Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Лекции - функции нескольких переменных, кратные интегралы, криволинейные интегралы - файл Кратные интегралы.doc


Лекции - функции нескольких переменных, кратные интегралы, криволинейные интегралы
скачать (1626.7 kb.)

Доступные файлы (3):

Кратные интегралы.doc1778kb.02.05.2008 20:55скачать
Криволинейные интегралы.doc1459kb.02.05.2008 21:47скачать
фнп.doc2717kb.03.09.2009 00:00скачать

содержание
Загрузка...

Кратные интегралы.doc

1   2   3
Реклама MarketGid:
Загрузка...
§6. Приложения двойного интеграла
^ 1. Площадь поверхности

Пусть поверхность S задана явным уравнением

z=f(x;y), (1)

причём проекция поверхности S на плоскость XOY – квадрируемая область Р, а функция f(x;y) определена, непрерывна и имеет непрерывные частные производные первого порядка на Р. Тогда функция f(x;y) будет дифференцируемой на Р, а поверхность S в каждой точке M(x0;y0;z0) имеет касательную плоскость, уравнение которой

,

где x, y, z – текущие координаты касательной плоскости, а x0, y0, z0- координаты точки касания.

Задача. Найти площадь поверхности S.

Установим само понятие площади поверхности. Разобьём область Р на части . Построим на каждой из них, как на основании, цилиндрические столбики. Они разобьют поверхность на n частей: . В каждой части произвольно выберем точку , которой на частичной поверхности Si будет соответствовать точка , где . Построим в точке касательную плоскость Тi к поверхности S и нормаль к этой поверхности. Обозначим - острый угол между нормалью и осью ^ Oz. Т.к. уравнение нормали к поверхности S в точке имеет вид

, то ,

следовательно, .

Каждый из цилиндрических столбиков вырежет на касательной плоскости Тi фигуру, которую также обозначим Тi. Если разбиение становится всё более мелким (0), то плоские фигуры Тi будут приближаться к соответствующим частям Si: . Тогда сумма площадей всех Тi: .

Под площадью данной поверхности S понимают предел последней суммы при

, - диаметр .

Покажем, что этот предел существует и выясним, чему он равен.

Угол равен углу между касательной плоскостью и плоскостью XOY. - ортогональная проекция частичной фигуры , следовательно, . Тогда

.

Эта сумма является интегральной суммой для функции

.

Т.к - непрерывная функция, то она интегрируема, следовательно,

.

Тогда .

^ Пример. Вычислить площадь части параболоида , вырезанной цилиндром .

Указанная поверхность симметрична относительно плоскостей XOZ и YOZ, т.е. состоит из четырёх одинаковых частей. Найдём площадь поверхности одной из них (например, лежащей в I октанте) и умножим на 4.

,

Р – область интегрирования: четверть круга с центром в т.(0,0) и радиусом 1 в плоскости XOY.

Из уравнения поверхности получаем: , .

.

Интеграл удобно вычислить в полярных координатах:



. 
2. Физические приложения двойного интеграла

I. Вычисление массы плоской фигуры

Пусть на плоской фигуре Р распределена масса m. Поверхностной плотностью массы в точке N фигуры Р называется предел

,

где ^ D – произвольный участок фигуры Р содержащий точку N, его площадь также обозначим D, m(D) – его масса. Условие DN означает, что участок D стягивается к точке N, то есть наибольшее расстояние от точки N до точек участка D стремится к нулю.

Если плотность распределена равномерно по фигуре, то (х;у)=const .

Задача. Вычислить массу плоской фигуры Р, по которой непрерывным образом распределена масса m с поверхностной плотностью (х;у), при этом (х;у)- непрерывная функция.

Разобьём фигуру сетью кривых на n произвольных частей: Р1,Р2,…,Pn, площади которых тоже обозначим Р1,Р2,…,Pn, а m1,m2,…,mn - их массы. В каждой части Pi возьмем произвольно точку Ni(ui;vi) и вычислим в ней плотность (ui;vi). Если разбиение достаточно мелко, то в силу непрерывности функция (х;у) мало изменяется в области Pi. Следовательно, можно считать, что . Тогда .

Равенство тем точнее, чем мельче разбиение, и становится точным в пределе при где, i=diamPi.



Так как (х;у)-непрерывная функция, то предел справа существует и равен . Следовательно,

m=.
II. ^ Вычисление статических моментов и центра тяжести плоской фигуры

Статический момент М материальной точки массы m относительно некоторой оси равен произведению массы этой точки на расстояние d от точки до оси: M=md. При этом расстояние d берется со знаком «+» или «-» в зависимости от того, с какой стороны от оси находится точка.

^ Статический момент M системы n материальных точек m1, m2,…mn, лежащих в одной плоскости с осью на расстояниях d1,…dn соответственно равен .

Центр тяжести системы материальных точек на плоскости – это такая точка, что если в ней сосредоточить массы всех точек системы, то её статический момент относительно любой оси будет равен статическому моменту всей системы точек относительно той же оси.

Рассмотрим плоскую фигуру ^ Р и предположим, что по ней распределена масса с поверхностной плотностью =(х;у) в любой точке М(х;у)Р. Разобьём Р на n произвольных частей Р1,Р2,…,Pn и в каждой Pi выберем произвольно точку Ni(ui;vi). Будем считать, что масса i-й части , и что она сосредоточена в точке Ni(ui;vi). Тогда статические моменты и всей фигуры P относительно Ox и Oy:

, .

Равенства тем точнее, чем мельче разбиение, следовательно,

, .

В правых частях - интегральные суммы для функций : y(х;у) и x(х;у), которые являются непрерывными. Следовательно, пределы интегральных сумм существуют и равны соответственно интегралам от этих функций. Значит,

, .

Обозначим (хс;ус) - координаты центра тяжести фигуры Р. Пусть m – ее масса. Тогда по определению центра тяжести: , . Отсюда

, .

Если фигура однородная (то есть (х;у)=const), то учитывая, что , получим

, .

Пример. Найти центр тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной синусоидой y=sinx, осью Ox и прямой .

 Так как плоская фигура однородна, то используем последние формулы. Найдём площадь фигуры Р:

,

, , ,

. 
II. Тройной интеграл
§1. Определение тройного интеграла и условия его существования
1. Кубируемое тело и его объем

Понятие объема тела произвольной формы вводится аналогично понятию площади плоской фигуры. Давая определение площади плоской фигуры, мы опирались на понятие площади многоугольника. При введении понятия объема тела за основу берется понятие объема многогранника (его считаем известным).

Пусть тело (^ V) ограничено замкнутой поверхностью. Рассмотрим всевозможные многогранники (X) объема X, целиком содержащиеся в теле (V) и многогранники (Y) объема Y, целиком содержащие в себе тело (V). Рассуждая так же, как и при введении понятия площади, устанавливаем, что и , причем .

Определение. Если обе границы и совпадают, то их общее значение V называется объемом тела (V), а само тело называется кубируемым.

Теорема 1. Для того, чтобы тело (V) имело объем V, необходимо и достаточно, чтобы >0 существовало два таких многогранника (Х) и (Y), для которых Y-X<.

Теорема 2. Для того, чтобы тело (V) имело объем V, необходимо и достаточно, чтобы ограничивающая поверхность (S) имела нулевой объем, то есть чтобы ее можно было заключить в многогранное тело с произвольно малым объемом.

Теорема 3. Тело (V) кубируемо, если его граница может быть разбита на конечное число частей, каждая из которых есть поверхность, определяемая одним из уравнений z=f(x;y), y=(x;z), x=(y;z) где f, , - непрерывные на некоторой замкнутой области функции.

Теорема 4. Для того, чтобы тело (V) имело объем V, необходимо и достаточно, чтобы существовали две последовательности соответственно вписанных и описанных многогранников и , объемы которых имели бы общий предел . Этот предел и будет объемом тела (V).

Теорема 5 (аддитивность объема). Если тело (V) разложено на два тела (V1) и (V2), то из существования объемов двух этих тел следует существование объема тела (V), при этом V=V1+V2.
2. Задача о вычислении массы тела

Пусть некоторое тело (V) заполнено массами. В каждой его точке M(x;y;z) известна плотность =(M)=(x;y;z) распределения этих масс.

Задача. Определить всю массу m тела .

Разложим тело (V) на ряд частей: (V1), (V2),…, (Vn) и выберем в каждой из них по точке . Условимся, что в пределах части (Vi) плотность постоянна и равна плотности в точке Mi: . Тогда масса mi части (Vi)

,

где Vi - объем части (Vi), .

Просуммировав эти равенства по , получим массу тела (V):

.

Пусть, . Если , то последнее равенство становится точным:

.
3. Определение тройного интеграла

Пусть дано (V) - ограниченное кубируемое тело. Пусть на (V) задана функция f(x;y;z). Разобьем тело (V) сетью поверхностей на n произвольных частей (V1), (V2),…, (Vn), объемы которых V1, V2,…, Vn. В каждой части (Vi) выберем произвольно точку . Вычислим и составим сумму:

. (1)

Определение. Если существует конечный предел интегральной суммы (1) при , не зависящий ни от способа разбиения области (V) на части, ни от выбора точек , то этот предел называется тройным интегралом функции f(x;y;z) в области (V) и обозначается

,

а функция f(x;y;z) называется интегрируемой в области (V).

Итак, .

Замечание. Если положить f(x;y;z)=1 всюду в области (V), то из определения получим:

,

то есть или .

(объем тела (V) равен тройному интегралу от 1 по области (V)).
4. Условия существования тройного интеграла

Для тройного интеграла аналогично случаю двойного интеграла вводятся понятия нижней и верхней сумм Дарбу:



где , .

Теорема 1 (необходимое и достаточное условие интегрируемости). Для того, чтобы ограниченная функция f(x;y;z) была интегрируема на замкнутой кубируемой области (V), необходимо и достаточно, чтобы .

Теорема 2 (достаточное условие интегрируемости). Всякая непрерывная на замкнутой кубируемой области (^ V) функция интегрируема на ней.

Теорема 3 (необходимое условие интегрируемости). Если функция f(x;y;z) интегрируема на (V), то она ограничена на (V). (Обратное неверно.)

Свойства тройного интеграла аналогичны свойствам двойного интеграла.
§2. Вычисление тройного интеграла
1. Вычисление тройного интеграла сведением к повторному

Пусть функция f(x;y;z) непрерывна в некоторой области (V). Пусть поверхность (S), ограничивающая тело (V), пересекается не более чем в двух точках любой прямой, параллельной одной из осей координат (например Oz). Более сложные области сводятся к рассматриваемой путем разбиения на части.

Опишем около тела (V) цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси Oz. Пусть (Pz) - проекция тела (V) на плоскость XOY. Линия касания этой цилиндрической поверхности с поверхностью (S) разбивает (S) на две части: верхнюю и нижнюю. Пусть нижняя часть поверхности задана уравнением z=z1(x;y), а верхняя – уравнением z=z2(x;y), где z1(x;y), z2(x;y) - однозначные непрерывные функции, заданные на (Pz). Тогда сводится к последовательному взятию внутреннего интеграла по переменной z (при постоянных x и y) и внешнего двойного интеграла по области (Pz):

Предположим теперь, что область (Pz) тоже имеет простую форму, то есть любая прямая, параллельная оси Oy, пересекает контур области (Pz) не более, чем в двух точках. Через a и b обозначим абсциссы самой левой и самой правой точек на контуре области (Pz). Эти точки делят контур на две части, на одной из которых прямые параллельные оси Oy входят в область (Pz), а на другой – выходят. Каждая из этих частей имеет свое уравнение. Первая: y=y1(x), вторая: y=y1(x) (axb). В этом случае

,

то есть тройной интеграл сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов.

Порядок интегрирования может быть другим. Для этого тело (V) надо проектировать на плоскость XOZ или YOZ. Например, спроектируем на XOZ, (Ру) - проекция на XOZ. Тогда

.

Пример 1. Вычислить , где (V) - тетраэдр, ограниченный плоскостями x=0, y=0, z=0 и x+y+z=1.

 Спроектируем тело на плоскость XOY. Проекция P - треугольник со сторонами x=0, y=0, x+y=1. Если x и y – фиксированные, то точка может перемещаться от плоскости z=0 (XOY) до плоскости x+y+z=1. Отсюда z=1-x-y. Итак, если (x;y)(V), то изменяется от 0 до . Следовательно, .

Сведем двойной интеграл к повторному.

Если - фиксировано (0х1) то может изменяться от прямой (ось Ох) до прямой y+x=1 (y=1-x). Следовательно,







. 
2. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах

Как и для двойного интеграла, для тройного интеграла имеют место формулы перехода от прямоугольных координат к новым системам координат. Наиболее употребительные из них – цилиндрические и сферические.

^ I. Цилиндрические координаты

Пусть M1 - проекция точки M на плоскость XOY, =OM1- полярный радиус точки M1, =xOM1- полярный угол точки M1, z – аппликата точки M. , , z называются цилиндрическими координатами точки M. . Обозначается M(;;z).

Связь с x, y, z: x=cos, y=sin, z=z.

Следовательно, преобразование тройного интеграла к цилиндрическим координатам происходит так же, как и преобразование двойного интеграла к полярным координатам.

Формула перехода к цилиндрическим координатам в тройном интеграле:

.

Если положить f(x;y;z)=1 всюду в (V), то

- объем тела (V) в цилиндрических координатах.

Выражение называется элементом объема в цилиндрических координатах.

Пример 2. Вычислить объем кругового цилиндра высоты H с радиусом основания ^ R.

 Поместим начало системы координат в центр нижнего основания конуса. Тогда 0R, 0<2, 0zH.



.

(известная формула элементарной геометрии). 

Пример 3. Вычислить объем тела, ограниченного сферой и параболоидом .

 Найдем проекцию линии пересечения сферы и параболоида на плоскость XOY. Для этого из уравнений выразим и решим систему:



,

,

или - не удовлетворяет условию .

Следовательно, линией пересечения поверхностей является окружность , при этом .

Т.к. тело симметрично относительно плоскостей XOY и YOZ, то можно вычислить объем тела , лежащего в I октанте и умножить на 4. Тогда .

Так как проекция тела на плоскость XOY – круг, то следует перейти к цилиндрическим координатам: x=cos, y=sin, z=z.

Преобразуем уравнения границ:

,

.

Уравнения границы проекции: .

Итак, в области : . Следовательно,



=





. 

II. Сферические координаты

Сферическими координатами точки называются: - расстояние от точки до начала координат, =xOM1 - угол между Ox и проекцией отрезка на плоскость XOY, =zOM - угол между осью Oz и отрезком OM: М(r;;), r0, 0<2, 0.

Связь с прямоугольными координатами:

z=rcos (из zOM),

OM1=rsin (из zOM, zM=OM1),

x=OM1cosx=rsincos (из xOM1),

y=OM1siny=rsinsin (из xOM1, xM1=Oy).

Итак, x=rsincos, y=rsinsin, z=rcos.

. (Вычислить самостоятельно.)

Формула перехода в тройном интеграле к сферическим координатам:

.

Если положим здесь f(x;y;z)=1 всюду в (), то получим

- объем тела (V) в сферических координатах.

Выражение называется элементом объема в сферических координатах.

Пример 4. Вычислить объем шара радиуса R.

 Поместим начало системы координат в центр шара. Тогда 0rR, 0<2, 0.





.

(известная из элементарной геометрии формула). 




1   2   3



Скачать файл (1626.7 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru