Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Контрольная работа - Линейная алгебра и математическое программирование - файл 1.doc


Контрольная работа - Линейная алгебра и математическое программирование
скачать (513.5 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc514kb.09.12.2011 02:17скачать

содержание
Загрузка...

1.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...
Решение систем линейных уравнений
Задание 1. Привести матрицу к трапециевидной

.

Решение:

1. Элементы 3-ей строки умножим на 2 и из них вычтем элементы 1-ой.

2. Элементы 3-ей строки умножим на 3 и к ним прибавим элементы 2-ой строки, умноженные на 7.



В результате получили, что все элементы ниже главной диагонали равны нулю.
Задание 2. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса, выполнить проверку: .

Решение:

Составим расширенную матрицу и выполним над ней элементарные преобразования, указанные в методе Гаусса:



Последней матрице соответствует ступенчатая система уравнений:

,

равносильная исходной.

Из этой системы последовательно находим:



Таким образом: .

Выполним проверку, подставив найденные значения в исходную систему:

,

Каждое уравнение системы обращается в верное равенство, следовательно, – единственное решение системы.
Нахождение собственных чисел и собственных значений матриц. Выполнение действий над комплексными числами
Задание 1. Найти собственные числа и соответствующие им собственные вектора для матрицы А = .

Решение:

Составляем характеристическую матрицу :

.

Находим характеристический многочлен:



Решим характеристическое уравнение:



Подбором находим, что один корень уравнения равен 1.

Многочлен должен делиться на . Выделим в характеристическом многочлене этот множитель:



Находим корни трехчлена . Они равны 0,475 и 10,525. Таким образом, собственные числа матрицы равны , , . Найдем соответствующие им собственные векторы.

Пусть , тогда для собственного вектора α получаем матричное уравнение:



что соответствует системе уравнений:



Полагаем , находим .

Итак, собственному числу соответствуют собственные векторы

Пусть , тогда для собственного вектора β получаем матричное уравнение:



что соответствует системе уравнений:



Полагаем , находим .

Итак, собственному числу соответствуют собственные векторы

Пусть, тогда для собственного вектора γ получаем матричное уравнение:



что соответствует системе уравнений:



Полагаем , находим .

Итак, собственному числу соответствуют собственные векторы
Задание 2. Изобразить комплексное число Z1=5-3i на комплексной плоскости, представить его в показательной и тригонометрической форме.

Решение:

Изобразим комплексное число Z1=5-3i в виде радиус-вектора:



Представим комплексное число в тригонометрической форме. Найдем модуль и аргумент:

,

,

тогда или

.

Представим комплексное число в показательной форме:

.
Контрольная работа
Задание 1. Вычислить определители и найти для них М32, А13:

а) ; б) .
Решение:

a)








б)








Задание 2. Даны координаты точек

:

а) найти векторное произведение векторов и и его длину;

б) найти угол между векторами и ;

в) составить уравнение прямой, проведенной из вершины ^ D и перпендикулярно плоскости АВС.
Решение:

а)



б)


в) Уравнение прямой, проходящей через данную точку с направляющим вектором:



где (x0, y0, z0) – координаты точки,

(m, n, p) – координаты направляющего вектора.

Найдем (m, n, p). Запишем уравнение плоскости, проходящей через три точки A, B и C:



Таким образом, вектор нормали плоскости ABC имеет координаты (0, 3, –5), и координаты направляющего вектора искомой прямой (0, 3, –5). Подставим координаты направляющего вектора и координаты точки D в общее уравнение прямой:

– уравнение прямой, проведенной из вершины ^ D и перпендикулярно плоскости АВС.

Задание 3. Найти произведение матриц:

а) ; б) .
Решение:

а)


б)



Задание 4. Определить, имеет ли данная матрица обратную, найти обратную матрицу к данной .
Решение:



следовательно, матрица А имеет обратную ей матрицу А-1.

Найдем алгебраические дополнения элементов определителя |A|:



Тогда:


Задание 5. Найти ранг матрицы .
Решение:



Так как для последней матрицы существует минор третьего порядка, отличный от нуля:



то .

Задание 6. Решить систему линейных уравнений :

а) матричным методом; б) методом Гаусса; в) методом Крамера.

Решение:

Обозначим

– матрица коэффициентов при неизвестных,

– матрица неизвестных,

– матрица свободных членов.

а) матричным методом:

найдем матрицу А-1



Алгебраические дополнения всех элементов:



Отсюда:



Тогда:



т.е.

б) методом Крамера:



Тогда:



в) методом Гаусса:

Составим расширенную матрицу и приведем ее к трапециевидной.



Последней матрице соответствует ступенчатая система уравнений:



Из этой системы находим:





Таким образом:


Задание 7. Установить совместность системы уравнений и решить ее:

а) ; б) .
Решение:

а) Запишем матрицу коэффициентов при неизвестных A и расширенную матрицу B:





Для матрицы А существует только минор третьего порядка, отличный от нуля:

,

поэтому ,

а для матрицы В существует минор четвертого порядка, отличный от нуля:

,

поэтому .

Т.к. , то исходная система не имеет решений.

б)



Для матрицы А существует только минор второго порядка, отличный от нуля:

,

поэтому ,

а для матрицы В существует минор третьего порядка, отличный от нуля:

,

поэтому .

Т.к. , то исходная система не имеет решений.
Задание 8. Решить задачу линейного программирования графическим методом





Решение:

Построим область допустимых решений задачи. Строим прямую x1+x2=8, соответствующую ограничению (1). Находим, какая из двух полуплоскостей является областью решений неравенства (1). Подставляем в неравенство координаты точки (0; 0): 0 + 0 < 8, следовательно, точка (0; 0) лежит в полуплоскости решений. Аналогично строим прямые 2x1 x2 = 1, x1 – 2x2 = 2 и области решений ограничений (2), (3).

Строим нормаль линий уровня и одну из этих линий .



Линию уровня перемещаем в направлении нормали до опорной прямой. Такой прямой будет прямая АВ. Максимальными вершинами области допустимых значений будут вершины А=(3; 5) и В=(6; 2).

В данных вершинах значение целевой функции равно:

Zmax = 24.
Задание 9. Решить задачу линейного программирования симплексным методом.





Решение:

Перепишем целевую функцию в виде:

.

Введем искусственные переменные x4, x5:



Получили задачу линейного программирования в расчетной канонической форме с двумя целевыми функциями Z и U:



Построим симплекс-таблицы:

Базис

x1

x2

x3

x4

x5

b



x4

21

2

1

1

0

6

12

x5

2

-1

1

0

1

1

4

Z

-2

-3

1

0

0

0

-4

U

4 ↑

1

2

0

0

7

14



Базис

x1

x2

x3

x4

x5

b



x1

1

1

1/2

1/2

0

3

6

x5

0

-31

0

-1

1

-5

-8

Z

0

-1

2

1

0

6

8

U

0

-3 ↑

0

-2

0

-5

-10




Базис

x1

x2

x3

x4

x5

b



x1

1

0

1/21

1/6

1/3

4/3

10/3

x2

0

1

0

1/3

-1/3

5/3

8/3

Z

0

0

2 ↑

4/3

-1/3

23/3

32/3

U

0

0

0

-1

-1

0

-2




Базис

x1

x2

x3

x4

x5

b



x3

2

0

1

1/3

2/3

8/3

20/3

x2

0

1

0

1/3

-1/3

5/3

8/3

Z

-4

0

0

2/3

-5/3

7/3

-8/3


Выписываем минимальное базисное решение:


Задание 10. Дана задача линейного программирования при ограничениях . Составить математическую модель симметричной двойственной задачи. По решению двойственной или исходной задачи найти решение другой с использованием основных теорем двойственности.
Решение:

Умножим второе, третье и четвертое ограничения-неравенства на -1 (т.к. целевая функция стремится к минимуму, то знаки в неравенствах должны быть ≥). Задача примет вид исходной задачи симметричной пары двойственных задач:



Умножим правые части ограничений на соответствующие переменные двой­ственной задачи и сложим их, получим целевую функцию:

.

Функция F(Y) максимизируется, так как целевая функция исходной задачи ми­нимизируется.

Составляем ограниче­ния двойственной задачи:



Все переменные двойственной задачи удовлетворяют условию неотрицатель­ности, потому что все ограничения исходной задачи – неравенства.

Окончательно двойственная задача имеет вид:



Решим исходную задачу графическим методом.



X* – точка пересечения прямых, соответствующих неравенствам (3) и (4), ее координаты найдем, решив систему:

,

т.е.

Подставим оптимальное решение X* в систему ограничений исходной задачи:



Учитывая, что , из системы ограничений двойственной задачи получим:



т.е.
Задание 11. Решить транспортную задачу. Данные приведены в таблице.


Магазины

Склады

В1

В2

В3

Запасы

А1

5

7

1

1000

А2

2

5

9

600

А3

8

2

3

400

Потребности

900

500

600

2000

Решение:

Построим экономико-математическую модель задачи. Обозначим объем перевозки с i-го склада к j-му магазину через xij.

Уравнения баланса для каждой строки таблицы поставок:



уравнения баланса для каждой столбца:



Суммарные затраты на перевозку Z(X) должны быть минимальными:

.

Методом наименьших затрат найдем распределение поставок. Построим первоначальную таблицу поставок:

bj

ai

900

500

600

1000

5

7

1

600

2

5

9

400

8

2

3


Находим клетку с наименьшим коэффициентом затрат c13 с коэффициентом 1. В клетку c13 даем максимально возможную поставку в 600 единиц. В результате спрос 3 магазина удовлетворен и 3 столбец таблицы поставок выпадает.

В оставшейся таблице наименьшим коэффициентом затрат обладают клетки c21 и c32 с коэффициентом затрат 2. Возьмем, например, c21. Даем поставку в размере 600 единиц, и 2 строка выпадает.

Получаем следующую таблицу поставок:

bj

ai

900

500

600

1000

5


7


1

600

600

2

600

5


9


400

8


2


3




Далее наименьшим коэффициентом затрат обладает клетка c32 с коэффициентом затрат 2. В эту клетку даем поставку в размере 400 единиц, и 3 строка выпадает.

Из двух оставшихся клеток c11 и c12 берем клетку c11 с коэффициентом 5. В эту клетку даем поставку в размере min{1000-600; 900-600}=300 единиц. В оставшуюся клетку c12 даем поставку в 100 единиц. Получаем таблицу поставок:

bj

ai

900

500

600

1000

5

300

7

100

1

600

600

2

600

5


9


400

8


2

400

3


Отсюда:

.

Для полученного распределения найдем суммарные затраты:

.

Таким образом:

при .
Задание 12. Решить задачу о назначениях.

В цехе предприятия имеется 5 универсальных станков, которые могут выполнять 4 вида работ. Каждую работу единовременно может выполнять только один станок, и каждый станок можно загружать только одной работой.

В таблице даны затраты времени при выполнении станком определенной работы.



  Работа

Станок

1

2

3

4

1

5

6

4

7

2

4

5

3

6

3

4

5

5

7

4

5

4

3

6

5

6

3

4

5


Определить наиболее рациональное распределение работ между станками, минимизирующее суммарные затраты времени.
Решение:

Воспользуемся алгоритмом, получившим название Венгерского метода.

Этап 1.

В каждой строке находим наименьший элемент и вычитаем его из всех элементов данной строки:




1

2

3

4

1

1

2

0

3

2

1

2

0

3

3

0

1

1

3

4

2

1

0

3

5

3

0

1

2

Эту же процедуру повторим для столбцов:




1

2

3

4

1

1

2

0

1

2

1

2

0

1

3

0

1

1

1

4

2

1

0

1

5

3

0

1

0

Этап 2.

Найдем строку, содержащую только одно нулевое значение стоимости, и зачеркнем оставшиеся нули в столбце:




1

2

3

4

1

1

2

0

1

2

1

2

0

1

3

01

1

1

1

4

2

1

01

1

5

3

0

1

0


На данном этапе остались не зачеркнутые нули, поэтому проведем аналогичную процедуру для столбцов:




1

2

3

4

1

1

2

0

1

2

1

2

0

1

3

01

1

1

1

4

2

1

01

1

5

3

01

1

0


Полученное решение является недопустимым, поэтому переходим к 3 этапу.

Этап 3.

Проведем минимальное число прямых через строки и столбцы так, чтобы они проходили через все нули:





1

2

3

4

1

1

2

0

1

2

1

2

0

1

3

01

1

1

1

4

2

1

01

1

5

3

01

1

0


Находим наименьший среди оставшихся элементов. Он будет равен 1, вычитаем его из всех элементов, через которые не проходят прямые, и прибавляем к элементам, которые лежат на пересечении прямых:




1

2

3

4

1

1

1

0

0

2

1

1

0

0

3

01

0

1

0

4

2

0

01

0

5

4

01

2

0


Остается выбрать еще один нуль в 4 столбце. Это может быть нуль в 1 строке или во 2 строке:




1

2

3

4

1

1

1

0

01

2

1

1

0

0

3

01

0

1

0

4

2

0

01

0

5

4

01

2

0


В этом случае суммарные затраты времени составляют:

F(X) = 4 + 3 + 3 + 7 = 17.





1

2

3

4

1

1

1

0

0

2

1

1

0

01

3

01

0

1

0

4

2

0

01

0

5

4

01

2

0


В этом случае суммарные затраты времени составляют:

F(X) = 4 + 3 + 3 + 6 = 16.

Выбираем минимальное значение и получаем оптимальное распределение:

при .






Скачать файл (513.5 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru