Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Лекции - функции нескольких переменных, кратные интегралы, криволинейные интегралы - файл фнп.doc


Загрузка...
Лекции - функции нескольких переменных, кратные интегралы, криволинейные интегралы
скачать (1626.7 kb.)

Доступные файлы (3):

Кратные интегралы.doc1778kb.02.05.2008 20:55скачать
Криволинейные интегралы.doc1459kb.02.05.2008 21:47скачать
фнп.doc2717kb.03.09.2009 00:00скачать

фнп.doc

  1   2   3   4   5
Реклама MarketGid:
Загрузка...
Дифференциальное исчисление

функций нескольких переменных
§1. Метрические пространства. Пространство
Раньше изучались функции одной переменной f(x), которые были определены на . Рассмотрим некоторые свойства множеств, на которых задаются функции нескольких переменных.

Множество {x,y}, состоящее из двух элементов, называется парой. Пара, как и любое множество, определяется своими элементами. Упорядоченная пара (x,y) определяется еще и порядком следования элементов, т.е. . Аналогично определяется упорядоченная тройка, четверка и т.д. Упорядоченный набор из n элементов обозначается .

Декартовым (прямым) произведением множеств называется множество, содержащее все упорядоченные наборы , где , т.е.

.

Если , то называется числовой плоскостью. Каждой упорядоченной паре чисел (x,y) соответствует на плоскости, где введена декартова система координат, точка М(x,y), и наоборот, каждой точке на плоскости соответствует пара (x,y). Поэтому точка на плоскости отождествляется с упорядоченной парой.

Прямое произведение называется числовым трехмерным пространством.

- n-мерное пространство .

Упорядоченный набор называется точкой пространства , число - i-й координатой этой точки.

Обозначается , М.

В пространстве определяется сложение элементов, умножение элемента на действительное число. Пусть , :

1) ;

2) .

Пусть Е – непустое множество.

Определение. Метрикой (расстоянием) на множестве Е называется неотрицательная функция =(х,у)0, определенная х,уЕ и удовлетворяющая следующим условиям (аксиомам метрики):

  1. (х,у)=0  х=у (аксиома тождества);

  2. (х,у)=(у,х) (аксиома симметрии);

  3. (х,y)(х,z)+(z,y) zЕ (аксиома треугольника).

Определение. Множество Е с введенной на нем метрикой называется метрическим пространством и обозначается (Е,).

Т. о., метрическим пространством называется пара, состоящая из множества Е и метрики на Е. Элементы метрического пространства Е называются его точками.

В пространстве метрика определяется следующим образом:

, (1)

где и .

- метрическое пространство, n-мерное евклидово пространство (можно задать другую метрику и получить - другое метрическое пространство).

В случае n=1, т.е. в , ; в случае n=2, т.е. в , .

Покажем, что расстояние в , определяемое формулой (1), удовлетворяет всем аксиомам метрики.

1).

2) (х,у)=(у,х), т.к. .

3) Пусть . Покажем, что

. (2)

Докажем вначале, что имеют место неравенства:

- неравенство Коши-Буняковского (3)

- неравенство Минковского (4)

Доказательство (3).

Рассмотрим квадратный трехчлен относительно :



.

Извлекая из обеих частей квадратный корень, получим (3).
Доказательство (4).

(4) следует из (3). Рассмотрим



.

Извлекая корень из обеих частей, получим (4).

Полагая в неравенстве Минковского a=x-z, b=z-y, получим (2), т.е. аксиома 3 для (х,у) выполнена.
Пусть - фиксированная точка, .

Определение 1. n-мерным открытым шаром в пространстве называется множество всех точек , удовлетворяющих неравенству : .

Фиксированная точка a называется центром шара, число - радиусом шара.

При n=1, .

При n=2, - открытый круг с центром в точке а(а1,а2), радиусом .

При n=3, - обычный шар (без ограничивающей его сферы ) в трехмерном пространстве.

Определение 2. Замкнутый шар в - .

Определение 3. Окрестностью точки называется любой открытый шар, содержащий эту точку.

Обозначается .

- проколотая окрестность точки а.

Пусть задано множество .

Определение 4. Точка a называется внутренней точкой множества Е, если существует окрестность точки а, целиком лежащая во множестве Е: .

Совокупность всех внутренних точек множества Е называется внутренностью множества Е. Обозначается int E.

Например, .

Определение 5. Точка называется внешней точкой множества Е, если , не содержащая ни одной точки множества Е.

Определение 6. Точка называется граничной точкой множества Е, если в любой окрестности точки а имеются как точки принадлежащие Е, так и точки не принадлежащие Е.

Граничная точка может как принадлежать, так и не принадлежать множеству.

Определение 7. Точка называется предельной точкой множества Е, если в любой окрестности точки а содержится хотя бы одна точка множества Е, отличная от а.

Определение 8. Точка называется изолированной точкой множества Е, если она не является предельной точкой множества Е.

У изолированной точки а множества Е , не содержащая ни одной точки множества Е.

Пример. .

Внутренние точки (1;3),

внешние точки ,

граничные точки {1;3;7},

предельные точки [1;3],

изолированная точка {7}.

Теорема 1. Точка а - предельная точка множества Е тогда и только тогда, когда в любой окрестности точки а содержится бесконечно много точек множества Е.

Определение 9. Множество Е называется открытым, если все его точки являются внутренними.

Определение 10. Множество Е называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.

Примеры. 1) (а;b), - открытые множества,

2) [a;b], - замкнутые множества,

  1. - открытые множества.

Определение 11. Множество называется дополнением множества Е.

Теорема 2. Если множество Е открыто, то СЕ – замкнуто, если множество Е замкнуто, то СЕ – открыто.

Определение 12. Множество Е называется ограниченным, если существует замкнутый шар, содержащий в себе множество Е: .

Теорема 3. Множество Е ограничено.

Определение 13. Непрерывной кривой L в пространстве , соединяющей точки и называется множество , где функции непрерывны на [a;b], .

Определение 14. Множество Е называется связным (линейно связным), если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, целиком лежащей в этом множестве.

Определение 15. Множество называется областью, если оно открыто и связно.


§2. Понятие функции нескольких переменных
Определение. Пусть G – некоторое множество в . Отображение называется действительной функцией n действительных переменных.

Обозначается .

Множество ^ G называется областью определения функции, а множество значений, которые принимает u – множеством значений функции f.

В случае n=2 обычно пишут z=f(x,y), а при n=3 u=f(x,y,z).

Пример. Найти область определения функции .

D(z):

. 

Пусть дана функция двух переменных z=f(x,y) с областью определения . Функция f задается множеством точек . Значит, это множество можно изобразить в трехмерном координатном пространстве. Получим множество точек, которое называется графиком функции z=f(x,y). Часто (но не обязательно) графиком такой функции является поверхность. Не каждая поверхность может быть графиком функции двух переменных. Если поверхность является графиком функции двух переменных, то любая прямая, параллельная оси Оz пересекает ее не более, чем в одной точке.

Пример.  Рассмотрим функцию .

- круг с центром в (0;0), радиусом R=2.



- верхняя полусфера с центром в (0;0;0), радиусом R=2. 

Пусть функция z=f(x,y) задана на . Пересечем график функции плоскостью z=a. В сечении получим линию



Спроектируем ортогонально эту линию на плоскость хОу. Линия f(x,y)=a лежит в D и называется линией уровня функции f.

Определение. Линией уровня функции z=f(x,y) называется множество точек (x,y) из области определения функции, в которых функция принимает одно и то же значение а.

Придавая а разные значения, будем получать различные линии уровня. Значит, если а – параметр, то f(x,y)=a – семейство линий уровня. Обычно в качестве а берут числа а1,а2,а3,…, образующие арифметическую прогрессию. В этом случае линии уровня дают некоторое наглядное представление о графике функции z=f(x,y). В тех местах, где линии уровня сгущены, функция возрастает быстрее, чем в тех местах, где они разрежены.

Аналогично вводится понятие поверхностей уровня функции трех переменных u=f(x,y,z): . Если а – параметр, то f(x,y,z)=а – семейство поверхностей уровня.
§3. Предел и непрерывность функции двух переменных


  1. Понятие предела функции двух переменных

Пусть функция z=f(x,y) определена на множестве . Пусть М0(х0,у0) – предельная точка множества G.

Определение 1 (по Коши). Число А называется пределом функции f(x,y) в точке М0(х0,у0), если >0 =()>0: M(x,y) G: 0<(M0,M)< выполнено неравенство | f(x,y)-A|<.

Обозначается или .

Напомним, что в .

Определение 2 (по Гейне). Число А называется пределом функции f(x,y) в точке М0(х0,у0), если для произвольной последовательности точек {Mn(xn,yn)}, Mn G, Mn M0n, таких что выполнено .

Равносильность этих определений доказывается аналогично случаю функции одной действительной переменной.

Аналогично вводится понятие предела функции n действительных переменных.

Для предела функции n переменных справедливы все свойства предела функции одной переменной.

Пример 1. Вычислить .

 Т. к. функции 3ху и х2у являются бесконечно малыми при х1, у0, то tg3xy3xy, sinx2yx2y. Тогда

.

Пример 2. Доказать, что функция не имеет предела в точке О(0;0).

. Т.о., (0;0) – предельная точка D(f ). Покажем, что не существует.

1 способ. Пусть М(х;у)О(0;0) по прямой у=kx, проходящей через точку О. Тогда

.

Т.о., приближаясь к точке О(0;0) по различным прямым, соответствующим различным значениям k, получаем, что функция стремится к различным значениям. Например, при k=0, т.е. приближаясь к точке О(0;0) по оси Ох =0; при k=1, т.е. приближаясь к О(0;0) по прямой у=х и т.д. Следовательно, не существует.

2 способ. Рассмотрим две различные последовательности точек, стремящиеся к О(0;0).

Первая последовательность по положительной части оси Ох. Тогда .

Вторая последовательность по направлению биссектрисы первого координатного угла (по прямой у=х). Тогда

.

Т.о., двум различным последовательностям точек, стремящимся к О(0;0) по разным направлениям, соответствуют две последовательности значений функции, имеющие разные пределы. Согласно определению предела функции по Гейне это означает, что функция не имеет предела в точке (0;0).

Пример 3. Найти .

 Перейдем к полярным координатам с центром в точке О(0;0):

,

т.к. функция - бесконечно малая при r, а функция (cos +sin) ограничена.
2. Повторные пределы

Для функций нескольких переменных наряду с обычным понятием предела функции (при одновременном стремлении всех аргументов к их пределам) вводится понятие повторного предела, получаемого в результате ряда последовательных предельных переходов по каждому аргументу в отдельности в том или ином порядке. (Обычный предел функции n переменных называется n-кратным: двойным, тройным и т.д.)

Рассмотрим случай функции двух переменных. Пусть функция определена в области G. Пусть область G такова, что х может принимать (независимо от у) любые значения в некотором множестве Х, для которого х0 – предельная точка, а переменная у (независимо от х) изменяется на множестве Y. Тогда G можно символически обозначить G =XY. При фиксированном значении переменной у функция f(x;y) становится функцией одной переменной х. Если при фиксированном yY существует , то, вообще говоря, этот предел зависит от наперед зафиксированного у: . Теперь можно рассматривать . Пусть он существует и равен А: =А. Тогда говорят, что в точке (х0;у0) существует повторный предел функции f(x;y)

. (1)

При этом называется внутренним пределом в повторном пределе (1).

Другой повторный предел

(2)

получится, если предельные переходы произвести в обратном порядке. В (2) внутренний предел - .

Повторные пределы (1) и (2) вовсе не обязательно равны.

Пример 4. Вычислить повторные пределы функции в точке О(0;0).

 О(0;0)D(f ), является предельной точкой D(f ).

,

. 

Может случиться, что один из повторных пределов существует, а другой – нет.

Пример 5. Вычислить повторные пределы функции в О(0;0).

- не существует,

. 

Всякая перестановка двух предельных переходов по разным переменным должна быть обоснована. Одно из таких обоснований дает следующая теорема. Она также устанавливает связь между двойными и повторными пределами. Вообще говоря, из существования двойного предела не следует существование повторных пределов, и из существования повторных не следует существование двойного.

Теорема. Пусть в точке (х0;у0) существует (конечный или бесконечный) двойной предел , а также yY существует внутренний предел . Тогда существует повторный предел . Аналогично, если , и хХ существует внутренний предел , то существует повторный предел =А.

Если  и оба внутренних предела, то существуют и оба повторных предела, и .

Замечание. Обратное утверждение неверно. Если существуют и равны оба повторных предела, то двойной не обязательно существует.

Пример 6. .

,

,

,

но не существует (см. пример 2). 
3. Непрерывность функции n переменных

Определение 1. Функция z=f(x,y) называется непрерывной в точке M0(x0;y0), если она определена в некоторой окрестности этой точки, и предел функции равен значению функции в этой точке:

. (1)

Аналогично определяется непрерывность в точке функции n переменных.

Обозначим х=х0+х, у=у0+у. Тогда (1) можно переписать с. о.:

или .

Величина называется полным приращением функции z=f(x,y) в точке (x0;y0). Т. о., получаем эквивалентное определение непрерывности функции в точке.

Определение 2. Функция z=f(x,y) называется непрерывной в точке M0(x0;y0), если бесконечно малым приращениям аргументов х и у соответствует бесконечно малое полное приращение функции: .

Если переменную у0 оставить постоянной, а переменной х0 придать некоторое приращение х, то функция z=f(x,y) получит приращение , которое называется частным приращением функции z в точке (х0, у0) по переменной х. Аналогично, если переменная х0 остается постоянной, а у0 получает приращение у, то - частное приращение функции z в точке (х0,у0) по переменной у.

Для функций нескольких переменных вводится понятие непрерывности по каждой из независимых переменных.

Определение. Частным приращением функции u=f(x1,x2,…xn) в точке по переменной xj называется величина

.

Определение. Функция u=f(x1,x2,…,xn) называется непрерывной в точке М0 по переменной xj , если

.

Пример 7. Доказать, что функция

непрерывна в точке О(0;0) по каждой переменной х и у, но не является непрерывной по совокупности переменных.

 Частное приращение функции по переменной х в точке О(0;0):

.

Следовательно, функция непрерывна в т. О(0;0) по переменной х.

Частное приращение функции по переменной у в точке О(0;0):

.

Следовательно, функция непрерывна в т. О(0;0) по переменной у.

Но функция не является непрерывной в т.О(0;0) по совокупности переменных, т.к. предел функции в этой точке не существует (см. пример 2 из п.2). 

Определение. Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Определение. Точка M0(x0;y0), в которой не выполняется условие непрерывности, называется точкой разрыва функции z=f(x;y).

Это может быть, например, в следующих случаях:

  1. z=f(x;y) определена во всех точках некоторой окрестности точки М0, кроме самой точки М0;

  2. функция определена во всех точках V(М0), но не существует;

  3. функция определена во всех точках V(М0), и существует , но .

Пример 2. Найти точки разрыва функции .

 Функция может иметь разрыв лишь в точках, где =0 

Итак, данная функция имеет разрыв на прямых у=х, у=, х=2. 

  1   2   3   4   5



Скачать файл (1626.7 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru