Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Лекции - Векторный анализ. Поверхностные интегралы. Теория поля - файл 1.doc


Лекции - Векторный анализ. Поверхностные интегралы. Теория поля
скачать (793.5 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc794kb.16.11.2011 08:46скачать

содержание
Загрузка...

1.doc

  1   2   3
Реклама MarketGid:
Загрузка...
Казанский государственный энергетический университет

Кафедра «Высшей математики»


Опорные конспекты лекций.

Тема : Векторный анализ.

Поверхностные интегралы. Теория поля.



Элементы дифференциальной геометрии.

Пусть некоторая линия L в пространстве задана векторным уравнением = (t) = = x(t) i + y(t) j + z(t) k , t1 < t < t2 .

Приращение радиус-вектора = (t+t) – (t) определяет прямую проходящую через 2 точки L , которая при t0 превращается в касательную. Направление касательной в каждой точке кривой L задает производная d/dt = x`t i + y`t i + z`t k = (t).

Опр. Касательной плоскостью к поверхности, заданной уравнением F(x,y,z) = 0 , в точке М0 , наз. плоскость, в которой расположены касательные ко всем линиям, лежащим на поверхности и проходящим через М0 .

Пусть L проходит по поверхности F(x,y,z) = 0 через точку M0 .Тогда для всех точек кривой справедливо равенство F(x(t), y(t), z(t)) = 0. Это функция от t и её производная равна нулю



Данное выражение можно переписать как скалярное произведение двух взаимно перпендикулярных векторов: = 0, где направляющий вектор касательной к L и

={} ( 1 )

Поскольку для любой линии, проходящей по поверхности через М0 ,то по определению, является нормальным вектором касательной плоскости к поверхности F(x,y,z) = 0 в произвольной точке М0. Касательная плоскость в т. М0 существует, если координаты непрерывны в ее окрестности и одновременно не равны 0.

Если уравнение поверхности ^ G имеет явный вид z = f(x,y) и не содержит особых точек, то такая поверхность наз. гладкой поверхностью. У такой поверхности можно различать верхнюю и нижнюю стороны, а также границу. Если поверхность ограничивает тело, то она имеет внутреннюю и внешнюю стороны.


Из уравнения f(x,y) – z = 0 определим координаты и его направляющие косинусы

( 2 )

где и знак вектора зависит от выбора стороны поверхности. Если выбрать , то угол - острый и сторона поверхности будет верхней.

При перемещении по поверхности положение касательной плоскости и ее вектора непрерывно изменяется. Если по произвольному контуру L на поверхности G выйти из точки М, вернуться в нее и при этом направление вектора не изменится на противоположное, то такая поверхность наз. двухсторонней. Лист Мебиуса пример односторонней поверхности.

^ Площадь гладкой поверхности.

Понятие площади определено только для геометрических фигур на плоскости. Это количество квадратиков стандартного размера, которые умещаются на фигуре. Определение площади кривых поверхностей требует специального подхода и решается методом интегральной суммы.

Имеем гладкую поверхность ^ G. Ее проекция на плоскость хОу занимает область D. 1) Разделим поверхность G сеткой линий на m участков G1, G2, . . , Gm. 2) На каждом Gi выделим точку Мi , проведем через Мi касательную плоскость к G и спроектируем на нее точки участка Gi . В результате получим плоскую фигуру Gi* с площадью Si и вся гладкая поверхность покроется «многогран- ником». 3) Общую площадь «многогранника» определяет интегральная сумма . 4) Переход к пределу

m дает точное значение для площади криволинейной поверхности G

( 3 )

Опр. Площадью криволинейной поверхности наз. предел интегральной суммы, полученной путем разбиения поверхности на малые участки и проектирования их на касательные плоскости.

Для вычисления интеграла по площади ( 3 ) совершим переход к двойному интегралу с помощью второго проектирования. Каждый плоский многоугольник Gi* имеет свой нормальный вектор i и может быть спроектирован на плоскость хОу. Отношение площадей любого многоугольника и его проекции равно косинусу угла между ними, т.е.Di /Si =сos , т.к. линейный угол между плоскостями Gi* и Di равен углу между i и Oz.

{ Пример. Сравним площади ABC и его проекции ABE. , }. Пусть Di имеет форму прямоугольника, тогда Di = xiyi , Si = xiyi / сos = xiyi и интегрирование по площади кривой поверхности заменяется на интегрирование по площади ее проекции, т.е. элементы площади заменяются на элементы dxdy

( 4 )


Пр. Найти площадь поверхности z = x y, лежащей над кругом x2 + y2 < R2 .

Решение : и перейдем к полярной системе координат



^ Задача о массе поверхности.

Пусть на гладкой поверхности z = z(x,y) распределена масса с поверхностной плотностью = f(x,y,z). Найти массу всей поверхности.

Задачу решаем методом интегральной суммы аналогично предыдущей задаче. Отличие заключается только в том, что в интегральной сумме ( 3 ) каждое Si дополнительно умножаем на плотность, которую считаем постоянной и равной = f(Mi)

( 5 )

Опр. Поверхностным интегралом 1-ого рода от функции f(x,y,z) по поверхности z = z(x,y) наз. предел интегральной суммы, полученной путем разбиения поверхности на малые участки и проектирования их на касательные плоскости.

Для вычисления интеграла элемент поверхности dS выразим через его проекцию на плоскость хОу : , и в функции f(x,y,z) переменную z заменим на z(x,y) , т.е. перейдем к значениям функции на самой поверхности.

( 6 )


Пр. Вычислить массу части параболоида z =1 – x2 – y2, отсеченной плоскостью z = 0, если поверхностная плотность .

Т.к. p = -2x , q = -2y , D : x2 + y2 <1 , {x = r cos , y = r sin} , то

m =

Если поверхность задается в параметрической форме: x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v), где точка (u;v) пробегает некоторую область H на плоскости uOv , то интеграл

вычисляется по формуле

( 7 )

где , , ( 8 )

Здесь переход от элемента поверхности dS к его проекции на параметрическую плоскость определяется формулой .

Пр. Рассмотрим сферу радиуса r. В сферической системе координат x = r sincos , y = sinsin , z = r cos . Параметрическая область H образует прямоугольник для u = , v =: 0 < < , 0 < < 2. Вычисление параметров ( 8 ) дает : E = r2 , P = r2 sin2 , F = 0 , = r2 sin . Т.о. интеграл по сфере произвольного радиуса от произвольной функции f(x,y,z) имеет вид

( 9 )

Пр. Найти площадь сферы радиуса r.

Пр. Найти массу поверхности сферы, если плотность в точке равна : (а) расстоянию от точки до вертикали ; (б) квадрату этого расстояния.

а) Плотность равна = r sin и

б) Плотность равна = (r sin)2 и

Пр. Рассмотрим цилиндрическую поверхность x2 + y2 = a2, 0 < z < h Параметрическое представление x = a cos, y = a sin, z = z. Область H для переменных u = , v = z является прямоугольником 0 < < 2 , 0 < z < h , = a .

^ Поверхностные интегралы 2 рода.

Пусть через замкнутую поверхность проходит поток жидкости или тепла. Входящий и выходящий потоки дают взаимоисключающий результат и поэтому их надо различать. Различать их можно по знаку cos, где - угол между нормальным вектором внешней стороны замкнутой поверхности и направляющим вектором потока. Для выходящего

потока - острый угол и cos>0 , для входящего потока - тупой угол и cos<0 . Для описания потоков используют специальные поверхностные интегралы, которые учитывают направление потоков через поверхность.

^ Опр. Поверхностным интегралом 2-ого рода для функции f(x,y,z) по двухсторонней ориентированной поверхности G наз. конечный предел интегральной суммы, полученной путем разбиения G на малые участки и проектирования их сразу на координатные плоскости

J = = ( 10 )

Множитель означает, что вклады от разных участков G берутся с разными знаками.

Так как элемент поверхности dS и его проекция пропорциональны dxdy = cosdS, то от интеграла 2 рода легко перейти к интегралу 1 рода

= ( 11 )

в который входит cos . Знак cos для элемента поверхности и определит знак вклада этого элемента в интегральную сумму ( 10 ). Появление членов с разными знаками происходит только при рассмотрении цилиндрических и замкнутых поверхностей.

При проектировании ^ G на плоскости xOz, yOz получаем аналогичные интегралы и строим обобщенный поверхностный интеграл 2 рода с учетом трех различных функций

=

= ( 12 )

который распространяется на определенную заранее сторону двухсторонней поверхности

Если ^ G задана явным уравнением z = z(x,y) и точки (х,у) образуют замкнутую область D , где сама функция и ее производные , непрерывны, то все члены интегральной суммы ( 10 ) имеют одинаковый знак и вычисление интеграла ( 11 ) сводится к вычислению обычного двойного интеграла

J = = ( 13 )

Замена z на z(x,y) дает переход к значениям функции на самой поверхности.

Необходимо только заранее определить острый или тупой угол с осью Oz образуют нормальные вектора выбранной стороны поверхности. Если угол тупой, то у интеграла меняют знак. Если поверхность G замкнута, то она разделяется на несколько кусочно- ориентированных поверхностей.

Пр. Вычислить интеграл , где ^ G – внешняя сторона куба, составленного плоскостями x = 0, y = 0, z = 0, x = 1, y = 1, z = 1.

Решение: J = J1(z=0) + J2(y=0) + J3(x=0) + J4(z=1) + J5(y=1) + J6(x=1).

G1: z = 0dz = 0,1Oz=>/2(-), J1 =(-)(0+0+) =0. Аналогично J2 = J3 = 0 . G4 : z = 1 dz = 0, 4 Oz = 0 </2(+), G4 : J4 = (+)(0 + 0 +) = 1 – площадь единичного квадрата. Аналогично J5 = J6 = 1 . Окончательно J = 3 .


Применение поверхностных интегралов.

Так как поверхностные интегралы 1 и 2 рода сводятся к обычным двойным интегралам, то различные задачи, которые приводят к вычислению двойных интегралов, могут быть представлены через поверхностные интегралы. Рассмотрим несколько таких примеров.

а) ^ Вычисление объема.

Пусть подынтегральная функция в ( 4 ) не зависит от z , тогда она определяет некоторую поверхность z = f(x,y) , а интеграл по D объем цилиндрического бруса, ограниченного этой поверхностью и областью D . Переход к поверхностному интегралу в этом случае дает следующее выражение для объема цилиндрического бруса V = ( 14 )

Обобщение этой формулы на случай тела произвольной формы ограниченного поверхностью ^ G имеет вид V = 1/3 ( 15 )


б) Формула Стокса.

Известно, что формула Грина сводит двойной интеграл по плоской области ^ D к криволинейному интегралу по контуру L , ограничивающему область D

( 16 )

Эта формула легко обобщается на случай, когда вместо куска плоской поверхности ^ D берется кусок произвольной гладкой двухсторонней поверхности G , ограниченной контуром L. Формула Стокса :

( 17 )

переходит в формулу Грина, если положить z = 0 . Тогда dz = 0 и G D.

Из формулы Стокса легко получить условия при которых криволинейный интеграл по замкнутому контуру в пространстве обращается в ноль

; ;


в) Формула Остроградского – Гаусса.

Тройной интеграл после вычисления первого внутреннего интеграла превращается в двойной интеграл, который можно выразить через поверхностный.

Имеем тело ограниченное гладкими поверхностями : G1низ ,

z = z0(x,y) ; G2верх, z = Z(x,y) ; G3 - цилиндрическая боковая поверхность по границе области D на плоскости хОу. В этом объеме V определена функция R(x,y,z) , причем, функция и ее производные непрерывны. Рассмотрим интеграл

J=- -= J1 – J2

По формуле ( 13 ) интеграл J1 сводится к интегралу по внешней поверхности «верха» тела, а J2 по внутренней поверхности «низа». При переходе на внешнюю сторону «низа» знак J2 меняется. Учтем также, что аналогичный интеграл J3 по боковой поверхности G3 равен нулю, т.к. площадь ее проекции на плоскость хОу равна нулю. В итоге имеем
  1   2   3



Скачать файл (793.5 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru