Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Лекции - функции нескольких переменных, кратные интегралы, криволинейные интегралы - файл Кратные интегралы.doc


Лекции - функции нескольких переменных, кратные интегралы, криволинейные интегралы
скачать (1626.7 kb.)

Доступные файлы (3):

Кратные интегралы.doc1778kb.02.05.2008 20:55скачать
Криволинейные интегралы.doc1459kb.02.05.2008 21:47скачать
фнп.doc2717kb.03.09.2009 00:00скачать

содержание
Загрузка...

Кратные интегралы.doc

  1   2   3
Реклама MarketGid:
Загрузка...
Интегральное исчисление

функций нескольких переменных
I. Двойной интеграл
§1. Понятие двойного интеграла
1. Квадрируемые фигуры и их площади

Определение. Плоской фигурой F называется ограниченная замкнутая область из . Множество всех граничных точек фигуры F называется её границей и обозначается .

Определение. Многоугольником называется плоская фигура, ограниченная замкнутой ломаной.

Многоугольная фигура P – объединение нескольких многоугольников.

Понятие площади многоугольной фигуры и её свойства известны (из курса геометрии). Площадь обозначим .

Свойства площади многоугольной фигуры

  1. .

  2. Если , и P1 и P2 не имеют общих внутренних точек, то (аддитивность).

  3. Если P1=P2, то (инвариантность).

  4. Если то (монотонность)

Пусть дана плоская фигура F, ограниченная одной или несколькими замкнутыми кривыми. Рассмотрим всевозможные многоугольные фигуры Р, целиком содержащиеся в F, и многоугольные фигуры Q, целиком содержащие в себе F: . Для их площадей справедливо .

Рассмотрим 2 числовых множества: и . Множество ограничено сверху любым числом из . Следовательно, имеет верхнюю грань, то есть . выполнено . Следовательно, , то есть ограничено снизу. Следовательно, . Ясно, что . Тогда выполнено

.

Определение. Фигура F называется квадрируемой, если . При этом называется площадью фигуры F.

Теорема 1 (необходимое и достаточное условие квадрируемости). Пусть дана произвольная плоская фигура F. Для квадрируемости плоской фигуры F необходимо и достаточно, чтобы , такие, что .

Теорема 2. Фигура F квадрируема, если её границу можно разбить на конечное число частей, каждая из которых представляют собой кривую вида y=f(x), x[a;b] или x=φ(y), y[c;d], где f и φ – непрерывные функции.

Определение. Кривая L называется гладкой, если он задана параметрическими уравнениями

где определены и непрерывно дифференцируемы на [α;β], и t[α;β].

Кривая называется кусочно-гладкой, если её множество разбить на конечное число гладких кривых.

Теорема 3. Фигура F квадрируема, если её граница является гладкой или кусочно-гладкой кривой.

Площадь плоской фигуры обладает теми же свойствами, что и площадь многоугольной фигуры:

  1. .

  2. Если , и F1 и F2 не содержит общих внутренних точек, то .

  3. Если F1=F2, то .

  4. Если то .


2. Задача об объёме цилиндрического бруса

Пусть тело V ограничено: снизу - плоской фигурой P, лежащей в плоскости XOY, сверху – поверхностью z=f(x;y), где f – неотрицательная и непрерывная на P функция, с боков – цилиндрической поверхностью с образующими параллельными оси OZ. Такое тело называется цилиндрическим брусом. Найдём объём тела V. Разобьём область Р сетью кривых на n частей P1, P2,…,Pn. На контуре каждой части Pk построим поверхность с образующей, параллельной оси OZ. Эта поверхность вырежет в теле столбик Vk с основанием Pk. Таких столбиков будет n, и в совокупности они составят всё тело V. Сумма объёмов всех Vk даст объём тела V. Выберем в каждой части Pk произвольную точку и вычислим в ней значение функции . Затем каждый цилиндрический столбик Vk заменим прямым цилиндром с основанием Pk и высотой zk. Тогда объём цилиндрического столбика Vk приблизительно равен объёму этого прямого цилиндра: .

Просуммировав эти выражения по , получим объём V:

.

Это равенство тем точнее, чем мельче разбиение области P на части Pk.

Диаметром замкнутой области P называется наибольшее расстояние между двумя точками её границы. Пусть -диаметр Pk. Обозначим . Пусть , тогда то есть

.
3. Определение двойного интеграла

Пусть на замкнутой квадрируемой области P задана функция z=f(x;y). Построим разбиение T области P сетью кривых на n частичных квадрируемых областей P1, P2,…,Pn. Площади их также обозначим P1, P2,…,Pn. В каждой из частей Pk произвольно выберем точку и вычислим значение функции в ней. Составим сумму

,

которую будем называть интегральной суммой для функции f(x;y) на области Р, соответствующей разбиению T и выбору точек . Пусть k - диаметр области Рk, .

Определение 1. Число I называется пределом интегральной суммы S(T) , если для любого разбиения Т области P, такого, что и при любом выборе точек Рk выполнено .

Определение 2. Если существует конечный предел интегральной суммы S(^ T) при , не зависящий ни от способа разбиения T, ни от выбора точек , то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x;y) по области P и обозначается или ,

где dP - элемент площади.

Итак, .

Функция f(x;y) в этом случае называется интегрируемой на области P.
4. Геометрический смысл двойного интеграла

1) Рассматривая задачу об объёме цилиндрического бруса, мы установили что . Мы предполагали, что f-непрерывная функция. Так как справа мы имеем предел интегральной суммы S(T) для непрерывной функции, то он существует и равен двойному интегралу от этой функции по области P. Значит, .

Двойной интеграл от неотрицательной непрерывной функции геометрически выражает объем цилиндрического бруса.

2) Если положить f(x;y)=1 всюду в области P, то

,

- площадь плоской фигуры равна двойному интегралу от 1 по этой области.
5. Ограниченность интегрируемой функции

Теорема 1. Если функция z= f(x;y) интегрируема на области Р, то она ограничена на ней.

Доказательство.

Допустим, что функция не ограничена на области Р. Тогда при любом разбиении области на части функция будет не ограничена хотя бы в одной из её частей. Тогда, выбирая точку произвольно, мы можем сделать сколь угодно большим. Значит, и интегральная сумма S(T) будет сколь угодно большой по абсолютной величине. Следовательно, S(T) не будет иметь конечного предела, и поэтому функция f(x;y) не будет интегрируемой.

Замечание. Обратное утверждение неверно.
§2. Условия существования двойного интеграла
^ 1. Нижняя и верхняя суммы Дарбу

Как и в одномерном случае, при изучении двойного интеграла существенную роль играют суммы Дарбу.

Пусть функция z= f(x;y) ограничена на области Р. Пусть Т – произвольное разбиение области Р на части Pk , . Тогда f(x;y) будет ограничена на всех Pk. Следовательно, существуют нижние и верхние грани функции f на Pk. Обозначим , .

(x;y)Pk справедливо неравенство , . Cоставим суммы

- нижняя, - верхняя суммы Дарбу.

и зависят только от разбиения ^ Т (не зависят от выбора точек , как S(T)).

Свойства сумм Дарбу

1) Для любого фиксированного разбиения Т справедливо

.

2) , .

3) Если к линиям разбиения добавить новую линию, то получим разбиение T1, которое называется продолжением разбиения T. От этого нижняя сумма может только возрасти, а верхняя - уменьшиться.

.

4) Для любых разбиений Т1 и Т2 справедливо .

(Доказательство свойств 1)–4) аналогично доказательствам тех же свойств сумм Дарбу для случая одной переменной, только вместо точек деления надо брать линии).

5) Рассмотрим два числовых множества . Множество ограничено сверху любым числом из множества (по свойству4), тогда . Значит, выполнено . Из последнего неравенства следует, что множество ограничено снизу, – нижняя граница. Следовательно, и выполнено ( - наибольшая нижняя граница ). Очевидно, . Тогда выполнено .
2. Необходимое и достаточное условие интегрируемости

Теорема 2. Для того чтобы ограниченная функция z=f(x;y) была интегрируема на замкнутой квадрируемой области Р необходимо и достаточно, чтобы

. (1)

Доказательство.

1) Необходимость. Пусть функция f интегрируема на Р. Докажем (1).

Так как f интегрируема на Р, то . Это по определению означает, что >0 >0: Т: <, выполнено

. (2)

(2)  I-<S(T)<I+.

Т.к. Т , , то

. (3)

Тогда .

Т.е. для выбранного >0 >0: Т: < выполнено . По определению предела это значит, что выполнено (1).

2) Достаточность. Пусть f ограничена на Р и выполнено (1). Докажем, что f интегрируема на Р. >0 >0: Т: <

. (4)

По свойству 5) сумм Дарбу Т:

. (5)

Из (4) и (5)  . Это означает, что .

Тогда . (6)

Согласно свойству 1) сумм Дарбу

. (7)

Тогда из (4), (6), (7) получим

,

,

. Значит, по определению f(x;y) интегрируема на Р.

Замечание. Отметим, что из (3) следует

,

,

т.е. при доказательстве необходимости мы установили, что если f интегрируема на P, то

.
3. Интегрируемость непрерывной функции

Теорема 3. Если функция z=f(x;y) непрерывна на замкнутой квадрируемой области Р, то она интегрируема на этой области.

Доказательство.

Пусть ^ Т – произвольное разбиение области Р на части Pk . Т.к. z=f(x;y) непрерывна на замкнутой области Р, то f ограничена на Р и, значит, ограничена на . Следовательно, можно построить .

, (8)

где - соответственно верхние и нижние грани функции f(x;y) на области Pk. Т.к. f(x;y) непрерывна на замкнутой области Рk, то она достигает верхней и нижней граней , т.е.

.

Подставим в (8):

. (9)

Т.к. функция f непрерывна на замкнутой области P, то она равномерно непрерывна на этой области (теорема Кантора), т.е по определению

(10)

выполнено . (11)

Пусть -произвольное число. Выберем разбиение Т так, чтобы <=(). Тогда . Значит, для точек выполнено (10). Следовательно, для значений функции в них выполнено (11):

. (12)

Из (9) и (12) следует

.

Т.о., T: < выполнено . По определению это значит, что . Тогда согласно теореме 2 f интегрируема на P.

Теорема 4. Если ограниченная на P функция f имеет точки разрыва лишь на конечном числе кривых, являющихся графиками непрерывных функций вида y=f(x) или х=(у), то она интегрируема на P, и при этом значения функции в точках разрыва не влияют на значения двойного интеграла.

(без доказательства).
§3. Основные свойства двойного интеграла
1. Если функция f(x;y) интегрируема на области Р и с=const, то функция cf интегрируема на Р и справедливо:

. (1)

Доказательство.

Пусть ^ Т - произвольное разбиение области Р на части Рk. Для этого разбиения и функции cf составим интегральную сумму.

. (2)

Так как f интегрируема, то Тогда правой части (2): . Значит, существует и левой части (2): , т.е. функция cf интегрируема на Р. Переходя к в (2), получаем (1).

2. Если функции f(x;y) и g(x;y) интегрируемы на Р, то и их алгебраическая сумма интегрируема на Р и справедливо равенство

. (3)

Доказательство.

Пусть ^ Т – произвольное разбиение области Р. Составим для него интегральную сумму функции fg:



.

т.к. f и g интегрируемы на Р, то правой части этого равенства, равный . Значит, левой части: . Переходя к пределу, получим (3).

Свойство 2 справедливо для любого конечного числа интегрируемых функций.

3 (Аддитивность ). Если область ^ Р разбита на 2 квадрируемые области без общих внутренних точек, и f интегрируема на , то она интегрируема и на Р, и справедливо равенство

. (4)

Доказательство.

Рассмотрим какое-либо разбиение области ^ Р на части причём линию, разбивающую область Р на части , будем считать одной из линий этого разбиения. При таком разбиении все части области Р можно разбить на 2 группы: в одну группу отнесем все части, содержащиеся в , а в другую все части, содержащиеся в . Тогда интегральную сумму разобьём на 2 суммы, в каждую из соберём отдельно слагаемые, соответствующие областям и :

.

Т.к. f интегрируема по областям , то правой части этого равенства. Значит, существует и предел левой части. Переходя к , получим (4).

4. Если f(x;y)0 на Р и интегрируема на Р, то .

Доказательство.

Т . Значит, .

5. Если функции f и g интегрируемы на Р и на этой области f(x;y)g(x;y), то .
Доказательство.

Рассмотрим функцию (x;y)=f(x;y)-g(x;y). Т.к. (x;y)0 на Р, то согласно свойству 4 . Применяя свойство 2, получим

.

Отсюда .

6. Если функция f интегрируема на Р, то функция интегрируема на Р и справедливо .

Доказательство.

По свойству модуля

На основании свойств 5, 1 двойного интеграла:

.

А это по свойству модуля значит, что . .

7 (Теорема о среднем значении двойного интеграла). Если f(x;y) непрерывна на замкнутой квадрируемой области Р, то

,

где ^ Р – площадь области Р.

Доказательство.

Т.к. Р – квадрируемая область, то она ограничена. Согласно теореме Вейерштрасса непрерывная в ограниченной замкнутой области Р функция f(x;y) достигает в ней своего наименьшего и наибольшего значений, т.е. m и M:

.

Отсюда по свойствам 5, 1

.

Т.к. , то получаем

.

Отсюда .

Положим , тогда .

По теореме Коши о промежуточном значении непрерывной функции существует точка . Следовательно,

.

Отсюда

Замечание. где dP элемент площади. Если область Р разбить на части Рk с помощью прямых, параллельных осям координат, то области Pk будут прямоугольными, за исключением граничных. Тогда элемент площади dP=dxdy.

Действительно, . При 0 и . Тогда , (дифференциал функции - главная часть ее приращения). Следовательно, при 0 . При 0 площади граничных частей стремятся к нулю.

В дальнейшем .

  1   2   3



Скачать файл (1626.7 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru