Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Квадрики и квадратичные формы - файл 1.doc


Квадрики и квадратичные формы
скачать (9949 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc9949kb.08.12.2011 23:32скачать

содержание
Загрузка...

1.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...
Содержание

Стр.

Введение

3

Понятие квадратичной формы

4

1. Определение квадратичной формы.

4

2. Линейное преобразование переменных.

4

3. Канонический и нормальный виды квадратичной формы.

5

Приведение квадратичной формы к каноническому виду

6

1. Теорема о возможности приведения квадратичной формы к каноническому виду.

6

2. Способы приведения квадратичной формы к каноническому и нормальному виду.

8

Закон инерции квадратичных форм

9

1. Закон инерции.

9

2. Ранг и положительный индекс квадратичной формы.

11

3. Положительно определенные квадратичные формы.

12

Понятие квадрики

13

1. Определение квадрики.

13

2. Приведение уравнения квадрики к нормальному виду

14

3. Центр квадрики.

17

Классификация квадрик

18

1. Эллипсоиды и гиперболоиды.

18

2. Конусы.

19

3. Параболоиды.

19

4. Цилиндрические квадрики.

20

5. Аффинная классификация квадрик.

20

Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования

21

1. Ортогональное преобразование переменных.

21

2. Теорема о возможности приведения квадратичной формы к каноническому виду.

21

3. Способ приведения квадратичной формы к каноническому.

24

Заключение

25

Список литературы

26

Введение

Теории симметричных и квадратичных форм векторных пространств и квадрик (или геометрических образов второго порядка) проективных пространств над полем развивались взаимосвязано и достаточно хорошо разработаны. Изучение произвольных рефлексивных форм над полем сведено к изучению невырожденных рефлексивных форм, а последние классифицированы вместе с симметричными и кососимметричными формами. Наряду с развитием этой теории, в исследованиях проективных пространств возрастал интерес к переходу от полей к более общим кольцам коэффициентов.

Естественно, что квадрики исследуются взаимосвязано с квадратичными формами и их матрицами. В работе устанавливается существование ортогонального базиса симметричной формы. [Л. 2, стр. 37]

^ Понятие квадратичной формы

1. Определение квадратичной формы.

Квадратичной формой от переменных называется однородный многочлен второй степени относительно этих переменных.

Таким образом, каждый член квадратичной формы содержит или квадрат одной из переменных, или произведение двух разных переменных.

Переменные можно рассматривать как аффинные координаты точки пространства или как координаты вектора пространства . Будем обозначать квадратичную форму от переменных через или просто через f.

^ 2. Линейное преобразование переменных.

Линейным преобразованием переменных называется такой переход от системы n переменных к системе n переменных , при котором старые переменные выражаются через новые при помощи линейных формул



или, подробнее,

(1)

где коэффициенты образуют невырожденную матрицу.

Если переменные рассматривать как координаты вектора пространства относительно некоторого базиса , то это преобразование можно истолковать как переход в к новому базису , относительно которого этот вектор имеет координаты .

Выполняя последовательно сначала переход от базиса к базису , а затем от базиса к базису , мы совершаем переход от базиса к базису . Следовательно композиция двух линейных преобразований n переменных есть также линейное преобразование n переменных. Таким образом, множество линейных преобразований n переменных является группой. [Л1. стр 70]

^ 3. Канонический и нормальный виды квадратичной формы.

В дальнейшем мы будем рассматривать квадратичные формы и линейные преобразования только с действительными коэффициентами. Будем считать, что и переменные принимают лишь действительные значения.

Если в квадратичной форме 2 переменные подвергнуть линейному преобразованию 1, то получится квадратичная форма от переменных с новыми коэффициентами.


(2)


Любую квадратичную форму 2 можно привести к виду, содержащему только квадраты новых переменных



Такой вид квадратичной формы называется каноническим; матрица формы в этом случае является диагональной



Если, в частности, коэффициенты c1, c2,…,cn равны +1, -1 или 0, то этот вид квадратичной формы называется ее нормальным видом. [Л.3, стр.41]

Приведение квадратичной формы к каноническому виду

^ 1. Теорема о возможности приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Лемма 1. Если квадратичная форма

(3)
Не содержит квадратных переменных, то с помощью линейного преобразования ее можно привести в форму, содержащую квадрат хотя бы оной переменной.

Доказательство. По условию квадратичная форма содержит только члены с произведениями переменных. Пусть при каких-нибудь различных значениях i и j cij0, т.е. 2cijxixj – один из этих членов. Если выполнить линейное преобразование



(его определитель не равен 0), то в квадратичной форме появятся даже два члена с квадратами переменных



Эти слагаемые не могут исчезнуть после приведения подобных членов, т.к. любое из остальных слагаемых содержит хотя бы одну переменную, отличную от yi и yj.

Лемма 2. Если квадратичная форма 3 содержит член с квадратом переменной, например член ciixi2, и еще хотя бы один член с этой переменной xi, то с помощью линейного преобразования данную квадратичную форму можно перевести в форму от переменных , имеющую вид

(4)

где g – квадратичная форма, не содержащая переменной yi.

Доказательство. Выделим в квадратичной форме 3 сумму членов, содержащих переменную xi:

(5)

где через g1 обозначена сумма всех остальных членов (не содержащих переменную xi). Введем также обозначение

(6)

Квадрат многочлена равен сумме квадратов всех его членов, сложенной с удвоенными произведениями каждого члена на каждый из последующих. Следовательно, если в выражении для yi2 выделить сумму членов, содержащих переменную xi, то эта сумма будет содержать квадрат члена ciixi и удвоенное произведение этого члена ciixi на остальные члены многочлена

(7)
где g2 – сумма членов, не содержащих переменную xi.

Разделим обе части 7 на cii и вычтем полученное равенство из 6. После приведения подобных членов будем иметь

(8)
Выражение в правой части не содержит переменной xi и является квадратичной формой от переменных x1, x2,…,xi-1, xi+1,…,xn. Обозначим его через g, а коэффициент - через dii. Тогда

(9)

Если произвести линейное преобразование



(определитель которого не равен 0), то g будет квадратичной формой от переменных y1, y2,…,yi-1, yi+1,…,yn и квадратичная форма f окажется приведенной к виду 4.

Теорема. Всякая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду с помощью линейного преобразования переменных.

Доказательство. Воспользуемся методом математической индукции. Квадратичная форма от одной переменной xi имеет вид c11x12, уже являющийся каноническим. Предположим, что эта теорема верна для квадратичных форм от n-1 переменных, и докажем, что она будет верна тогда и для квадратичных форм от n переменных.

Если квадратичная форма 3 не содержит квадратов переменных, то по лемме 1 ее можно с помощью линейного преобразования перевести и в квадратичную форму, содержащую квадрат хотя бы одной переменной. По лемме 2 полученную квадратичную форму можно представить в виде 4. Т.к. квадратичная форма g в равенстве 4 зависит от n-1 переменных y1, y2,…,yi-1, yi+1,…,yn, то по сделанному предположению она может быть приведена к каноническому виду линейным преобразованием этих переменных. От переменных y1, y2,…,yi-1, yi+1,…,yn мы перейдем при этом к новым переменным z1, z2,…,zi-1, zi+1,…,zn. Если к формулам этого перехода добавить еще и формулу yi=zi, то получатся формулы линейного преобразования, которое приводит к каноническому виду квадратичную форму , содержащуюся в равенстве 4.

Композиция всех рассмотренных преобразований переменных является искомым линейным преобразованием, приводящим к каноническому виду данную квадратичную форму 3.

Если квадратичная форма 3 содержит квадрат какой-нибудь переменной, то лемму 1 применять не нужно.

^ 2. Способы приведения квадратичной формы к каноническому и нормальному виду.

Если данная квадратичная форма от n переменных не содержит квадратов переменных, то с помощью линейного преобразования, примененного при доказательстве леммы 1, переходим к квадратичной форме, содержащей квадраты переменных. Затем с помощью линейного преобразования, рассмотренного при доказательстве леммы 2, представляем квадратичную форму в виде суммы члена с квадратом какой-нибудь переменной и квадратичной формы от остальных n-1 переменных. Применив снова этот же прием к полученной квадратичной форме, получаем еще один член с квадратом другой переменной и квадратичную форму от остальных n-2 переменных. Этот процесс продолжаем до тех пор, пока не получится квадратичная форма, содержащая только члены с квадратами переменных.

От канонического вида квадратичной формы

(10)

где и отличны от нуля, можно перейти к нормальному виду



(где при сi>0 и при сi<0) с помощью линейного преобразования [Л.2, стр. 80]


^ Закон инерции квадратичных форм

  1. Закон инерции.

Теорема. Если данная квадратичная форма приведена к каноническому виду с помощью двух различных линейных преобразований, то число положительных коэффициентов при квадратах новых переменных, так же как и число отрицательных коэффициентов, будет в обоих случаях одно и то же.

Пусть данная квадратичная форма приведена с помощью двух линейных преобразований




(11)

(12)
соответственно к видам

(13)

(14)

где



Требуется доказать, что p=r и q=s. Докажем, что p=r. То, что q=s доказывается аналогично.

Доказательство. Предположим, например, p<r.

Т.к. преобразование, обратное линейному, является линейным, то, решая систему уравнений 11 и 12 относительно vi и wi, получим

(15)

(16)
Определим числовые значения старых переменных так, чтобы они не все были равны 0 и чтобы соответствующие им по формулам 15 и 16 числовые значения v1,…, vn и w1,…, wn новых переменных удовлетворяли условиям

(17)

(18)
Как следует из 15 и 16, искомые значения должны удовлетворять следующей системе линейных однородных уравнений



Т.к. p<r, то число уравнений этой системы меньше числа неизвестных



Следовательно, эта система имеет бесконечное множество решений, в том числе и ненулевые. Пусть - какое-нибудь из этих ненулевых решений.

Эти значения и являются искомыми. Подставим их в равенство 13 и 14, учтя при этом условия 17 и 18



Отсюда



или

Так как ни одно из этих слагаемых не отрицательно, то полученное равенство может оказаться справедливым лишь при




(19)

Сравнивая равенства 18 и 19, замечаем, что . Подставляя эти значения в 12, получим, что , в то время как эти значения должны быть не все равны нулю.

Полученное противоречие является следствием предположения о том, что p<r. К такому же противоречию мы придем, предположив, что p>r. Следовательно, p=r.

^ 2. Ранг и положительный индекс квадратичной формы. Из закона инерции следует, что число р положительных, число q отрицательных, а значит, и число р+q всех ненулевых членов в каноническом виде 13 квадратичной формы не зависит от способа приведения этой формы к каноническому виду.

Число всех ненулевых членов в каноническом виде квадратичной формы называется рангом этой формы, а число положительных членов – ее положительным индексом.

Можно доказать, что, к каким бы переменным ни была отнесена квадратичная форма, ранг этой формы и ранг ее матрицы одинаковы.

^ 3. Положительно определенные квадратичные формы. Квадратичная форма называется положительно определенной, если при любых одновременно не равных нулю значениях переменных ее значения положительны.

Теорема. Для того, чтобы квадратичная форма от n переменных была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы ее положительный индекс был равен n.

Доказательство. Пусть квадратичная форма приведена к каноническому виду



Если - какие-нибудь значения старых переменных, не все равные нулю, то и соответствующие им значения новых переменных не все равны нулю. Действительно, если предположить, что , то, подставляя эти значения в формулу 11, получим, что . Аналогично, если не все равны нулю, то согласно формуле 15 также и не все равны нулю. Для этих значений

(20)

Докажем теперь необходимость условия. Пусть квадратичная форма положительно определенная. Если положить



То из 20 следует, что . Так как квадратичная форма положительно определенная, то , а следовательно, и c1>0. Аналогично получим, что c2>0, … , cn>0, но это и означает, что положительный индекс данной квадратичной формы равен n.

Докажем то, что условие является также и достаточным. Пусть положительный индекс квадратичной формы равен n, т.е. c1>0, c2>0, … , cn>0. Для любых значений , одновременно не равных нулю, соответствующие значения также не все равны нулю, но тогда из 20 следует, что , т.е. что квадратичная форма положительно определенная. [Л.3 стр. 45]
Понятие квадрики

^ 1. Определение квадрики. Квадрикой в аффинном пространстве An называется множество точек, координаты которых в некоторой аффинной системе координат удовлетворяют уравнению второй степени.

В общем виде уравнение квадрики может быть записано следующим образом

(21)
где - сумма членов второй степени, т.е. некоторая квадратичная форма


- сумма членов первой степени (так называемая линейная форма)

а с – свободный член.

Понятие квадрики не зависит от выбора системы координат.

Теорема. Если множество точек в некоторой аффинной системе координат определяется уравнением второй степени, то оно будет определяться уравнением второй степени и в любой другой аффинной системе координат.

Доказательство. Если множество точек задано в старой системе координат уравнением 21, то для получения уравнения данного множества в новой системе достаточно подставить в это уравнение выражения старых координат через новые координаты . При этом не могут получиться члены степени выше второй, т.е. степень уравнения не может повыситься.

Степень уравнения не может и понизиться. Действительно, если бы степень нового уравнения оказалась ниже второй, то при обратном переходе от этого уравнения к уравнению 21 степень уравнения стала бы равной двум, т.е. повысилась; но выше уже было доказано, что это невозможно.

^ 2. Приведение уравнения квадрики к нормальному виду. Пусть квадрика задана в некоторой аффинной системе координат уравнением 21. Поставим себе цель – упростить это уравнение путем надлежащего выбора новой аффинной системы координат.

Теорема. При соответствующем выборе аффинной системы координат уравнение любой квадрики может быть приведено к одному из следующих видов

(22)

где ,

(23)

где , и

(24)

где , коэффициенты всюду равны +1 или -1.

Доказательство. Вначале произведем линейное преобразование



приводящее к каноническому виду квадратичную форму . С геометрической точки зрения это означает переход к новой аффинной системе координат с прежним началом. При соответствующей нумерации новых координат уравнение 21 квадрики примет вид



где и коэффициенты р1,…, рm не равны нулю.

Выделяя полные квадраты, будем иметь



Подвергнем систему координат параллельному переносу



Если ввести обозначение



то относительно полученной системы координат квадрика будет иметь уравнение

(25)
Заметим, что при m=n формулы параллельного переноса принимают вид



а уравнение 25 – вид



Продолжим упрощение уравнения квадрики.

Возможны следующие случаи:

1) Если в уравнении 25 и , то оно имеет вид



Перейдя к новой системе координат по формулам



Приведем уравнение квадрики к виду



где при и при ;

2) если и , то уравнение 25 имеет вид



После преобразования координат по формулам



будем иметь



где при и при ;

3) пусть теперь m<n и хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, например, . Выполнив преобразование координат по формулам



приведем уравнение 25 к виду



После преобразования координат по формулам



получим уравнение



где при и при .

Теорема доказана полностью.

Уравнения 22, 23, 24 называются нормальными видами уравнения квадрики.

^ 3. Центр квадрики. Точка S называется центром симметрии или просто центром квадрики, если точка, симметричная любой точке квадрики относительно S, также принадлежит квадрике.

Теорема. Если уравнение квадрики имеет вид 22 или 23, то точка S (s1, s2,..,sn), для которой s1= s2=…= sm=0, является центром квадрики.

Доказательство. Если точки и симметричны относительно точки S, то по теореме



откуда



Т.к. s1= s2=…= sm=0, то



Уравнения 22 и 23 содержат координаты точки только во второй степени; следовательно, если координаты точки M' удовлетворяют какому-либо из этих уравнений, то этому же уравнению удовлетворяют координаты точки M''. Т.к. точка M'' симметрична точке M' относительно S, то S – центр квадрики.

Из теоремы следует, что все точки (n-m)-мерной плоскости, имеющей уравнения

(26)

являются центрами квадрики 22 и 23; можно доказать, что других центров квадрика не имеет.

В частности, при m=n эта плоскость является нуль-мерной: уравнениям 26 удовлетворяют координаты единственной точки – начала координат. В этом случае квадрика имеет единственный центр.

Можно доказать, что квадрика 24 не имеет ни одного центра.

Т.к. уравнение квадрики всегда может быть приведено к виду 22, 23 или 24, то для любой квадрики имеет место один и только один из следующих трех случаев:

1) квадрика не имеет центра;

2) квадрика имеет единственный центр (тогда она называется центральной);

3) квадрика имеет бесконечное множество центров, являющееся некоторой плоскостью. [Л.1, стр. 82]

Классификация квадрик
^ 1. Эллипсоиды и гиперболоиды. При m=n уравнение 22 имеет вид

(27)

где равны +1 или -1.

В зависимости от знаков получаем квадрики различных видов:

1) при квадрика называется эллипсоидом и имеет уравнение



Внешне это уравнение напоминает уравнение сферы евклидова пространства в прямоугольной декартовой системе координат, однако следует помнить, что мы пользуемся единой системой координат, а понятие сферы в аффинной геометрии отсутствует.

2) при уравнение 27 принимает вид



Т.к. мы рассматриваем действительное аффинное пространство, то точек с координатами, удовлетворяющими этому уравнению, не существует. Однако по аналогии с предыдущим случаем это уравнение называют уравнением мнимого эллипсоида.

3) если не все одинаковы, то квадрика называется гиперболоидом.

Таким образом, эллипсоид и гиперболоид являются центральными квадриками.

  1. Конусы. При m=n уравнение 23 имеет вид

(28)

где равны +1 или -1.

Если знаки не все одинаковы, то квадрика называется конусом. Конус – центральная квадрика, центр конуса называется его вершиной. Центром конуса 28 является начало координат.

Если координаты точки А(а1, а2,…,аn), отличной от вершины конуса, удовлетворяют уравнению 28, то этому уравнению удовлетворяют и координаты любой точки вида (tа1, tа2,…,tаn). Множество всех таких точек является прямой, проходящей через А и вершину конуса – начало координат. Эта прямая целиком принадлежит конусу и называется его прямолинейной образующей.

Если , то квадрика 28 состоит из единственной точки (начала координат) и называется мнимым конусом с вершиной в этой точке.

3. Параболоиды. При m=n-1 уравнение 24 принимает вид

(29)

где равны +1 или -1.

Квадрика в этом случае называется параболоидом. Параболоид не имеет центра.

^ 4. Цилиндрические квадрики. Если в уравнениях 22 и 23 m<n, а в уравнении 24 m<n-1, то, полагая в 22 и 23 m=r, а в 24 m=r-1, получим соответственно




(30)

(31)

(32)

где r<n и равны +1 или -1.

Квадрика, для которой 30, 31 или 32 является нормальным уравнением, называется цилиндрической.

Можно показать, что цилиндрическая квадрика состоит из параллельных друг другу (n-r)-мерных плоскостей (образующих), пересекающих некоторую квадрику (направляющую), лежащую в r-мерной плоскости. Квадрики 30 и 31 имеют в общем случае бесконечное множество центров, являющееся (n-r)-мерной плоскостью. Квадрика 32 центров не имеет.

^ 5. Аффинная классификация квадрик. Уравнение любой квадрики может быть приведено к одному из следующих девяти нормальных видов:



Соответственно этому все квадрики пространства А2 можно разбить на девять классов, объединяя в один и тот же класс все квадрики, уравнения которых с помощью надлежащего выбора аффинной системы координат можно привести к одному из этих девяти видов.

В А1 все квадрики можно разбить на 3 класса, в А3 – на семнадцать классов.

Любые две квадрики, принадлежащие к одному и тому же классу, аффинно эквивалентны. Это связано с тем, что формулы перехода от одной аффинной системы координат к другой и формулы аффинных преобразований с алгебраической точки зрения имеют один и тот же вид.

Заметим, что квадрики с различными нормальными уравнениями могут оказаться одинаковыми точечными множествами. Так, например, мнимый эллипс и пара мнимых параллельных прямых – пустое точечное множество. Поэтому квадрики, принадлежащие различным классам, иногда могут оказаться аффинно эквивалентными; с геометрической точки зрения эти классы тогда не различаются между собой. [Л.1, стр. 86]
Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования

^ 1. Ортогональное преобразование переменных. Линейное преобразование переменных с ортогональной матрицей называется ортогональным.

Квадратичную форму можно привести к каноническому виду, ограничиваясь только ортогональными преобразованиями переменных. Однако приведение квадратичной формы к нормальному виду с помощью ортогонального преобразования уже не всегда выполнимо.

^ 2. Теорема о возможности приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Лемма. Если квадратичная форма и линейный оператор имеют одну и ту же матрицу относительно какого-нибудь ортонормированного базиса, то они будут иметь одинаковые матрицы и относительно любого другого ортонормированного базиса.

Доказательство. Рассмотрим квадратичную форму




(33)

и линейный оператор, матрица которого относительно какого-либо ортонормированного базиса совпадает с матрицей этой квадратичной формы: .

Этот оператор отображает произвольный вектор на вектор в данном случае примут вид




(34)

Тогда квадратичную форму 33 можно записать в виде



(35)


Перейдем к новому ортонормированному базису. Пусть векторы и имеют относительно этого базиса соответственно координаты и , а формулы, связывающие эти координаты, имеют вид




(36)

Выражая скалярное произведение векторов и через их координаты относительно нового базиса, получим с помощью 36



Отсюда в следствие 35 получаем

(37)
Сравнивая 36 и 37, видим, что данные квадратичная форма и линейный оператор имеют и относительно нового базиса одну и ту же матрицу с элементами .

Теорема. Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования переменных.

Доказательство. Пусть 33 - данная квадратичная форма. Рассмотрим линейный оператор, имеющий относительно некоторого ортонормированного базиса ту же симметрическую матрицу, что и эта квадратичная форма. Характеристическое уравнение этого оператора можно получить, положив




(38)
Существует ортонормированный базис , относительно которого матрица данного линейного оператора имеет диагональный вид; при этом диагональными элементами будут служить корни характеристического уравнения 38. По лемме квадратичная форма 33 будет иметь в новом базисе ту же матрицу, что и этот линейный оператор, т.е. окажется приведенной к каноническому виду

(39)

здесь каждый корень характеристического уравнения взят столько раз, какова его кратность.

Векторы нового базиса выражаются через векторы старого базиса формулами вида




(40)
при этом матрица перехода является ортогональной. Таким образом, матрица преобразования

(41)
приводящего квадратичную форму к каноническому виду, получается при транспонировании этой ортогональной матрицы и. следовательно, также является ортогональной.

^ 3. Способ приведения квадратичной формы к каноническому. Для нахождения коэффициентов в каноническом виде 39 квадратичной формы 33 достаточно решить характеристическое уравнение 38.

Укажем теперь способ нахождения соответствующего ортонормированного базиса и ортогонального преобразования, приводящего квадратичную форму к каноническому виду.

Пусть - корень характеристического уравнения, имеющий кратность 1. подставив этот корень в 27, принимающую при вид




(42)

Найдем из нее координаты собственного вектора , соответствующего этому собственному значению . Разделив найденный вектор на его длину, получим вектор искомого ортонормированного базиса.

Пусть теперь - корень характеристического уравнения, имеющий кратность m>1. после его подстановки в 42 найдем m независимых решений полученной системы, выбрав их так, чтобы они определяли координаты m попарно ортогональных единичных векторов. Эти векторы образуют ортонормированный базис m-мерного подпространства, состоящего из собственных векторов, соответствующих данному собственному значению . Примем найденные векторы за векторы искомого базиса пространства Vn. [Л.1, стр. 101]

Заключение

В работе рассмотрены квадратичные формы, их основные представления – нормальный и канонический вид. Доказана возможность приведения квадратичной формы к основным видам и указаны способы преобразования квадратичных форм.

Также рассмотрено понятие квадрики, центра квадрики и приведение уравнения квадрики к нормальному виду. В работу приведена классификация квадрики.

Рассмотрены способы приведения квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования.

^ Список литературы

1. И.В. Парнасский, О.Е. Парнасская Многомерные пространства. Квадратичные формы и квадрики. – М.: Просвещение, 1978 г.

2. Н.В. Ефимов, Э.Р. Розендорн Линейная алгебра и многомерная геометрия. – М. 1970 г.

3. Л.С. Атанасян Геометрия, ч. I. М., 1973 г.






Скачать файл (9949 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru