Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Лекции - функции нескольких переменных, кратные интегралы, криволинейные интегралы - файл Криволинейные интегралы.doc


Загрузка...
Лекции - функции нескольких переменных, кратные интегралы, криволинейные интегралы
скачать (1626.7 kb.)

Доступные файлы (3):

Кратные интегралы.doc1778kb.02.05.2008 20:55скачать
Криволинейные интегралы.doc1459kb.02.05.2008 21:47скачать
фнп.doc2717kb.03.09.2009 00:00скачать

Криволинейные интегралы.doc

  1   2   3
Реклама MarketGid:
Загрузка...
III. Криволинейные интегралы
Интегралы, которые мы рассматривали до сих пор, имели своими областями либо отрезки на прямой, либо некоторые области на плоскости и в пространстве.

Теперь рассмотрим случай, когда областью интегрирования является кривая, расположенная в плоскости. Затем все рассуждения можно перенести на случай кривой в пространстве.

Рассмотрение криволинейных интегралов расширяет возможности приложений математического анализа и решения задач физики и техники (и в самой математике – в теории поля и в ТФКП).

Существует два типа криволинейных интегралов. Начнем с рассмотрения криволинейного интеграла, который строится по аналогии с обыкновенным определенным интегралом.
§1. Криволинейные интегралы I типа
Определение и свойства криволинейного интеграла I типа

Пусть функция z=f(M) определена вдоль некоторой кривой L, лежащей в плоскости XOY, то есть любой точке ML соответствует f(M). Пусть y=(x) - уравнение кривой L, где (x) - непрерывно-дифференцируемая функция. Тогда кривая L будет гладкой и спрямляемой. A, B- концы кривой L. Разобьем кривую произвольным образом на n частей точками A=M0, M1,…, Mn=B. На каждой частичной дуге выберем произвольно точку . Составим сумму

, (1)

где - длина дуги .

Эта сумма называется интегральной суммой для функции z=f(M), заданной на кривой L. Обозначим .

Определение. Если существует конечный предел при 0 интегральной суммы (1), не зависящий ни от способа разбиения кривой L на части, ни от выбора точек , то он называется криволинейным интегралом I типа (или криволинейным интегралом по длине дуги) от функции f(M) по кривой L и обозначается или .

Функция f(M) называется интегрируемой вдоль кривой L.
Свойства криволинейного интеграла I типа

1º. Величина криволинейного интеграла не зависит от направления интегрирования:



(это объясняется тем, что при составлении интегральной суммы (1) нумерация точек разбиения может быть произведена и в обратном порядке: от В к А, это ничего не меняет).

2º. (Аддитивность)

.

3º. (Линейность)

.
2. Задача о площади цилиндрической поверхности

Как известно, определенный интеграл геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x), осью и прямыми x=a, x=b. Если f(x)0, площадь надо взять со знаком «-». Аналогично можно прийти к геометрическому смыслу криволинейного интеграла I типа.

Пусть в плоскости дана спрямляемая кривая L=АВ, на которой определена функция f(M)0. Тогда точки (M; f(M)) образуют некоторую кривую, которая лежит на цилиндрической поверхности с направляющей L и образующей, параллельной .

Задача. Определить площадь части цилиндрической поверхности, которая ограничена сверху кривой z=f(M), снизу – кривой L, с боков – прямыми AA и BB.

Для решения этой задачи разобьем кривую произвольно точками A=M0, M1,…, Mn=B на n частей. На каждой частичной дуге выберем произвольно точку . Из каждой точки дробления проведем прямые, параллельные оси . Поверхность разобьется на n полосок . Каждую такую полоску заменим прямоугольником с основанием = и высотой . Площадь ее . Тогда

. (2)

Равенство (2) тем точнее, чем мельче разбиение кривой L на части. Пусть . Тогда переходя к в (2), получим точное равенство:

.

Геометрический смысл криволинейного интеграла I типа

Из определения криволинейного интеграла I типа и этой задачи следует, что криволинейный интеграл при f(M)0 численно равен площади участка цилиндрической поверхности с образующей, параллельной Oz, который снизу ограничен контурами интегрирования L=AB, а сверху - кривой z=f(M).

Если , то ,

где - длина самого контура интегрирования L.

Таким образом, с помощью криволинейного интеграла I типа можно вычислить площадь цилиндрической поверхности и длину дуги.
^ 3. Задача о массе кривой

Рассмотрим физическую задачу, которая приводит к понятию криволинейного интеграла I типа. Пусть вдоль некоторой спрямляемой кривой L распространена масса с плотностью (М) ML.

Задача. Определить массу всей этой кривой.

Разобьем кривую L на частичные дуги . На каждой частичной дуге выберем произвольно точку , - плотность в точке . Будем считать, что плотность на всей частичной дуге постоянна и равна . Тогда - масса дуги , следовательно, - масса всей кривой L.

Последнее равенство тем точнее, чем меньше разбиение. Пусть . Тогда

.

Физический смысл криволинейного интеграла I типа

физически выражает массу кривой L, плотность в каждой точке которой равна f(M).
4. Вычисление криволинейного интеграла I типа

Криволинейный интеграл I типа вычисляется путем сведения его к обыкновенному определенному интегралу. Пусть требуется вычислить .

Теорема. Пусть кривая L=AB задана параметрически

, (3)

где (t) и (t) - непрерывно дифференцируемы на [t1;t2]. Пусть f(x;y) непрерывна на кривой L. Тогда

. (4)

Доказательство.

Пусть для определенности меньшему значению параметра t1 соответствует точка A. Функция f(x;y) непрерывна вдоль кривой L, т. е. непрерывна в любой точке М(x;y)L. Положение точки на кривой L определяется длиной дуги . Этим самым координаты x, y точки M тоже определяются как функции от s: Это есть параметрическое представление кривой L с параметром s[0;S], где S - длина всей кривой L. Тогда f(x;y)=f(x(s);y(s))=F(s) - сложная функция от s.

Пусть - произвольное разбиение кривой L на дуги . Произвольно выберем на точку . Обозначим через и значения параметра s, отвечающие соответственно точкам и . Тогда

. (5)

Справа в (5) – обычная интегральная сумма для функции F(s), где . Переходя в (5) к , получим

, (6)

где интегрирование по s уже обозначает взятие обыкновенного определенного интеграла от функции одной переменной F(s). Так как f(x;y) непрерывна и x=x(s), y=y(s) непрерывны, то сложная функция F(s) непрерывна и, следовательно, существуют все интегралы в (6).

С другой стороны длину s дуги можно рассматривать как функцию параметра t: s=s(t). Таким образом, M=M((t);(t)). С возрастанием t от t1 до t2 величина s возрастает от 0 до S. Известно, что дифференциал дуги

.

Выполнив замену переменной в (6) получим:

=.

Замечание. Если кривая L задана явным уравнением y=(x) (x[a;b], (x)- непрерывно дифференцируемая функция), то принимая за параметр переменную , получим параметрическое уравнение кривой: Следовательно,

. (7)

Пример 1. Вычислить , - дуга астроиды , лежащей в первой четверти.

Δ Параметрическое уравнение части астроиды, лежащей в первой четверти:

, .

По формуле (4)







. Δ

Пример 2. Вычислить массу всей цепной линии , если линейная плотность ее .

Δ . Применим формулу (7):

.

, ,



.

Следовательно,







. Δ
§2. Криволинейные интегралы II типа
1. Задача о работе плоского силового поля

Пусть материальная точка М, двигаясь прямолинейно под действием постоянной силы совершает перемещение . Работой А, производимой этой силой, называется скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения :

.

Если в каждой точке М области (P) определена сила, величина и направление которой зависят только от приложения точки ^ М, то говорят, что на области (P) задано силовое поле.

Пусть материальная точка М движется по кривой ВС, лежащей в области (P) под действием силового поля.

Задача. Определить работу А силового поля при перемещении материальной точки из точки В в точку С по кривой.

Разобьем кривую ВС произвольными точками , взятыми по направлению от В к С, на n частичных дуг. На каждой частичной дуге выберем произвольно точки . На частичной дуге заменим приближенно переменную силу постоянной силой , равной вектору силы в точке . А движение материальной точки по этой дуге заменим ее движением по хорде этой дуги. Выполним это все . В результате приближенных замен имеем:

1) материальная точка движется по ломаной, вписанной в кривую ВС;

2) на каждом звене ломаной на материальную точку действует постоянная сила.

Работа силы на хорде равна

.

Суммируя по , получим

, (1)

- работа ступенчатой силы при движении материальной точки по ломаной , вписанной в кривую ВС. Эту работу считают приближением искомой работы А силы при перемещении материальной точки по кривой ВС: .

Пусть , ,

,

.

Тогда

. (2)

Пусть - длина , . Переходя в (2) к , получим точное равенство:

. (3)
2. Определение криволинейного интеграла II типа

Пусть в плоскости задана спрямляемая кривая и вдоль нее определена функция f(x;y). Кривую разобьем произвольно на частей точками , . На каждой частичной дуге выберем произвольную точку . Обозначим через xk и уk проекции дуги на оси координат, xk=xk -xk-1, yk=yk-yk-1. Разбиение обозначим через . Составим сумму

. (4)

(4) – интегральная сумма для функции f(x;y) на кривой AB по координате x. Пусть , - длина частичной дуги .

Определение 1. Число I называется пределом интегральной суммы при , если выполнено . Обозначается: .

Определение 2. Если существует конечный предел интегральной суммы при , не зависящий ни от способа разбиения кривой АВ, ни от выбора точек , то он называется криволинейным интегралом по координате х от функции f(x;y), взятым по кривой AB. Функция называется интегрируемой вдоль кривой AB по координате х, если для нее вдоль этой кривой существует криволинейный интеграл по x.

Обозначается: .

Таким образом, .

Аналогично определяется криволинейный интеграл от функции f(x;y) по координате y, взятый по кривой AB:

.

Криволинейные интегралы по координатам x и y называются криволинейными интегралами II типа.

Если вдоль кривой AB две функции P(x;y) и Q(x;y), и существуют , , то сумма этих интегралов также называется криволинейным интегралом II типа (общего вида) и обозначается:

.
^ Физический смысл криволинейного интеграла II типа

Из задачи о работе плоского силового поля и определения криволинейного интеграла II типа следует, что криволинейный интеграл II типа общего вида

,

то есть выражает работу силы по перемещению материальной точки по кривой из точки А в точку В.

Замечание 1. Определенный интеграл является частным случаем криволинейного интеграла II типа. Пусть кривая АВ - это отрезок AB=[a;b] оси Ox. Тогда f(x;y)=f(x;0)=F(x). Поэтому на [a;b]

.

В правой части – обыкновенная интегральная сумма для функции F(x) на [a;b]. Переходя к , получим

.

Аналогично, если кривая AB является некоторым отрезком [c;d] оси Oy, то , где (y)=f(0;y), y[c;d].

Замечание 2. Если на кривой AB поменять направление интегрирования на противоположное, то и знак криволинейного интеграла II типа изменится на противоположный. Это происходит потому, что в интегральных суммах изменяется знак . Таким образом, криволинейные интегралы II типа от одной и той же функции f(x;y), взятые по одной и той же кривой АВ, но в противоположных направлениях, равны по модулю, но противоположны по знаку:

,

.

Следовательно, при вычислении криволинейных интегралов II типа необходимо учитывать направление интегрирования. Из двух направлений на кривой одно считают положительным, а другое – отрицательным.

Если кривая замкнута и представляет собой контур, ограничивающий некоторую область на плоскости (это будет в случае, если замкнутая кривая не имеет кратных точек), то за положительное направление принимают обычно направление против хода часовой стрелки, а за отрицательное – по ходу часовой стрелки. Но для некоторых областей такой способ задания направления непригоден. В этом случае положительным направлением считают такое направление обхода контура, когда ограниченная им область (Р) остается все время слева. Интеграл по замкнутому контуру L обозначается: . Иногда с помощью стрелки указывают направление обхода:

или .
^ 3. Основные свойства криволинейного интеграла II типа

1º. Если функция f интегрируема вдоль кривой AB, , то функция kf также интегрируема вдоль кривой AB, причем

.

2º. Если функции f и g интегрируемы вдоль кривой AB, то и функция fg интегрируема вдоль кривой AB, причем

.

3º. (Аддитивность)

Для любой точки C кривой AB, если интегрируема вдоль кривой AB, то она интегрируема и вдоль кривых AС и СВ и

.

  1   2   3



Скачать файл (1626.7 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru