1971).

В области ИИ на рубеже тысячелетия так же, как и во многих других науках происходит смена парадигм.

В девяностых годах определились новые парадигмы в ИИ.

^ Первая – создание теории однородных сред, элементами которых являются устройства, подобные нейронам.

Втораякомпьютерная графика, помогающая решать задачи с помощью образного мышления. Когнитивная интерактивная компьютерная графика является средством воздействия на правополушарное мышление человека в процессе научного творчества.

Третья – специалисты различных направлений в области ИИ считают важным развитие работ, касающихся представлений знаний и манипулирования ими (экспертные системы).

Нетрадиционные методы моделирования.

Моделирование на «размытых» множествах.

Нетрадиционный подход к моделированию связан с приписыванием элементу некоторой числовой оценки, которая не может объясняться объективной или субъективной вероятностью, а трактуется как степень принадлежности элемента к тому или иному множеству. Множество таких элементов называется «нечётким» или «размытым» множеством.

Каждое слово x естественного языка можно рассматривать как сжатое описание нечёткого подмножества M(x) полного множества области рассуждений U, где M(x) есть значение x. В этом смысле весь язык как целое рассматривается в качестве системы, в соответствии с которым нечётким подмножествам множества U приписываются элементарные или составные символы (т.е. слова, группы слов и предложения). Так, цвет объекта - как некоторую переменную, значения этой переменной (красный, синий, жёлтый, зелёный и т.д.) можно интерпретировать как символы нечётких подмножеств полного множества всех объектов. В этом смысле цвет является нечёткой переменной, то есть переменной, значениями которой являются символы нечётких множеств. Если значения переменных – это предложения в некотором специальном языке, то в данном случае соответствующие переменные называются лингвистическими (Л.Заде, Ю.Шрейдер).

^ Синергетика в психологии.

Ещё одна альтернатива традиционному математическому аппарату – синергетический подход, в котором математическая идеализация проявляется чувствительностью к начальным условиям и непредсказуемостью исхода для системы. Поведение можно описать с помощью апериодических и поэтому непредсказуемых временных рядов, не ограничиваясь при моделировании стохастическими процессами. Беспорядок в обществе может предшествовать появлению новой структуры, в то время как стохастические системы имеют низкую вероятность порождения интересных структур. Именно апериодические решения детерминированных уравнений, описывающих самоорганизующиеся структуры, помогут прийти к пониманию психологических механизмов самоорганизации (Фриман, 1992). В этих работах разум рассматривается как «странный аттрактор», управляемый уравнением сознания. Математически «странный аттрактор» - это множество точек, к которому приближается траектория после затухания переходных процессов.

В основе большинства традиционных моделей психотерапии лежит концепция равновесия. Согласно синергетическому подходу, разум является нелинейной системой, которая при далёких от равновесия условиях превращается в части сложных аттракторов, а равновесие – лишь предельный случай. Этот тезис развивают теоретики психотерапии, выбирая тот или иной аспект теории хаоса. Так, например, выделяется феномен хаотического в психофизиологической саморегуляции (Stephen, Franes, 1992) и обнаруживаются аттракторы в паттернах семейного взаимодействия (L.Chamber, 1991).

Рекомендуемая литература:

  • Анастази А. Психологическое тестирование. М.: Педагогика, 1982.

  • Берка К. Измерение: понятие, теории, проблемы. М.: Прогресс, 1987.

  • Благуш П. Факторный анализ в обобщении. М.: Финансы и статистика, 1989.

  • Будущее искусственного интеллекта. М.: Наука, 1991.

  • Головина Г.М., Крылов В.Ю., Савченко Т.Н. Математические методы в современной психологии: статус, разработка, применение. М.: ИП РАН, 1995.

  • Девидсон М. Многомерное шкалирование. М.: Финансы и статистика, 1987.

  • Исследование операций / Под ред. Дж.Моудер. М., 1981.

  • Классификация и кластер. М.: Мир, 1980.

  • Кочетков В.В., Скотникова И.Г. Индивидуально-психологические проблемы принятия решения. М.: Наука, 1993.

  • Крылов В.Ю. Геометрическое представление данных в психологических исследованиях. М.: Наука, 1980.

  • Крылов А.Ю., Казанцев А.Ю. Модель рефлексивного поведения В.А.Лефевра: частные случаи, варианты аксиоматики, возможные обобщения. М., 1995.

  • Лефевр В.А. Формула человека. М.: Прогресс, 1991.

  • Лоули Д., Максвелл А. Факторный анализ как статистический метод. М.: Мир, 1967.

  • Льюис Р., Райфа Х. Игры и решения. М., 1961.

  • Математические методы в исследованиях индивидуальной и групповой деятельности / Под ред. В.Ю.Крылова. М.: ИП АН СССР, 1989.

  • Нейман Дж. фон, Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М.: 1970.

  • Нормативные и дескриптивные методы принятия решений. М.: Наука, 1981.

  • Плюта В. Сравнительный многомерный анализ в экономическом моделировании. М.: Статистика, 1981.

  • Шошин П.Б. Психологические измерения / Под ред. М.Б.Михайлевской. М.: МГУ, 1989. Ч. I.

  • Статистические методы для ЭВМ / Под ред. К.Энслейна, Э.Рэстона, Г.С.Уилфа. М.: Наука, 1976.

  • Терёхина А.Ю. Анализ данных методами многомерного шкалирования. М.: Наука, 1986.

  • Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Анализ данных на компьютере. М.: Финансы и статистика, 1995.

  • Хант Э. Искусственный интеллект. М. Мир, 1978.

  • British Journal of Mathematical and Statistical Psychology / British Psycol. Soc. 1988. № 41.

  • Handbook of Mathematical Psychology. N.Y.: John Willey and Sons, Inc., 1963.

  • Handbook of Mathematical Psychology. N.Y., 1973.

  • Journal of Mathematical Psychology. 1991. V. 35.

  • Psychometrica. 1993. V. 3.

  • Psychological Science. 1992. № 2.



^ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ — приближённое описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выражен­ное с помощью математической символики. Анализ Математической модели позволяет проникнуть в сущность изучаемых явлений. Математическая модель - мощный метод познания внешнего мира, а также прогнозирования и управления. Процесс математического моделирования, т. е. изучения явления с помощью математической модели, можно подразделить на четыре этапа.

Первый этап — формулирование законов, связываю­щих основные объекты модели. Этот этап требует широ­кого знания фактов, относящихся к изучаемым явлениям, и глубокого проникновения в их взаимосвязи. Эта ста­дии завершается записью в математических терминах сформу­лированных качественных представлений о связях между объектами модели.

Второй этап — исследование математических задач, к которым приводят математические модели. Основным вопросом здесь является реше­ние п р я м о й з а д а ч и, т.е. получение в результате анализа модели выходных данных (теоретических следствий) для дальнейшего их сопоставления с результатами на­блюдений изучаемых явлений. На этом этапе важную роль приобретает математический аппарат, необходимый для анализа математической модели, и вычислительная техника — мощное средство для получения количественной выходной информации как результата решения сложных математических задач. Часто математические задачи, возникающие на основе математической модели различных явлений, бывают одинаковыми (например, основная задача линейного программирования отражает ситуации: различной природы). Это даёт основание рас­сматривать такие типичные математические задачи как само­стоятельный объект, абстрагируясь от изучаемых яв­лений.

Третий этап — выяснение того, удовлетворяет ли при­нятая гипотетическая модель критерию практики, т. е. выяс­нение вопроса о том, согласуются ли результаты наблю­дений с теоретическими следствиями модели в пределах точ­ности наблюдений. Если модель была вполне определена (все параметры её были заданы), то определение уклонений теоретических следствий от наблюдений даёт решения прямой задачи с последующей оценкой уклонений. Если укло­нения выходят за пределы точности наблюдений, то модель не может быть принята. Часто при построении модели некоторые её характеристики остаются не определёнными. Задачи, в которых определяются характеристики модели (параметрические, функциональные) таким образом, чтобы выходная информация была сопоставима в пределах точ­ности наблюдений с результатами наблюдений изучаемых явлений, называются обратными з а д а ч а м и. Если математическая модель такова, что ни при каком выборе характеристик этим условиям нельзя удовлетворить, то модель непригодна для исследования рассматриваемых явлений. Применение критерия практики к оценке математической модели позволяет делать вывод о правильности положений, лежащих в основе под­лежащей изучению (гипотетической) модели. Этот метод является единственным методом изучения недоступных нам непосредственно явлений макро- и микромира.

Четвертый этап — последующий анализ модели и связи с накоплением данных об изучаемых явлениях и модер­низация модели. В процессе развития науки и техники данные об изучаемых явлениях всё более и более уточ­няются и наступает момент, когда выводы, получаемые на основании существующей математической модели, не соответствуют нашим знаниям о явлении. Таким образом, возникает необхо­димость построения новой, более совершенной математической модели.

Типичным примером, иллюстрирующим характерные этапы в построении математической модели, является модель Солнечной системы. Наблюдения звёздного неба начались в глубокой древности. Первичный анализ этих наблюдений позволил выделить планеты из всего многообразия небесных светил. Таким образом, первым шагом было выделение объектов изучения. Вторым шагом явилось определение законо­мерностей их движений. (Вообще определения объектов и их взаимосвязей являются исходными положениями — «аксиомами» - гипотетической модели.) Модели Солнечной системы в процессе своего развития прошли через ряд последовательных усовершенствований. Первой была мо­дель Птолемея (II в. н. э.), исходившая из положения, что планеты и Солнце совершают движения вокруг Земли (геоцентрическая модель), и описывавшая эти движения с помощью правил (формул), многократно усложнявшихся при накоплении наблюдений.

Развитие мореплавания поставило перед астрономией новые требования к точности наблюдений. Н. Копер­ником в 1543 была предложена принципиально новая основа законов движения планет, полагающая, что пла­неты вращаются вокруг Солнца по окружности (гелиоцентрическая система). Это была качественно новая (но не математическая) модель Солнечной системы. Однако не существовало параметров системы (радиусов окружностей и угловых скоростей движения), приводящих количест­венные выводы теории в должное соответствие с наблю­дениями, так что Н. Коперник был вынужден вводить поправки в движения планет по окружности (эпициклы).

Следующим шагом в развитии М. м. Солнечной системы были исследования И. Кеплера (начало XVII в.), к-рые сфор­мулировал законы движения планет. Положения Н. Ко­перника и И. Кеплера давали кинематическое описание дви­жения каждой планеты обособленно, не затрагивая ещё причин, обусловливающих эти движения.

Принципиально новым шагом были работы И. Нью­тона, предложившего во 2-й половине XVII в. динамическую модель Солнечной системы, основанную на законе всемирного тяготения. Динамическая модель согласуется с кинематической моделью, предложенной И. Кеплером, т. к. из динамической системы двух тел «Солнце — планета» следуют законы Кеплера.

К 40-м гг. XIX в. выводы динамической модели, объектами которой были видимые планеты, вошли в противоречие с накопленными к тому времени наблюдениями. Именно, наблюдаемое движение Урана уклонялось от теоретически вычисляемого движения. У. Леверье в 1846 расширил систему наблюдаемых планет новой гипотетической планетой, названной им Нептуном, и, пользуясь новой математической моделью Солнечной системы определил массу и закон движения новой планеты так, что в новой системе противоречие движения Урана было снято. Планета Нептун была открыта вместе указанном У. Леверье. Аналогичным методом, используя расхождения в теоретической и наблюда­емой траектории Нептуна, в 1930 г. была открыта планета Плутон.

Метод математического моделирования, сводящий исследо­вание явлений внешнего мира к математическим задачам, занимает ведущее место среди других методов исследо­вания. Он позво­ляет проектировать новые технические средства, работающие в оптимальных режимах, для решения сложных задач науки и техники; проектировать новые явления. Математические модели проявили себя как важное средство управления. Они применяются в самых различных областях знания, стали необходимым аппаратом в области экономического планиро­вания и являются важным элементом автоматизированных систем управления.


1 Крылов, 1995.

2 Handbook, 1963.

**Формула, которую я попытался здесь развернуть, в книге имеет вид:
rsij = 1 – 6(SUM {(xik – xjk}2) / n (n – 1).

3 Ю.Гермейер, 1972.

Ё



Скачать файл (705.8 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru