Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Задачи по дисциплине Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы - файл 1.rtf


Задачи по дисциплине Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы
скачать (12414.6 kb.)

Доступные файлы (1):

1.rtf12415kb.04.12.2011 05:41скачать

содержание
Загрузка...

1.rtf

Реклама MarketGid:
Загрузка...
Задачи по дисциплине

Теория вероятности, математическая статистика и случайные процессы

1. Распределение вероятностей


  1. Распределение Вейбулла


Распределение Ве́йбулла в теории вероятностей — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений.

Пусть распределение случайной величины Х задаётся плотностью , имеющей вид:
,
где λ и k параметры распределения

Тогда говорят, что X имеет распределение Вейбулла.

Функция распределения
F(x)=1-
Математическое ожидание
M(x)=λГ
Дисперсия
D(x)=


  1. Задача


Пассажир может уехать на любом из двух маршрутов автобусов.Закон времени ожидания прихода этих автобусов задается графикомплотности распределения вероятности случайной величины X.

Требуется найти:

  1. параметр А,

  2. плотность распределения f(x),

  3. функцию распределения F(x) (найти аналитическую формулу и построить график),

числовые характеристики: математическое ожидание M(x), дисперсию D(x) и среднее квадратическое отклонение (х),

вероятность того, что во время ожидания пассажиром автобуса составит от 3,5 до 6 (вероятность попадания величины в интервал (3,5;6))

Решение

1)

f(x)=
Найдем А по условию нормировки:



+A

6А=1

А

2)

f(x)
3) Используем формулу:
F(x)=

1.x

F(x)=

2. x



3. x

F(x)=+=+

-

4. х

F(x)=++=+

F(x)=
График функции распределения


4) Найдем математическое ожидание по формуле
M(x)=

M(x)=
С помощью формулы D(x)= найдем дисперсию: D(x)=(=46.09

=6.78

5) P(3.5<X<6)=F(6)-F(3.5)=
^ 2. Исследование методами математической статистики


  1. Общие методы математической статистики


Во многих своих разделах математическая статистика опирается на теорию вероятностей, позволяющую оценить надёжность и точность выводов, делаемых на основании ограниченного статистического материала (напр., оценить необходимый объём выборки для получения результатов требуемой точности при выборочном обследовании).

Математическая статистика — раздел математики, разрабатывающий методы регистрации, описания и анализа данных наблюдений и экспериментов с целью построения вероятностных моделей массовых случайных явлений[1]. В зависимости от математической природы конкретных результатов наблюдений статистика математическая делится на статистику чисел, многомерный статистический анализ, анализ функций (процессов) и временных рядов, статистику объектов нечисловой природы.

Выделяют описательную статистику, теорию оценивания и теорию проверки гипотез. Описательная статистика есть совокупность эмпирических методов, используемых для визуализации и интерпретации данных (расчет выборочных характеристик, таблицы, диаграммы, графики и т. д.), как правило, не требующих предположений о вероятностной природе данных. Некоторые методы описательной статистики предполагают использование возможностей современных компьютеров. К ним относятся, в частности, кластерный анализ, нацеленный на выделение групп объектов, похожих друг на друга, и многомерное шкалирование, позволяющее наглядно представить объекты на плоскости.

Методы оценивания и проверки гипотез опираются на вероятностные модели происхождения данных. Эти модели делятся на параметрические и непараметрические. В параметрических моделях предполагается, что характеристики изучаемых объектов описываются посредством распределений, зависящих от (одного или нескольких) числовых параметров. Непараметрические модели не связаны со спецификацией параметрического семейства для распределения изучаемых характеристик. В математической статистике оценивают параметры и функции от них, представляющие важные характеристики распределений (например, математическое ожидание, медиана, стандартное отклонение, квантили и др.), плотности и функции распределения и пр. Используют точечные и интервальные оценки.

Большой раздел современной математической статистики — статистический последовательный анализ, фундаментальный вклад в создание и развитие которого внес А. Вальд во время Второй мировой войны. В отличие от традиционных (непоследовательных) методов статистического анализа, основанных на случайной выборке фиксированного объема, в последовательном анализе допускается формирование массива наблюдений по одному (или, более общим образом, группами), при этом решение об проведении следующего наблюдения (группы наблюдений) принимается на основе уже накопленного массива наблюдений. Ввиду этого, теория последовательного статистического анализа тесно связана с теорией оптимальной остановки.

В математической статистике есть общая теория проверки гипотез и большое число методов, посвящённых проверке конкретных гипотез. Рассматривают гипотезы о значениях параметров и характеристик, о проверке однородности (то есть о совпадении характеристик или функций распределения в двух выборках), о согласии эмпирической функции распределения с заданной функцией распределения или с параметрическим семейством таких функций, о симметрии распределения и др.

Большое значение имеет раздел математической статистики, связанный с проведением выборочных обследований, со свойствами различных схем организации выборок и построением адекватных методов оценивания и проверки гипотез.

Задачи восстановления зависимостей активно изучаются более 200 лет, с момента разработки К. Гауссом в 1794 г. метода наименьших квадратов.

Разработка методов аппроксимации данных и сокращения размерности описания была начата более 100 лет назад, когда К. Пирсон создал метод главных компонент. Позднее были разработаны факторный анализ[2] и многочисленные нелинейные обобщения[3].

Различные методы построения (кластер-анализ), анализа и использования (дискриминантный анализ) классификаций (типологий) именуют также методами распознавания образов (с учителем и без), автоматической классификации и др.

В настоящее время компьютеры играют большую роль в математической статистике. Они используются как для расчётов, так и для имитационного моделирования (в частности, в методах размножения выборок и при изучении пригодности асимптотических результатов).


  1. ^ Исследование выборочных статистических данных


Объем продаж компьютерной техники в магазине «Горбушкин двор» изменяется в зависимости от времени года, ассортимента товаров, цен производителя и т.д. Известны статистические данные этого показателя в течение некоторого времени.

  1. Необходимо сгруппировать данные, образовав 8-10 интервалов. Найти распределение частот и относительных частот .

  2. Найти и построить эмпирическую функцию распределения

Найдем эмпирическую функцию распределения по формуле:

  1. Построить полигон распределения. Построить гистограмму частот и относительных частот распределения. Объяснить основное свойство гистограммы

  2. Выдвинуть гипотезу о вероятном распределении показателя. Найти точечные оценки числовых характеристик распределения

  3. Методом моментов найти оценку параметров распределения, считая его равномерным на заданном интервале значений

  4. Оценить истинные значения параметров выборочного распределения с помощью доверительного интервала с надежностью 0.95,считая распределение нормальным

  5. Использовать критерий Пирсона, при уровне значимости 0.05 проверить согласуется ли гипотеза о

а) нормальном распределении выборки

б) показательном распределении выборки

в) равномерном распределении выборки


  1. Сгруппировав данные получим 8 интервалов:






[3;5)

[5;7)

[7;9)

[9;11)

[11;13)

[13;15)

[15;17)

[17;19]



1

1

4

9

17

12

4

1


Найдем распределение частот:




4

6

8

10

12

14

16

18



1

1

4

9

17

12

4

1



Найдем распределение относительных частот
n= 1+1+4+9+17+12+4+1=49




4

6

8

10

12

14

16

18



0.02

0.02

0.08

0.18

0.35

0.24

0.082

0.02








x(-

0

  1. x

=0.02

  1. x

=0.02+0.02=0.04

  1. x

=0.04+0.08=0.12

  1. x

=0.12+0.18=0.3

  1. x

=0.3+0.35=0.65

  1. x

=0.65+0.24=0.89

  1. x

0.89+0.082=0.972

  1. x

0.97+0.02=1
Итак, эмпирическая функция распределения будет выглядеть так

Построим эмпирическую функцию распределения





Полигон распределения


Гистограммой – называется фигура состоящая из прямоугольника . Основания прямоугольников – интервальные задания случайной величины, высота прямоугольников

  • для гистограммы частот находится по формуле:


=

=0.5
=0.5















  • для гистограммы относительных частот находится по формуле:






















  1. .

  2. Метод моментов применяется для оценки неизвестных параметров распределения, суть методов заключается в том, что приравниваются теоретические и эмпирические моменты. Если закон распределения содержит 1 параметр, то для оценки этого параметра составляется одно уравнение, в котором теоретический момент приравнивают к эмпирическому моменту. Если распределение случайной величины содержит 2 параметра, то составляют два уравнения и т.д.

Считая распределение равномерным на заданном интервале значений запишем дифференциальный закон:
2 параметра распределения a и b

M(x)=

D(x)=

D(x)

(4+6+32+90+204+168+64+18)==11.959
=









6. Доверительным называют интервал который с заданной надежностью показывает заданный параметр.

Истинное значение измеряемой величины равно ее математическому ожиданию a. Поэтому задача сводится к оценке математического ожидания (при известном ) при помощи доверительного интервала


= 2.009
Все величины кроме S(среднеквадратического отклонения) известны. Для нахождения S сначала найдем (исправленную дисперсию).


*175.4=3.58

=1.89





7. а) 1.

2. Вычислим теоретические частоты, учитывая, что n=49, h=1, =2.6, по формуле:



i









1

4

-3,06

0.0037

0,07

2

6

-2,29

0.0290

0,55

3

8

-1,52

0.1257

2,37

4

10

-0,75

0.3011

5,67

5

12

0,015

0.3989

7,52

6

14

0,78

0.2943

5,55

7

16

1,55

0.1200

2,26

8

18

2,32

0.0270

0,51


3. Сравним эмпирические и теоретические частоты

I) составим расчетную таблицу, из которой найдем наблюдаемое значение критерия













1

1

0,07

0,93

0,86

12,2

2

1

0,55

0,45

0,2

0,36

3

4

2,37

1,63

2,66

1,12

4

9

5,67

3,33

11,09

1,95

5

17

7,52

9,48

89,87

11,95

6

12

5.55

6,45

61,15

11,02

7

4

2,26

1,74

3,03

1,1

8

1

0,51

0,49

0,24

0,47


Из таблицы найдем

II) по таблице критических точек распределения , по уровню значимости k=s-3=8-3=5

Т.к. - гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности отвергаем. Другими словами, эмпирические и теоретические частоты различаются значимо.
б)





3-5

1

5-7

1

7-9

4

9-11

9

11-13

17

13-15

12

15-17

4

17-19

1


1.

2. Найдем оценку параметра предполагаемого показательного распределения

Т.о. плотность предполагаемого показательного распределения имеет вид:
(x>0)

3. Найдем вероятности попадания X в каждый из интервалов по формуле:

Например, для первого интервала:
















⅀=0.89

4. , где -й интервал
Например, для первого интервала















5. Сравним эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона. Для этого составим расчетную таблицу, причем объединим малочисленные частоты (4+6=10), (16+18=34) и соответствующие им теоретические частоты (16,17+5,88=22,05), (1,96+1,96=3,92)














1

2

21,07

-19,07

363,6

17,2

2

4

3,92

-0,08

0,0064

0,0016

3

9

3,43

5,57

31,02

9,04

4

17

3,136

13,864

192,2

61,3

5

12

2,744

9,26

85,74

31,25

6

5

3,92

1,08

1,166

0,3



49














По таблице найдем

Т.к. гипотеза о распределении X по показательному закону отвергается.
в)






3-7

2

7-9

4

9-11

9

11-13

17

13-15

12

15-19

5
















  1. Найдем теоретические частоты:











  1. Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона приняв число степеней свободы k=s-3=8-3=5 для этого

Составим расчетную таблицу














1

2

2,91

-0,91

0,83

0,28

2

4

10,78

-6,78

45,96

4,27

3

9

10,78

-1,78

3,17

0,294

4

17

10,78

6,22

38,7

3,6

5

12

10,78

1,22

1,49

0,14

6

5

7,87

-2,87

8,24

1,04



50










9,62



Из расчетной таблицы получаем

Найдем по таблице критических точек распределения по уровню значимости критическую точку правосторонней критической области

Т.к. гипотеза о равномерном распределении отвергается.
^ 3. Корреляция величин
3.1 Корреляция величин
Корреляция — зависимость между случайными величинами, не имеющая, вообще говоря, строго функционального характера. В отличие от функциональной зависимости корреляции, как правило, рассматривается тогда, когда одна из величин зависит не только от данной другой, но и от ряда случайных факторов. Зависимость между двумя случайными событиями проявляется в том, что условная вероятность одного из них при наступлении другого отличается от безусловной вероятности. Аналогично, влияние одной случайной величины на другую характеризуется условными распределениями одной из них при фиксированных значениях другой.

Некоторые виды коэффициентов корреляции могут быть положительными или отрицательными (возможна также ситуация отсутствия статистической взаимосвязи — например, для независимых случайных величин). Если предполагается, что на значениях переменных задано отношение строгого порядка, то отрицательная корреляция — корреляция, при которой увеличение одной переменной связано с уменьшением другой переменной, при этом коэффициент корреляции может быть отрицательным; положительная корреляция в таких условиях — корреляция, при которой увеличение одной переменной связано с увеличением другой переменной, при этом коэффициент корреляции может быть положительным.
3.2 Задача
Совместный закон распределения суммы дивидендов, выплачиваемых по привилегированной и обыкновенной акциям некоторой компании, задается следующей таблицей








0

1

2

2







4









  1. Построить маргинальные законы распределения случайных величин X и Y.


) =

)=



Проверка:


Y

0

1

2

p








X: )=

)=
Проверка:


X

2

4

p






Вычислить числовые характеристики: математические ожидания и , дисперсии и , среднеквадратические отклонения и














  1. Условные вероятности составляющих X и Y соответственно вычисляются по соответствующим формулам:


P(






X

2

4



0,75

0.44









X

0

1

2



0.3

0.325

0.375

Вычислить числовые характеристики: условное математическое ожидание , дисперсию и среднее квадратическое отклонение YX

Условным математическим ожиданием дискретной случайной величины Y при X=x (x – определенное возможное значение X) называется произведение всех возможных значение y на их условные вероятности.



Условная дисперсия:



Условное среднеквадратическое значение:



Рассчитать коэффициенты корреляции и сделать выводы о линейной зависимости случайных величин X и Y.

Коэффициент корреляции находится по формуле:





















связь знакоположительная

связь средняя умеренная


Скачать файл (12414.6 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации