Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Лекции - Интегрирование функций нескольких переменных - файл 1.doc


Лекции - Интегрирование функций нескольких переменных
скачать (514 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc514kb.16.11.2011 08:44скачать

содержание
Загрузка...

1.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...
Казанский государственный энергетический университет

Кафедра «Высшей математики»


Опорные конспекты лекций.


Тема : Интегрирование функций нескольких переменных.


Двойной интеграл и его свойства.


Метод интегральной суммы.

Всякая физическая система имеет пространственные размеры и описывается набором величин, которые могут меняться при переходе от точки к точке системы. Например, тело имеет переменную плотность. Задача – вычислить общую массу тела. Решение такого типа задач и дает метод интегральной суммы.


^ Опр. Аддитивной величиной наз. параметр физической системы Р, который можно представить как сумму значений этого параметра от всех составных частей системы P = pi . Например, площадь фигуры, объем тела, длина пройденного пути. Разбиение на составные части в этих случаях совершенно произвольно.


Алгоритм метода интегральной суммы.

  1. Исследуемая физическая (геометрическая) система разделяется на n однотипных участков .

  2. Для каждого участка устанавливается некоторое приближенное значение аддитивного параметра pi .

3. Проводится суммирование приближенных значений аддитивного параметра по всем n участкам P(n) = pi

4. Переход к пределу lim P(n) = P при n дает точное решение задачи, т.е. определяет значение искомого, аддитивного параметра для всей системы


^ Опр. Интегральной суммой наз. сумма всех приближенных значений аддитивного параметра, определенных для каждого из n участков на которые была разделена исследуемая система .

Опр. ^ Определенным интегралом наз. предел интегральной суммы, полученный по условиям конкретной задачи. Существуют двойные, тройные, n – мерные, криволинейные, поверхностные интегралы.


^ Задача о вычислении объема цилиндрического бруса.


Имеем на плоскости хОу область D , ограниченную контуром D и функцию z = f(x,y) 0 , которая определяет некоторую поверхность над ^ D . Объем пространства, расположенный над D и ограниченный сверху поверхностью z = f(x,y) наз. цилиндрическим брусом. Его боковую поверхность образуют перпендикуляры восстановленные из всех точек контура ^ D . Вычислим объем такого бруса методом интегральной суммы.

  1. Операция разбиения. Разделим область D сеткой кривых на n частей D1, D2, . . . , Dn, имеющих площади si . В каждой фигуре Di выделим некоторую точку () и на на высоте f() проведем над Di плоскость параллельную хОу. В результате получим дополнительную, ступенчатую фигуру.

2. Объем элементарного цилиндра над Di равен f()si .
^

3. Объем всей ступенчатой фигуры определяет интегральная сумма


V(n) = f()si ( 1 )

  1. С ростом n точность приближения возрастает и в пределе n, при стремлении наибольшего из диаметров Di к 0 , получаем точное значение объема цилиндрического бруса

V = lim f()si = f(x,y) dx dy при n ( 2 )

^ Опр. Двойным интегралом от функции f(x,y) по области D на плоскости хОу наз. предел интегральной суммы, полученный разделением области D на малые участки. Переменные интегрирования определяют площади этих участков.

^ Геометрический смысл двойного интеграла - объем цилиндрического бруса.


Основные свойства двойного интеграла.

  1. Постоянный множитель выносится за знак интеграла

а f(x,y) dx dy = аf(x,y) dx dy

т.к. общий множитель членов интегральной суммы можно вынести за скобку.

  1. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов

[f(x,y) + g(x,y)]dx dy = f(x,y) dx dy +g(x,y) dx dy

т.к. такая интегральная сумма разделяется на две части.

3. Аддитивность области интегрирования. Если D = D1 + D2 , то

f(x,y) dx dy = f(x,y) dx dy + f(x,y) dx dy

4. Интеграл от функции f(x) = 1 численно равен площади области интегрирования D
^

S = dx dy


5. Теорема о среднем. f(x,y) dx dy = f() S

Двойной интеграл от непрерывной функции всегда можно представить как произведение площади области интегрирования S на значение функции f() в некоторой точке, т.к. для любого цилиндрического бруса с искривленным верхом можно построить брус постоянной высоты, но с таким же основанием S и объемом V , т.е. f() = V/S. Точка с координатами () всегда существует в области D.


Вычисление интегралов.

Вычисление двойных интегралов сводится к вычислению повторных интегралов при детальном учете конфигурации области интегрирования.

1. D - прямоугольник ( a x b , c y d ), тогда


f(x,y) dx dy = dxf(x,y) dy ( 3 )


При вычислении внутреннего интеграла по переменной у величина х рассматривается как константа, а затем во внешнем интеграле как переменная интегрирования. Возможен обратный порядок интегрирования для х и у .

2. D - ограничивают две прямые | | оси Оу и две кривые (a x b , y1(x) yy2(x) )

Это область правильная в направлении Оу


f(x,y) dx dy = {f(x,y) dy } dx ( 4 )

3. D - ограничивают две прямые | | оси Ох и две кривые (c y d , x1(y)xx2(y) )

Это область правильная в направлении Оx


f(x,y) dx dy = {f(x,y) dx } dy ( 5 )


4. D - произвольная фигура. Она разбивается прямыми | | осям на несколько правильных областей и по каждой из них вычисляется свой интеграл.

Пр. J = xy dx dy , где D ограничена кривыми: y = , y = x2

Решение: Строим графики двух парабол. Точки их пересечения находим из решения системы этих двух уравнений : 2 (0; 0) , (1; 1). D - правильная в обоих направлениях. Выберем пределы интегрирования : 0 x 1 ; x2 y , тогда

J = dxxy dy , Jв = y dy = ½ (x – x4)

J = ½ (x2 – x5) dx = ½ (x3/3 – x6/6) |01 = 1/12


Преобразования плоских областей.

Замена переменных в двойных интегралах связана с переходом от прямоугольной к криволинейной системам координат.

Имеем плоскость с прямоугольной системой координат хОу и систему непрерывных функций

u = u(x,y)

v = v(x,y) ( 6 )

Для каждой точке плоскости (xi,yi) получаем два числа (ui,vi) , которые можно понимать как координаты другой точки. Выделим в xOy область D , ограниченную замкнутым контуром D. Тогда, уравнения ( 1 ) относят точкам области D множество точек (ui,vi). Пусть такое множество образует на плоскости область D*, ограниченную замкнутым контуром D*. Каждой точке из D отвечает своя точка из D* и ни одна из них не пропущена. В этом случае систему ( 1 ) можно однозначно разрешить относительно х и у

x = x(u,v)

y = y(u,v) ( 7 )


и переменные u, v теперь играют роль новых координат. Прямые линии x = const, y = const наз. координатными в системе хОу , тогда искривленные линии u = const , v = const будут координатными в криволинейной системе uOv.

Таким образом, между областями D и D* устанавливается взаимно – однозначное соответствие. Уравнения ( 1 ) осуществляют преобразование области D в область D*, а уравнения ( 2 ) дают обратное преобразование. Области D и D* могут иметь разную форму и разные площади.

^ Двойной интеграл.

В интегральной сумме двойного интеграла имеем элементы площади dxdy. В системе uOv ему будут соответствовать элементы площади |J| dudv , где коэффициент искажения плоскости J (якобин) определяется формулой

| J | = ( 8 )

После перехода к новой системе координат имеем

f(x,y) dx dy = f(x(u,v),y(u,v)) |J| du dv ( 9 )

В полярной системе координат переменные r ,  имеют наглядный геометрический смысл – длина радиус-вектора и полярный угол. Координатную сетку образуют выходящие из точки лучи и концентрические окружности.

( 10 )

Обратное преобразование : r = ,

= arc tg (y/x) .

Вычислим якобиан перехода к полярной системе координат

J = = r ( 11 )

Применять переход к полярным координатам удобно в случаях, когда D является кругом с центром в начале координат или его сектором – круговым или криволинейным, а также, если в функцию f(x,y) переменные входят в виде x2 + y2 .

D – круг радиуса Rf(x,y) dxdy = ( 12 )

D – круговой сектор f(x,y) dx dy =



Dкриволинейный сектор, замкнутый одной линией с полярным уравнением

r = r( ) ,

f(x,y) dx dy = ( 13 )


D – криволинейный сектор, замкнутый двумя линиями с полярными уравнениями

r = r1( ) , r = r2( ) ,

f(x,y) dx dy = ( 14 )


Пр. 1 Вычислить площадь круга. S =dxdy ==r2/2= R2

Пр. 2 Вычислить площадь D , если D : y = x , y = 0 , x = 1 .

Имеем криволинейный сектор. Строим полярное уравнение :

х = 1  r cos  = 1  r = 1 / cos  .

Углы сектора определяем из чертежа : 0    /4

S =dxdy==½tg|0/4= ½

Пр. 3 Вычислить площадь леминискаты (x2 + y2)2 = 2a2 (x2 – y2) .

Линия симметрична относительно осей, т.к. уравнение не меняется при замене x  - x , y  - y , пересекает ось Ох при

х = а и проходит через начало координат. S = 4dxdy . Имеем криволинейный сектор. Строим полярное уравнение : (r2cos2 + r2sin2)2 = 2a2(r2cos2 - r2sin2) 

r2 = 2a2 cos 2  r = a .

Углы сектора получаем из условий: r = а  1 = 0 ; r = a = 0  2 = /4

S = 4= 4a2 = 2a2


Пр. 4 Вычислить площадь D , если D : (x2 + y2)2 = 2a x3

Линия симметрична относительно оси Ох, т.к. уравнение не

меняется при замене y  - y, пересекает ось Ох при x = 0,

х = 2а и х  0. S = 2dxdy. Имеем криволинейный сектор. Строим полярное уравнение: r =2a cos3  .Углы сектора получаем из условия: r = 2a cos3 = 0   =  /2

S = 2= 4а2 = 5/8  а2


Поверхности второго порядка.

Общий вид уравнения поверхности в R3 : F(x,y,z) = 0 . Уравнение гладкой поверхности - z = f(x,y) , где каждой точке области определения функции (x, y) отвечает одна точка поверхности с координатой z . Замкнутые поверхности не являются гладкими.

Цилиндрическая поверхность. Её образуют прямые параллельные данному направлению (образующие), которые пересекают некоторую линию L (направляющую).

Если образующей служит ось координат, то в уравнении F(x,y,z) = 0 такая координата отсутствует и уравнения F(x,y) = 0, F(x,z) = 0, F(y,z) = 0 в координатных плоскостях определяют направляющие линии. Если линиями L служат кривые 2 порядка, то имеем цилиндрические поверхности 2 порядка – круговой цилиндр, эллиптический, параболический, гиперболический цилиндры.




^

F(x,y) = 0 F(x,z) = 0 F(y,z) = 0


Коническая поверхность. Её образуют прямые (образующие), которые проходят через данную точку Р (вершину) и пересекают данную линию L (направляющую).

Конус 2 порядка определяет уравнение

Исследуем форму поверхности методом параллельных сечений:

Пусть х = 0, тогда ур -ние приводит к прямым

Пусть z = h, тогда получаем уравнение эллипса

При а = b получаем круговой конус.

Эллипсоид определяет уравнение

Сечение 3 плоскостями x = h (|h|a), y = h (|h|b), z = h (|h|c)

приводит к 3 эллипсам с разными полуосями. При a = b = c = R

получаем уравнение сферы x2 + y2 + z2 = R2 с центром в начале координат.

Гиперболоид однополюсной определяет уравнение

Сечение плоскостью х = 0 дает гиперболу

Сечение плоскостью z = h дает эллипсы


Гиперболоид двухполюсной определяет уравнение

Сечение плоскостью х = 0 дает гиперболу

Сечение плоскостью z = h дает эллипсы

Параболоид эллиптический определяет уравнение ,

где p, q – одного знака.

Сечение плоскостью х = 0 дает параболу y2 = 2pz

Сечение плоскостью z = h дает эллипсы ,

где 2ph  0 , 2qh  0 .

Параболоид гиперболический определяет уравнение ,

где p, q – одного знака.

Сечение плоскостью у = 0 дает параболу х2 = 2pz

Сечение плоскостью x = h дает параболы

Сечение плоскостью z = h дает гиперболы

^ Тройной интеграл. Задача о вычислении массы тела.

Имеем объем V заполненный массой с переменной плотностью (x,y,z). Вычислим общую массу по всему объему методом интегральной суммы.

  1. Операция разбиения. Разделим V на n элементарных объемов V1, V3,V3, . . . , Vn и в пределах каждого из них выделим точку Mi().

2. Масса элементарного объема приближенно равна () Vi .

3. Приближенное значение массы всего тела определяет интегральная сумма

m(n) = () Vi ( 15)

4. В пределе, когда n   и все Vi  0 , получаем точное решение задачи

m = lim () Vi

Опр. Тройным интегралом от функции трех переменных f(x,y,z) по объему V наз. предел интегральной суммы, полученной путем разбиения объема V на элементарные области.

J = = ( 16 )


Физический смысл тройного интеграла – масса тела переменной плотности.

Основные свойства интеграла.

10. Постоянный множитель выносится за знак интеграла

а f(x,y,z) dx dy dz = аf(x,y,z) dx dy dz

т.к. общий множитель членов интегральной суммы можно вынести за скобку.

20. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов

[f(x,y,z) + g(x,y,z)]dx dy dz = f(x,y,z) dx dy dz +g(x,y,z) dx dy dz

т.к. такая интегральная сумма разделяется на две части.

30 . Аддитивность области интегрирования. Если V = V1 + V2 , то

f(x,y,z) dx dy dz = f(x,y,z) dx dy dz + f(x,y,z) dx dy dz

40. Интеграл от функции f(x,y,z) = 1 численно равен объему области интегрирования V
^

V = dx dy dz


50 . Теорема о среднем. f(x,y,z) dx dy dz = f() V


Тройной интеграл от непрерывной функции всегда можно представить как произведение объема, области интегрирования V , на значение функции f() в некоторой точке, т.к. любому телу с переменной плотностью всегда можно сопоставить тело с постоянной плотность f() = m/V при таком же объеме V и массе m . Точка с координатами () всегда существует в области V.


^ Вычисление интегралов.

Вычисление тройных интегралов сводится к вычислению повторных интегралов при детальном учете конфигурации области интегрирования.


^ Прямоугольные координаты - x, y, z .

1. V - прямоугольный параллепипед ( a x b , c y d , p z q ) , тогда


f(x,y,z) dx dy dz = dxdyf(x,y,z) dz ( 17 )


При вычислении внутренних интегралов оставшиеся переменные рассматриваются как константы. Возможен любой порядок интегрирования по х, у , z .


  1. ^ V - цилиндрический брус, который ограничен двумя гладкими поверхностями z = z1(x,y) , z = z2(x,y) и его проекция на плоскость хОу образует правильную область D, например, a x b , y1(x) y y2(x) , тогда

f(x,y,z) dxdydz = dxdyf(x,y,z) dz =

= dxdyf(x,y,z) dz ( 18 )





r = |ON| r = |OM|

= (ON^Ox)  = (ON^Ox)

 = (OM^Oz)


Цилиндрические координаты - r, , z .

Переход к ним : x = r cos  , y = r sin  , z = z , удобен, когда область ^ D образует круг или криволинейный сектор: r = r1( ) , r = r2( ) , . Тогда f(x,y,z) dv =rdrdf*(r,,z)dz = f*(r,,z) dz ( 19 )

Здесь f*(r,,z) = f(r cos, r sin, z) , z1* = z1(r cos, r sin) , z2* = z2(r cos, r sin) .


Сферические координаты - r, ,  .

Переход к ним : x = r cos  sin  , y = r sin  sin  , z = r cos  , удобен, когда ^ V образует шар или его телесный угол. В случае шара x2 + y2 + z2  R2 пределы интегрирования: 0    2 , 0     , 0  r  R.


f(x,y,z) dv = f(r cos sin, r sin sin, r cos) r2 sin dr d d ( 20 )


Пр.5 Вычислить J = z dv , где V: 0  x  ½ , x  y  2x , 0  z  .

J = dxdyz dz , J1 = z dz = ½ (1 – x2 – y2),

J2 = ½(1 – x2 – y2)dy = ½ [(1-x2)y – y3] |x2x =

= ½(x- x3), J = ½( x - x3)dx = 7/192


Пр. 6 Вычислить J = x2 dx dy dz , где V - шар x2 + y2 + z2  R2 .

J = { x = r cos  sin  , y = r sin  sin  , z = r cos  } = r4sin3 cos2 drdd =


= sin3 d cos2 d r4 dr

J1 = r4 dr = R5/5 ; J2 = cos2 d = ½ (1 + cos2) d =  ;

J3 = sin3 d = - (1 – cos2) d(cos) = 4/3 ; J =


Пр. 7 Вычислить J = zdx dy dz , где ^ V ограничен цилиндром x2 + y2 = 2x и плоскостями y = 0, z = 0, z = a .

Область D : x2 + y2 = 2x  (x – 1)2 + y2 = 1 - окружность с центром в (1; 0) и R = 1. J = { x = r cos , y = r sin , z = z }. Строим полярное уравнение x2 + y2 = 2x  r = 2 cos  .

Вычисляем пределы интегрирования из условий r = 2cos  = 0 ,

y = 0 

J = ; J1 = z dz = ½ a2 ; J2 = r2 dr = 8/3 cos3 ;

J3 = cos3 d = (1 – sin2) d(sin) = [ sin - 1/3 sin3 ] 0/2 = 2/3


Устные экзаменационные вопросы

по теме: «Кратные интегралы»

  1. Опр. аддитивной величины. Алгоритм метода интегральной суммы.

  2. Опр. интегральной суммы.

  3. Опр. цилиндрического бруса.

  4. Опр. двойного интеграла. Записать его интегральную сумму, общий вид.

  5. Геометрический смысл двойного интеграла.

  6. Перечислить основные свойства двойного интеграла. Теорема о среднем.

  7. Записать формулы для вычисления двойных интегралов.

  8. Главное правило вычисления двойного интеграла

  9. Что такое области правильные в направлении оси Ох, Оу ?

  10. Записать формулы перехода от прямоугольной к криволинейной системе координат. Что такое взаимно однозначное соответствие между областями в этих системах ?

  11. Записать выражение для элемента площади в криволинейных координатах и формулу для вычисления Якобиана.

  12. Опр. полярной системы координат. Вычисление Якобиана для нее.

  13. При вычислении интегралов в каких случаях удобно переходить к полярной системе координат ?

  14. Записать формулы для вычисления двойных интегралов в полярной системе координат

  15. Что такое полярное уравнение кривой ?

  16. Опр. цилиндрической поверхности общее и важнейшие частные случаи.

  17. Опр. конических поверхностей. Записать уравнение конуса 2 – ого порядка.

  18. Что такое метод параллельных сечений ? Записать уравнение эллипсоида.

  19. Записать уравнения гиперболоидов.

  20. Записать уравнения параболоидов.

  21. Записать интегральную сумму для задачи о вычислении массы тела.

  22. Опр. тройного интеграла. Его физический смысл.

  23. Перечислить основные свойства тройного интеграла. Теорема о среднем.

  24. Как вычисляется тройной интеграл в случае прямоугольного параллепипеда ?

  25. Формула вычисления тройного интеграла по цилиндрическому брусу. Правила расстановки пределов.

  26. Определение цилиндрической системы координат. Якобиан.

  27. Определение сферической системы координат. Якобиан.



Скачать файл (514 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru