Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Лекции - Теория, расчет и конструирование компрессорных машин динамического действия - файл 3_Газодинамические основы.doc


Загрузка...
Лекции - Теория, расчет и конструирование компрессорных машин динамического действия
скачать (6312.1 kb.)

Доступные файлы (22):

0_введение.doc37kb.29.01.2007 16:23скачать
0_обложка.doc667kb.26.01.2007 04:00скачать
10_Методы регулирования ТК.doc887kb.29.01.2007 22:01скачать
11_Нестационарные процессы.doc794kb.29.01.2007 23:48скачать
12_Проектирование.doc3407kb.30.01.2007 00:19скачать
13_роторы.doc702kb.30.01.2007 00:31скачать
14_Многоступенчатые компрессоры.doc1958kb.30.01.2007 00:42скачать
15_Уплотнения ТК.doc863kb.30.01.2007 16:13скачать
16_Технология.doc741kb.30.01.2007 01:30скачать
17_эксплуатация ТК.doc242kb.30.01.2007 01:32скачать
1_Классификация и принцип действия.doc251kb.29.01.2007 16:37скачать
2_Термодинамические основы.doc936kb.22.02.2007 19:03скачать
3_Газодинамические основы.doc1762kb.30.01.2007 16:35скачать
4_Физические явления.doc837kb.29.01.2007 17:25скачать
5_Безразмерные газодинамические параметры.doc861kb.11.05.2007 18:57скачать
6_Кинематические схемы ступеней КМДД.doc501kb.29.01.2007 18:19скачать
7_Пространственое течение.doc1865kb.05.07.2007 11:49скачать
8_Характеристики ТК.doc966kb.29.01.2007 21:36скачать
9_Работа компрессоров на сеть.doc631kb.29.01.2007 21:51скачать
Библиографический список.doc43kb.30.01.2007 04:36скачать
Литература.doc46kb.19.06.2004 02:22скачать
Оглавление.doc153kb.30.01.2007 04:29скачать

3_Газодинамические основы.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...
3. Газодинамические основы теории турбокомпрессоров
3.1. Трехмерный характер потока в проточной части турбокомпрессора
Подвод энергии к газу от вращающихся лопаточных аппаратов, а также преобразование энергии в неподвижных аппаратах, происходит в результате силового взаимодействия потока газа с элементами проточной части турбомашин. Характер этого взаимодействия определяется распределением параметров газового потока ().

В реальной проточной части турбокомпрессора поток газа является пространственным (трехмерным) и нестационарным.

В теории турбокомпрессоров для описания распределения параметров газового потока в проточной части пользуются либо цилиндрической , либо прямоугольной системой координат (рис. 3.1):

; ,

где z – ось вращения; r – радиус; u – направление вращения; – угловая координата; – радиус-вектор точки ^ А.

Координата вдоль оси u связана с угловой координатой соотношением u=rд .

Поскольку проточная часть турбокомпрессора представляет собой систему неподвижных и вращающихся аппаратов (лопаточных и безлопаточных), то частицы газа, движущиеся во вращающихся элементах, будут одновременно участвовать в двух движениях – относительном (относительно стенок вращающегося лопаточного аппарата) и переносном (вращательном движении вокруг оси вращения z).

^ Переносная (окружная) скорость точки А связана с угловой скоростью вращения ω [рад/с] и расстоянием от оси вращения до точки А соотношением:

. (3.1)

По отношению к вращающейся системе координат, связанной с рабочим колесом, частицы газа движутся с относительной скоростью , которая направлена по касательной к траектории (линии тока) частицы газа во вращающемся канале.

В неподвижной системе координат, связанной с корпусом компрессора, частицы газа имеют абсолютную скорость , которая является векторной суммой переносной и относительной скоростей.

.

Если вектор скорости , разложить на проекции, на оси координат (рис. 3.2), то

, (3.2)

где – меридиональная (расходная) составляющая абсолютной скорости, она определяет количество газа прошедшего через проточную часть; – окружная составляющая абсолютной скорости (закрутка потока).

а) б)

Рис. 3.1. Пространственный поток в цилиндрической системе координат:

а) рабочее колесо осевого компрессора; б) рабочее колесо центробежного компрессора


Рис. 3.2. Разложение вектора абсолютной скорости на оси координат

В проточной части осевого компрессора расход газа в основном определяется осевой составляющей абсолютной скорости , а радиальная составляющая , тогда .

В проточной части центробежного компрессора движение газа происходит, в основном, от центра к периферии, и расход определяется радиальной составляющей , а осевая , т.е. .

Однако, строго говоря, пренебрежение одной из компонент меридиональной скорости не всегда является справедливым.
^ 3.2. Основные уравнения механики жидкости и газа
На частицу газа в потоке действуют поверхностные, массовые силы и силы инерции. К поверхностным относятся силы давления и силы трения, к массовым – сила тяжести, силы магнитного и электрического взаимодействия.

  1. Уравнение движения

Согласно принципу Даламбера, сила инерции равна и противоположно направлена сумме всех сил, действующих на частицу газа:

, (3.3)

где – сила инерции; – сумма внешних сил (массовых и поверхностных ).

В механике сплошных сред сила инерции, отнесенная к единице массы частицы газа, Н/кг:

. (3.4)

При течении газа в проточной части турбокомпрессора массовые силы (сила тяжести) незначительны по сравнению с силами трения и силами давления

. (3.5)

Сила давления

, (3.6)

где – градиент давления (– единичные векторы положительных направлений осей z, r, u.

Сила трения представляет собой дивергенцию тензора скоростей деформации

, (3.7)

где – для оси r; – для оси z; – для оси u; – коэффициент кинематической вязкости, м2/с; μ – коэффициент динамической вязкости, Па·с.

Из уравнений (3.3), (3.6) и (3.7) можно получить основное уравнение движение вязкого газа – уравнение Навье-Стокса. Запишем его в проекциях на оси координат, используя форму математической записи через оператор Гамильтона [3]:

, (3.8)

где (– оператор Гамильтона, =2=· – оператор Лапласа).

Стоящие в левой части уравнения (3.8) силы инерции в проекциях на оси координат расписываются через частные производные

,

,

.

Для идеального газа (без учета вязкости) уравнения Навье-Стокса (3.8) преобразуются к уравнениям Эйлера:

. (3.9)

В проекциях на оси:

. (3.10)

Неизвестными в уравнениях Навье-Стокса и Эйлера являются 5 величин: проекции абсолютной скорости Cr, Cu, Cz, давление Р и плотность ρ.


  1. Уравнение неразрывности (сохранения массового расхода):

, (3.11)

где

В случае стационарного потока , тогда

=0.

В случае одномерного потока для струйки тока

.

Для ступени турбокомпрессора

.


  1. Уравнение энергии:

. (3.12)


  1. Уравнение состояния:

– идеального газа

; (3.13)

– реального газа

.
Система уравнений (3.8), (3.11), (3.12), (3.13) включает в себя 6 уравнений с шестью неизвестными. Кроме Сr, Cu, Cz, P, ρ, уравнение состояния вносит шестую неизвестную – температуру Т. Если учитывать теплообмен с окружающей средой, то появляется седьмое неизвестное – количество подведенной (отведенной) теплоты qвн. Дополнительный уравнением будет условие теплообмена с окружающей средой, описываемое уравнением Ньютона:

, (3.14)

где αкоэффициент теплоотдачи, Вт/(м2·К); Токр – температура окружающей среды, К; F – площадь поверхности теплообмена, м2.

Таким образом, система уравнений получается замкнутой. И сформулировав граничные (а в случае нестационарного движения и начальные) условия теоретически эта система может быть решена. Однако в настоящее время отсутствует возможность интегрирования уравнений Навье-Стокса, Эйлера и Рейнольдса [3] в полной форме. На практике идут на различные упрощения: считают процесс стационарным, переходят к двух и одномерным моделям течения, не учитывают вязкость. Обоснованность этих допущений должна быть оговорена для каждой конкретной задачи и опираться на опытные данные.
^ 3.3. Преобразование уравнений движения методами теории подобия
В большинстве важных практических случаев применение уравнений Навье-Стокса и Эйлера возможно путем преобразования этих уравнений методами теории подобия.

Напомним основные понятия и определения теории подобия, известные из дисциплины «Механика жидкости и газа».

^ Теория подобия – учение о методах научного обобщения эксперимента. Применение теории подобия позволяет вместо дорогостоящих опытов на промышленной аппаратуре выполнять исследования на моделях значительно меньшего размера.

Подобными называют явления, для которых постоянны отношения характеризующих их сходственных величин.

^ Константами подобия называются безразмерные масштабные множители, выражающие отношения однородных сходственных величин подобных систем.

Инвариантами подобия называются безразмерные отношения каких-либо двух размеров одной системы, равные отношению сходственных размеров подобной системы.
Например: a, b, l – размеры модели; A, B, L – размеры натуры.

– константа геометрического подобия;

– инвариант геометрического подобия.
Константы и инварианты подобия, полученные отношением линейных размеров, являются условиями геометрического подобия. Другими словами, геометрическое подобие соблюдается при равенстве отношений всех сходственных линейных размеров натуры и модели.

Инварианты подобия не обязательно могут быть выражены отношением линейных размеров модели и натуры. В них могут фигурировать любые физические величины процессов, протекающих в модели и натуре.

Инварианты подобия, выраженные отношениями двух однородных физических величин, называются симплексами.

Инварианты подобия, выраженные отношениями разнородных физических величин, представляют собой безразмерные комплексы.

^ Динамическим подобием называют условия подобия сил, действующих на сходственные частицы в натуре и модели. Динамическое подобие обеспечивается равенством безразмерных комплексов в модели и натуре.

^ Кинематическим подобием называют условие подобия траектории движения сходственных частиц в натуре и модели.

Основные положения теории подобия обобщаются теоремами подобия.

^ 1-я теорема подобия (теорема Ньютона): При подобии систем всегда могут быть найдены такие безразмерные комплексы величин, которые для сходственных точек данных систем одинаковы.

^ 2-я теорема подобия (теорема Бэкингема): Решение любого дифференциального уравнения может быть представлено в виде зависимости между безразмерными комплексами этих величин, то есть между критериями подобия.

^ 3-я теорема подобия (Кирпичев): Подобны те явления, определяющие критерии которых численно равны .

Теория подобия позволяет преобразовать уравнения Навье–Стокса и получить из них некоторую общую функциональную зависимость между критериями подобия, характеризующими силы, действующие при движении вязкого газа или жидкости.

Запишем уравнение Навье–Стокса для оси z (с учетом массовых сил – сил тяжести)

.

Критерии подобия можно получить путем деления левой части дифференциального уравнения на правую (или наоборот) и последующего отбрасывания знаков математических операторов.

Если поток стационарный, то .

Если течение одномерное, то

.

Отбрасывая знаки дифференциалов и заменяя текущую координату z на некоторый определяющий линейный размер l, получим

.

Разделим правую часть уравнения на левую, которая представляет собой силу инерции

.

В правой части мы получили выражения, характеризующие соотношения между соответствующими силами и силой инерции, то есть за масштаб принята сила инерции.

Комплекс называется критерием Фруда. Чтобы избежать чисел < 1, пользуются обратным выражением

.

Критерий Фруда представляет собой меру отношения сил инерции к силе тяжести в подобных потоках.

Комплекс называется критерием Эйлера. Обычно вместо давления ^ Р используется перепад давлений Р:

.

Критерий Эйлера представляет собой отношение изменения силы гидростатического давления к силе инерции в подобных потоках.

Комплекс величин называется критерием Рейнольдса. Чтобы избежать чисел меньше 1, используют обратное отношение:

.

Критерий Рейнольдса представляет собой отношение силы трения к силе инерции в подобных потоках.

При неустановившемся движении . Заменив член, отражающий влияние нестационарности движения

,

получаем критерий гомохронности (^ Но) или критерий Струхала (Sh)

.

Критерий Струхала учитывает неустановившийся характер движения в подобных потоках.

В турбокомпрессорах вместо критерия Эйлера обычно пользуются двумя другими безразмерными параметрами – числом Маха () и показателем изоэнтропы . Они связаны между собой. Если вместо перепада давлений ΔР взять абсолютное давление Р и заменив , получим

.

Следовательно, число Маха и показатель изоэнтропы также могут считаться критериями динамического подобия.

Если какой-либо параметр не влияет на протекание процесса, то процесс называют автомодельным по отношению к этому параметру.
^ 3.4. Основы одномерной теории компрессорных машин динамического действия
3.4.1. Геометрические характеристики профиля и решетки
При анализе процессов, происходящих в ступени турбокомпрессора, вместо пространственных лопаточных решеток удобно рассматривать совокупность кольцевых или круговых решеток [2, 4].

Кольцевая решетка получается, если рассечь рабочее колесо и направляющий аппарат осевого компрессора на некотором диаметре цилиндрическим сечением. Развернув это цилиндрическое сечение на плоскость, получим плоскую кольцевую решетку профилей.

Круговая решетка профилей получается, если рассечь рабочее колесо центробежного компрессора плоскостью, перпендикулярной к оси вращения.

Рассмотрим основные геометрические параметры профиля и решетки профилей.

Профилем в осевом компрессоре называют сечение лопатки плоскостью перпендикулярной радиусу.

Профилем в центробежном компрессоре называют сечение лопатки плоскостью, перпендикулярной оси вращения.

Профили лопаток осевых и центробежных компрессоров имеют свои особенности, но характеризуются, в принципе, одними и теми же геометрическими параметрами. Рассмотрим некоторый профиль (рис. 3.3).

Рис. 3.3. Профиль лопатки

Средней линией профиля называется линия, равноотстоящая от ее выпуклых и вогнутых сторон. Часто среднюю линию проводят через центры вписанных окружностей.

^ Внешней хордой называется проекция профиля на касательную к двум точкам вогнутой поверхности.

Внутренней хордой называется отрезок прямой, соединяющий концы средней линии.

Различие между внешней и внутренней хордами невелико, поэтому в дальнейшем будем употреблять термин хорда, подразумевая под ним внешнюю хорду, т.к. она проще определяется.

^ Толщиной профиля S называется расстояние между выпуклой и вогнутой сторонами, отсчитываемое перпендикулярно хорде. Иногда за толщину профиля принимают расстояние между выпуклой и вогнутой сторонами, отсчитываемое перпендикулярно средней линии.

Максимальной стрелой прогиба fmax называется расстояние от хорды до вершины средней линии.

Положение вершины средней линии относительно передней кромки определяется координатой Вf . Положение максимальной толщины профиля – координатой ВS.

Направление входной кромки профиля определяется углом χ1 между хордой и касательной к средней линии в точке ее пересечения с передней кромкой профиля. Аналогично направление выходной кромки определяется углом χ2 .

Изогнутость профиля определяется углом изогнутости – углом между касательными в крайних точках профиля

 = 1+2 .

Линейные размеры профиля удобно представлять в безразмерном виде, выбирая в качестве масштаба хорду профиля

; ; ; и т.д.

Изогнутость профиля осевого компрессора получают изгибом средней линии исходного профиля, у которого средняя линия – прямая, по какому-либо закону, например параболическому:

,

при x =0: ; y =0; при x = B: ; y =0;

А=0,5(ctg 1- ctg2); C=B; D= B·ctg1;

.

Средняя линия профилей лопаток рабочих колес, диффузоров и обратных направляющих аппаратов центробежных компрессоров в большинстве случаев выполняется по дуге окружности. Радиус этой окружности находится интегрированием уравнения

(3.15)

для РК между сечениями 1 и 2, соответствующим радиусам R1 и R2 (рис. 3.5)

. (3.16)

Радиус расположения центров окружностей, очерчивающих среднюю линию лопаток:

. (3.17)

Решетка профилей характеризуется следующими параметрами (рис. 3.4–3.7):

  • шаг решетки t – расстояние между двумя сходственными точками смежных профилей;

  • угол установки профилей (для РК – βВ , для НА – αВ) – угол между хордой и фронтом решетки;

  • угол установки лопатки на входе

для РК (βл1) – угол между касательной к средней линии профиля в передней точке и направлением, противоположным направлению вращения решетки;

для НА (αл3) – угол между касательной к средней линии профиля в передней точке и направлением, совпадающим с направлением вращения РК;

  • угол установки лопатки на выходе

для РК (βл2) – угол между касательной к средней линии профиля в месте выхода ее из профиля и направлением, противоположным направлению вращения решетки;

для НА (αл4) – угол между касательной к средней линии в месте выхода ее из профиля и направлением, совпадающим с направлением вращения РК.

Для кольцевой решетки рабочего колеса осевого компрессора:

βл1= βВ – 1 ; βл2= βВ + 2 .

Отношение шага решетки к хорде t/B называется относительным шагом, а обратное отношение – густотой решетки.

Выбор густоты лопаточной решетки имеет важное значение при проектировании турбокомпрессоров. Сильное повышение густоты приводит к повышению диффузорности и к срыву потока с лопаток. Снижение густоты приводит к недогрузке решетки (снижение напора).

Поэтому рекомендуемые значения B/t для РК дозвуковых осевых компрессоров находятся в пределах: первые ступени ; последние ступени , для РК сверхзвуковых компрессоров: первые ступени ; последние ступени .

Для РК центробежных компрессоров: B/t2 = 2,5–3,8 [4].


Рис. 3.4. Круговая решетка РК центробежного компрессора


Рис. 3.5. Плоская кольцевая решетка профилей РК осевого компрессора


Рис. 3.6. Плоская решетка профилей ПНА осевого компрессора

Профили лопатки в различных сечениях по ее высоте могут быть все одинаковой формы и иметь одинаковый угол установки, но могут и изменяться как по форме, так и по углу установки. В соответствии с этим будем различать лопатки постоянного и переменного профиля. Если изменяется угол установки профиля по всей лопатке, то лопатку называют закрученной.

Конструкция лопатки осевого компрессора показана на рис. 3.7, она состоит из двух частей: хвостовика и пера. Радиальный размер пера лопатки характеризуется длиной l, а отношение длины к хорде называется удлинением лопатки

.

Чем больше λ, тем меньше осевые габариты ступени, а значит и масса компрессора, в то же время увеличение λ приводит к увеличению изгибающих и растягивающих напряжений. Поэтому рекомендуемые значения λ лежат в следующих пределах: для первых ступеней ; для последних ступеней .

Длина лопатки находится как

,

где Dк – диаметр концов лопаток; Dвт – втулочный диаметр рабочего колеса.

Длина лопаток также характеризуется втулочным отношением:

,

значение которого лежат в пределах: для первых ступеней ; для последних ступеней [4].



Рис. 3.7. Конструкция лопатки рабочего колеса осевого компрессора

^ 3.4.2. Кинематика потока в ступени турбокомпрессора.

Треугольники скоростей
Как отмечалось ранее, поток в ступени турбокомпрессора является пространственным, т.е. трехмерным. Для упрощения задач проектирования ступеней турбокомпрессоров и анализа течения в проточной части используют двух- и одномерные модели течения.

Для понимания принципа действия турбокомпрессоров с позиции законов механики жидкости и газа достаточно рассмотреть одномерный подход в описании течения газа в проточной части. Такой подход часто составляет основу предварительных расчетов турбокомпрессоров.

Лопаточные аппараты рабочего колеса и неподвижных элементов представляют собой пространственные решетки, состоящие из лопаток, симметрично расположенных по углу поворота ротора (координата θ). При одномерном подходе параметры потока полагаются равномерно распределенными по площади контрольных сечений, условно делящих проточную часть на составные элементы.

Распределение скоростей газового потока по каждому из элементов ступени турбокомпрессора называется кинематикой потока.

Кинематика потока определяет расход газа через проточную часть, затраты работы на сжатие и перемещение газа и в связи с этим оказывает решающее влияние на эффективность, размеры и конструкцию проточной части турбокомпрессоров.

При проектировании новых турбокомпрессоров решается задача выбора наиболее целесообразной кинематической схемы движения потока (так называемая обратная задача газовой динамики).

При выполнении поверочных расчетов и анализе течения в уже существующих машинах решается прямая задача газовой динамики.
Для описания кинематики потока используют треугольники скоростей (рис. 3.8). Угол β – угол потока в относительном движении, он образован вектором относительной скорости и обратным направлением окружной скорости . Угол α – угол потока в абсолютном движении, он образован вектором абсолютной скорости и вектором .



Рис. 3.8. Треугольник скоростей
Для того чтобы построить треугольник скоростей для рабочего колеса необходимо:

  • определить направление вектора относительной скорости , направление которого (угол β1) должно примерно соответствовать на расчетном режиме углу βл1 (если строится треугольник скоростей на входе в РК) или углу βл2 (если строится треугольник скоростей на выходе из РК);

  • определить направление вращения рабочего колеса, а значит направление вектора переносной (окружной) скорости ;

  • отложить от конца вектора скорости вектор , соединив начало вектора с концом вектора , получим вектор абсолютной скорости .

Треугольники скоростей неподвижных элементов прямоугольные, так как переносное и относительное движение в них не имеет смысла, а есть только проекции вектора абсолютной скорости Сr, Сz и Сu.

Условимся в дальнейшем, в обозначении векторов скоростей, знак вектора вверху символа опускать.

В случае нерасчетных режимов работы вектор относительной скорости на входе в решетку не совпадает с направлением касательной к средней линии профиля.

Угол между направлением входной скорости W1 и направлением касательной в передней точке к средней линии профиля называется углом атаки

.

Угол атаки может иметь как положительные значения, так и отрицательные (рис. 3.9). Положительные значения углов атаки соответствую пониженному расходу газа, а отрицательные – повышенному.

Для ПНА угол атаки

.

При выходе из решетки поток отстает от геометрического угла установки лопатки βл2 на величину угла β, который называется углом отставания потока

.

Разница между направлением потока на входе и выходе называется углом разворота потока ε = β2β1.

В компрессорных ступенях угол разворота потока находится обычно в пределах . Для сравнения, в ступенях осевых турбин это значение гораздо больше . Возможность применения больших углов разворота потока в турбинных ступенях объясняется тем, что компрессорные решетки, в отличие от турбинных, имеют расширяющиеся межлопаточные каналы, т.е. в турбинных решетках характер течения конфузорный, а в компрессорных – диффузорный. Такой характер течения в межлопаточных каналах компрессорных ступеней, особенно при больших углах разворота, приводит к срыву потока с лопаток и снижению эффективности работы ступени.



Рис. 3.9. Углы атаки на входе в решетку рабочего колеса и угол отставания потока

3.4.2.1. Кинематика потока в ступени осевого компрессора
Рассмотрим кинематику потока в ступени осевого компрессора, например в решетке, полученной разверткой цилиндрической поверхности на среднем диаметре Dср (рис. 3.10) [2]:

,

где Dк – диаметр корпуса; Dвт – втулочный диаметр; (Dк - 2δr) – диаметр концов лопаток; δr – радиальный зазор.

Если изменение среднего диаметра в пределах ступени невелико, т.е.
Dср1Dср2, тогда U1U2 и Cz1Cz2.



Рис. 3.10. Меридиональное сечение ступени осевого компрессора

В действительности изменение Dср в пределах ступени (особенно для 1-х ступеней) может достигать заметной величины (рис. 3.11).




Рис. 3.11. Изменение среднего диаметра


Из условия сохранения массового расхода для элементарной ступени, расположенной на среднем диаметре:

,

т.к. согласно рис. 3.11 Dср1 < Dср2, то df1 < df2, значит для выполнения условия сохранения массового расхода необходимо Cz1 > Cz2.

Развернув цилиндрические сечения кольцевых решеток рабочего колеса и направляющего аппарата на плоскость, получим совокупность плоских решеток профилей (рис. 3.12).

Как уже упоминалось в описании принципа действия осевых компрессоров, в рабочем колесе к газу подводится механическая энергия, которая идет на увеличение потенциальной энергии газа (повышение давления) и увеличение кинетической энергии (скорости газа). Форма профилей лопаточных решеток рабочего колеса и направляющего аппарата определяет соотношение между потенциальной и кинетической энергиями, получаемыми в колесе газовым потоком.

Так, например, теоретически можно создать такие профили лопаток РК, при которых вся механическая энергия будет преобразовываться в потенциальную. Ступени с такими профилями будем называть реактивными или со 100 % -й реактивностью.

Теоретически можно создать такие профили лопаток РК, при которых вся механическая энергия будет преобразована в кинетическую, а давление в РК увеличиваться не будет. Ступени с такими профилями будем называть активными или с 0 % - й реактивностью.

Естественно, возможна масса промежуточных вариантов соотношения между кинетической и потенциальной энергиями, например, ступени с 50 % - й реактивностью, в которых половина подводимой к газу работы идет на увеличение давления.

Рассмотрим кинематику потока в ступени осевого компрессора с 50 % - й реактивностью.

Повышение давления в РК ОК можно оценить по разности квадратов относительных скоростей . Повышение кинетической энергии – по разности квадратов абсолютных скоростей . Следовательно, для ступеней с 50 % - й реактивностью должно соблюдаться условие

,

т.е. и .

На рис. 3.12 построены треугольники скоростей для решеток РК и ПНА ступени с 50 % - й реактивностью и показаны профили лопаточных решеток. На рис. 3.13. построен совмещенный для сечений 1 и 2 треугольник скоростей.

Для такой ступени профили решеток РК и ПНА одинаковы по форме и представляют собой зеркальное отображение друг друга.

В ступенях с РК, имеющими реактивность больше 0 % и менее 100 %, всегда W1 > W2 и C1 < C2, значит, поток тормозится в относительном движении и ускоряется в абсолютном. В РК Р2 > Р1 , в ПНА Р4 > Р3 и C4 < C3.

Входная кромка профиля лопатки ПНА определяется направлением вектора абсолютной скорости на выходе из РК С2, а выходная – направлением скорости С1.


Рис. 3.12. Кинематика потока в ступени ОК с 50 % - й реактивностью:

βл1 – угол установки лопаток на входе в РК; βл2 – угол установки лопаток на выходе из РК; αл3 – угол установки лопаток ПНА на входе; αл4 – угол установки лопаток ПНА на выходе



Рис. 3.13. Совмещенный треугольник скоростей для ступени ОК с 50 % - й реактивностью
Рассмотрим кинематику потока в ступени осевого компрессора с 0 % - й реактивностью (рис. 3.14, 3.15). В этом случае, давление газового потока в РК не повышается, а вся работа, подводимая к газу, идет на увеличение кинетической энергии. Таким образом, в РК, в относительном движении, торможения потока не происходит и W1=W2 (Р2=Р1). Профили лопаток РК сильноизогнутые и симметричные относительно середины межлопаточного канала с углом установки βВ=90º. В ПНА происходит преобразование кинетической энергии, сообщенной газу в РК, в потенциальную энергию (Р4>Р3 и C4<C3). При этом профили лопаток ПНА получаются слабоизогнутые с малым углом установки αВ.

Рис. 3.14. Кинематика потока в ступени ОК с 0 % - й реактивностью



Рис. 3.15. Совмещенный треугольник скоростей для ступени ОК с 0 % - й реактивностью
В ступени осевого компрессора со 100 % - й реактивностью (рис. 3.16, 3.17) в рабочем колесе, наоборот, не происходит увеличения кинетической энергии, т.е. С1=С2, а за счет диффузорности межлопаточных каналов происходит торможение потока в относительном движении и рост давления (Р2>Р1). Поскольку вся энергия в РК идет на повышение давления, ПНА служит лишь для изменения направления абсолютной скорости, т.е. С3=С4 и давление в нем не повышается (Р3=Р4). В отличие от ступени с 0 % - й реактивностью, профили лопаток РК слабоизогнутые с малым углом установки βВ. Профили лопаток ПНА – сильноизогнутые и симметричные относительно середины межлопаточного канала с углом установки αВ=90º.

Таким образом, в ступенях с 0 % и со 100 % реактивностью профили лопаток РК и ПНА по форме противоположны друг другу.



Рис. 3.16. Кинематика потока в ступени ОК с 100 % - й реактивностью



Рис. 3.17. Совмещенный треугольник скоростей для ступени ОК с 0 % - й реактивностью

3.4.2.2. Кинематика потока в ступени центробежного компрессора
На рис. 3.18 показаны треугольники скоростей в круговых лопаточных решетках ступени ЦК промежуточного типа.

а)

EMBED AutoCAD.Drawing.16

б)

Рис. 3.18. Кинематика потока в ступени центробежного компрессора:

а) схема ступени и потока в круговых лопаточных решетках;

б) треугольники скоростей

^ 3.5. Уравнение Эйлера (основное уравнение теории турбомашин)
В предыдущем разделе при анализе кинематики потока в ступенях турбокомпрессоров был рассмотрен процесс преобразования в лопаточных решетках кинетической энергии потока в потенциальную. Установим связь между кинематикой потока в ступени и механической работой, подводимой к газовому потоку в РК (теоретический напор hТ ).

Теоретический напор hТ (Дж/кг) – работа, подведенная к газу в РК без учета трения наружной поверхности дисков о газ и протечек:

, (3.18)

где hтр – потери энергии на трение наружной поверхности дисков РК о газ, Дж/кг; hпр – потери энергии на протечки в зазорах между дисками РК и корпусом, Дж/кг.

Для осевого компрессора поверхности дисков невелики, следовательно, и .

Теоретическая работа, в принципе, определяется мощностью, затрачиваемой на вращение колеса:

,

где NТ – мощность, затрачиваемая на вращение РК, Вт; G – массовый расход, кг/с.

Известно, что мощность на валу

,

где Mz – крутящий момент относительно оси вращения z, Н·м; ω – угловая частота вращения, с-1.

Крутящий момент на валу РК Mz можно рассчитать, если известны касательные напряжения на поверхностях лопаток и перепад давлений на них

,

где – сила перепада давлений, Н; – сила трения газа о поверхности лопаток (рис. 3.19):

, (3.19)

где Р – перепад давлений на элементе лопатки dSл, Н/м2; Sл – площадь поверхности лопатки, м2; τ – касательные напряжения трения, Н/м2; zл – число лопаток.

Однако сложность течения в РК, обусловленная наличием пограничных слоев, отрывных течений и эффектов вращения приводит к тому, что расчет Mz по формуле (3.19) не обеспечивает требуемой точности и на практике вместо уравнения (3.19) используют уравнение Эйлера.




Рис. 3.19. К определению крутящего момента относительно оси вращения

1-й способ вывода уравнения Эйлера, основанный на принципе Даламбера
В качестве примера рассмотрим РК центробежного компрессора (рис. 3.20).

Выделим на некотором радиусе ^ R элементарную частицу газа δm, которая перемещается в относительном движении в межлопаточном канале по траектории с радиусом кривизны RW.

Определим силы инерции, действующие на выделенную элементарную частицу газа.

Поскольку частица перемещается при вращении РК с угловой скоростью ω по некоторому радиусу R, следовательно, на нее действует центробежная сила в переносном движении .

В относительном движении частица также перемещается по дуге окружности, следовательно, на нее будет действовать центробежная сила в относительном движении .

Как известно, в случае участия одновременно в двух движениях – относительном и переносном, к частице приложена кориолисова сила . Направление ее совпадает с направлением вектора , повернутого на 90º в сторону, противоположную вращению колеса.

Кроме того, в случае наличия вязкости, будет иметь место касательная сила трения в относительном движении .

В соответствии с принципом Даламбера векторная сумма сил инерции равна и противоположна по направлению сумме действующих сил, то есть для определения затрат работы можно воспользоваться только силами инерции.

Таким образом, чтобы определить внешний момент Mz, приложенный к колесу, можно просуммировать моменты, вызванные силами инерции:

.



Рис. 3.20. К выводу уравнения Эйлера по 1-му способу: Rw – радиус кривизны траектории частицы в относительном движении; R2 – радиус наружной поверхности РК; R1 – радиус входа на лопатки

Примем момент положительным (dM>0), если он направлен против направления угловой скорости ω.

Поэтому моменты сил инерции, действующие относительно оси вращения z, будут иметь следующие знаки:

  • по оси r - dMr = 0;

  • по оси n - dMn < 0; dMкор > 0;

  • по оси s - dMs < 0.

Момент от центробежной силы в относительном движении

. (3.20)

Момент от касательной силы трения

. (3.21)

Момент от кориолисовой силы

. (3.22)

Преобразуем уравнения (3.20) – (3.22) с учетом того, что:

  • относительная скорость есть производная пути по времени ;

  • отношение массы элементарной частицы к бесконечно малому интервалу времени есть массовый расход ;

  • радиус кривизны траектории частицы в относительном движении описывается уравнением ;

  • синус текущего угла установки лопатки на некотором радиусе R

.

С учетом этих соотношений преобразуем выражения (3.20) – (3.22).

Момент от центробежной силы в относительном движении

,

. (3.23)

Момент от касательной силы трения

(3.24)

Момент от кориолисовой силы

,

. (3.25)

Теоретический напор ,

.

Подставив в последнее выражение формулы (3.23) – (3.25), получим



Интегрируя по радиусу от R1 до R2



с учетом того, что



из треугольника скоростей (рис. 3.21) известно: , поэтому



раскрывая скобки, получаем

. (3.26)

Выражение (3.26) называется уравнением Эйлера в форме записи через закрутки потока.



Рис. 3.20. Треугольник скоростей: ;

2-й способ вывода уравнения Эйлера
Результаты взаимодействия потока с лопаточными аппаратами могут быть получены с помощью теорем о количестве движения и о моменте количества движения.

Выделим в установившемся в относительном движении потоке газа элементарную трубку тока между сечениями 1 и 2 (рис. 3.22).

Согласно теореме об изменении количества движения, если скорость газа, протекающего по какому-либо каналу меняется по величине и направлению, то на стенки канала действует сила Р, равная изменению количества движения в единицу времени:

.

Если газ протекает через вращающееся колесо, то на последнее действует момент, равный разности моментов количества движения входящего и выходящего газа. Чтобы уравновесить этот момент, необходимо на колесо воздействовать равным моментом внешних сил, но в обратном направлении:



Учтем, что плечо r от оси вращения до линии действия силы ,

а (рис. 3.23). Тогда

.







Рис. 3.22. К выводу уравнения Эйлера согласно теореме об изменении момента количества движения

Рис. 3.23. К определению момента количества движения

Проинтегрируем полученное выражение, при условии постоянства массового расхода газа между сечениями 1 и 2 ():

.

Теоретический напор

,

.

Таким образом, воспользовавшись теоремой об изменении количества движения, получили тоже выражение (3.26). Этот вывод можно сделать еще короче, если сразу воспользоваться теоремой об изменении момента количества движения. Согласно этой теореме: производная по времени момента количества движения относительно какой-то оси равна результирующему крутящему моменту относительно этой оси.
Воспользовавшись соотношениями между сторонами треугольника скоростей (рис. 3.21), можно получить другую запись уравнения Эйлера.

Из треугольника скоростей:

и ,

а т.к. и , то

,

,

.

Выразим отсюда закрутку Сu:

.

Подставим это выражение в уравнение (3.26)

.

Перегруппируем слагаемые

,

. (3.27)

Согласно уравнению (3.27) работа, подводимая к газу в колесе, идет на увеличение кинетической энергии в абсолютном движении (1-е слагаемое), повышение давления за счет центробежных сил (2-е слагаемое), повышение давления за счет торможения в относительном движении (3-е слагаемое).






Скачать файл (6312.1 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru