Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Кошуба И.С. Усатиков С.В. Методические указания по выполнению курсовой работы по дисциплине Моделирование систем - файл 1.doc


Кошуба И.С. Усатиков С.В. Методические указания по выполнению курсовой работы по дисциплине Моделирование систем
скачать (870 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc870kb.06.12.2011 12:39скачать

содержание
Загрузка...

1.doc

1   2   3
Реклама MarketGid:
Загрузка...

Пример 2. Система «сверхпроводник с током I - жидкий гелий».



«Вход» системы Х: сила тока I, граничные условия при .

Состояния системы Z: функция .

Параметры системы: (гелия или азота), .

«Выход» системы Y и отображение выхода (штриховка вниз - сверхпроводник, штриховка вверх - нормальный проводник):



Переходное отображение (модель системы):



Все утверждения 1- 5 выше верны, вместо особый «вход» – равновесная сила тока , определяемая по теореме равных площадей (утверждения 3).

Пример 3. Система «горючий газ - стенки протяжённого сосуда», или тепловое распространение ламинарного пламени по горючему газу.



«Вход» системы X: – коэффициент теплоотдачи от газа в стенки сосуда.

«Выход» системы Y и отображение выхода :



Особый «вход» – равновесный коэффициент теплоотдачи .

Пример 4. Система «поглощающий газ - поток лазерного или СВЧ- излучения», или плазма в потоке излучения.

«Вход» системы X: входная мощность потока энергии излучения.

«Выход» системы Y и отображение выхода :



Параметры системы: w(T) – коэффициент поглощения излучения данной частоты.

Особый «вход» – равновесная мощность потока энергии излучения.

Пример 5. Система «популяция организмов – абиотическая среда», или «химическая цепная реакция с квадратичным разветвлением цепи».



Состояния системы Z: плотность популяции (т.е. численность или биомасса на единицу пространства, занимаемого популяцией) или концентрация химически активных центров.

«Вход» системы X: граничные условия при , константа гибели , ёмкость среды М.

Параметры системы: .

«Выход» системы Y и отображение выхода :



«Фазы»: – вымирание популяции, – процветание; неустойчивое (популяция с критическим порогом плотности =).

Переходное отображение (модель системы) :

,

где (коэффициент диффузии активных центров), – радиус индивидуальной активности по Тимофееву-Ресовскому, т.е. среднеквадратичное перемещение за поколение особи из популяции в процессе своей жизнедеятельности по ареалу.

Замечание 5.Данная система бистабильна при . Особый «вход» – равновесная константа гибели

Замечание 6.

Итак, под «фазами» могут пониматься: режимы кипения, состояния сверхпроводимости, горения, плазменное, «вымирание – процветание» популяции. При особых «входах» – равновесных тепловыделении, силе тока, теплоотдаче, мощности потока энергии, константе гибели - наблюдается сосуществование «фаз» в безразличной устойчивости.

Метастабильная фаза уничтожается стабильной фазой после возникновения её локального «зародыша» размером и состоянием Tmax или Tmin, N и т.д. Смена «фаз» происходит в вид волны, фронт которой движется с постоянной скоростью.

^ 2.2 Содержание задания на математические инструментальные среды MathCAD, Maple
Имеется система «нагреватель – охлаждающая жидкость». Дано дифференциальное уравнение температурного поля этой системы для одномерного нагревателя (стержня):

,

где W- тепловая нагрузка;

u,s – периметр и площадь сечения нагревателя;

c,, - теплоемкость, плотность, теплопроводность нагревателя;

Q(T)- плотность теплового потока в охладитель;

,

T1 - номер варианта по списку группы;

T2 - номер варианта + номер группы;

Т3 – номер варианта + утроенный номер группы.

Найти соответствующие температуру и размер домена: Tmax, ∆L и построить профиль «горячего» домена. Построить фазовый портрет стационарных состояний нагревателя.

^ 3 ПРИМЕРНАЯ ТЕМАТИКА ЗАДАНИЯ НА ПАКЕТ МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
3.1 Краткое описание пакета моделирования динамических систем Model Vision Studium (MVS)
Пакет MVS [2] позволяет описать модель на специальном графическом языке, а затем автоматически построить программу для воспроизведения её поведения, использующую для этого современные численные методы. Пакет предназначен для исследования гибридных систем. Гибридными называют системы, обладающие одновременно "непрерывными" и "дискретными" свойствами. Разработчики пакетов для моделирования гибридных систем сталкиваются с двумя основными проблемами. Первая – это проблема построения удобного и выразительного языка для описания непрерывных и дискретных свойств моделируемого объекта. Вторая связана с требованием строить достоверное численное решение сформулированной на этом языке математической задачи автоматически.

К современному языку моделирования предъявляются следующие требования:

- быть наглядным;
- выразительным;
- предоставлять присущие современным языкам программирования средства отладки;
- автоматически находить достоверные численные решения построенных моделей;
- автоматически проводить наиболее распространенные на практике типы вычислительных экспериментов.

Требование быть наглядным в основном реализуется за счёт использования разнообразных графических Редакторов – редактора уравнений, структуры, поведения и Управляющих различными этапами моделирования и исследования – управляющего проектом, классом, вычислительным экспериментом. Выразительность обеспечивается возможностью поддерживать разнообразные математические конструкции, необходимые для описания модели, решать различные типы уравнений и использовать технологию объектно-ориентированного моделирования (ООМ). Достоверное численное решение и проведение вычислительных экспериментов невозможно получить, не используя современные численные библиотеки и не создавая специальных алгоритмов, обеспечивающих анализ численных свойств задачи и выбор и настройку параметров метода решения.

Авторы пакета MVS предлагают свой подход к решению части из этих проблем и стараются, насколько это возможно, учитывать опыт своих коллег. В основе языка моделирования, реализованного в MVS, лежит специальная форма наглядного представления гибридного поведения - Карта Поведения. Использование карты поведения позволяет создать простой и удобный инструмент для моделирования гибридных систем, ориентированный на широкий круг прикладных пользователей (инженеров, преподавателей, аспирантов, студентов и, как показывает опыт, даже школьников).

^ Карта поведения (bihavior chart или B-chart) - это ориентированный граф, в котором узлам приписываются некоторые локальные поведения, а дугам, называемым переходами, - условия перехода от одного поведения к другому и выполняемые при этом действия. Узел, в котором система находится в каждый конкретный момент времени, называется текущим. Один из узлов должен быть предварительно помечен как начальный, он автоматически становится текущим при создании карты состояний. Соответствующее ему начальное поведение создается при создании экземпляра устройства. Смена текущего узла происходит в результате срабатывания переходов. Когда узел становится текущим, создается экземпляр приписанного ему локального поведения. Созданный экземпляр уничтожается, как только узел перестаёт быть текущим.

Локальное поведение может быть описано как

а) непрерывное поведением,
б) карта поведения (в этом случае узел называется гиперузлом) или
в) считаться пустым поведением NULL.

Графический образ карты поведения позволяет в наглядной форме представлять множества допустимых локальных поведений устройства, их области определения в фазовом пространстве и времена переходов от одного локального поведения к другому. При описании локальных поведений, предусмотрена возможность вводить локальные переменные (аналогичным локальным переменным программных единиц). В принятом в MVS подходе, когда локальные поведения создаются и уничтожаются одновременно с изменением поведения системы, текущий фазовый вектор может менять размерность.

В общем случае переход T из начального узла Nb в конечный узел Ne характеризуется: охраняющим предикатом G, запускающим событием E, и действиями A. Возможны три типа запускающего события:

1) некоторое логическое условие стало истинным (change event);
2) поступил внешний сигнал (signal event);
3) истекло определенное время после того как начальный узел Nb стал текущим (time event).

Семантика перехода следующая. Если узел Nb является текущим и предикат G истинен или отсутствует, переход T становится открытым, в противном случае переход закрыт. Если событие E не указано, то открытый переход немедленно срабатывает. Если указано событие E, то открытый переход сработает только при его появлении и истинности предиката G (до появления события E переход может закрыться, если предикат G перестает быть истинным или узел Nb текущим). Срабатывание представляет собой следующую последовательность мгновенных действий:

1) узел Nb перестает быть текущим;
2) выполняется последовательность действий A;
3) узел Ne становится текущим.

Непрерывное поведение в общем случае задается совокупностью обыкновенных дифференциальных и алгебраических уравнений , а также формул вида <выражение, не зависящее от s>. Уравнения и формулы могут задаваться как в скалярной, так и в матричной форме.

В действиях переходов и правых частях уравнений и формул возможно использование алгоритмических функций и процедур, задаваемых либо с помощью встроенного алгоритмического языка - подмножества языка Ada, либо во внешних программных модулях.

Карта поведения представляет собой простую и наглядную форму описания процесса смены поведений. В частном случае устройства с чисто дискретным поведением, всем узлам карты поведения следует приписать пустые локальные поведения и тогда она превращается в обычную карту состояний (statechart) с единственным отличием. Это отличие связано с невозможностью перехода в локальную карту поведения по команде "покажи предисторию" ("history indicator"). В нашем случае поведение - это параметризованный класс, конкретный экземпляр которого создается при входе в узел карты поведения и уничтожается при выходе из него. Элемент с чисто непрерывным поведением трактуется как гибридный с картой поведения, состоящей из единственного узла, которому приписано непрерывное поведение. Таким образом, дискретные аспекты поведения отражаются с помощью хорошо знакомого языка карт состояния, а непрерывные аспекты - с помощью привычного языка систем уравнений и формул.

^ Блоки и связи. Основным “строительным элементом” описания в MVS является устройство (device). Устройство - это некоторый активный объект, функционирующий параллельно и независимо от других объектов в непрерывном времени . Устройство является ориентированным блоком, т.е. все взаимодействия устройства с окружающим миром осуществляются только через его входы и выходы, составляющие интерфейс устройства. Все остальные свойства устройства инкапсулированы внутри него. В общем случае в описании устройства содержатся следующие элементы: входы, выходы, параметры конструктора, переменные состояния, поведение, локальная структура, анимация. Входы, выходы и переменные состояния являются фазовыми переменными и все вместе составляют фазовый вектор устройства. Идентификаторы блоков и переменных могут быть русскими.

Типы данных включают в себя скалярные, регулярные и комбинированные типы, а также типы, определяемые пользователем. Скалярные типы это - вещественные, целые, булевский, перечислимые, символьный и строковый типы. Регулярными типами являются одномерные и двумерные массивы с произвольными элементами, матрицы и векторы с вещественными элементами, а также списки. Комбинированные типы представляют собой записи с полями различных типов. Для передачи информации о дискретных событиях используется специальный тип "сигнал". В версии 3.0 комбинированные и определяемые типы, а также массивы не поддерживаются.

Описание устройства всегда строится как описание класса устройств. Для конкретных экземпляров устройства могут быть указаны специальные значения параметров. Устройства могут соединяться между собой однонаправленными функциональными связями и входить в состав других устройств, образуя иерархическую структуру. При описании локальной структуры возможно использование сложных многокомпонентных связей, агрегирование и расщепление связей. Возможно использование регулярных структур устройств (массивов и списков). В версии 3.0 агрегирование и расщепление связей, а также массивы и списки устройств не поддерживаются.

Конкретная моделируемая система, с которой будет проводиться вычислительный эксперимент, собирается в окне редактора виртуального стенда из экземпляров классов, определенных в данном проекте, и/или библиотечных классов.

^ Объектно-ориентированное моделирование. В MVS описание устройства всегда строится как описание класса устройств. Статический экземпляр локального устройства создается автоматически при создании экземпляра составного устройства. Статический экземпляр главного устройства проекта создается при запуске вычислительного опыта и уничтожается по его окончании. Динамические экземпляры устройств должны быть явно созданы или уничтожены с помощью специальных операторов в действиях переходов. В версии 3.0 динамические экземпляры устройств не поддерживаются.

Вводимый класс устройств может наследовать свойства другого класса. Все устройства являются потомками предопределенного класса СDevice, которому приписаны все предопределенные соглашения о взаимодействии с исполняющей системой MVS. При наследовании, вы можете вводить новые параметры, фазовые переменные, константы, алгоритмические процедуры и функции, локальные поведения, локальные устройства и связи, узлы и переходы в карте поведения, анимационные окна и анимационные компоненты, а также переопределять и перегружать алгоритмические процедуры и функции, поведения, узлы и переходы в карте поведения, анимационные окна и анимационные компоненты.

Классы устройств обладают свойством полиморфизма: вместо экземпляра класса-предка может использоваться экземпляр класса-потомка. К проекту могут быть присоединены ранее созданные библиотеки классов и при создании своей модели вы можете использовать уже готовые классы устройств. Любой проект может быть превращен в библиотеку классов и любой класс из вашего проекта может быть добавлен в существующую библиотеку. Пакет поставляется со стандартной библиотекой классов SysLib, содержащей набор наиболее типовых линейных блоков, нелинейных блоков, и источников сигналов.
^ 3.2 Содержание задания на пакет моделирования Model Vision Studium (MVS)
Далее приведены 20 примерных вариантов задач, предназначенных для выполнения студентами. Необходимо в качестве решения задачи представить следующие результаты:

- описание системы (из варианта задачи №№1-20) в терминах унифицированного языка моделирования UML;

- модель данной системы, реализованную в пакете Model Vision Studium на основе полученного описания;

- результаты, полученные в процессе исследования данных моделей и их объяснение в терминах данной прикладной области.

Варианты задачи с №1 по №12 взяты из [2].

При построении модели любой из задач в пакете Model Vision Studium необходимо реализовать трехмерную анимацию или создать панель управления параметрами, содержащую в себе компоненты двухмерной анимации.
^ Задача №1.

Переменная сила Q, изменяющаяся по гармоническому закону

Q1 = H1Sin(1t) (1)

или Q2 = H2Cos(2t) (2)

передается на фундамент машиной с неуравновешенным ротором (рисунок 15):



Рисунок 15

где: H1 и H2 - амплитуда возмущающей силы, 1 и 2 - частота возмущающей силы. Пусть H1 = 2см, H2 = 3см, 1 = 0.3с-1, 2 = 0.5с-1. Гармонические законы (1) и (2) сменяют друг друга с периодом в 50 секунд.

Пусть k = 0.4с-1 - это собственная частота рассматриваемой системы. Если она не совпадает с частотой возмущающей силы, в данный момент времени предаваемой на фундамент (то есть k ≠1 и k ≠2), то значение вертикальной координаты q, по оси которой будут происходить колебания, определяются следующими уравнениями:

для гармонического закона (1):

  (3)

для гармонического закона (2):

(4)

где а = 1 с-2 - инерционный коэффициент. Начальные условия нулевые.

Если собственная частота системы совпадает с частотой возмущающей силы, в данный момент времени предаваемой на фундамент (то есть k = 1 или k = 1), то во избежание резонанса воздействие на фундамент прекращается, значение частоты, передаваемой на фундамент на момент возникновения резонанса уменьшается на 10% и через 1 секунду колебания возобновляются по тому же закону, что действовал до перерыва, но уже с новой частотой.

Построить модель данной системы и модель для двух таких машин, работающих одновременно и независимо друг от друга. Вторая машина обладает аналогичным поведением, за исключением того, что переменная сила Q для неё задается теми же законами, но с другими значениями параметров H1 и H2 - амплитуды возмущающей силы, 1 и 2 – частоты возмущающей силы.
^ Задача №2.

Дана система из двух маятников - маятника 1 и обращённого маятника 2 (рисунок 16):



Рисунок 16
Точка подвеса первого маятника гармонически колеблется по вертикали около среднего положения по закону

y1 = ACos(w1t) (1)

а точка подвеса второго маятника гармонически колеблется по вертикали около среднего положения по закону (2):

y2 = ACos(w2t) (2)

где А - амплитуда колебаний, w1 и w2 - частоты колебаний. Пусть A = 2м, w1=3с-1, w2 =3с-1. При этом каждые 10 секунд значение A изменяется на величину ±0.5м поочередно. Длина каждого из маятников равна l = 40м.

Пусть φ1 - это угол отклонения первого маятника от строго вертикального положения, а φ2 - это угол отклонения второго маятника от строго вертикального положения. У первого маятника φ1 изменяется в соответствии с уравнением:

  (3)

У второго маятника поведение иное: если , где g - это ускорение свободного падения, то маятник находится в устойчивом состоянии и φ2 = 0.

В противном случае, φ2 изменяется в соответствии с уравнением:

  (4)

У обоих маятников в начальный момент времени отклонение от положения равновесия составляет 0,1 градуса. Значения φ1 и φ2 изменяются в пределах от 0 до 360 градусов. Построить модель данной системы.
^ Задача №3.

Дан неровный участок со сложным профилем. По нему движутся две идентичные системы, каждая из которых представляет собой подрессорный груз массой m = 0,7кг, прикрепленный к безотрывно движущемуся с постоянной горизонтальной скоростью V1 = 0,9м/с (для первой системы) и V2 = 1м/с (для второй системы) колесу (рисунок 17):



Рисунок 17

Профиль участка имеет следующий вид: известно, что при скорости V1 система движется в течении отрезка времени Time1 = 20с по участку, описываемому уравнением (1),

  (1)

а далее с периодичностью Time2 = 30с для скорости V1 (Time2’ = 27с для скорости V2) профиль участка описывается уравнениями (2) и (3) поочередно:

y = A1Cos(x) , (2)

y = A2Sin(x) , (3)

где h - предел, к которому стремится высота неровности, g - параметр, характеризующий кривизну профиля, А1 и А2 - амплитуды колебаний. Пусть h = 1м, g = 1, А1 = 0,8м, А2 = 0,7м.

Первая система в начальный момент времени расположена в начале пути, а вторая расположена в начале косинусоидального участка. В начальный момент времени начинает двигаться первая система со скоростью V = V1, а вторая остаётся на месте. Как только первая система достигает конца экспоненциального участка, начинает своё движение вторая система со скоростью V = V2 (где V2 > V1), и далее обе системы движутся вместе.

Так как x = Vt (где V = V1), то дифференциальные уравнения, описывающие вертикальные колебания  (в начальный момент времени отсутствующие) первого груза записываются следующим образом для уравнения (1):

  (4)

для уравнения (2):

  (5)

для уравнения (3):

  (6)

где с - жесткость упругой подвески. Пусть с = 0,5кг/с2. Движения второго груза описывается уравнениями (5) и (6) при условии, что V = V2.

Если предел h меньше hmin = 0,001м или амплитуды А1 и А2 меньше Аmin = 0,01м, то профиль участка считается прямолинейным и колебания грузов описываются уравнением:

  (7)

Построить модель данной системы.
^ Задача №4.

Жёсткая плоская пластинка длиной l = 5м находится в потоке газа (жидкости), скорость V = 1м/с которого направлена вдоль срединной плоскости пластинки в невозмущённом состоянии равновесия (рисунок 18):



Рисунок 18
В этом положении аэродинамические силы равны нулю и пластинка находится в равновесии под действием силы тяжести и реакции опор. При отклонении пластинки возникает аэродинамическое давление, зависящее от угла отклонения пластинки φ. В начальный момент пластинка отклоняется от положения равновесия на угол 0,01 градуса.

Пусть I = 1кгм2 - момент инерции пластинки относительно оси шарнира; тогда дифференциальным уравнением движения будет:

  (1)

где c0 - коэффициент жесткости пружины, ky - постоянный аэродинамический коэффициент, ρ - плотность газа, b - расстояние от оси шарнира, определяющее точку приложения равнодействующих аэродинамических давлений на пластину.

Пусть c0 = 0,5кг/с2, ky = 0,5мс2, ρ = 2кг/м3, b = 1м.

Уравнение (1) выполняется при условии

.

В противном случае, под действием аэродинамических сил пластинка снова возвращается в положение равновесия. Каждые 5 секунд скорость подаваемого газа то увеличивается на 50%, то возвращается к прежнему значению. Также каждые 10 секунд плотность газа то увеличивается на 50%, то возвращается к прежнему значению.

Построить модель данной системы, а также модель системы, состоящей из двух систем типа "пластинка в потоке газа", несвязанных друг с другом. Вторая система "пластинка в потоке газа" идентична первой, за исключением того, что в ней пластинка имеет другую длину l1 > l, а поток газа имеет другую скорость V1>V и иную плотность ρ1 < ρ.
^ Задача №5.

Дана система из двух тел с массами m1 и m2, соединенных двумя пружинами, жёсткости которых равны c1 и с2 (рисунок 19):



Рисунок 19
Пусть m1 = 1кг, m2 = 1кг, c1 = 1кг/с2, с2 = 1кг/с2.

На левый груз системы действует гармоническая возмущающая сила Q, задаваемая с интервалом в 20 секунд то законом (1), то законом (2):

Q = H1Sin(t) (1)

Q = H2Cos(t) (2)

где H1 и H2 - амплитуды колебаний,  - частота колебаний. Пусть H1 = 1м, H2 = 1,5м,  = 2с-1. Частота колебаний вне зависимости от закона колебаний каждые 25 секунд то уменьшается на 50%, то возвращается к прежнему значению.

Пусть x1 и x2 - горизонтальное отклонение грузов от положения равновесия (в начальный момент времени отсутствующее). Тогда уравнениями движения будут:

  (3)

  (4)

Построить модель данной системы, а также модель системы, состоящей из двух систем типа "два груза", несвязанных друг с другом. Вторая система "два груза" идентична первой, за исключением того, что в ней левый груз имеет другую массу (между m2 и m1), а правая пружина имеет другую жёсткость (выше с2).
^ Задача №6.

Дан вертикальный безмассовый упругий стержень длиной l = 5м, с постоянной жёсткостью сечения EJ = 1кгм32. С концом стержня связан сосредоточенный груз массой m = 1кг. Верхней опорой стержня служит неподвижный шарнир, а нижней опорой служит подвижная втулка с шарикоподшипником (рисунок 20):



Рисунок 20
Расстояние между опорами s < l не постоянно и изменяется за счёт движения втулки попеременно с периодом 30 секунд по одному из двух гармонических законов:

s = s0+H1Sin(t) (1)

s = s0+H2Cos(t) (2)

где H1 и H2 - амплитуды колебаний,  - частота колебаний, s0 – среднее расстояние между опорами. Пусть H1 = 1.5м, H2 =2м,  = 1с-1, s0=2,5м.

Частота колебаний вне зависимости от закона колебаний каждые 20 секунд то уменьшается на 40%, то возвращается к прежнему значению. Состоянию равновесия соответствует положение груза на вертикали и прямолинейная форма оси стержня. При возмущении этого состояния груз отклоняется в сторону, ось балки изгибается, и последующее движение описывается дифференциальным уравнением (x – координата по горизонтали):

  (3)

В начальный момент времени происходит отклонение груза на расстояние x0 = 0,1м. Если x превышает пороговое значение xmax = 3м, то стержень разрушается.

Построить модель данной системы и модель для двух таких систем, работающих одновременно и независимо друг от друга. Вторая система обладает аналогичным поведением, за исключением того, что переменная сила s’ для нее задается теми же законами, но с иными параметрами H1 и H2 - амплитуд колебаний,  - частоты колебаний, s0 – среднего расстояния между опорами.
^ Задача №7.

Дана система из груза массой M = 1кг, связанного с безмассовой жёсткой упруго закреплённой балкой. Пусть l - длина балки, с0 - коэффициент жёсткости пружины. Один конец балки закреплен на шарнире, расположенном на неподвижной опоре (рисунок 21):



Рисунок 21
Пусть l = 1м, с0 = 1кг/с2.

В начальный момент времени происходит однократный вертикальный удар по грузу с величиной мгновенного ударного импульса S = 2Нс. Скорость груза получает мгновенное приращение, из чего следуют начальные условия:

(1)

  (2)

где φ - это угол отклонения системы от положения равновесия. Движение системы описывается следующим уравнением:

  (3)

Через 25 секунд после начала колебаний масса груза M мгновенно уменьшается на 50%. Далее движение системы продолжается, но уже с грузом новой массы.

Если угол φ становиться больше предельного значения

,

то происходит разрушение системы.

Построить модель системы "балка - груз", а также модель системы, состоящей из двух систем "балка - груз", несвязанных друг с другом. Вторая балка с грузом идентична первой, за исключением того, что удар по грузу в ней происходит через 10 секунд после того, как произошел удар по грузу в первой системе "балка - груз".
^ Задача №8.

В воде плавает кусок пробки в виде параллелепипеда с площадью основания S = 1м2 и высотой H = 0,5 м. Пробку погружают в воду на небольшую глубину x0 = 5 см и отпускают (рисунок 22):



Рисунок 22
В результате пробка начинает совершать колебания. Сопротивление воды не учитывается. Изменение глубины погружения пробки в воду х описывается следующим уравнением:

  (1)

с начальными условиями:

  (2)

  (3)

где ρв = 1000 кг/м3 - плотность воды, ρп = 200 кг/м3 - плотность пробки,

g - ускорение свободного падения.

Пусть существует вторая точно такая же система "вода - пробка" в которой пробку в начальный момент времени не погрузили в воду и отпустили, а сообщили ей скорость, равную v0 = 1м/с. Пусть в данной системе существует сила сопротивления воды, пропорциональная скорости пробки: Fc = -rv, где r = 1кг/с - коэффициент пропорциональности. Колебания в этой системе описываются уравнением:

 (4)

с начальными условиями:

(5)

  (6)

где m - масса пробки.

Построить модель системы, состоящей из этих двух систем "вода - пробка", несвязанных друг с другом.

Построить также модель системы, в которой каждые 20 секунд в первой системе вода мгновенно "превращается" в ртуть ( а ртуть с той же периодичностью - в воду), а во второй системе каждые 25 секунд происходят аналогичные "превращения" воды в спирт. Плотность ртути – ρр = 1360 кг/м3, плотность спирта – ρс = 790 кг/м3.
^ Задача №9.

Материальная точка массы m = 1 кг находится в поле тяготения тонкого кольца массы M = 1020кг и радиуса R = 1км. В начальный момент времени точка помещается в точку Q1, расположенную на оси кольца на расстоянии x0 < R от плоскости кольца и начинает совершать колебательные движения (рисунок 23):



Рисунок 23
Если x0 < 0,1R, то колебания x описываются следующим уравнением:

  (1)

Если x0  0,1R или в результате колебаний выполняется условие x  0,1R, то колебания описываются следующим уравнением:

  (2)

где G - гравитационная постоянная. Пусть x0 = 1м.

Каждые 15 секунд радиус кольца поочередно мгновенно расширяется и сжимается в 10 раз. Если точка отклоняется от кольца на расстояние, превышающее в 10 раз его первоначальный радиус, система разрушается.

Построить модель данной системы, а также модель системы, состоящей из двух систем "материальная точка - кольцо", несвязанных друг с другом. Вторая система "материальная точка - кольцо" идентична первой, за исключением того, что в ней радиус кольца изменяется в 5 раз каждые 20 секунд.
^ Задача №10.

В длинной вертикальной цилиндрической трубке, закрытой с нижнего конца, может ходить без трения поршень, масса М =10кг которого велика по сравнению с массой идеального газа, заключенного внутри трубки. В положении равновесия расстояние между поршнем и дном трубки равно l0 = 1000м (рисунок 24):



Рисунок 24
Площадь поперечного сечения трубки равна S = 1м2, на поршень действует нормальное атмосферное давление p0. В начальный момент времени поршень отклоняют от положения равновесия на расстояние x << l0. В результате этого поршень начинает совершать колебания, описываемые следующими уравнениями: если p0 > 0, то

 (1)

если p0 = 0, то

  (2)

где g - ускорение свободного падения. Пусть x = 1м. Атмосферное давление каждые 10 секунд мгновенно изменяет свое значение с нормального значения на меньшее на 80% (и обратно).

Построить модель данной системы, а также модель системы, состоящей из двух систем типа "трубка с поршнем", несвязанных друг с другом. Вторая "трубка с поршнем" идентична первой, за исключением того, что в ней поршень имеет другую массу, большую M, и другую площадь поперечного сечения трубки, большую S.
^ Задача №11.

Дана однокамерная фармакокинетическая модель с всасыванием (рисунок 25):



Рисунок 25
где 1 - это место введения лекарственного препарата, 2 - камера. Камера представляет собой ограниченный в пространстве объём жидкости (ткани), неизменный с течением времени. Дан определенный объём лекарственного препарата, который всасывается в камеру пропорционально своей массе в соответствии с уравнением:

(1)

где m - масса лекарственного препарата в месте введения 1, k1 - константа скорости поступления препарата в камеру (константа скорости всасывания). Пусть k1 =0,3 с-1 .

Предполагается, что масса лекарственного препарата в 1 в начальный момент времени равна М = 30мг, причем в самой камере в начальный момент времени препарата нет. Тогда масса лекарственного препарата в камере изменяется в соответствии с следующим уравнением:

  (2)

где m1 - масса лекарственного препарата в камере, kel - константа элиминации (выведения) лекарственного препарата из камеры. Пусть kel =0,5 с-1 .

Как только масса лекарственного препарата в месте введения становится меньше порогового значения e = 0,001мг, засекается отрезок времени Time = 10с, по истечении которого в месте введения уничтожаются все остатки прежней дозы препарата и вводится новая доза m = M.

Существует более сложная система, называемая двухкамерной фармакокинетической моделью со всасыванием (Рисунок 26):



Рисунок 26
В ней лекарственный препарат вводится из аналогичного ранее описанному места введения 1’ и выводится из камеры 2’, но существует еще камера 3, подсоединенная к камере 2’.Между камерами 2’ и 3 может циркулировать лекарственный препарат.

В этой модели масса лекарственного препарата в месте введения описывается также уравнением (1) с теми же начальными условиями. Массы же в камерах 2’ и 3 описываются уравнениями (3) и (4) соответственно:

  (3)

  (4)

где m2 - масса лекарственного препарата в камере 3, k12 - константа скорости поступления препарата из камеры 2’ в камеру 3, k21 - константа выведения лекарственного препарата из камеры 3 в камеру 2’. Пусть k12 =0,4 с-1, k21 =0,6с-1.

Как и в первой системе, в начальный момент времени в камерах 2’ и 3 лекарственный препарат отсутствует. Как и в первой системе, как только масса лекарственного препарата в месте введения становится меньше порогового значения e’, засекается отрезок времени Time1, по истечении которого в месте введения уничтожаются все остатки прежней дозы препарата и вводится новая доза m = M.

Построить модель системы, содержащей обе фармакокинетические модели, несвязанные друг с другом с различными местами введения лекарственного препарата. Также построить модель системы, состоящей из обеих фармакокинетических моделей, имеющих общее место введения препарата. Скорость всасывания лекарственного препарата k1 в обеих фармакокинетических моделях одинаковая, отрезок времени Time’ и пороговое значение e’ для места введения препарата совпадают со значениями, принятыми для однокамерной фармакокинетической модели с всасыванием.
^ Задача №12.

Даны две биологические популяции, оспаривающие одну и ту же пищу. Пусть это будут популяции медведей (численностью N1) и волков (численностью N2) (рисунок 27):



Рисунок 27
Пусть при количестве пищи, достаточном для полного удовлетворения рассматриваемых видов, существуют постоянные положительные коэффициенты прироста популяций: 1 = 0,7мес-1 для медведей и 2= 0,9мес-1 для волков. Для каждого вида заданы "коэффициенты прожорливости" - γ1 = 0,7кг-1 и γ2 = 0,5 кг-1, соответствующие потребности в пище для каждой из двух популяций.

Пусть F(N1, N2) - количество пищи, поедаемой обеими популяциями в единицу времени. Оно задается уравнениями (1) и (2), где уравнение (1) соответствует случаю, когда обе популяции активны, а уравнение (2) - когда медведи впадают в спячку:

  (1)

  (2)

Переключение между режимами (1) и (2) происходит периодически, причем с режима (1) на режим (2) переключение происходит через отрезок времени Time1 = 9мес, а с режима (2) на режим (1) - через Time2 = 3мес. Здесь λ1 и λ2 - некие положительные коэффициенты. Пусть λ1= 0,01кг/(месшт), λ2= 0,02кг/(месшт).

В начальный момент времени популяции обладают начальной численностью N1= 10шт и N2=20шт.

Тогда развитие популяций описывается следующими уравнениями: для медведей

  (3)

для волков:

  (4)

Как только численность той или другой популяции становится меньше 1 (умирает последняя особь), засекается отрезок времени Time3 = 3мес (если это медведи) или Time3’ = 5мес (если это волки), по истечении которого вместо прежней популяции поселяется новая популяция с новой начальной численностью (N1= 10шт если это медведи и N2=20шт если волки).

Построить модель данной системы, а также модель системы, состоящей из двух систем типа "две популяции", несвязанных друг с другом. Вторая система "две популяции" идентична первой, за исключением того, что в ней вместо медведей и волков в качестве конкурирующих видов рассматриваются лоси и олени, имеющие иные значения коэффициентов прироста 1 и 2, другие значения "коэффициентов прожорливости" γ1 и γ2, а также иные значения коэффициентов λ1 и λ2.
^ Задача №13.

Дана популяция типа Олли с критическим порогом плотности. Плотность популяции N(t), особи в популяции одинаковы, популяция равномерно распространена по ареалу. Скорость изменения плотности равна разности функций рождаемости B(N) и смертности D(N):

,

где , ,

,

М – ёмкость окружающей среды,  - частота сезонных изменений неблагоприятных факторов, константы  и  заданы. В начальный момент времени плотность N0 задана. Если популяция вымирает (N=0), через время 1/ появляется новая плотностью N0.

Изобразить развитие популяции во времени шаром – «ареалом» радиуса .
^ Задача №14.

Даны две биологические популяции типа Олли с плотностями N1(t) и N2(t), конкурирующие за трофический (пищевой) ресурс, (рисунок 17). Особи в популяциях одинаковы, популяции равномерно распространены по ареалам. Скорость изменения их плотностей равна разности функций рождаемости и смертности:

,

,

М1 и М2– ёмкость окружающей среды для каждой популяции. Константы 1 , 2 и коэффициенты смертности 1 , 2 , 3 , 4 заданы. В начальный момент времени плотности N01 и N02 заданы. Если популяция вымирает (N1=0 или N2=0), через время Т появляется новая плотностью N01 или N02 .

Найти критические пороги плотности (т.е. величины, ниже которых -вымирание, а выше - расцвет) для каждой популяции. Изобразить развитие популяций во времени сферическими «ареалами» радиусов и , когда начальные плотности выше пороговых.
^ Задача №15.

Дана система из тела (груза) массы m на пружине жёсткости c (рисунок 28):



Рисунок 28
Пусть m = 1кг, c = 1кг/с2. На груз системы действует гармоническая возмущающая сила Q, задаваемая законом:

Q = HSin(t) ,

где H - амплитуда,  - частота колебаний, t - время. Пусть H = 1м,  = 2с-1.

Тело находится в среде с коэффициентом сопротивления r1 слоя толщиной h1 и r2 слоя толщиной h2, с постоянной скоростью v движущихся друг за другом вдоль горизонтали. Ширина груза намного меньше толщины слоёв. В начальный момент времени груз покоился и находился на границе слоёв.

Пусть x - горизонтальное отклонение груза от положения равновесия. Тогда уравнениями движения будут:

,

где r – коэффициент сопротивления той среды, в которой находится груз.

Построить закон движения груза.
^ Задача №16.

Дана система из маятника длины l и массой m на границе 2-х сред с коэффициентами сопротивления r1 и r2 (рисунок 29):



Рисунок 29
Точка подвеса маятника гармонически колеблется по вертикали около среднего положения по закону:

y = ACos(w1t)

где А - амплитуда колебаний, w1 и w2 - частоты колебаний. Пусть A = 2м, w1=3с-1, w2 =1с-1. Длина маятника равна l = 40м.

Пусть φ - это угол отклонения маятника от строго вертикального положения, тогда φ1 изменяется в соответствии с уравнением:



где r – коэффициент сопротивления той среды, в которой находится груз маятника, g - ускорение свободного падения. Граница между средами движется по закону:

x = BCos(w2t)

где B - амплитуда колебаний границы.

Маятник в начальный момент времени отклонился от положения равновесия на 0,1 рад. Значения φ изменяются в пределах от 0 до 360 градусов. Построить закон движения груза.
^ Задача №17.

В воде плавает кусок пробки в виде параллелепипеда с площадью основания S = 1м2 и высотой H = 0,5 м. Пробку погружают в воду на небольшую глубину x0 = 5 см и отпускают (рисунок 30):



Рисунок 30
В результате пробка начинает совершать колебания. Сопротивление воды не учитывается. На глубине h<x0 под водой налита ртуть.

Изменение глубины погружения пробки в воду х описывается следующим уравнением:

  (1)

с начальными условиями:

  (2)

  (3)

где ρп = 200 кг/м3 - плотность пробки, , g - ускорение свободного падения, ρв – плотность той жидкости, в которой находится пробка: ρв = 1000 кг/м3 - плотность воды, ρр = 1360 кг/м3 - плотность ртути.

Пусть существует вторая точно такая же система "вода – ртуть- пробка" в которой пробку в начальный момент времени не погрузили в воду и отпустили, а сообщили ей скорость, равную v0 = 1м/с. Пусть в данной системе существует сила сопротивления воды, пропорциональная скорости пробки: Fc = -rv, где r = 1кг/с - коэффициент пропорциональности. Колебания в этой системе описываются уравнением:

 (4)

с начальными условиями:

(5)

  (6)

где m - масса пробки.

Построить модель системы, состоящей из этих двух систем "вода – ртуть- пробка", несвязанных друг с другом.
Задача №18.

Дана система из двух тел с массами m1 и m2, соединенных двумя пружинами, жёсткости которых равны c1 и с2 (рисунок 31):



Рисунок 31
Пусть m1 = 1кг, m2 = 1кг, c1 = 1кг/с2, с2 = 1кг/с2.

На левый груз системы действует гармоническая возмущающая сила Q:

Q = HSin(t)

где H - амплитуда колебаний,  - частота колебаний. Пусть H = 1м,  = 2с-1. Между точками равновесия грузов находится среда с коэффициентом сопротивления r1, а вне - среда с коэффициентом сопротивления r2.

Пусть x1 и x2 - горизонтальное отклонение грузов от положения равновесия (в начальный момент времени отсутствующее). Тогда уравнениями движения будут:

,



где r – коэффициент сопротивления той среды, в которой находится груз. Начальные условия нулевые. Построить модель данной системы.
^ Задача №19.

Дан вертикальный безмассовый упругий стержень длиной l = 5м, с постоянной жёсткостью сечения EJ = 1кгм32. С концом стержня связан сосредоточенный груз массой m = 1кг. Верхней опорой стержня служит неподвижный шарнир, а нижней опорой служит подвижная втулка с шарикоподшипником (рисунок 32):



Рисунок 32
Расстояние между опорами s < l не постоянно и изменяется за счёт движения втулки по гармоническому закону:

s = s0+HSin(t) ,

где H - амплитуда колебаний,  - частота колебаний, s0 – среднее расстояние между опорами. Пусть H = 1.5м,  = 1с-1, s0=2,5м. Стержень колеблется на границе 2-х сред, с коэффициентами сопротивления r1 и r2. Граница сред движется по закону

xr = BSin(t) .

Состоянию равновесия соответствует положение груза на вертикали и прямолинейная форма оси стержня. При возмущении этого состояния груз отклоняется в сторону, ось балки изгибается, и последующее движение описывается дифференциальным уравнением (x – координата по горизонтали):



где r – коэффициент сопротивления той среды, в которой находится груз. В начальный момент времени происходит отклонение груза на расстояние x0 = 0,1м. Если x превышает пороговое значение xmax = 3м, то стержень разрушается.

Построить модель данной системы.
^ Задача №20.

Материальная точка массы m = 1 кг находится в поле тяготения тонкого кольца массы M = 1020кг и радиуса R = 1км. В начальный момент времени точка помещается в точку Q1, расположенную на оси кольца на расстоянии x0 < R от плоскости кольца и начинает совершать колебательные движения (рисунок 23). По разные стороны плоскости кольца находятся среды с разными коэффициентами сопротивления r1 и r2.

Если x0 < 0,1R, то колебания x описываются следующим уравнением:



Если x0  0,1R или в результате колебаний выполняется условие x  0,1R, то колебания описываются следующим уравнением:



где G - гравитационная постоянная, r – коэффициент сопротивления той среды, в которой находится материальная точка. Пусть x0 = 1м. Если точка отклоняется от кольца на расстояние, превышающее в 10 раз его первоначальный радиус, система разрушается.

Построить модель данной системы.
^ СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Основная литература

  1. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем (учебник). – М.: Высш.шк., 2007. – 343с.

  2. Бенькович Е.С., Колесов Ю.Б., Сениченков Ю.Б. Практическое моделирова­ние сложных динамических систем. - СПб.: БХВ, 2001.- 441с.

  3. Методические указания по выполнению курсовых и дипломных работ для студ. спец. 220400 – Программное обеспечение ВТ и АС / Сост. И.Д.Никитенко, С.В.Усатиков, А.Б.Боровский – Краснодар, изд. ИМСИТ, 2004. – 56с.

Дополнительная литература

  1. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем (практикум).- М.: Высш.шк., 2003.- 295с.

  2. Горстко А.Б. Познакомьтесь с математическим моделированием. – М.: Знание, 1991. –160с.

  3. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. - М.: Наука, Физматлит, 1997. – 320с.

  4. Черемных С.В. и др. Моделирование и анализ систем: IDEF-технологии. Практикум. - М.: 2002.

  5. Шмуллер Д. Освой самостоятельно UML за 24 часа. М.: Вильямс, 2002.

  6. Розенберг Д., Скотт К. Применение объёмного моделирования с использованием UML и анализ прецедентов на примере Internet- магазина. – М.: ДМК Пресс, 2002.

  7. Гома Х. UML: Проектирование систем реального времени, параллельных и распределённых приложений. – М.: ДМК Пресс, 2002.- 704с.

  8. Дьяконов В. MathCad 2000: учебный курс.- СПб: Питер, 2001.- 592с.

  9. Прохоров Г.В.Пакет символьных вычислений Maple V - М.: Изд.МГТУ им.Н.Э.Баумана, 2001.

  10. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику. – М.: Наука, 1990.- 272с.

  11. Васильев В.А., Романовский Ю.М., Яхно В.Г. Автоволновые процессы. – М.: Наука, 1987. – 240с.

ПРИЛОЖЕНИЕ
^ АКАДЕМИЯ МАРКЕТИНГА И СОЦИАЛЬНО-ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ (ИМСИТ)
Факультет программного обеспечения и вычислительных технологий
Кафедра вычислительных систем


1   2   3



Скачать файл (870 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru