Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Высшая математика - файл 1.doc


Высшая математика
скачать (249.5 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc250kb.08.12.2011 19:22скачать

содержание
Загрузка...

1.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...
КОНТРОЛЬНА РОБОТА № 5


  1. Дана функція двох змінних (а – стала величина).

Покажіть, що задана функція задовольняє рівняння


Розв‘язання.


  1. Знайдемо частинні похідні першого порядку




  1. Знайдемо необхідні похідні другого порядку



3) Звідси







  1. Складіть рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні в точці .

,

Розв‘язання.

1) Рівняння дотичної площини має вигляд:



Оскільки лежить на поверхні, то



Знайдемо та









Таким чином, складемо рівняння дотичної:







2) Рівняння нормалі площини має вигляд:











Таким чином, складемо рівняння нормалі:




  1. ^ Дослідіть функцію на екстремум.


Розв‘язання.

1) Необхідні умови екстремуму функції:

Якщо диференційована функція має екстремуми в точці , то її частинні похідні в цій точці дорівнюють нулю.

Тобто ,

;

Такими чином, згідно з необхідними умова знайдемо частинні похідні функції та прирівняємо їх до нуля:





Звідси,





Система набирає вигляду:



Розв‘яжемо систему:







Розв‘язання дає стаціонарну точку ; підозрілу на екстремум

Використаємо достатні умови, знайшовши для цього другі частинні похідні

; ; .









Дослідимо критичну точку М(3;-1/2):







, при цьому , отже точка М – точка мінімуму,


  1. Тіло Т обмежене заданими поверхнями:









а) зробіть рисунок тіла Т і його проекцію на площину хОу.

б) за допомогою подвійного інтеграла обчисліть площину основи тіла Т.

в) за допомогою потрійного інтеграла знайдіть об‘єм тіла Т.

Розв‘язання.

(кв.од.)









  1. Обчисліть криволінійний інтеграл по замкненому контуру , що обмежує нижню основу тіла Т в залачі 5.4, обходячи його проти годинникової стрілки.



Розв‘язання.

Контур L, що обмежує нижню основу тіла Т, із задачі 5.4 наведений на малюнку



Маємо вершини трикутника АВС з координатами вершин А(0;0), В(3;3), (С 6;0)

Таким чином контур складається з 3-х частин, які є сторонами ∆АВС

Складемо рівняння сторін:

АС: y=0; dy = 0

АВ: у=х; dy = dx

Рівняння сторони ВС складемо за рівнянням прямої, що проходить через задані точки:



ВC: ; ; ; ; ;

Тоді



Перший інтеграл знаходимо за формулою ; так як ленія інтегрування паралельна лінії Ох, а в даному випадку співпадає з нею.



Другий і третій інтеграл знайдемо за формулою







Отже даний інтеграл дорівнює


  1. Дано векторне поле



а) обчисліть потік векторного поля через поверхню , яка обмежує зверху тіло Т в задачі 5.4, у напрямку нормалі, що утворює гострий кут з віссю .

б) зробіть рисунок поверхні і її проекції на координатні площини.

Розв‘язання.



Поверхня σ проектується: на площину хОу в ∆АОВ;

на площину хОz в криволінійний ∆АОC;

на площину уОz в параболу y=z2 (тобто область σyz вироджуються в лінію);

Вектор має тюльки другу координату:



За допомогою формули обчислимо поверхневий інтеграл (потік вектора через поверхню σ)



Нормаль утворює за умовами задачі гострий кут з віссю . Як випливає з малюнку, утворює тупий кут з віссю . Тому подвійний інтеграл беремо за знаком «–»:

; так як y=z2  y2=z 

Парабола ОС – проекция перетину площини y=z2 з площиною у=х, тому її рівняння х=z2

Отже,

Від‘ємне значення потоку свідчить про те, що напрям потоку протилежний напряму нормального вектору .






Скачать файл (249.5 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru