Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Лекции - функции нескольких переменных, кратные интегралы, криволинейные интегралы - файл Кратные интегралы.doc


Лекции - функции нескольких переменных, кратные интегралы, криволинейные интегралы
скачать (1626.7 kb.)

Доступные файлы (3):

Кратные интегралы.doc1778kb.02.05.2008 20:55скачать
Криволинейные интегралы.doc1459kb.02.05.2008 21:47скачать
фнп.doc2717kb.03.09.2009 00:00скачать

содержание
Загрузка...

Кратные интегралы.doc

1   2   3
Реклама MarketGid:
Загрузка...
§4. Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием
^ 1. Повторные интегралы

I случай. Прямоугольная область.

Пусть функция f(x;y) определена на прямоугольнике Р=[a,b;c,d] и интегрируема по y на [c;d] для любого фиксированного x[a;b], т.е. x[a;b] . Тем самым определена функция на [a;b]. Если функция (х) интегрируема на [a;b], т.е. , то этот интеграл называется повторным интегралом от функции f по прямоугольнику Р, взятым сначала по y, а затем по x. Его символически обозначают

. (1)

Аналогично определяется повторный интеграл . (2)

Теорема 1. Если функция f(x;y) непрерывна на прямоугольнике Р=[a,b;c,d], то существуют повторные интегралы (1) и (2).

Доказательство.

Докажем существование интеграла (1). Для этого достаточно доказать, что функция непрерывна на [a;b]. Пусть x0 - произвольная точка отрезка [a;b]. Придадим x0 приращение х, так чтобы x0+х[a;b]. Тогда

,

. (3)

Т.к. функция f непрерывна на прямоугольнике Р, то она и равномерно непрерывна на нём. Тогда >0 >0: (x1;y1),(x2;y2)P: ((x1;y1),(x2;y2))< 

|f(x1;y1)-f(x2;y2)|<. (4)

Пусть >0 - произвольное число. выполнено

, .

Тогда для этих точек должно выполняться (4), т.е.

. (5)

Из (3) и(5) следует

.

Т.о., из условия следует .

Следовательно, (х) непрерывна в точке х0. Так как х0 – произвольная точка из [a;b] то (х) непрерывна на [a;b]. Следовательно, она интегрируема на [a;b], т.е. .

Существование повторного интеграла (2) доказывается аналогично.

II случай. Непрямоугольная область.

Пусть функция f(x;y) определена на замкнутой области Р, представляющей собой плоскую фигуру, ограниченную прямыми x=a и x=b (a<b), кривыми y=1(x) и y=2(x), причем 1(x)2(x) и 1(х), 2(х) непрерывны на [a;b]. Такую область назовем простой областью I типа. (обозначим её РI). Очевидно, что РI квадрируема.

Рассуждая аналогично I случаю, имеем: , повторный интеграл:

. (6)

Пусть область^ Р ограничена прямыми y=c и y=d (c<d), кривыми x=1(y), x=2(y), причем 1(y)2(y) и 1(y) и 2(y) непрерывны на [c;d]. Такую область назовем простой областью II типа. (обозначим её РII). РII квадрируема. Тогда , повторный интеграл:

. (7)

Теорема 2. Если функция f(x;y) непрерывна на простой области I типа, то существует повторный интеграл (6).

Доказательство.

Докажем непрерывность функции (х) на [a;b]. Из этого будет следовать ее интегрируемость. Пусть х- произвольная точка отрезка [a;b]. В интеграле сделаем замену переменной: . Если t=0, то y=1(x), если t=1, то y=2(x), . Получим

.

Т.к. f(x;y) непрерывна на РI, функции 1(х), 2(х) непрерывны на [a;b], то функция g(x;t) непрерывна на прямоугольнике D=[a,b;0,1]. Поэтому на основании теоремы 1 (х) непрерывна на [a;b]. Следовательно, она интегрируема на [a;b], т.е. .

Теорема 3. Если функция f(x;y) непрерывна на простой области II типа, то существует повторный интеграл (7).
2. Вычисление двойного интеграла

Теорема 4. Если функция f(x;y) непрерывна на прямоугольнике Р=[a,b;c,d], то справедлива формула

.

Доказательство.

Существование двойного интеграла и повторных интегралов доказано в предыдущих теоремах. Докажем равенство

.

Отрезки [a;b] и [c;d] разобьём произвольными точками , на частичные отрезки. Через точки деления проведём прямые параллельные осям координат. Этими прямыми прямоугольник Р разобьётся на частичные прямоугольники , , . В силу условия функция f(x;y) непрерывна на замкнутом прямоугольнике , поэтому на этом прямоугольнике она имеет наименьшее и наибольшее значения. (х;у) . Зафиксируем произвольно точку . Ясно, что у[yk-1;yk]. Интегрируя это неравенство на отрезке [yk-1;yk], получим

, (8)

где yk=yk - yk-1. Таких неравенств будет m штук. Суммируя неравенства (8) по k от 1 до m, получим

.

По свойству аддитивности определенного интеграла

.

Обозначим . Тогда

.

Умножим все части этого равенства на xi=xi xi-1. Суммируя их по i от 1 до n, получим

. (9)

Средняя часть неравенства (9) представляет собой интегральную сумму для функции (х) на [a;b]. Крайние части (9) представляют собой нижнюю и верхние суммы Дарбу для функции f(x;y) на Р. Действительно,

.

Аналогично, .

Поэтому из (9) получаем

. (10)

Так как функция f(x;y) непрерывна на Р, то она интегрируема на этом прямоугольнике, следовательно,

.

Но тогда из (10) следует, что

. (11)

С другой стороны, по теореме 1

. (12)

Из (11) и (12) следует .

Равенство доказывается аналогично.

Пример. Вычислить , где Р прямоугольник [0,1;0,1].

. 

Теорема 5. Если функция f(x;y) непрерывна на простой области I типа, то справедлива формула

. (13)

Доказательство.

Так как 1(x) и 2(x) непрерывны на [a;b], то они на этом отрезке имеют наименьшее и наибольшее значения. Обозначим их , . Пусть D=[a,b;c,d], PD.Рассмотрим функцию F(x;y) на D:



По условию f непрерывна на замкнутой квадрируемой области Р, следовательно, она интегрируема на Р. Т.к. F(x;y)=f(x;y), то и F(x;y) интегрируема на Р и

.

С другой стороны, т.к. на Р1 и Р2 F(x;y)=0, то F(x;y) интегрируема и на Р1, Р2 и



(все интегральные суммы равны нулю, а значения на границе можно не учитывать).

Тогда по свойству аддитивности двойного интеграла F(x;y) интегрируема на

и

. (14)

Теперь наша задача свелась к вычислению - двойного интеграла по прямоугольной области.

 фиксированного х[a;b]

,

так как существует каждый из трёх интегралов справа:

, а .

Тогда х[a;b]

. (15)

Так как f(x;y) непрерывна на Р, то по теореме 2 непрерывна на [a;b]. Тогда из (15) следует, что непрерывна на [a;b], значит, (х) интегрируема на [a;b], т.е. существует повторный интеграл (случай I)

. (16)

Теперь из (14) и (16), учитывая (15), получаем

.

Теорема 6. Если функция f(x;y) непрерывна на простой области II типа, то справедлива формула

. (17)

Замечание 1. Если контур области интегрирования пересекается не более, чем в двух точках, как параллелями оси Ох, так и параллелями оси Оу, то имеют место обе формулы (13) и (17), и, значит, повторные интегралы (6) и (7) равны.

Замечание 2. Если область Р не является простой областью I или II типа, то её разбивают (если возможно) на конечное число простых областей I и II типа. Тогда двойной интеграл по области Р равен сумме интегралов по простым областям.

Замечание 3. Формулы (13) и (17) справедливы и в том случае, когда f имеет разрывы в конечном числе точек и на кривых, площадь которых равна нулю.

Пример 1. Р ограничена: y=x3, y+x=2, x=0. Вычислить .

 Найдём координаты точки А:

x3=2-x, x3+x-2=0, x=1.

=

. 

Пример 2. Р ограничена: y2=3x+9, y=3–x. Свести к повторным двумя способами.

 Найдём точки пересечения графиков функций:

(3-x)2=3x+9, 9-6x+x2-3x-9=0,

x2-9x=0, x(x-9)=0, x=0, x=9,

y=3, y=-6.

Выразим из первого уравнения х: 3x+9=y2-9,

.

. 

§5. Замена переменных в двойном интеграле
1. Отображение плоских областей

Рассмотрим 2 замкнутые области: G на плоскости UOV и D на плоскости XOY (каждая из этих областей может быть и не ограничена, в частности, может охватить всю плоскость). Пусть система функций

(1)

отображает взаимно однозначно область G на область D. Так как отображение взаимно однозначно, то функции (1) определяют систему функций



которые отображают область D на область G.

Возьмём точку P0(u0;v0)G. Проведём прямые u=u0 и v=v0. Система (1) отобразит Р0 в точку M0(x0;y0)D. Очевидно, прямая u=u0 отобразится на некоторую кривую в плоскости XOY. Из (1) получим уравнение образа прямой u=u0:



Эти формулы задают параметрические уравнения кривой. (Уравнение u(x;y)=u0 - неявное уравнение той же кривой). Эта кривая называется кривой u=const. Придавая различные значения, будем получать различные линии u=const. Следовательно: u=const –семейство линий. Так как различные линии u=u0 не пересекаются, то различные линии из семейства u=const тоже не пересекаются (так как отображение G на D взаимно однозначно).

Аналогично, образом прямой линии v=v0 является кривая линия, уравнения которой



(неявное уравнение - v(x;y)=v0). Эта линия называется v=const. Различные линии из семейства кривых v=const не пересекаются. Так как прямые u=u0 и v=v0 пересекаются в единственной точке P0(u0;v0), а (1) – взаимно однозначное отображение G на D, то кривые u(x;y)=u0 и v(x;y)=v0 в плоскости XOY также пересекается в единственной точке M0(x0;y0). Это означает, что числа u0 и v0 однозначно определяют точку M0(x0;y0) на плоскости XOY. Значит, эти числа могут служить координатами этой точки. Числа u0 и v0 называются криволинейными координатами точки M0 (так как координатные линии u=u0 и v=v0 на плоскости XOY являются кривыми линиями). Т.о., сетке декартовых координатных линий в плоскости UOV (два семейства перпендикулярных прямых) в плоскости XOY будет соответствовать сетка криволинейных линий, состоящая из двух семейств: u=const и v=const. Через любую точку M(x;y) пройдёт только одна координатная линия u=const и только одна координатная линия v=const.

u,v - криволинейные координаты точки М.

Тогда точка имеет прямоугольные координаты (x;y) и криволинейные координаты (u;v).

Примером криволинейных координат являются полярные координаты . Полярные координаты связаны с декартовыми известными соотношениями:

(2), .

Будем рассматривать переменные и не как полярные координаты точки в плоскости XOY, а как прямоугольные координаты в другой плоскости O. Тогда формулы (2) отображают область плоскости O на всю плоскость XOY. Правда, это отображение не является взаимно однозначным (любой точке плоскости в плоскости XOY соответствует одна и та же точка (0;0)). Если взять область то (2) - взаимно однозначное отображение области на плоскость XOY с проколотым началом координат.

Как выглядят семейства линий =const и =const ?

=const: Если то это семейство концентрических окружностей с центром в точке (0;0);


2
=const: - лучи, исходящие из точки (0; 0).

Геометрический смысл связи полярных и декартовых

координат.

Совместим декартову и полярную системы координат: полюс полярной системы - в точке (0;0), полярная ось – ось Ox. Тогда из ОАМ следует

2. Площадь в криволинейных координатах

Пусть система (1) взаимно однозначно отображает замкнутую область G плоскости UOV на замкнутую область D плоскости XOY. Предположим, что функции и непрерывны вместе со своими частными производными на G. Предположим, что G и D квадрируемы.

Задача. Выразить площадь области D с помощью криволинейных координат u, v.

Разобьем область G на частичные области прямыми, параллельными осям Ou и Ov. Тогда область D разобьётся в силу преобразования (1) на криволинейные четырёхугольники. Рассмотрим внутренний элементарный прямоугольник в плоскости UOV с вершинами в точках

(u,v>0).

Ему соответствует элементарный криволинейный четырёхугольник в плоскости XOY с вершинами

.

Найдём его площадь .

Если u и v достаточно малы, то дуги тоже малы, следовательно, их приблизительно можно считать прямолинейными. Кроме того, приращения функций x(u;v), y(u;v) приблизительно заменим их дифференциалами. Тогда

.

Аналогично,

,

, .

А также

,

,

.

Тогда приблизительно координаты вершин четырёхугольника ABCD:

,

, .

(Здесь для краткости: x(u;v)=x, y(u;v)=y, все производные вычислены в т. (u;v)).

Из координат видим, что проекции отрезков AB и CD на обе оси координат соответственно равны, следовательно, ABCD. То же можно сказать и об отрезках AD и BC: ADBC. Значит, приближенно ABCD – параллелограмм.

.

Из геометрии известно, что , где :

, где .

По этой формуле получим:

.

Обозначим .

Этот определитель называется якобианом. Следовательно,

. (3)

Выражение в правой части называется элементом площади в криволинейных координатах.

Учитывая, что , из формулы (3) получим .

Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше . Следовательно, если u0 и v0, то .

Величина |I(u;v)| показывает, во сколько раз увеличивается или уменьшается элемент площади в окрестности точки (u;v) плоскости UOV при отображении её в окрестность соответствующей точки (x;y) плоскости XOY. Другими словами, абсолютная величина якобиана – это коэффициент растяжения области G в данной точке (u;v) при её отображении на область D.

Просуммировав теперь площади всех элементарных четырехугольников, из (3) получим

. (4)

Это равенство тем точнее, чем мельче разбиение области ^ G (а, следовательно, и области D). Переходя к пределу при и , получим точное равенство. Сумма в правой части равенства (4) является интегральной суммой для двойного интеграла , из которой выброшены слагаемые, отвечающие участкам, не являющимся прямоугольниками. Но сумма площадей этих участков становится сколь угодно малой, если разбиение делать более мелким. Следовательно, переход к пределу в (4) даёт точную формулу

. (5)

Вычислим якобиан при переходе к полярным координатам:

.

Следовательно, площадь D при переходе к полярным координатам равна:

.

3. Замена переменной в двойном интеграле

Теорема. Пусть дан двойной интеграл , где функция f(x;y) непрерывна в замкнутой квадрируемой области D. Пусть система

(1)

задаёт взаимно однозначное отображение замкнутой квадрируемой области ^ G плоскости UOV на замкнутую квадрируемую область D плоскости XOY. Предположим, что функции и непрерывны вместе со своими частными производными на G. Пусть так же |I(u;v)|0 на D. Тогда справедлива формула замены переменных

. (6)

Доказательство.

Так как функции f, , и частные производные функций и непрерывны, то существуют оба интеграла в формуле (6). Необходимо доказать это равенство.

По определению двойного интеграла

, (7)

( - диаметр разбиения), причём этот предел не зависит от способа разбиения области D на частичные области Dk и от выбора точек (xk;yk) Dk. Обозначим .

Разобьём область G на частичные области . Так как (1) взаимно однозначно отображает G на D, то область D разобьётся на частичные области . По формуле (5) площадь области Dk равна:

.

По теореме о среднем значении двойного интеграла на каждой частичной области найдется точка (uk;vk), такая, что

.

Обозначим образ т. (uk;vk) при взаимно однозначном отображении (1) через (xk;yk), то есть

Тогда сумма в правой части равенства (7) равна

. (8)

Эта сумма является интегральной суммой для функции .

Если диаметры всех частичных областей Gk стремятся к нулю, то в силу непрерывности функций и диаметры частичных областей Dk тоже стремятся к нулю. Обозначим , . Если , то и . Переходя в (8) к пределу при , получим (6).

Замечание. Формула (6) справедлива и в том случае, если взаимно однозначное отображение (1) нарушается в отдельных точках или на отдельных кривых площади нуль.
^ 4. Двойной интеграл в полярных координатах

Если преобразование стоит в переходе к полярным координатам, то формула (6) примет вид:

.

Переход к полярным координатам эффективен, если уравнение границы области интегрирования или подынтегральная функция содержит выражение x2+y2.

Если в состав подынтегральной функции или уравнения границы области входит сумма вида ax2+by2 (a>0, b>0), то используют «обобщённую» полярную систему координат:

,

тогда , а .

Пример 1. Вычислить , где D- часть круга x2+y2=R2, лежащая в I четверти.

 Перейдём к полярным координатам

Область . Следовательно,



. 

Пример 2. Найти площадь фигуры Р, ограниченной параболами y=ax2, y=bx2 (0<a<b) и гиперболами xy=p, xy=q (0<p<q).

 Площадь фигуры , но непосредственно вычислить этот интеграл трудно. Поэтому следует выполнить замену переменных.

Рассмотрим 2 семейства кривых: парабол y=ux2 (или ) и гипербол xy=v. Чтобы каждое из них заполняло фигуру Р, достаточно взять какие u, v, которые удовлетворяют неравенствам aub, pvq. Через каждую точку фигуры Р проходит только одна парабола и только одна гипербола. Следовательно, эти два семейства кривых образуют сетку координатных линий.

Так как задание этих двух кривых (то есть параметров u и v) однозначно определяет точку фигуры Р, то u и v можно принять за криволинейные координаты точек фигуры Р: (*)

Область Р перейдет в прямоугольник Q: aub, pvq на плоскости uOv, т.к.

, ,

, .

Выразим из уравнений (*) x и y и найдем якобиан.





Тогда по формуле (5)

. 

1   2   3



Скачать файл (1626.7 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru