Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Лекции по аналитической геометрии - файл аналитическая геометрия.doc


Лекции по аналитической геометрии
скачать (363.3 kb.)

Доступные файлы (1):

аналитическая геометрия.doc973kb.05.02.2009 20:10скачать

содержание
Загрузка...

аналитическая геометрия.doc

  1   2   3
Реклама MarketGid:
Загрузка...
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
1. Метод координат: числовая прямая, координаты на прямой; прямоугольная (декартовая) система координат на плоскости; полярные координаты.
Рассмотрим какую–нибудь прямую. Выберем на ней направление (тогда она станет осью) и некоторую точку 0 (начало координат). Прямая с выбранным направлением и началом координат называется координатной прямой (при этом считаем, что единица масштаба выбрана).

Пусть М – произвольная точка на координатной прямой. Поставим в соответствии точке М вещественное число x, равное величине ОМ отрезка : x=ОМ. Число x называется координатой точки М.

Таким образом, каждой точке координатной прямой соответствует определенное вещественное число – ее координата. Справедливо и обратное, каждому вещественному числу x соответствует некоторая точка на координатной прямой, а именно такая точка М, координата которой равна x. Такое соответствие называется взаимно однозначным.

Итак, вещественные числа можно изображать точками координатной прямой, т.е. координатная прямая служит изображением множества всех вещественных чисел. Поэтому множество всех вещественных чисел называют числовой прямой, а любое число – точкой этой прямой. Около точки на числовой прямой часто указывают число – ее координату.

^ Прямоугольная (или декартовая) система координат на плоскости.

Две взаимно перпендикулярные оси Оx и Оy, имеющие общее начало О и одинаковую единицу масштаба, образуют прямоугольную (или декартовую) систему координат на плоскости.

Ось ^ ОХ называется осью абсцисс, ось ОY – осью ординат. Точка О пересечения осей называется началом координат. Плоскость, в которой расположены оси ОХ и ОY, называется координатной плоскостью и обозначается Оxy.

Итак, прямоугольная система координат на плоскости устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек плоскости и множеством пар чисел, которое дает возможность при решении геометрических задач применить алгебраические методы. Оси координат разбивают плоскость на 4 части их называют четвертями, квадратными или координатными углами.

Полярные координаты.

Полярная система координат состоит из некоторой точки ^ О, называемой полюсом, и исходящего из нее луча ОЕ, называемого полярной осью. Кроме того, задается единица масштаба для измерения длин отрезков. Пусть задана полярная система координат и пусть М – произвольная точка плоскости. Обозначим через Р – расстояние точки М от точки О, а через φ – угол, на который луч повернуть против часовой стрелки полярную ось для совмещения с лучом ОМ.



^ Полярными координатами точки М называют числа Р и φ. Число Р считают первой координатой и называют полярным радиусом, число φ – второй координатой и называют полярным углом.

Точка М с полярными координатами Р и φ обозначаются так: М(;φ). Установим связь между полярными координатами точки и ее прямоугольными координатами.
При этом будем предполагать, что начало прямоугольной системы координат находится в полюсе, а положительная полуось абсцисс совпадает с полярной осью.

φ


Пусть точка М имеет прямоугольные координаты X и Y и полярные координаты Р и φ.

x = p cos φ, y = p sin φ

(1)


Эти формулы выражают прямоугольные координаты через полярные, а выражение полярных координат через прямоугольные следует из этих формул:



(2)


Формула определяет два значения полярного угла, так как φ изменяется от 0 до . Из этих двух значений угла φ выбирают то, при котором удовлетворяются равенства (1).

^ 2. Расстояние между двумя точками.

Теорема. Для любых двух точек М1 (x1 ;y1) и М2 (x2; y2) плоскости расстояние α между ними выражается формулой:



(1)


Доказательство.

Опусти из точек М1 и М2 перпендикуляры М1В и М1А,. так как (x2; y2). По теореме, если М1 1) и М2 2) – любые две точки и α – расстояние между ними, то α = ‌‌‌‍‌‌x2 - x1 :

М1 К=x2 - x1 ; М2 К=y2 - y1.

α

Так как М1М2К – прямоугольный,

то по теореме Пифагора



^ 3. Площадь треугольника.



Теорема. Для любых трех точек А (х1; у1), В (х2; у2) и С (х3; у3), не лежащих на одной прямой, площадь S ABC выражается формулой:

(3)

Доказательство.


S ABC= S ADEC + S BCEF – SABFD, (4)

где S ADEC, S BCEF ,SABFD – площадь соответствующих трапеций

,
,

Подставив выражения для этих площадей в равенство (4), получим формулу:







,

из которой после несложных преобразований следует формула (3).
^ 4. Деление отрезка в данном отношении.



Пусть на плоскости дан произвольный отрезок М1М2, и пусть М – любая точка этого отрезка, отличная от точки М2.

Число λ, определяемое равенством ; называется отношением,


в котором, точка М делит отрезок М1М2.

Задача о делении отрезка в данном отношении состоит в том, чтобы по данному отношению λ и данным координатам точек М1 и М2 найти координаты точки М.



Теорема. Если точка М (х; у) делит отрезок М1М2 в отношении λ, то координаты этой точки определяются формулами

(5)

,


где (x1;y1) – координаты точки М1, (x2;y2) – координаты точки М2.

Доказательство.




Пусть М1М2 не перпендикулярны оси OX. Опустим М1P OX, MP OX, М2Р2 ОХ.

На основании теоремы элементарной геометрии о пропорциональности отрезков прямых, законченных между параллельными прямыми, имеем . Но по теореме (если М1 (x1) и M2(x2) – любые две точи и α – расстояние между ними, то )

. Так как числа (x - x1) и 2 - х) имеют один и тот же знак (при х1<x2 они положительны, а при х1>x2 отрицательны), то . Поэтому , откуда . Если М1М2 OX, то x1 = x2= x и эта формула очевидно, верна. Вторая формула находится аналогично.



Следствие. Если М1(x1; y1) и М2(x2; y2) – две произвольные точки и точка М (х; у) - середина отрезка М1М2, т.е. , то λ=1 и по формулам (5) получаем:


.


Таким образом, каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат.
^ 5. Определение уравнения линии, примеры линии на плоскости.

Рассмотрим соотношение вида F(x, y)=0, связывающее переменные величины x и у. Равенство (1) будем называть уравнением с двумя переменными х, у, если это равенство справедливо не для всех пар чисел х и у. Примеры уравнений: 2х + 3у = 0, х2 + у2 – 25 = 0,

sin x + sin y – 1 = 0.

Если (1) справедливо для всех пар чисел х и у, то оно называется тождеством. Примеры тождеств: (х + у)2 - х2 - 2ху - у2 = 0, (х + у)(х - у) - х2 + у2 = 0.

Уравнение (1) будем называть уравнением множества точек (х; у), если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки множества и не удовлетворяют координаты никакой точки, не принадлежащие этому множеству.

Важным понятием аналитической геометрии является понятие уравнения линии. Пусть на плоскости заданы прямоугольная система координат и некоторая линия α.

α

Определение. Уравнение (1) называется уравнением линии α ( в созданной системе координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии α, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.

Если (1) является уравнением линии α, то будем говорить, что уравнение (1) определяет (задает) линию α.

Линия α может определятся не только уравнением вида (1), но и уравнением вида

F (P, φ ) = 0, содержащим полярные координаты.
^ 6. Прямая линия на плоскости:

  • уравнение прямой с угловым коэффициентом;

Пусть дана некоторая прямая, не перпендикулярная, оси ОХ. Назовем углом наклона данной прямой к оси ОХ угол α, на который нужно повернуть ось ОХ, чтобы положительное направление совпало с одним из направлений прямой. Тангенс угла наклона прямой к оси ОХ называют угловым коэффициентом этой прямой и обозначают буквой К.


К=tg α

(1)

Выведем уравнение данной прямой, если известны ее К и величина в отрезке ОВ, которой она отсекает на оси ОУ.


x

b

α

y=kx+b

(2)
Обозначим через М  точку плоскости (х; у). Если провести прямые BN и NM, параллельные осям, то образуются BNMпрямоугольный. Т. MC C BM <=>, когда величины NM и BN удовлетворяют условию: . Но NM=CM-CN=CM-OB=y-b, BN=x => учитывая (1), получаем, что точка М (х; у) С на данной прямой <=>, когда ее координаты удовлетворяют уравнению: =>
Уравнение (2) называют уравнением прямой с угловым коэффициентом. Если K=0, то прямая параллельна оси ОХ и ее уравнение имеет вид y = b.

  • уравнение прямой, проходящей через две точки;




(4)
Пусть даны две точки М1 1; у1) и М22; у2). Приняв в (3) точку М (х; у) за М22; у2), получим у21=k2 - х1). Определяя k из последнего равенства и подставляя его в уравнение (3), получаем искомое уравнение прямой: . Это уравнение, если у1 у2, можно записать в виде:

Если у1 = у2, то уравнение искомой прямой имеет вид у = у1. В этом случае прямая параллельна оси ОХ. Если х1 = х2, то прямая, проходящая через точки М1 и М2, параллельна оси ОУ, ее уравнение имеет вид х = х1.

  • уравнение прямой, проходящей через заданную точку с данным угловым коэффициентом;


y – y1 = k(x – x1)

(3)
Запишем уравнение прямой в виде (2), где b – пока неизвестное число. Так как прямая проходит через точку М11; у1), то координаты этой точки удовлетворяют уравнению (2): у1 = kx1 + b. Определяя b из этого равенства и подставляя в уравнение (2), получаем искомое уравнение прямой:


Замечание. Если прямая проходит через точку М111) перпендикулярна оси ОХ, т.е. ее угловой коэффициент обращается в бесконечность, то уравнение прямой имеет вид

х – х1 = 0. Формально это уравнение можно получит из уравнения (3), если разделить (3) на k и затем устремить k к ∞.

  • общее уравнение прямой, частные случаи;


Аx + Вy + С = 0

(5)
Теорема. В прямоугольной системе координат Оху любая прямая задается уравнением первой степени:


и, обратно, уравнение (5) при произвольных коэффициентах А, В, С (А и В 0 одновременно) определяет некоторую прямую в прямоугольной системе координат Оху.

Доказательство.

Сначала докажем первое утверждение. Если прямая не перпендикулярна Ох, то она определяется уравнением первой степени: у = kx + b, т.е. уравнением вида (5), где

A = k, B = -1 и C = b. Если прямая перпендикулярна Ох, то все ее точки имеют одинаковые абсциссы, равные величине α отрезка, отсекаемого прямой на оси Ох.


Уравнение этой прямой имеет вид х = α, т.е. также является уравнение первой степени вида (5), где А = 1, В = 0, С = - α. Тем самым доказано первое утверждение.

Докажем обратное утверждение. Пусть дано уравнение (5), причем хотя бы один из коэффициентов А и В 0.

Если В 0, то (5) можно записать в виде . Пологая , получаем уравнение у = kx + b, т.е. уравнение вида (2) которое определяет прямую.

Если В = 0, то А 0 и (5) принимает вид . Обозначая через α, получаем

х = α , т.е. уравнение прямой перпендикулярное Ох.

Линии, определяемые в прямоугольной системе координат уравнением первой степени, называются линиями первого порядка.

Уравнение вида Ах + Ву + С = 0 является неполным, т.е. какой – то из коэффициентов равен нулю.

  1. С = 0; Ах + Ву = 0 и определяет прямую, проходящую через начало координат.

  2. В = 0 (А 0); уравнение Ах + С = 0 и определяет прямую параллельную Оу.

  3. А = 0 (В 0); Ву + С = 0 и определяет прямую параллельную Ох.



Пусть теперь дано уравнение Ах + Ву + С = 0 при условии, что ни один из коэффициентов А, В, С 0. Преобразуем его к виду:


(6)

Уравнение (6) называется уравнением прямой «в отрезках». Числа а и b являются величинами отрезков, которые прямая отсекает на осях координат. Эта форма уравнения удобна для геометрического построения прямой.

  • нормальное уравнение прямой;

Аx + Вy + С = 0 – общее уравнение некоторой прямой, а (5) x cos α + y sin α – p = 0 (7)

ее нормальное уравнение.

Так как уравнение (5) и (7) определяют одну и ту же прямую, то (А + В + С1 = 0 и

А + В + С2 = 0 =>) коэффициенты этих уравнений пропорциональны. Это означает, что помножив все члены уравнения (5) на некоторый множитель М, мы получим уравнение МАх + МВу + МС = 0, совпадающее с уравнением (7) т.е.

МА = cos α, MB = sin α, MC = - P (8)

Чтобы найти множитель М, возведем первые два из этих равенств в квадрат и сложим:

М22 + В2) = cos 2 α + sin2 α = 1

(9)

Число М, по умножении на которое общее уравнение прямой приобретает нормальный вид, называется нормирующим множителем этого уравнения.

Замечание. Если С = 0, то знак нормирующего множителя можно выбрать по желанию.
^ 7. Угол между двумя прямыми.


L1

L2

Рассмотрим две прямые L1 и L2. Пусть уравнение L1 имеет вид y = k1x + b1, где

k

1 = tg α1, а уравнение L2вид y = k2x + b2, где k2 = tg α2. Пусть φ – угол между прямыми L1 и L2: 0 ≤ φ < π. Из геометрических соображений устанавливаем зависимость между углами α1, α2, φ: α2 = α1 + φ или φ = α2 - α1 =>

, или




(1)
Формула (1) определяет один из углов между прямыми. Второй угол равен π – φ.
^ 8. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.


k2 = k1
Если прямые L1 и L2 параллельны, то φ = 0 и tg φ = 0. В этом случае числитель правой части формулы (1) в Bυ7 = 0 : k2k1 = 0 => .

Таким образом, условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов.



Если прямые L1 и L2 перпендикулярны, т.е. , то из (1) находим ctg φ2 . В этом случае и 1 + k2k1 = 0 => .
Таким образом, условия перпендикулярности двух прямых состоит в том ,что их k обратны по величине и противоположны по знаку.
^ 9. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.

Пусть прямые L1 и L2 заданы уравнениями: (10)

Решая эту систему, найдем: .

Пусть A1B2A2B1 ≠ 0, тогда найденные формулы дают решение системы (10). Это значит, что L1 не параллельна L2, L1L2 = точке (x; y). Пусть теперь A1B2A2B1 ≠ 0. Возможны два случая:1) A2C1A1C2 = 0 и B1C2B2C1 = 0;

2) A2C1A1C2 0 (B1C2B2C1 0).

В первом случае имеем А2 = МА1, В2 = МВ1, С2 = МС1 или , где

М 0 - некоторое число. Это означает ,что коэффициенты уравнений пропорциональны следовательно второе уравнение получается из первого умножением на число М. В этом случае L1 и L2 совпадают, т.е. уравнения определяют одну и ту же прямую.

Во втором случае, если, например, A2C1A1C2 0, то допустив, что система имеет решение 0; у0), получим противоречие A2C1A1C2 = 0, что противоречит предположению. Таким образом, система (10) решения не имеет. В этом случае прямые L1 и L2 не имеют точек пересечения, т.е. они параллельны.

Итак, две прямые на плоскости либо пересекаются в одной точке, либо совпадают, либо параллельны.
^ 10. Расстояние от точки до прямой.

Теорема. Расстояние α от данной точки М (х0; у0) до прямой L, заданной уравнением

А

х + Ву + С = 0
на плоскости, определяется формулой:


(11)


Рассмотрим на прямой L две  точки E и F c координатами 1; у1) и 2; у2).



Вычислим длину отрезка EF и S MEF. Тогда - это длина высоты h MEF. .

Доказательство.



Запишем уравение прямой L через 1; у1) и 2; у2) точек E и F по формуле (4): => (12)

SMEF запишем по формуле (3) из Bυ3




(13)


С помощью уравнения (12) выразим теперь коэффициенты А, В, С уравнения

Ах + Ву + С = 0 прямой L через координаты точек E и F. Для этого перепишем уравнение (12) в виде =>

=> . Тогда .

Формулу (13) можно переписать в виде .
^ 11. Линии второго порядка:
  •   1   2   3



    Скачать файл (363.3 kb.)

    Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru