Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Лекции - Математический анализ - файл Глава - 1.doc


Лекции - Математический анализ
скачать (4427.7 kb.)

Доступные файлы (4):

Глава - 1.doc1389kb.31.07.2002 16:53скачать
Глава - 2.doc1321kb.31.07.2002 16:55скачать
Глава - 3.docскачать
Глава - 4.doc456kb.31.07.2002 16:57скачать

содержание
Загрузка...

Глава - 1.doc

1   2   3   4   5   6   7   8
Реклама MarketGid:
Загрузка...

1.2. Множества


Понятие множества является первоначальным понятием математики, точное определение ему не дается, но его можно пояснить, описать через другие понятия. Можно сказать, что множество – это совокупность, собрание каких-то объектов, предметов, при этом объект, входящий в это множество, называют его элементом. Множества могут содержать как конечное число элементов, так и бесконечно много элементов. Рассматривают и множество, не содержащее элементов, его называют пустым и обозначают символом .

В математическом анализе чаще всего рассматриваются числовые множества, за некоторыми из них закреплены специальные обозначения. Так, множество всех натуральных чисел обозначаются через N и записывают так: N = {1,2,3,...}. Далее, через Z обозначают множество всех целых чисел, содержащее как натуральные числа, так и 0, и целые отрицательные числа; Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}.

Рациональным называется число, которое можно представить в виде отношения двух целых чисел: (pZ, qZ, q0). Множество всех рациональных чисел обозначается через Q. Символически определение множества рациональных чисел можно записать так: Q{ | pZ & qZ & q0}. Здесь знак заменяет слово «называется». Заметим, что множество можно задать перечислением элементов, а можно описанием свойств элементов (предикатом), как в последнем случае.

Известно, что любое рациональное число можно представить десятичной дробью, конечной и бесконечной периодической. Например, рациональное число 5/6 представимо бесконечной периодической дробью 5/6 = 0,83333..., а число 3/8 = 0,375. В последнем случае можно считать десятичную дробь тоже бесконечной с числом 0 в периоде: 3/8 = 0,3750000... . Известно, что всякую периодическую бесконечную дробь можно обратить в обыкновенную дробь p/q.

Иррациональным числом называется всякая бесконечная непериодическая десятичная дробь. Множество всех рациональных и иррациональных чисел называется множеством действительных чисел и обозначается через R. Иными словами, множество действительных чисел R – это множество всех бесконечных десятичных дробей.

Пусть M1, M2 – некоторые множества. Если каждый элемент множества M1 является элементом множества M2, то говорят, что M1 есть подмножество множества M2 и обозначается M1 M2. Итак, M1 M2 тогда и только тогда, когда x(xM1 xM2).

Из определения числовых множеств можно заключить, что NZ, ZQ, QR. Множество действительных чисел является подмножеством множества C всех комплексных (о которых мы сейчас говорить не будем), т.е. RC.

Часто рассматриваются подмножества действительных чисел (a, b), [a, b], [a, b), (a, b] называемые, соответственно, интервалом, отрезком, полуинтервалом. Дадим символические определения этих множеств, а слово «называется» заменим на знак :

(a, b) {xR| a < x < b}; [a, b] {xR| a xb};

(a, b] {xR| a < x b}; [a, b) {xR| a x < b }.

Заметим, что на числовой оси каждое действительное число изображается определенной точкой и любая точка числовой оси задает некоторое число, поэтому [a, b] изображается множеством всех точек отрезка, вместе с концами a, b, в то время как (a, b) – множеством точек отрезка без концов a, b.

Объединение AB, пересечение AB

Рассмотрим операции множеств A, B давая им символические определения:

AB{x| xAxB}, AB{x| xA & xB}

Иногда рассматривается операция разности множеств A и B, это множество элементов A, не входящие в B. Обозначение: A\B. Таким образом, A \ B{x|}. В частном случае R \ Q есть множество иррациональных чисел.

1.3. Функции


Пусть x, y – переменные величины. Если каждому значению переменных x из множества ^ A соответствует по определенному закону единственное значение переменной y, то говорят, что y является функцией (однозначной) от x и пишут y = f(x) или
y = y(x). При этом переменную x называют аргументом или независимой переменной, множество A – областью определения функции y = f(x). Обозначим множество всех значений функции, т.е. {f(x)|x A}, через B.

Пример 1. Для функции y = область определения A = (–, –1][1, +), множество значений B = [0, +).

Пример 2. y = , A = R, B = (–, +1].

Замечание. Иногда рассматривают многозначные функции, допуская, что каждому значению xA, соответствует одно или более одного значений y. Мы в дальнейшем под функцией будем понимать однозначную функцию.

^ Способы задания функции

Аналитический способ: связь между аргументом x и функцией y задается формулой, при этом на разных участках области определения она может задаваться различными формулами (см. пример 2) . В примерах 1, 2 функции заданы аналитически.

Табличный способ: функция задается таблицей отдельных значений аргумента и соответствующих значений функции. Такими являются таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов и т.д.

Графический способ: в этом случае соответствие между значениями x и y задается с помощью графика.

Среди числовых функций особое место занимают функции с областью определения ^ A = N. Пусть аргумент функции f(x) принимает только значения 1, 2, 3,....n,...

Обозначим f(1) = a1, f(2) = a2, ..., f(n) = an, ... Такую функцию называют последовательностью, a1 – первый член, ..., an – n-й член этой последовательности.

Рассмотрим свойства, которыми могут обладать (или не обладать) некоторые функции.

Функция f(x) называется возрастающей на множестве M (строго), если большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Символически это может быть записано так: x1, x2M (x1 < x2f(x1) < f(x2)).

Функция f(x) называется убывающей (строго) на множестве M, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Символически:
x1, x2M (x1< x2f(x1) > f(x2)).

Функция, убывающая или возрастающая на множестве M, называется монотонной на множестве M.

В качестве примера рассмотрим функцию y = x2. На интервале (–, 0) это убывающая функция, а на интервале (0, +  ) – возрастающая.

Функция f(x) называется ограниченной сверху на множестве M, если существует такое число k, что для любого значения xM f(x) < k.

Символически это может быть записано так: kxM (f(x) < k).

Аналогично дается определение функции, ограниченной снизу.

Если функция ограничена и сверху, и снизу, то она называется ограниченной. Так, функция y = ограничена снизу на множестве A (пример 1), а функция из примера 2 ограничена сверху на множестве R.

Функция f(x) называется четной, если xA (f(–x) = f(x)), и называется нечетной, если xA (f(–x) = –f(x)).

Например, функция y = x2 является четной, а y = sinx – нечетной.

Функция f(x) называется периодической с периодом T (T  0 ), если
xA(f(x + T) = f(x)).

Известно, что все тригонометрические функции являются периодическими.

Введем важные понятия сложной и обратной функции.

Если переменная y является функцией от x, y = f(x); а x – функция от переменной t: x = (t), то y = f((t)) является функцией от t и называется сложной функцией или функцией от функции.

Например, пусть y = x2, x = sint, тогда функция y = (sint)2 является сложной.

Пусть y = f(x) с областью определения A и множеством значений B такова, что для любого значения yB существует единственное значение xB, такое, что f(x) = y, тогда переменная x является функцией от y, обозначим x = (y). Эту функцию называют обратной для y = f(x). Для обратной функции x = (y) область определения B, а множество значений A. Иногда функцию, обратную к функции y = f(x), обозначают: .

Например, для функции y = x2 с областью определения [0, +) и таким же множеством значений обратной является функция: x =.

В дальнейшем часто будет использоваться понятие абсолютной величины числа, а также понятие окрестности точки.

Абсолютной величиной числа a называется неотрицательное число, обозначаемое |a|, такое, что

|a| = .

Неравенство |x| < m ( m > 0 ) равносильно двойному неравенству –m < x < m, неравенство |x – x0| < ( > 0) равносильно x0 < x< x0 + Множество точек с таким свойством (рис. 1.1) является интервалом (x0 , x0 + ) и называется окрестностью точки x0 (рис. 1.1).
1   2   3   4   5   6   7   8



Скачать файл (4427.7 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru