Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Задачи по математике ЕГЭ в 2011 году (часть С) - файл 1.rtf


Задачи по математике ЕГЭ в 2011 году (часть С)
скачать (2398 kb.)

Доступные файлы (1):

1.rtf2398kb.04.12.2011 06:57скачать

Загрузка...

1.rtf

Реклама MarketGid:
Загрузка...
Уравнения, содержащие параметр

Для начала, стоило бы пояснить, что собой представляют уравнения с параметрами, которым посвящена моя работа. Итак, если уравнение (или неравенство), кроме неизвестных, содержит числа, обозначенные буквами, то оно называется параметрическим, а эти буквы – параметрами.

Если параметру, содержащемуся в уравнении (неравенстве), придать некоторое значение, то возможен один из двух следующих случаев:

  1. получится уравнение (неравенство), содержащее лишь данные числа и неизвестные (т.е. без параметров);

  2. получится условие, лишенное смысла.

В первом случае значение параметра считается допустимым, во втором – недопустимым.

Решить уравнение (неравенство), содержащее параметр, - это значит, для каждого допустимого значения параметра найти множество всех значений данного уравнения (неравенства).

К сожалению, не редко при решении примеров с параметрами многие ограничиваются тем, что составляют формулы, выражающие значения неизвестных через параметры. Например, при решении уравнения переходят к у равнению ; при m=записывают единственное решение . Но ведь при m= -1 – бесчисленное множество решений, а при m=1, решений нет.

Пример 1. Решить уравнение .

Сразу видно, что при решении этого уравнения стоит рассмотреть следующие случаи:

  1. a=1, тогда уравнение принимает вид и не имеет решений;

  2. при а=-1 получаем и, очевидно, х любое;

  3. при .

Ответ: при a=1 решений нет, при а=-1 х любое, при .

Пример 2. Решить уравнение

Очевидно, что , а , то есть х=b/2, но , то есть 2b/2, b4.

Ответ: при b4 х=b/2; при b=4 нет решений.

Пример 3. При каких а уравнение имеет единственное решение?

Сразу хочу обратить внимание на распространенную ошибку – считать данное уравнение квадратным. На самом деле это уравнение степени не выше второй! При а – 2=0, а = 2, уравнение вырождается в линейное имеет единственный корень х=1/4. Если же а2, то мы действительно имеем дело с квадратным уравнением, которое даёт единственное решение при D=0 , , а=1, а=6.

Ответ: при а=2, а=1, а=6.
1.1 Решение уравнений первой степени с одним неизвестным
Решить такое уравнение – это значит:

1) определить множество допустимых значений неизвестного и параметров;

2) для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующие множества решений уравнений.

Простейшее уравнение первой степени с одним неизвестным имеет вид ах-b=0.

При уравнение имеет единственное решение , которое будет: положительным, если или ; нулевым, если ; отрицательным, если или .

Если а=0, то при b=0 бесчисленное множество решений, а при b0 решений нет.

Пример 1. Для каждого значения а решить уравнение ; найти при каких а корни больше нуля.

Это уравнение не является линейным уравнением (т.е. представляет собой дробь), но при х-1 и х0 сводится к таковому: или а-1-х=0.

Мы уже выявили допустимые значения икс (х-1 и х0), выявим теперь допустимые значения параметра а:
а-1-х=0 а=х+1
Из этого видно, что при х0 а1, а при х-1 а0.

Таким образом, при а1 и а0 х=а-1 и это корень больше нуля при а>1.

Ответ: при а<0 х=а-1; при решений нет, а при a>1 корни положительны.

Пример 2. Решить уравнение (1).

Допустимыми значениями k и x будут значения, при которых .

Приведём уравнение к простейшему виду:

9х-3k=kx-12

(9 – k)x =3k-12 (2)
Найдём k, при которых изначальное уравнение не имеет смысла:

Подставив в (2) , получим:
.
Если подставим , то получим так же .

Таким образом, при уравнение (1) не имеет числового смысла, т.е. - это недопустимые значения параметра k для (1). При мы можем решать только уравнение (2).

  1. Если , то уравнение (2) и вместе с ним уравнение (1) имеют единственное решение , которое будет:

а) положительным, если , при 4<k<9, с учётом : ;

б) нулевым, если ;

в) отрицательным, если и k>9 с учётом
, получаем .


  1. Если , то уравнение (2) решений не имеет.

Ответ: а) при и , причём х>0 для ; x=0 при k=4; x<0 при ;

б) при уравнение не имеет решений.

1.2 Решение линейных уравнений с модулем
Для начала, стоит вспомнить, что такое модуль числа. Итак, абсолютной величиной или модулем числа называется само число х, если х положителен, число (-х), если х отрицателен, или нуль, если х=0. Значение модуля может быть только положительным.

Чтобы понять решение параметрических уравнений, содержащих знак модуля, лучше всего продемонстрировать решение наглядно, т.е. привести примеры:

Пример 1. Решить уравнение |x-2|=b.

Так как, по определению модуля, |x-2|, то при b<0 данное уравнение решений не имеет. Если b=0, то уравнение имеет решение х=2.

Если b>0, то решениями уравнения являются числа x=2+b и x=2-b.

Ответ: при b<0 решений нет, при b=0 х=2, при b>0 х=2+b и x=2-b.

Пример 2. Решить уравнение |x-a|=|x-4|. Удобнее всего данное уравнение решить методом интервалов, для двух случаев:


  1. a;

  2. 4.


1. Первый интервал:




;
Второй интервал:




, т.е. если а<4, то .
Третий интервал:




а=4, т.е. если а=4, то .
2. Первый интервал:




а=4, .
Второй интервал:
a>4,т.е. если 4<а, то
Третий интервал:


Ответ: при а=4 х-любое;, при а<4 .

Пример 3. Для каждого значения параметра а найти все значения х, удовлетворяющие уравнению |x+3|– a| x – 1| =4.

Рассмотрим 3 промежутка: 1) , 2) , 3) и решим исходное уравнение на каждом промежутке.
1. , .
При а=1 уравнение не имеет решений, но при а1 уравнение имеет корень . Теперь надо выяснить, при каких а х попадает на промежуток x< – 3, т.е. , , , . Следовательно, исходное уравнение на x< – 3 имеет один корень при , а на остальных а корней не имеет.
2. . .
При а= – 1 решением уравнения является любое х; но мы решаем на промежутке . Если а1, то уравнение имеет один корень х=1.
3. . .
При а=1 решением является любое число, но мы решаем на . Если а1, то х=1.

Ответ: при ; при а= – 1 и при а1 х=1; при а=1 и при а1 х=1.
1.3 Решение квадратных уравнений с параметром
Для начала напомню, что квадратное уравнение – это уравнение вида , где а, b и с – числа, причем, а0.

Условия параметрических квадратных уравнений могут быть различны, но для решений всех их нужно применять свойства обыкновенного квадратного уравнения :

а) Если D>0, а>0, то уравнение имеет два действительных различных корня, знаки которых при с>0 одинаковые и противоположны по знаку коэффициента b, а при с<0, причем по абсолютной величине больше тот, знак которого противоположен коэффициенту b.

б) Если D=0, а>0, то уравнение имеет два действительных и равных между собой корня, знак которых противоположен знаку коэффициента b.

в) Если D<0, а>0, то уравнение не имеет действительных корней.

Аналогично можно представить свойства корней при а<0. Кроме того, в квадратных уравнениях справедливы следующие утверждения:

  1. Если поменять местами коэффициенты а и с, то корни полученного квадратного уравнения будут обратны корням данного.

  2. Если поменять знак коэффициента b, корни полученного квадратного уравнения будут противоположны корням данного.

  3. Если коэффициенты а и с разных знаков, то уравнение имеет действительные корни.

Пример1. Найти все значения параметра а, для которых квадратное уравнение : а) имеет два различных корня; б) не имеет корней; в) имеет два равных корня.

Данное уравнение по условию является квадратным, поэтому а-1. Рассмотрим дискриминант данного уравнения:

При а>-1 уравнение имеет два различных корня, т.к. D>0, при a<-1 уравнение корней не имеет, т.к. D<0, а двух одинаковых корней это уравнение иметь не может, т.к. D=0 при а=-1, а это противоречит условию задачи.

Пример2. Решить уравнение

При а=0 уравнение является линейным 2х+1=0, которое имеет единственное решение х=-0.5. А при а0, уравнение является квадратным и его дискриминант D=4-4a.

При а>1 D<0 поэтому уравнение корней не имеет. При а=1 D=0, поэтому уравнение имеет два совпадающих корня =-1.

При a<1, но а0, D>0 и данное уравнение имеет два различных корня
; .
Ответ: и при a<1, но а0; х=-0.5 при а=0; =-1 при а=1.

Пример3. Корни уравнения таковы, что . Найдите а.

По теореме Виета и . Возведём обе части первого равенства в квадрат: . Учитывая, что , а , получаем: или , . Проверка показывает, что все значения удовлетворяют условию.

Ответ:

2. Примеры решений уравнений с параметром из ГИА и ЕГЭ части С
Узнав всю теоретическую основу и методы решений различных уравнений, содержащих параметр, я решила применить свои знания на практике. Мы выбрали несколько вариантов заданий ГИА и ЕГЭ из части С, представляющих собой именно те виды уравнений, которые были представлены в моей работе, а именно: уравнение первой степени с одним неизвестным, уравнение с модулем и квадратное уравнение. Ниже будут предложены решения этих уравнений.

  1. Определить значения k, при которых корни уравнения положительны.

Сразу можно выделить, что , , из этого следует, что при уравнение не имеет смысла.

В уравнение х(3k-8)=6-k подставим недопустимые значения х, чтобы узнать, при каких k уравнение не имеет смысла:


Итак, мы выяснили, что .

Выразим х: . Х будет больше нуля, если .

Учитывая, что , , . Ответ: , .

2. При каких значениях а уравнение имеет равные корни?

Уравнение имеет равные корни в том случае, если дискриминант равен нулю. Найдем дискриминант данного уравнения и приравняем его к нулю:

Ответ: при а=2 и а=2/35.

3. Для каждого значения параметра а найти все значения х, удовлетворяющие уравнению a|x+3|+2|x+4|=2.


  1. х+3=0 2) х+4=0

х= – 3 х= – 4 .

х+3 – – +




х+4 – -4 + -3 +
Рассмотрим 3 промежутка.
1.

а(-(х+3)+2(-(х+4)=2

-ах – 3а –2х – 8=2

х(- а – 2)=10+3а (при а- 2)

.
Теперь надо выяснить, при каких а х попадает на промежуток .

Следовательно, на промежутке уравнение имеет единственный корень при .

2. .



=> При а2 х= -3

При а=2 .

3.




=> При а -2 х= -3

При а= -2 .

Ответ: 1. при

2. при а2 х= -3

при а=2 .

3. при а -2 х= -3

при а= -2 .


Скачать файл (2398 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru