Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Кошуба И.С. Усатиков С.В. Методические указания по выполнению курсовой работы по дисциплине Моделирование систем - файл 1.doc


Кошуба И.С. Усатиков С.В. Методические указания по выполнению курсовой работы по дисциплине Моделирование систем
скачать (870 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc870kb.06.12.2011 12:39скачать

содержание
Загрузка...

1.doc

  1   2   3
Реклама MarketGid:
Загрузка...
АКАДЕМИЯ МАРКЕТИНГА И СОЦИАЛЬНО-ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ (ИМСИТ)
Кафедра вычислительных систем

Моделирование систем

Методические указания по выполнению курсовой работы

для студентов очной и заочной форм обучения специальностей

080801.65 – Прикладная информатика (в экономике),

230105.65 – Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем

Краснодар

2008

Составители:

И.С. Кошуба, преподаватель кафедры компьютерных систем управления и обработки информации.

^ С.В. Усатиков, доктор физ.-мат. наук, профессор.
Методические указания по подготовке, содержанию, оформлению и защите курсовой работы дисциплины «Моделирование систем» для специальностей 080801.65 – Прикладная информатика (в экономике), 230105.65 – Программное обеспечение ВТ и АС, – Краснодар, 2004. – 80с.

Методические указания по подготовке, содержанию, оформлению и защите курсовой работы дисциплины «Моделирование систем» предназначены для студентов специальностей 080801.65 – Прикладная информатика (в экономике) и 230105.65 – Программное обеспечение ВТ и АС. Указания включают примерные варианты заданий для выполнения студентами, необходимый теоретический материал, требования к оформлению пояснительной записки и образец выполнения курсовой работы.

Одобрено Научно-методическим Советом ИМСИТ
Рецензент:

А.Б.Боровский, кандидат технических наук, доцент КубГТУ

^ 1 ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

1.1 Требования к курсовым работам

Курсовая работа – важный этап обучения студента, где проявляются навыки ведения самостоятельной научно-исследовательской работы и овладения методикой исследования и эксперимента при решении актуальной задачи в области избранной студентом специальности.

Выполнение курсовых работ предусмотрено учебным планом и обязательно для каждого студента, обучающегося по специальности 080801.65 – Прикладная информатика (в экономике) или 230105.65 – Программное обеспечение ВТ и АС. В результате выполнения курсовой работы студент должен показать готовность к владению основными умениями вести исследовательскую работу.

Тематика курсовых работ определяется и утверждается на заседании кафедры компьютерных систем, управления и обработки информации ИМСИТ.

^ Темы курсовых работ могут определяться разными способами:

  1. Ведущий преподаватель определяет тему курсовой работы студента. Если преподаватель ведет исследовательскую работу по определенной проблеме, он может привлечь к её разработке и студентов, предложив им для творческого поиска перечень конкретных тем.

  2. Студент по согласованию с ведущим преподавателем, работает по теме, связанной с его профессиональной деятельностью (совмещая работу и учёбу).

  3. Студент, по согласованию с кафедрой компьютерных систем, работает по теме, соответствующей его перспективным интересам.

Научный руководитель регулирует формулировки тем в рамках направления конкретных дисциплин, не допускает формулировку одинаковых тем в рамках направления конкретных дисциплин, не допускает формулировку одинаковых тем разными студентами в одной группе. Список тем курсовых работ утверждается на заседании кафедры компьютерных систем.

В соответствии с выбранной и согласованной темой курсовой работы научный руководитель выдает студенту задание, в котором указывается тема, исходные данные для выполнения работы, содержание работы, сроки выполнения курсовой работы, а также согласовывается календарный график выполнения отдельных этапов и всей работы.
^ 1.2 Структура курсовой работы

Материал курсовой работы должен быть изложен чётко и логически последовательно с конкретным описанием результатов научно-технического исследования и выводов.

Курсовая работа должна иметь следующую структуру:

  1. Титульный лист (см. приложение);

  2. Задание на курсовую работу;

  3. Содержание;

  4. Введение;

  5. Основная часть;

  6. Заключение;

  7. Список использованных источников;

  8. Приложения (при необходимости).

Содержание включает введение, наименование всех разделов, подразделов, пунктов (если они имеют наименование) и заключение с указанием номеров страниц, на которых размещаются эти наименования.

Введение содержит оценку современного состояния решаемой инженерной задачи, ее актуальности и новизну, обоснование необходимости проведения дальнейших исследований и цель работы.

^ Основная часть работы включает:

  1. обоснование выбранного направления исследований и общую методику достижения поставленной в работе цели;

  2. теоретические и (или) экспериментальные исследования;

  3. обобщение и оценку результатов исследований.

При этом основная часть делиться на разделы, которые, в свою очередь, могут делиться на подразделы и пункты. Первый раздел содержит анализ современного состояния исследуемого вопроса и постановку задачи. Второй раздел включает обоснование предлагаемого метода для решения поставленной задачи и методику исследований. Третий раздел содержит изложение самостоятельно полученных студентом теоретических и экспериментальных результатов в сравнении с подобными результатами других авторов (отсутствие такого сравнения необходимо мотивировать). Во всех разделах работы необходимо указывать ссылки, откуда почерпнуты необходимые сведения.

Заключение содержит краткие выводы по результатам выполненной работы, оценку полноты решения поставленной задачи и предложения по использованию полученных результатов.

^ Список использованных источников включает только те источники, которые использованы при выполнении курсовой работы. Источники располагаются в списке в порядке появления ссылок на них в работе. Сведения об источниках приводятся в соответствии с требованиями ГОСТ 7.1-84.

Приложения содержат вспомогательный материал, дополняющий работу: промежуточные математические доказательства, протоколы испытаний, описание технических средств, применяемых при проведении экспериментов, акты внедрения полученных результатов и т.п.

Общий объём курсовой работы не должен превышать 40 страниц. Надо излагать материал работы кратко и ясно.
^ 1.3 Правила оформления курсовой работы
Работу выполняют на белой нелинованной бумаге формата А4 (210 х 297 мм) на компьютере через 1,5 интервала (количество знаков в строке – 64, включая пробелы; высота букв – не менее 1,8 мм (кегль не менее 12, рекомендуется 14). Полужирный шрифт не применяется.

Текст работы должен быть кратким, четким и не допускать различных толкований. В нем должны применяться научно-технические термины, обозначения и определения, установленные соответствующими стандартами, а при их отсутствии – общепринятые в научно-технической литературе.

В тексте работы не допускается сокращать обозначения единиц физических величин, если они употребляются без цифр, то есть нужно писать "килограмм", а не "кг". Однако это правило не распространяется на таблицы и на расшифровки буквенных обозначений, входящих в формулы.

Нельзя использовать в тексте математический знак минус перед отрицательными значениями величин. Вместо математического знака следует писать слово "минус".

В тексте работы числовые значения размерных величин следует писать цифрами, а безразмерные – словами, например: "отклонение – не более 20 кг", "опыт повторить два раза".

Если в тексте работы приведен ряд числовых значений одной и той же физической величины, то ее единицу указывают только после последнего числового значения, например: 1,5; 1,75; 2 м. При этом выравнивать число знаков после запятой не обязательно.

Опечатки, описки и графические неточности, обнаруженные в процессе подготовки работы, допускается исправлять подчисткой или закрашиванием белой краской и нанесением на том же месте исправленного текста (графики) машинописным способом или черными чернилами, пастой или тушью – рукописным способом.

Текст работы выполняют на одной стороне листа с соблюдением следующих размеров полей: левое – не менее 30 мм, правое – не менее 10 мм, верхнее и нижнее – не менее 20 мм. Должны быть включены опции переноса и выравнивания по ширине.

Сокращения русских слов и словосочетаний в отчете – по ГОСТ 7.12.

Наименования структурных элементов отчета, например, "СПИСОК ИСПОЛНИТЕЛЕЙ", "РЕФЕРАТ", "СОДЕРЖАНИЕ", "ОПРЕДЕЛЕНИЯ", "ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ", "ВВЕДЕНИЕ", "ЗАКЛЮЧЕНИЕ", "СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ", "ПРИЛОЖЕНИЯ" служат заголовками структурных элементов отчета. Заголовки структурных элементов следует располагать в середине строки без точки в конце и печатать прописными буквами, не подчеркивая.

Каждый структурный элемент работы следует начинать с нового листа (страницы).

Основную часть курсовой работы следует делить на разделы, подразделы и пункты. Пункты, при необходимости, могут делиться на подпункты. При делении текста отчета на пункты и подпункты необходимо, чтобы каждый пункт содержал законченную информацию.

Разделы, подразделы, пункты и подпункты следует нумеровать арабскими цифрами и записывать с абзацного отступа.

Разделы должны иметь порядковую нумерацию в пределах всего текста за исключением приложений.

Пример – 1, 2, 3 и т.д.

Номер подраздела или пункта включает номер раздела и порядковый номер подраздела или пункта, разделенные точкой.

Пример – 1.1, 1.2, 1.3 и т.д.

Номер подпункта включает номер раздела, подраздела, пункта и порядковый номер подпункта, разделенные точкой.

Пример – 1.1.1.1, 1.1.1.2, 1.1.1.3 и т.д.

После номера раздела, подраздела, пункта и подпункта в тексте точку не ставят.

Если текст работы подразделяют только на пункты, их следует нумеровать, за исключением приложений, порядковыми номерами в пределах всей работы.

Если раздел или подраздел имеет только один пункт или пункт имеет один подпункт, то нумеровать его не следует.

Разделы, подразделы должны иметь заголовки. Пункты, как правило, заголовков не имеют. Заголовки должны четко и кратко отражать содержание разделов, подразделов.

Заголовки разделов, подразделов и пунктов следует печатать с абзацного отступа с прописной буквы без точки в конце, не подчеркивая.

Если заголовок состоит из двух предложений, их разделяют точкой.

Между заголовком и текстом, а также между заголовками раздела и подраздела оставляют одну свободную (без текста) строку.

Разделы работы должны иметь порядковые номера в пределах всего отчета, обозначенные арабскими цифрами без точки и записанные с абзацного отступа. Подразделы должны иметь нумерацию в пределах каждого раздела. Номер подраздела состоит из номеров раздела и подраздела, разделенных точкой. В конце номера подраздела точку не ставят. Разделы, как и подразделы, могут состоять из одного или нескольких пунктов.

Внутри пунктов или подпунктов могут быть приведены перечисления.

Перед каждым элементом перечисления следует ставить дефис. При необходимости ссылки в тексте отчета на один из элементов перечисления вместо дефиса ставят строчные буквы в порядке русского алфавита, начиная с буквы а (за исключением букв ё, з, й, о, ч, ъ, ы, ь).

Для дальнейшей детализации перечислений необходимо использовать арабские цифры, после которых ставят скобку, а запись выполняют с абзацного отступа, как показано в примере.

Пример

а) __________________

б) __________________

1) ______________

2) ______________

в) __________________

Все листы должны быть пронумерованы, соблюдая сквозную нумерацию по всему тексту работы. Номер страницы проставляют арабскими цифрами в центре нижней части листа без точки. На титульном листе, задании, реферате, содержании, первой странице введения номер страницы не ставят, но в общую нумерацию включают. Нумерация страниц отчета и приложений, входящих в состав отчета, должна быть сквозная

Иллюстрации и таблицы, расположенные на отдельных листах, включают в общую нумерацию страниц.

Иллюстрации и таблицы на листе формата А3 учитывают как одну страницу.

Иллюстрации (чертежи, графики, схемы, компьютерные распечатки, диаграммы, фотоснимки) следует располагать в отчете непосредственно после текста, в котором они упоминаются впервые, или на следующей странице.

Иллюстрации могут быть в компьютерном исполнении, в том числе и цветные.

На все иллюстрации должны быть даны ссылки в отчете.

Иллюстрации, за исключением иллюстрации приложений, следует нумеровать арабскими цифрами сквозной нумерацией.

Если рисунок один, то его обозначают "Рисунок 1". Слово "рисунок" и его наименование располагают посередине строки.

Допускается нумеровать иллюстрации в пределах раздела. В этом случае номер иллюстрации состоит из номера раздела и порядкового номера иллюстрации, разделенных точкой. Например, Рисунок 1.1.

Иллюстрации, при необходимости, могут иметь наименование и пояснительные данные (подрисуночный текст). Слово "Рисунок" и наименование помещают после пояснительных данных и располагают следующим образом: Рисунок 1 – Детали прибора.

Ссылки на использованные источники следует указывать порядковым номером библиографического описания источника в списке использованных источников. Порядковый номер ссылки заключают в квадратные скобки, например, [10]. Нумерация ссылок ведется арабскими цифрами в порядке приведения ссылок в тексте отчета независимо от деления отчета на разделы.

При ссылках на стандарты и технические условия указывают только их обозначение, при этом допускается не указывать год их утверждения при условии полного описания стандарта и технических условий в списке использованных источников. Наличие списка использованных источников в отчете обязательно.

Заголовок «СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ» пишут, как и заголовки разделов, прописными буквами.

Сведения об источниках следует нумеровать арабскими цифрами без точки и печатать с абзацного отступа.

Структура библиографического описания включает в себя следующие элементы: фамилию и инициалы автора, название, издание (кроме первого), под чьей редакцией, том, часть, выпуск, место издания, издательство, год, общее количество страниц издания или номера страниц, на которых расположен использованный материал.

Фамилию автора следует указывать в именительном падеже. Инициалы пишут после фамилии. Если книга написана двумя или более авторами, то в заголовке описания книги приводят сначала фамилию одного автора, как правило, первого, а после названия книги через косую черту указывают всех авторов.

Заглавие книги, статьи следует приводить в том виде, в каком оно дано на титульном листе.

Наименование места издания необходимо приводить в именительном падеже. Допускается сокращенное название следующих городов: Москва (М.), Ленинград (Л.), Санкт-Петербург (СПб), Ростов-на-Дону (Ростов н/Д), Нижний Новгород (Н.Новгород).
^ 1.4 Подготовка к защите и защита курсовой работы
К защите допускаются только курсовые работы, оформленные в строгом соответствии с изложенными выше требованиями. За содержание и оформление курсовой работы, принятые в них решения, правильность всех данных и сделанные выводы отвечает студент - автор курсовой работы.

Законченная курсовая работа, подписанная студентом и консультантами, представляются руководителю, который составляет на них отзыв.

В отзыве руководителя курсовой работы должны быть отмечены:

  • актуальность темы,

  • степень решённости поставленной задачи,

  • степень самостоятельности и инициативности студента,

  • умение студента пользоваться специальной литературой,

  • способности студента к инженерной и исследовательской работе,

  • возможность использования полученных результатов на практике.

Курсовая работа защищается на рабочей комиссии (создаваемой на кафедре), на которую является студент с курсовой работой и отзывом руководителя. К защите допускаются курсовые работы с положительным отзывом на них руководителя. На доклад по курсовой работе отводится до 10 минут. Доклад может сопровождаться иллюстративным материалом (плакаты и (или) демонстрация программных средств на ЭВМ).
^ 2 ПРИМЕРНАЯ ТЕМАТИКА ЗАДАНИЯ НА МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ СРЕДЫ MATHCAD, MAPLE
2.1 Проблема устойчивости бистабильных систем
Бистабильные (мультистабильные) системы – это системы, имеющие при одном и том же воздействии внешней среды («входе» [1]) два и более устойчивых к малым возмущениям состояния [13, 14]. Эти состояния называются «фазами», по глубокой аналогии с термодинамическими агрегатными состояниями. Здесь устойчивость «в малом» понимается как устойчивость в первом приближении по Ляпунову.

Часто одна из «фаз» нежелательна или опасна. А возмущения от внешней среды могут приводить к их смене. Возникает проблема устойчивости «в большом» - как определить эти опасные возмущения?



Рисунок 1 – «Бистабильная система» из материальной точки в поле силы тяжести

Простейший пример – положение материальной точки (шарика) (рисунок 1), которое задается координатой x. Высота опасного возмущения диктуется высотой перевальной точки. Метастабильная «фаза» – х1, устойчива в малом. Стабильная «фаза» – х2, устойчива в большом.
Пример 1. Система «твердый нагреватель – кипящая жидкость» выглядит для стержня так, как представлено на рисунке 2. На этом рисунке ось температуры Т выражает зависимость температуры от пространственной координаты и времени: Т(x,t). Обозначим S – площадь сечения нагревателя, u – периметр его сечения, L – его длина. «Входом» системы [1] является qv – тепловыделение (т.е. сколько Дж выделяется в единице объема в единицу времени - например, внешнее напряжение порождает силу тока и джоулево тепловыделение, или радиоактивное топливо в твэлах, и др.), а также граничные условия – например, предположение о том, что торцы стержня теплоизолированы и при x=L/2 тепловой поток равен нулю, т.е. T/x=0. Состояние системы: Т(x,t). Параметрами системы будут являться: c, ,  - теплоёмкость, плотность, теплопроводность нагревателя; L, u, S – длина нагревателя, его периметр и площадь сечения; а=λ/cρ – температуропроводность.



Рисунок 2

Выход системы изображен на рисунке 3 (ноль температуры отсчитывается от температуры насыщения охладителя, например для воды при атмосферном давлении это 100oC). Диапазон температур Т1 означает для системы нахождение в нормальном рабочем пузырьковом режиме, Т2 - в переходном неустойчивом, Т3 - нежелательном высокотемпературном режиме, практически означающем аварию.

Как будет доказано ниже, здесь Т1 и Т3 – метастабильные и стабильные состояния, устойчивые к бесконечно малым возмущениям, а Т2 – это перевальная точка, неустойчивое состояние. Следовательно – это бистабильная система.



Рисунок 3 – Система «твердый нагреватель – кипящая жидкость»
На вышеприведенном рисунке W – тепловая нагрузка, описываемая уравнением w=qs=qvu/s. Здесь qs – внешнее воздействие на систему, qs находится в пределах qкр1 qs qкр2, а qкр1 – это максимальный тепловой поток, отводимый в пузырьковом режиме.

^ Переходное отображение является моделью данной системы. Уравнение модели системы записывается так:

.

Далее будем обозначать b=u/(scρ).

Чтобы понять, откуда взялось это уравнение модели, запишем закон сохранения энергии для бесконечно малого отрезка [x; x+x] (рисунке 4), используя также для этого закон Фурье q=-λgradT= - λT/x : накопленное в этом кусочке тепло есть разница между ушедшим в охладитель теплом и поступившим через боковые сечения, т.е.



Рисунок 4

В данном уравнении m=ρV=ρSx – масса кусочка, W – выделилось тепла, Q – ушло в жидкость, при x+x λT/x – тепловой поток через правый торец отрезка по закону Фурье, при x λT/x – тепловой поток через левый торец. Затем, сделав предельный переход x→0 и t→0, получим из уравнения



требуемое нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных, являющееся моделью системы.

Итак, полностью модель системы включает в себя краевую задачу, т.е. дифференциальное уравнение, а также начальные условия и граничные условия.

Замечание 1. Данная система бистабильна при qкр1 qs qкр2.
Утверждение 1. Состояния Т1 и Т3 устойчивы к бесконечно малым возмущениям, т.е. являются «фазами», а состояние Т2 – неустойчиво. Вообще, критерий устойчивости «в малом»: W/T < Q/T.



Рисунок 5

■ Докажем это. Так как в данном случае температура зависит только от времени T=T(t), то модель имеет вид

.

Мы рассматриваем ситуацию малых возмущений, когда T=Tстац+∆T(t) (рисунке 5) при ∆T<< Tстац, т.е. квадратом ∆T можно пренебречь по сравнению с Tстац= Т1, Tстац= Т2, или Tстац= Т3. Тогда после линеаризации модели получим



Это дифференциальное уравнение имеет решение:

,

где ∆Tнач – начальное возмущение. Отсюда видно, что возмущения затухают, т.е. ∆T→0, если выполнено условие

,

что и требовалось доказать.■
Утверждение 2. Пусть возмущения ∆T не малы, а конечны, и от x не зависят, а зависят только от времени t. Тогда:

если T1±∆T или T3-∆T лежит в диапазоне от 0 до T2, то устойчивым является состояние T1,

если T1+∆T или T3±∆T лежит в диапазоне от T2 до ∞, то устойчивым является состояние T3.

■ Докажем это. Как видно из рисунка 5, при возмущённой температуре нагревателя от T1 до T2 отвод тепла из стержня превосходит теплоподвод, происходит самоохлаждение до T1. При возмущённой температуре нагревателя от 0 до T1 отвод тепла из стержня меньше теплоподвода, происходит саморазогрев до T1. При возмущённой температуре нагревателя от T2 до T3 отвод тепла из стержня меньше теплоподвода, происходит саморазогрев до T3. Наконец, при возмущённой температуре нагревателя от T3 до ∞, отвод тепла из стержня больше теплоподвода, происходит самоохлаждение до T3.■

Утверждение 3.(Аналогия с фазовыми переходами 2 рода в термодинамике). Существует особый «вход» qeq , называемый равновесной тепловой нагрузкой, при котором фазы находятся в безразличном равновесии между собой. Величина qeq определяется из «теоремы равных площадей»:

,

где T1 и T3 есть корни уравнения qeq=Q(T).

■ Рассмотрим, какие еще есть стационарные состояния, кроме Т1, Т2 и Т3, т.е. не зависящие от времени и с производной по t, равной нулю. Запишем стационарное дифференциальное уравнение модели:

.

Понизим порядок этого дифференциального уравнения:



По сути, здесь первое слагаемое слева есть «кинетическая энергия» для «скорости» dT/dx , а второе слагаемое - «потенциальная энергия», и в целом получается «закон сохранения механической энергии». Линии уровня этой «энергии», т.е. фазовые портреты стационарных состояний нагревателя при qкр2<qs<qeq показаны на рисунке 6а, при qs=qeq на рисунке 7а, при qeq<qs<qкр1 на рисунке 8а, а соответствующие им «горячий» домен на рисунке 6б, остановившаяся волна на рисунке 7б и «холодный» домен на рисунке 8б.

а б

Рисунок 6

а б

Рисунок 7

а б

Рисунок 8



Рисунок 9

Ситуация на рисунке 7 может иметь место в одном только случае, когда заштрихованные на рисунке 9 площади равны, что и даёт нам «теорему равных площадей».■
Замечание 2. В ситуации рисунке 6 «горячий» домен c температурой в центре Tmax есть такое решение задачи Коши



которое является пограничным между решениями следующего вида: рисунок 10а при Тmax< Т0< Т3 и рисунок 10б при Т2< Т0< Тmax .

а б

Рисунок 10

Таким образом, профиль домена можно получить только путём многовариантных численных расчётов задачи Коши с различными значениями Т0 (от Т2 до Т3).
Задача 1. Аналогично рассмотреть ситуацию рисунка 8.
Утверждение 4. (Автоволны в бистабильных системах). Возможны определённые предсказания поведения системы. Если нагрузка W>qeq, то метастабильна фаза Т1, причём часть, занятая другой фазой Т3, расширяется и вытесняет Т1. В противоположном случае, если W<qeq, то метастабильна фаза Т3, т.е. зона, занятая Т1, расширяется и вытесняет Т3. Если же W=qeq, то граница между фазами неподвижна, они находятся в безразличном равновесии. Смена фаз происходит в виде волны, фронт которой движется с постоянной скоростью v=const.

■ Представим очень протяжённый в обе стороны стержень, на котором слева фаза Т1, а справа фаза Т3., (рисунок 11а). Т1а б

Рисунок 11

Тогда для уравнения модели системы граничные условия имеют вид: при x→-∞ T→ Т1, при x→+∞ T→ Т3, причём T/x→0 при x→±∞. Очевидно, что если фронт автоволны рисунок 11а пойдёт влево, то метастабильна фаза Т1, а если вправо – то фаза Т3. Это же в свою очередь определяется знаком скорости автоволны v.

С помощью замены Даламбера T=T(x-v∙t)=T(z) уравнение модели системы сводится к виду (существование и единственность v будет доказано ниже)

.

Обозначим q=dT/dz. Обе части уравнения домножим на q и проинтегрируем по x вдоль всего нагревателя:

.

В данном уравнении:

, .

Следовательно, окончательно получим для скорости:

.

Так как знаменатель дроби положителен, то знак скорости зависит от числителя. Если интеграл в числителе с минусом, то движемся влево и будет стабильна фаза Т3, а Т1 – метастабильна. А если интеграл с плюсом, то движемся вправо и стабильной фазой будет Т1, а Т3 – метастабильна. Знак же интеграла определяется разностью площадей из рисунка 11б: если нагрузка W>qeq, то разность отрицательна, если W<qeq - положительна, если же W=qeq, то интеграл равен нулю и скорость автоволны тоже.■
Для корректности рассуждений выше необходимо доказать, что v существует и что она единственна.

Утверждение 5. При заданном фиксированном «входе» W существует единственная скорость автоволны v.

■ С помощью замены Даламбера T=T(x-v∙t)=T(z) уравнение модели системы сводится к виду:

.

Это дифференциальное уравнение второго порядка и от z нигде не зависит. Понизим порядок уравнения, обозначив, как и выше, q=dT/dz:

.

Получим дифференциальное уравнение первого порядка с краевыми условиями



Пусть для определённости v>0, т.е. qкр2<W<qeq . При каждом фиксированном v знак производной dq/dT постоянен на интервалах Т1< Т< Т2 и Т2< Т< Т3 , т.е. q либо только убывает, либо только возрастает (рисунок 12), и решения q(T) можно получить аналитически методом разделения переменных. Причём с ростом v скорость возрастания увеличивается, а скорость убывания уменьшается.



Рисунок 12

Начнём Пикаровские приближения с v=0. Каждый шаг приводит к тому, что кривые решений q(T) на интервалах Т1< Т< Т2 и Т2< Т< Т3 сближаются, пока при некотором единственном v не «склеятся» в точке Т2 и не дадут решение требуемой краевой задачи. ■
Утверждение 6. Смена «фаз» инициируется очаговым возмущением - локальным «зародышем» новой стабильной фазы, распространяющимся и вытесняющим метастабильную «фазу». Это очаговое возмущение температуры нагревателя должно превосходить «горячий» домен для режима Т1 при qкр1>W>qeq (рисунок 13а), или «холодный» домен для режима Т2 при qкр2<W<qeq (рисунок 13б). Такие возмущения приводят к формированию автоволн. В противном случае возмущения гаснут и смены фаз не происходит.

а б

Рисунок 13

■ Докажем, что если очаг возмущения температуры нагревателя внутри домена (рисунке 13), то очаг гаснет, а если хотя бы немного превзойдёт дрмен, то очаг разрастается.



Рисунок 14

Пусть Т1 – метастабильна (рисунок 13а), т.е. qкр1>W>qeq. Обозначим сумму «кинетической» и «потенциальной энергии»:

.

Если модель системы



домножить на ∂T/∂x проинтегрировать по x вдоль всего нагревателя, то уравнение примет вид

.

На домене Е=0 (рисунки 6а, 14), на возмущении выше домена E>0, на возмущении ниже домена Е < 0 (рисунок 14). Из последнего равенства следует, что на возмущении выше домена ∂T/∂t>0 и значит Т растёт и очаг увеличивается, а на возмущении ниже домена ∂T/∂t<0 и значит Т убывает и очаг гаснет. ■
Замечание 4. Размер ∆L и температура домена Tmax определяют то сравнительно небольшое локальное возмущение температуры нагревателя, которое полностью разрушает метастабильную фазу. Ясно, что при уменьшении ∆L величина Tmax должна увеличиваться, и наоборот. Но подобная зависимость Tmax от размера зоны возмущения ∆L определяется путем многовариантных численных расчётов модели.
  1   2   3



Скачать файл (870 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru