Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Семинары по системному анализу - файл Семинары.doc


Загрузка...
Семинары по системному анализу
скачать (99.9 kb.)

Доступные файлы (1):

Семинары.doc561kb.21.01.2009 00:11скачать

Семинары.doc

1   2   3   4   5   6   7
Реклама MarketGid:
Загрузка...

Энтропия- это мера неопределённости информации, она характеризует способность одной системы (источника) отдавать информацию и способность другой системы (приёмника) принимать её.


I= Hx-Hy=-pi Logpi –(-Pjlogpj)

Важным понятием в статистике является понятие выборки .Выборка- это часть изучаемой совокупности, на основе исследования которой получают статистические закономерности, присущие всей совокупности.

Для того, чтобы полученные при исследовании выборки выводы можно было распространять на всю совокупность выборка должна быть представительной или репрезентативной, то есть правильно отражать свойства совокупности.
На базе статистических отображений развивается ряд математических теорий: математическая статистика, теория статистических испытаний, теория выдвижения и проверки гипотез.
^ Математическая статистика.

Математическая статистика - математическая дисциплина, которая объединяет различные методы статистического анализа, базирующиеся на использовании статистических закономерностей или их характеристик. Наиболее распространенными методами статистического анализа являются:

  • регрессионный анализ (основан на сравнении математических ожиданий)

  • дисперсионный анализ (основан на сравнении дисперсий)

  • корреляционный анализ (учитывает математические ожидания, дисперсии и характеристики связи между событиями и процессами)

  • факторный анализ (статистическая обработка многофакторного эксперимента)

  • ранговая корреляция (сочетание корреляционного и факторного анализа)

При применении различных методов математической статистики статистические закономерности или их характеристики получают различными способами: путём наблюдения и исследования выборок; с помощью приближённых методов, основанных на различных способах преобразования или разбиения выборок (например, преобразование выборки в форму вариационного ряда, разбиения выборок на потоки, разряды, случайные интервалы времени).

При анализе информационных потоков и разработке систем применяются модификации и комбинации перечисленных методов.

^

Теория статистических испытаний



Теория статистических испытаний или статистического моделирования является особым методом получения статистических оценок анализа систем и процессов.

Она применяется для:

  • решения статистических задач, в которых нахождение законов распределения или хотя бы вероятностных характеристик (дисперсии, коэффициента или функции корреляции, и др.) является очень сложной, практически неосуществимой задачей.

  • Решения отдельных детерминированных задач или анализа систем, для которых в силу сложности вычислений решение не может быть получено аналитическими методами.


В этих случаях подбирается и моделируется на ЭВМ процесс, сходящийся к результату решения.

Теория статистических испытаний является распространением более специфического метода Монте-Карло на случай сложных систем и процессов и основана на законе больших чисел. В силу этого закона оценки, полученные на основе достаточно большого числа реализаций случайного процесса, приобретают статистическую устойчивость (порядок дисперсии оценки равен 1/n, n – число реализаций), и с достаточной для практики точностью могут быть приняты в качестве примерных значений искомой величины.
Идею метода статистических испытаний удобно пояснить на примере с геометрической интерпретацией вероятности.

Детерминированную площадь можно в принципе считать размытой точкой. Можно представить матрицу случайных попаданий детерминированной точки на измеряемую детерминируемую площадь (Двумерная матрица). Получается представление детерминированной площади стохастическим отображением.

, причём  Pij =1, 0 Pij 1

Такие матрицы называют стохастическими.

Закон распределения определяется заданием значений Pij в матрице P.

Стохастическая матрица может быть решена с помощью алгоритма из логических операторов, когда результат выполнения Аi однозначно определяет оператор Aj , к которому следует перейти. Тогда Рij можно рассматривать как вероятность перехода от Ai к Aj.

Если удастся подобрать вероятности Pij и операторы Aj так, что какая-либо числовая характеристика закона распределения (например, МО) с ростом числа опытов будет сходиться по вероятности к исходному значению некоторой функции Y(x) , то полученная схема алгоритма будет называться стохастическим алгоритмом, вычисляющим функцию Y(x).

Стохастический алгоритм называют методом статистических испытаний.

Рассмотрим применение метода Монте-Карло для вычисления площади произвольной фигуры G, находящейся внутри квадрата со стороной а.
Смоделируем случайный процесс L –бросание точки в квадрат. Тогда вероятность того, что точка попадёт внутрь фигуры G,будет равна отношению площади фигуры G к площади квадрата

G a


а
При увеличении числа бросков по формуле Бернулли получим


где n- число бросаний, m – число попаданий.

При достаточно большом числе испытаний с вероятностью, близкой к единице,

можно утверждать, что:



При а=1 получаем:


Чем больше n , тем больше точность этой оценки.

При решении задач на ЭВМ с применением метода Монте-Карло в некоторых случаях можно (даже выгодно) отказаться от моделирования истинно случайного процесса и пользоваться датчиком псевдослучайных чисел.

Некоторым усовершенствованием метода Монте-Карло являются методы случайного поиска с ограничениями, накладываемыми на выбор применяющихся операторов; метод Монте-Карло с адаптацией; когда учитываются ошибки (промахи и неудачи), оцениваемые по случайной выборке; а также статистические испытания с применение эвристических методов, сокращающих время решения.
^ Теория выдвижения и проверки гипотез.

Теория выдвижения и проверки гипотез связана с вопросами передачи и восприятия информации. Эта теория возникла и развивалась для оценки процессов передачи сигналов на расстоянии (теория статистических решений в радиотехнике). Исследуются возможности применения её для оценки процессов обучения, передачи знаний.

Идея метода заключается в следующем:

Имеется два векторных пространства: пространство априорной и апостериорной информации (первое векторное пространство называют ещё пространством наблюдения или пространством информации, а второе - пространством восприятия или пространством решения)

В детерминированном случае одной точке х в первом пространстве соответствует одна точка х1 во втором.

В случае статистического (вероятностного) восприятия одной точке в первом пространстве соответствует распределение Х1, которое называют решающей функцией.

Что собой может представлять решающая функция удобно пояснить на примере двуальтернативного решения с событиями х1 и х2 и их априорными вероятностями р1 и р2.

События х1 их2 могут представлять собой 2 состояния одной точки Х:

х1 –отсутствие точки

х2 – наличие точки

В пространстве восприятия события х1и х2 соответствуют событиям х1 и х2

Возможны 4 случая:

Р(х1/х1) Р(х1/х2)


Р(х2/х1) Р(х2/х2)




Условные вероятности Р(х1/х1) и Р(х2/х2) соответствуют правильному восприятию.

Р(х1/х1) –отсутствие точки х в пространстве восприятия в случае отсутствия этой точки в пространстве информации.

Р(х2/х2) - обнаружение точки х в пространстве в случае её наличия в пространстве информации.

Условная вероятность Р(х2/х1) характеризует восприятие события х2 при условии, что в пространстве априорной информации произошло событие х1, т.е. обнаружение точки х в случае её отсутствия в пространстве информации. Этот случай принято называть «ложной тревогой».

Условная вероятность Р(х1/х2) соответствует отсутствию точки х в пространстве восприятия в случае наличия её в пространстве информации. В этом случае принято говорить о «пропуске сигнала» (например, самолёт появился, но его не обнаружили)

Для оценки рассмотренных случаев вводится функция потерь W.

В случае правильного восприятия, то есть при Р(х1/х1) и Р(х2/х2):

W(х1/х1)=W(х2/х2)=0;

В случае «ложной тревоги» и «пропуска сигнала»

W(х2/х1)=W(х1/х2)=1;

Пользуясь этими оценками можно ввести понятие «условного» риска:

Для случая х1

r(x1,)= W(х1/х1) Р(х1/х1)+ W(х2/х1) Р(х2/х1)= Р(х2/х1)=

так как W(х1/х1)=0 W(х2/х1)=1

то есть условный риск равен вероятности ложной тревоги.

- условный знак, характеризующий возможность отклонения от правильного решения.

Аналогично, для х2

r(x2,)= W(х2/х2) Р(х2/х2)+ W(х1/х2) Р(х1/х2)= Р(х1/х2)=

Общий риск (имеют место решения  и  )

R= M(r)=p1* r(x1,)+p2* r(x2,)= p1+p2

Чтобы работа системы была оптимальной полный риск должен быть минимальным.

Рассмотренный случай называется критерий Зигерта-Котельникова или критерий идеального наблюдения (минимизируется общий риск)

В теории статистических решений используются также:

  • критерий Байерса –критерий минимального риска (выбирается минимальный риск из нескольких максимальных общих рисков)

  • критерий минимакса- априорные вероятности неизвестны и минимизируется значение максимально возможного риска.

  • Критерий Неймана-Пирсона – минимизируется  при   

  • Критерий Вальда – последовательный анализ – минимизируется число испытаний n, достаточное для принятия определённого решения.


В рассмотренном выше примере пространство априорной информации содержит 2 события и решающая функция включает 4 апостериорных условных вероятности с соответствующими им функциями потерь. В случае большего числа событий распределение (х/х) естественно усложняется. При выборе решающей функции следует руководствоваться возможностью минимизации среднего риска.
^ Применение статистических отображений.

Статистические отображения позволили расширить возможности ряда дисциплин, возникших на базе аналитических методов: так возникли статистическая радиотехника, разделы теории игр, теория массового обслуживания, теория информации и т.д.

Расширение возможностей отображения сложных систем и процессов по сравнению с аналитическими методами можно объяснить тем, что при применении статистических методов процесс постановки задачи как бы частично заменяется статистическими исследованиями, позволяющими не выясняя все детерминированные связи между изучаемыми событиями и учитываемыми компонентами сложных систем, на основе выборочного исследования получать статистические закономерности и распространять их на поведение всей системы.

Однако не все явления или процессы могут быть описаны статистическими закономерностями, не всегда может быть доказана правомерность применения такой закономерности.

В этих случаях следует рассматривать другие методы представления систем.


Теоретико-множественные представления.


§1. Основная терминология.
Теоретико-множественные представления базируются на двух основных понятиях: множество и отношения на множествах.

Понятие «множество» относится к числу интуитивно постигаемых понятий, которым дать точное определение. Это понятие эквивалентно понятиям «совокупность», «собрание», «коллекция», «семейство», «класс» и т.д.

Основатель теории множеств Георг Кантор определял множество как «многое, мыслимое нами как единое».
Множества могут задаваться следующими способами:

1. Списком, перечислением (экстенсиональный способ). Например:

A = {a1, a2, ai, …,an},

тогда факт вхождения элемента в множество записывают знаком «»:

ai A – «элемент ai принадлежит множеству A» или

«элемент ai – элемент множества A»,

а если элемент не принадлежит множеству A, то пишут:

сi A или сi A.

2. Путем указания некоторого характеристического свойства (интенсиональный способ).

Например:

  • «Множество натуральных чисел»

  • «Множество запросов»

  • «Множество дескрипторов, используемых в данном тексте» и т.д.


Основным принципом, положенным в основу теории множеств, является принцип перехода от одного способа задания множества к другому – так называемый принцип свертывания.

В множествах могут быть выделены подмножества:


Записывают B  A – все элементы подмножества B являются одновременно элементами множества A, т.е. если:

bi  B, ∀ i= и bi  A, ∀ i=, то B  A.
Важным понятием является понятие «пустое множество». Это множество, в котором в данный момент нет ни одного элемента. Условно пустое множество обозначается «∅».

Фундаментом при создании теории множеств явились язык классической математики и язык алгебры логики, наиболее применимой из которых является бинарная алгебра Буля.

При проведении операций над множествами удобно пользоваться наглядным представлением операций и их свойств – строить фигуры, называемые диаграммами Эйлера – Венна.

В зависимости от сложности отображаемой системы язык, ее описывающий, видоизменяется и дополняется новыми понятиями и символами. Вводятся дополнительные характеристики отношений:


Обозначение

Смысл




Связь




Направленность отношения


G



Сила отношения


G



Характер отношения



Потребовалось введение понятий гомоморфизма, изоморфизма и др., позволяющих отображать одну множественную модель на другую.

ИЗОМОРФИЗМ (от изо... и греч. morphe — форма), понятие современной математики, уточняющее широко распространенное понятие аналогии, модели. Изоморфизм — соответствие (отношение) между объектами, выражающее тождество их структуры (строения).

ГОМОМОРФИЗМ (от гомо... и греч. morphe — вид, форма), понятие современной математики, обобщающее понятие изоморфизма.

§2. Применение теоретико-множественных представлений.
В рамках данного курса классическая теория множеств, представляющая собой применение теоретико-множественных представлений к теории чисел, не представляет особого интереса. Она может быть полезной лишь в качестве иллюстрации основных положений теоретико-множественных методов.

Ниже обсуждается значение теоретико-множественных представлений описания состояний и процессов в сложных системах.

При применении теоретико-множественных представлений для отображения сложных систем и процессов в них наиболее общими формальными характеристиками являются абстрактные знаковые формулы, с помощью которых удобно отображать многоуровневое строение систем.

Например, система ^ S может быть отображена в совокупность множеств, описываемую теоретико-множественной формулой:

S = <I, C, A, P, E, U, X, W, Z>,

где I = {i} – множество информаций, т.е. совокупность (общий вектор) входных информационных сигналов;

A = {a} – множество выходных действий (актуаций) системы;

E = {e} – множество элементов, из которых составлена данная система;

U = {u} – множество отношений и элементов е;

C = {c} – множество состояний (ситуаций) системы;

X = {x} – множество признаков (или параметров), характеризующих состояние элементов и отношений;

W = {w} – множество свойств свойств, т.е. w – свойства свойств системы: вес, цена, значимость каждого свойства по отношению к другим свойствам;

P = {p} – множество вероятностей изменения состояний;

Z = {z} – множество возмущений, действующих на систему.

Представление системы полной формулой ^ S = <I, C, A, P, E, U, X, W, Z> не всегда возможно и целесообразно. Обычно системы описываются сокращенными формулами (в зависимости от требований полноты и отображения), которые иногда носят следующие названия (в соответствии с количеством объединяемых множеств):

  • монада [I] или {i};

  • диада (двойка) [I, A] или <{i}{a}>;

  • триада (тройка) [I, C, A] или <{i}{c}{a}>;

  • тетрада (четверка) [I, C, A, P] или <{i}{c}{a}{p}>.


При отображении системы осуществляется декомпозиция её – выделение групп (множеств) элементов, обладающих одинаковыми (в рамках определенных ограничений) свойствами.



Выделив множества, можно производить соответствующие операции над ними, т.е., ставя их в определенные отношения друг с другом, прейти к композиции системы:
{x} R1 {c} R2 {e} Rj {u} Rk {a} Rn {i}
Символом R здесь обозначаются отношения между элементами или множествами в случае, если не определен характер этих отношений. Решение задачи композиции системы заключается в определении характера взаимоотношений между элементами или множествами, т.е. в замене символа R соответствующим знаком – оператором, функтором, - выражающим смысл и основные свойства отношений. Выяснение характера взаимоотношений между множествами или их элементами и возможные преобразования выражения {x} R{c} R{e} Rj {u} Rk {a} Rn {i} выполняются на основе определенных правил – законов, аксиом.

Композиция обычно осуществляется путем задания отношений между элементами, принадлежащими различным множествам, например, <x, r, c> и образование этих пар (троек и т.д.) взаимодействующих элементов нового множества.

Таким образом, теоретико-множественные формулы переводят систему языка реальности в абстрактную систему, описываемую искусственным языком α, β или γ, имеющим соответствующий словарь (множество элементов, множество состояний, множество признаков и т.д., отображенных определенными символами) и правила образования новых понятий – композиций (множество отношений, законов, аксиом). Сложность языка определяется сложностью отображаемой системы и допустимой степенью абстрагирования.

Интересно отметить, что при конкретизации правил образования новых понятий теоретико-множественные представления могут привести к одной из алгебр логики, к одному из формальных языков математической лингвистики.

В принципе при применении теоретико-множественных представлений допустимо введение любых отношений. Благодаря этому свойству, теоретико-множественные представления а) служат хорошим языком, с помощью которого облегчается взаимопонимание между представителями различных областей знаний; б) могут являться основой для возникновения новых научных направлений.

В этом основное значение теоретико-множественных представлений.

Частным случаем теоретико-множественных отображений являются логические отображения: система с языка реальности переводится на язык одной из алгебр логики (двузначной, многозначной, непрерывной).
^ Графические методы
Графические методы являются удобной формой отображения систем, так как они позволяют наглядно представить процессы, происходящие в системах, что облегчает их анализ.

Классификация применяемых в настоящее время графиков по признакам и видам приведена в таблице 9.

Большинство графических примеров служит для наглядного представления информации.

Однако некоторые из них позволяют решать вопросы оптимизации процессов организации и управления с применением строгих математических методов.

Заслуживают внимания графические методы представления операций во времени.

Старейшим из них является график Ганта (рис 9). На этом графике в прямоугольной системе координат «время-операция» наносятся сведения о выполняемых работах при планировании, контроле и управлении производством.

График Ганта выполняется в форме чертежей, ленточных диаграмм с ручным управлением или ленточных диаграмм с автоматическим управлением.

В двух последних случаях графики представляют собой бесконечные ленты, одна половина которых окрашена в черный цвет, вторая – в белый; причем черный участок в масштабе времени соответствует продолжительности операции.

Дальнейшим шагом было разделение отрезка времени, отображающего дискретные операции, на дискретные элементы

(рис 9б). Все операции и интервалы времени могут быть пронумерованы: операции I, II, III, IV, V; интервалы – 1, 2, 3, .. 19, 20, 21. В этом случае появляется возможность оперировать дискретной информацией.

Можно вообще отойти от конфигурации ленточных графиков и рассматривать всю совокупность дискретных операций в дискретном времени, как множество событий, упорядоченных в двух измерениях. Это показано на рис. 9в. Последний вариант составляет переходное звено к современным сетевым графикам планирования, наблюдения и управления. В зарубежных работах соответствующие методы называются методом ПЕРТ (РЕРТ), в отечественной литературе принято название «Сетевое планирование и управление» (СПУ).

В стилизованном виде, график СПУ показан на рис. 9г.

В отличии от предыдущих вариантов, в нем добавлены стрелки связей, показывающие соотношение операций и моментов времени при выполнении каких-либо работ.

Практически при построении графиков СПУ нарушают строгую геометрию рис 9г., так как удобнее «сшивать» операции во времени произвольным подсоединением групп операций.
Основная терминология сетевого моделирования.

1   2   3   4   5   6   7



Скачать файл (99.9 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru