Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Лекции по курсу Высшая алгебра - файл 1.doc


Лекции по курсу Высшая алгебра
скачать (1730 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc1730kb.04.12.2011 14:15скачать

содержание
Загрузка...

1.doc

  1   2   3   4
Реклама MarketGid:
Загрузка...
ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ


1. Комплексные числа


     Алгебраическая форма комплексных чисел (рис. 5.1)

     Обозначения, терминология



где i - мнимая единица; a - действительная часть: a = Re z; bi - мнимая часть: b = Im z; числа вида bi - чисто мнимые; плоскость Oxy - комплексная плоскость; ось Ох - действительная ось; ось Oy - мнимая ось;

      - число, сопряженное числу z = a + bi;

      - модуль комплексного числа;
либо , - аргумент комплексного числа z (главное значение аргумента);



Arg z - множество аргументов числа z:






     ^ Действия над комплексными числами

     Если то:



 ^ Тригонометрическая форма комплексных чисел (рис. 5.1)



где r - модуль; - агрумент комплексного числа.

     Если то:










     Формула Муавра




     ^ Извлечение корней из комплексных чисел






     ^ Корни из единицы



     В частности,



Свойства сопряженных чисел






     Свойства модуля








     Свойства аргумента






     Показательная (экспоненциальная) форма комплексных чисел



где r - модуль; - аргумент;








2.Многочлены



     Многочлен степени n



или - коэффициенты; - старший коэффициент;


     Равенство многочленов



где - коэффициенты многочлена g(x) ( - старший коэффициент).


     Сложение многочленов

     Если то



где то


     Умножение многочленов



где

     В частности,




     ^ Алгоритм деления с остатком

     Для любых f(x), g(x) существуют q(x) (частное) и r(x) (остаток), такие, что f(x)=g(x)q(x)+r(x), причем степень r(x) < степени g(x) или r(x) = 0. Многочлены g(x) и r(x) определены однозначно.

     Частное и остаток находят с помощью так называемого правила деления "уголком".

Пример.






     ^ Делители многочлена

     Делитель многочлена f(x) - многочлен g(x), такой, что

f(x) = g(x)q(x).


     Наибольший общий делитель двух многочленов

     Наибольший общий делитель многочленов f(x) и g(x) - такой их общий делитель d(x), который делится на любой другой их общий делитель.


     ^ Алгоритм Евклида (алгоритм последовательного деления) нахождения наибольшего общего делителя многочленов f(x) и g(x)



     Тогда - наибольший общий делитель f(x) и g(x).

Схема Горнера

     Если то при делении f(x) на g(x) частное q(x) имеет вид



где Остаток r находится по формуле




     Корни многочлена

     Корень многочлена f(x) - число , такое, что



     Число - k-кратный корень многочлена f(x), если



     Если число является k-кратным корнем многочлена f(x), то при k > 1 оно будет (k - 1)-кратным корнем первой производной этого многочлена; при k = 1 число не является корнем производной.


     ^ Разложение многочлена степени n на множители

     Многочлен f(x) с комплексными коэффициентами



Здесь - различные корни многочлена кратностей соответственно

^ Многочлен f(x) с действительными коэффициентами



Здесь - различные действительные корни многочлена, кратностей соответственно - различные пары действительных чисел, удовлетворяющих неравенствам (каждый множитель можно представить в виде где - пара сопряженных комплексных корней кратности ).


     Интерполяционная формула Лагранжа



Эта формула позволяет найти многочлен степени n по известным его значениям в n + 1 точках

Пример.






     Формулы Виета

     Если и - корни многочлена (каждый кратный корень взят здесь столько раз, какова его кратность), то:



     В частности, при при

^ Вычисление корней многочленов

     Уравнения второй степени (квадратные)

     Для общего уравнения



     Для приведенного уравнения



(Формулы верны при любых коэффициентах, действительных или комплексных.)


     ^ Уравнения третьей степени (кубические)

     Уравнение заменой сводится к уравнению , где Корни последнего уравнения находятся по формуле Кардано:



при этом, беря последовательно по одному из трех значений кубического корня следует из трех возможных значений корня выбрать то, для которого


     Границы корней

     Для многочлена

     1) верхняя граница модулей корней - число где

     2) верхняя граница положительных корней - число где B - наибольшее число из модулей отрицательных коэффициентов; k - номер первого из отрицательных коэффициентов;

     3) нижняя граница положительных корней - число где - верхняя граница положительных корней многочлена

     4) верхняя граница отрицательных корней - число - где - верхняя граница положительных корней многочлена

     5) нижняя граница отрицательных корней - число - где - верхняя граница положительных корней многочлена

Метод Ньютона разыскания верхней границы положительных корней

     Если для многочлена f(x) с действительными коэффициентами и старшим коэффициентом выполняются условия f(c) > 0, то c служит верхней границей положительных корней.


     ^ Приближенные вычисления корней

     Метод линейной интерполяции

     Если простой корень отделен границами a и b (a<<b), то в качестве приближенного значения берется число




     Метод Ньютона

     Если - простой корень многочлена f(x) и ]a; b[ - промежуток, не содержащий, помимо , других корней этого многочлена, а также ни одного из корней многочленов f'(x) и f"(x), то приближенное значение корня находят по формуле



где - то из чисел a и b, для которого знак f(x) совпадает со знаком f"(x).


     Общие корни двух многочленов. Результант. Дискриминант

     Общие корни

     Общие корни многочленов f(x) и g(x) - в точности все корни их наибольшего общего делителя d(x).


     Результант

     Результант многочленов и - определитель


Этот определитель в первых ^ S строках содержит коэффициенты многочлена f(x), в последних n строках - коэффициенты многочлена g(x), а на свободных местах - нули.

     Многочлены f и g имеют хотябы один общий корень

     Другие выражения для результанта:



где - корни многочленов f(x) и g(x) соответственно;






     Дискриминант



     Формула



позволяет выразить дискриминант многочлена через его коэффициенты.


     Дискриминант (дискриминант квадратного уравнения)

     Для многочлена гурвициан - определитель



(если j < 0 или j > n, то считается ).


     ^ Критерий Гурвица

     Действительные части всех корней многочлена f(x) отрицательны тогда и только тогда, когда все главные миноры гурвициана положительны.

     Для n = 2:

     Для n = 3:

  1   2   3   4



Скачать файл (1730 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru